76 LE SCIENZE n. 265, settembre 1990

Un numero di Ramsey è definito come il minimo valore di n tale che in un insieme di npunti esiste o un insieme di j punti che formino un grafo completo dilati rossi o un insiemedi k punti che formino un grafo completo dilati blu. Nel primo disegno cinque punti sonocollegati da lati rossi e blu in modo tale che tre punti non formino mai un grafo completorosso o blu; il numero di Ramsey per tre rosso e tre blu deve essere cioè maggiore di cinque.Il secondo disegno ci dice che il numero di Ramsey per tre rosso e quattro blu è maggioredi otto. Il numero di Ramsey per tre rosso e tre blu è sei e quello per tre rosso e quattroblu è nove. Qui sono riportati tutti i numeri di Ramsey noti, tranne quello per quattrorosso e quattro blu, il cui diagramma è illustrato nella pagina a fronte. (In alcuni disegnii lati blu sono omessi.) Si sa che il numero di Ramsey per tre rosso e otto blu è maggioredi 27 e minore o uguale a 29. Di recente si è dimostrato (ma non ancora verificato) che è 28.

LE SCIENZE n. 265, settembre 1990 77

do un dado. Dato un insieme abbastanzagrande di stelle, per esempio, vi si puòsempre trovare un gruppo che formiquasi perfettamente una qualche figura:un segmento, un rettangolo o magariun'orsa maggiore. Anzi, la teoria diRamsey afferma che qualunque struttu-ra contiene necessariamente una sotto-struttura ordinata. Come osservò perprimo, circa 25 fa, il compianto matema-tico americano Theodore S. Motzkin,dalla teoria di Ramsey scende come con-seguenza che il disordine completo nonpuò esistere.

Gli specialisti di questa teoria cercanodi stabilire quante stelle, enti o numerisono necessari per garantire l'esistenzadi una certa sottostruttura desiderata.Per risolvere problemi del genere spessoci vogliono decenni e se ne ha ragionesoltanto con argomentazioni più inge-gnose e sottili. Cercando di risolvere iproblemi teorici, i cultori della teoria diRamsey aiutano gli ingegneri a migliora-re le reti di comunicazione e i sistemi perla trasmissione e per il reperimento delleinformazioni; ma non solo, essi hannoanche scoperto alcuni degli strumentimatematici che faranno da guida agli

Il rompicapo del ricevimento è un esempiotipico dei problemi considerati dalla teoriadi Ramsey. Quante persone ci vogliono performare un gruppo che contenga o quattropersone che si conoscono o quattro che nonsi conoscono? Nella figura i punti rappre-sentano le persone. Un lato rosso collegadue conoscenti, un lato blu due estranei. Inquesto gruppo di 17 punti non esistonoquattro punti collegati da lati che forminoun grafo completamente rosso o completa-mente blu. Ci vogliono quindi più di 17persone per essere certi che vi siano sem-pre quattro persone che si conoscono o chenon si conoscono. In effetti, in qualun-que gruppo di 18 persone ci sono sempreo quattro conoscenti o quattro estranei.

scienziati nel secolo venturo. Infine, edè forse la cosa più importante, stannoindagando sulla struttura ultima dellamatematica, una struttura che trascendel'universo.

Adifferenza di molti rami speciali-stici della matematica, la teoria di

Ramsey può essere esposta in modo in-tuitivo. In effetti, il fascino di questa teo-ria deriva in parte proprio dalla sempli-cità con cui se ne possono enunciare iproblemi. Se, per esempio, si scelgonosei persone a caso (diciamo Alfredo,Barbara, Carlo, Dina, Edoardo e Fran-co), è vero che in ogni caso o tre di essisi conoscono l'un l'altro oppure tre diessi non si conoscono l'un l'altro?

Questo «rompicapo del ricevimento»può essere risolto in molti modi. Si puòfare un elenco di tutte le combinazionipossibili e controllare se in ciascuna diesse ci sia un gruppo di tre conoscentioppure un gruppo di tre estranei. Mapoiché le combinazioni da controllaresono 2 15 , cioè 32 768, questa impostazio-ne brutalmente sistematica non è né pra-tica né intelligente.

Per fortuna la risposta può essere tro-vata considerando due semplici casi. Nelprimo caso, supponiamo che Alfredo co-nosca (almeno) tre degli altri convitati,diciamo Barbara, Carlo e Dina. Se Bar-bara e Carlo oppure Barbara e Dina op-pure Carlo e Dina si conoscono, alloraAlfredo e la coppia di conoscenti sonotre persone che si conoscono. AltrimentiBarbara, Carlo e Dina non si conoscono.Nel secondo caso, supponiamo che Al-fredo conosca (non più di) due fra le al-tre persone, diciamo Barbara e Carlo. SeDina e Edoardo oppure Dina e Francoo Edoardo e Franco non si conoscono,allora Alfredo e la coppia di estranei so-no tre persone che non si conoscono traloro. Altrimenti Dina, Edoardo e Fran-co si conoscono tutti e tre. Con sei frasiappena abbiamo dimostrato che qualun-que gruppo di sei persone deve contene-re per lo meno tre conoscenti o tre estra-nei. Cosa ancora più interessante, lasoluzione del rompicapo del ricevimentoè un caso particolare della teoria diRamsey.

Il teorema vero e proprio lo si puòenunciare generalizzando questo casoparticolare. Invece di formulare il pro-blema per sei persone, lo si può formu-lare per un numero arbitrario di personeo di oggetti e non è necessario limitarsia due relazioni, come conoscenza edestraneità: si può avere un numero arbi-trario di relazioni mutuamente esclusi-ve , per esempio amicizia, inimicizia eindifferenza.

Possiamo ora enunciare il teorema ge-nerale di Ramsey. Se un insieme con-tiene un numero abbastanza grande dioggetti e se tra ciascuna coppia di og-getti sussiste una e una sola relazio-ne tra quelle considerate, allora esistesempre un sottoinsieme contenente uncerto numero di oggetti tra ogni coppia

La teoria di RamseyIl brillante matematico Frank Plumpton Ramsey dimostrò che il disordinecompleto non può esistere. Qualunque insieme di enti sufficientementegrande contiene necessariamente una configurazione molto regolare

di Ronald L. Graham e Joel H. Spencer

/

n un testo cuneiforme di 3500 anni fasi legge che, guardando il cielostellato, un sapiente sumero ci vide

un leone, un toro e uno scorpione. Unastronomo moderno descriverebbe inve-ce una costellazione come un insiemetemporaneo di stelle che noi terrestri os-serviamo dalla periferia di una galassiaordinaria. Eppure chi osserva le stelle èin genere disposto ad ammettere che ilcielo notturno appare pieno di costella-zioni a forma di segmenti, di rettangoli

e di pentagoni. È possibile che questeforme geometriche derivino da forze co-smiche sconosciute?

La matematica fornisce una spiegazio-ne molto più plausibile. Nel 1928 ilmatematico, filosofo ed economista in-glese Frank Plumpton Ramsey dimostròche queste forme sono in realtà impli-cite in qualunque struttura abbastanzagrande, che si tratti di un ammasso distelle, di un insieme di sassolini o di unasuccessione di numeri generati lancian-

CASO 2CASO i CASO 3

A

INVILUPPOCONVESSO

QUADRILATEROCONVESSO

La teoria di Ramsey fu riscoperta nel 1933, quando una giovane studentessa, Esther Klein,propose questo problema geometrico: dati cinque punti complanari, tre qualsiasi dei qualinon siano mai allineati, si dimostri che quattro punti formano sempre un quadrilateroconsesso. Tutti i casi del problema sono variazioni di quelli qui riportati. Il caso piùsemplice si ha quando l'inviluppo convesso (il poligono convesso che racchiude tutti i punti)è un quadrilatero. Se l'inviluppo convesso è un pentagono, allora quattro punti qualunqueformano un quadrilatero. Un inviluppo convesso triangolare contiene sempre al suo internodue punti, D ed E. La retta DE divide il triangolo in modo tale che due punti, A e B,giacciono sullo stesso semipiano. I quattro punti ABDE formano un quadrilatero convesso.

del quale sussiste la stessa relazione.Frank Ramsey, che dimostrò per pri-

mo questa proposizione nel 1928, crebbea Cambridge , in Inghilterra. Suo padre,Arthur S. Ramsey, era professore di ma-tematica e preside del Magdalene Colle-ge di Cambridge. Nel 1925 il giovaneRamsey prese il diploma classificandosiprimo in matematica nella sua universi-tà. Pur occupandosi soprattutto di filo-sofia e di logica matematica, egli diedeanche contributi all'economia, alla teo-ria delle probabilità e a quella delle de-cisioni, alla psicologia cognitivista e allasemantica.

Poco dopo il diploma, si unì al gruppodi economisti guidato da John MaynardKeynes. Ramsey scrisse soltanto due ar-ticoli di economia matematica, ma en-trambi sono tuttora molto citati. In filo-sofia egli si ispirò a George E. Moore,Ludwig Wittgenstein e Bertrand Rus-sell. Scrisse Moore: «Era un pensatorestraordinariamente chiaro: nessuno me-glio di lui sapeva evitare quelle confusio-ni di pensiero in cui cadono anche i mi-gliori filosofi.» Purtroppo, nel 1930, al-l'età di 26 anni, Ramsey si ammalò emorì tragicamente per le complicazionisopraggiunte in seguito a un interventochirurgico addominale.

La strada che due anni prima di mori-re Ramsey seguì allo scopo di dimostrarela teoria che porta il suo nome è in cer-to modo paradossale. Egli giunse all'i-dea centrale tentando di dimostrare un'i-potesi avanzata da Bertrand Russell eAlfred North Whitehead nella loro ope-ra capitale Principia Mathematica. Essiavevano congetturato che tutte le veritàdella matematica potessero essere de-dotte da un piccolo gruppo di assiomi.Partendo da questa loro idea, il materna-

tico tedesco David Hilbert aveva poi ipo-tizzato l'esistenza di una procedura permezzo della quale si potesse decidere seuna data proposizione segue o no da undeterminato insieme di assiomi. Ramseydimostrò che una procedura del genereesiste in un caso particolare. (Pochianni dopo Kurt Giidel e, in seguito, ilmatematico inglese Alan M. Turing e al-tri dimostrarono in modo definitivo chenel caso generale questa procedura nonesiste.)

Ramsey provò il teorema che porta ilsuo nome come primo passo nel tentati-vo di dimostrare un caso particolare del-l'ipotesi di Hilbert, caso che, come si vi-de poi, si sarebbe potuto dimostrare peraltre vie. Singolarmente, Ramsey avevaottenuto un teorema superfluo per unatesi che non avrebbe mai potuto dimo-strare nel caso generale.

situazione non mutò fino a quando, nel 1933, due matematici ungheresi,Paul Erdéos e Gyórgy Szekeres, riscopri-rono la teoria di Ramsey. È a loro che sideve in gran parte la notorietà di cui essagode fra i matematici. A quel tempo Er-déls era uno studente diciannovenne del-l'Università di Budapest e Szekeres ave-va da poco conseguito la laurea in inge-gneria chimica al Politecnico di Budape-st. Quasi ogni domenica, Erdós e Sze-keres s'incontravano con un gruppo dicolleghi, in un parco o all'ateneo, soprat-tutto per discutere di matematica.

Nell'inverno del 1933, una studentes-sa del gruppo, Esther Klein, sottoposeloro un curioso problema: dati cinquepunti complanari, tre qualsivoglia deiquali non siano mai allineati, si dimostriche esistono sempre quattro punti cheformano un quadrilatero convesso. (Il

termine «convesso» indica una figurageometrica rigonfia, per esempio unesagono, ma non una stella a cinquepunte. Più precisamente, un poligono èconvesso se qualunque segmento con-giungente due vertici giace all'internodel poligono.)

Dopo aver dato agli amici tempo perriflettere sul problema, la Klein ne pre-sentò una dimostrazione (si veda l'illu-strazione in questa pagina). A quel pun-to Erdós e la Klein, accortisi che, datinove punti complanari, ne esistono sem-pre cinque che formano un pentagonoconvesso, proposero una generalizzazio-ne del problema: se il numero dei punticomplanari è 1 + 2k -2, dove k è 3, 4, 5e così via, esistono sempre k punti chesiano i vertici di un poligono convesso dik lati?

Szekeres così descrive la scena nel-le sue memorie: «Ci rendemmo subitoconto che un ragionamento elementarenon poteva funzionare ed eravamo tuttieccitati perché sembrava che dal nostrocircolo stesse per scaturire un problemageometrico di tipo nuovo». Szekeres di-mostrò di slancio che esiste sempreun numero n tale che, dati n punticomplanari, tre qualsivoglia dei qualinon siano mai allineati, allora si possonoselezionare k punti che formano un po-ligono convesso di k lati. In altre pa-role, dato un numero sufficiente di pun-ti, se ne può sempre trovare un sottoin-sieme che costituisca un poligono asse-gnato. Con questa dimostrazione, Sze-keres aveva riscoperto il teorema diRamsey, che all'epoca nessuno del grup-po conosceva.

Nel 1934 Erdéos e Szekeres pubblica-rono i loro risultati, ma finora né loro néaltri sono riusciti a dimostrare la conget-tura di Erdós, cioè che bastano esatta-mente n = 1 + 2k - 2 punti. Erdós, for-se il matematico più fecondo del nostrosecolo, è solito riferirsi a questo scrittocome all'articolo del lieto fine, perchésubito dopo la sua pubblicazione Sze-keres e la Klein si sposarono.

Paul Erdós era affascinato dall'ideadi Ramsey che qualunque struttura ab-bastanza grande debba contenere unasottostruttura regolare di grandezza as-segnata. Ma si chiedeva quanto dovesseessere grande la struttura per garantirel'esistenza di quella particolare sotto-struttura. Erdós si mise dunque a lavo-rare su una versione del rompicapo delricevimento.

In questa versione, le sei persone so-no rappresentate da sei punti, che perconvenienza sono disegnati su un piano,facendo attenzione che mai tre di essisiano allineati. I punti sono collegati adue a due da un segmento, o lato, cheviene colorato per indicare la relazionetra le persone corrispondenti. Un latorosso significa che le due persone si co-noscono, un lato blu significa che non siconoscono.

Quindi se tre persone si conoscono traloro, i lati che collegano i punti formano

un triangolo rosso; se tre persone non siconoscono, si ottiene un triangolo blu. Ilrompicapo del ricevimento si può allorariformulare così: è vero che se si colora-no di rosso e di blu in modo arbitrario ilati che congiungono a due a due sei pun-ti, la figura risultante conterrà sempre untriangolo rosso oppure un triangolo blu?

Il problema studiato da Erdós è unaversione generale di questo. Egli chiamògrafo completo una famiglia di punti chesiano a due a due tutti collegati. Poi sichiese: qual è il più piccolo grafo com-pleto che, quando sia colorato in modoarbitrario di rosso o di blu, contiene unsottografo completo rosso oppure blu ditre punti? La risposta è: un grafo com-pleto di sei punti. É più pratico esprime-re problema e soluzione nel modo se-guente: il numero di Ramsey per tre ros-so e tre blu è sei.

Ma qual è il numero di Ramsey percinque rosso e tre blu? In altre paro-le, qual è il minimo grafo completo che,colorato in modo arbitrario di rosso edi blu, contenga o un grafo rosso di cin-que punti o un grafo blu di tre punti?Il numero di Ramsey per cinque rosso etre blu è 14, fatto che fu dimostratosolo nel 1955 da Robert E. Greenwood,dell'Università del Texas ad Austin,e da Andrew M. Gleason della HarvardUniversity.

Si sa che i numeri di Ramsey sono dif-ficili da calcolare. Gli sforzi di genera-zioni di matematici e di calcolatori han-no consentito di scoprire solo sette nu-meri di Ramsey (si veda l'illustrazione apagina 77).

Per illustrare la difficoltà che presentail calcolo dei numeri di Ramsey, Erdósè solito raccontare questo aneddoto. Glialieni invadono la Terra e minacciano diannientarla se entro un anno gli uomininon riescono a trovare il numero diRamsey per cinque rosso e cinque blu.Potremmo far scendere in campo lementi migliori e i calcolatori più velocidel pianeta e probabilmente entro un an-no riusciremmo a calcolare quel valore.Se tuttavia gli alieni volessero il numerodi Ramsey per sei rosso e sei blu, nonavremmo altra scelta se non un attaccopreventivo.

Erdós suggerì tuttavia una manieraper farsi un'idea di quanto sia grande unnumero di Ramsey. Chiediamoci: checosa comporterebbe la scoperta di un as-segnamento di colori rosso o blu in ungrande grafo completo che non desseluogo a un grafo rosso o blu di tre punti?(Una colorazione siffatta del grafo com-pleto di cinque punti è riportata a pagina76.) Evidentemente l'esistenza di questoassegnamento di colori ci dice che il nu-mero di Ramsey per tre rosso e tre bludev'essere maggiore di cinque. Cinque èun limite inferiore per questo numero diRamsey.

Nel 1947 Erdós suggerì un metodo in-solito per trovare un limite inferiore perqualunque numero di Ramsey: lanciareuna moneta. Erdós eseguì un esperi-

mento concettuale nel quale ogni lato diun grafo completo, diciamo di un milio-ne di punti, viene colorato in base al ri-sultato del lancio di una moneta. Se esce«croce» il lato è rosso, se esce «testa»è blu. A questo punto cercò di dimostra-re che il numero di Ramsey per 34 ros-so e 34 blu, per esempio, è maggiore diun milione. L'esperimento riusciva senon c'era nessun grafo rosso o blu di34 punti.

Come si poteva assicurare la riuscitadell'esperimento? 34 punti arbitrari so-no collegati da 561 lati. Se il primo lanciodà come risultato blu, per avere un grafoblu anche i 560 lanci successivi devonodare blu. La probabilità di questo eventoè 1/2 elevato alla potenza 561. La proba-bilità di un grafo rosso è la stessa, quindila probabilità totale è il doppio, cioè cir-ca 2,6 x 10-169.

Bene, nel grafo di un milione di puntigli insiemi costituiti da 34 punti sono(1 000 000 x 999 999... x 999 967) di-viso per (34 X 33 x x 2 x 1) , cioècirca 3,4 x 10 165 . Quindi fra tutti i grafidi 34 punti la frazione di quelli monocro-matici è (3,4 x 10 165 ) x (2,6 x 10-169),cioè circa 0,001. Quindi il 99,9 per centodelle volte l'esperimento concettuale ri-esce, perché non fornisce nessun grafomonocromatico di 34 punti.

Erdós applicò poi un sottile ragiona-mento per assurdo. Fece l'ipotesi chenessuno degli assegnamenti di colori ri-uscisse, nel qual caso l'esperimento con-

cettuale avrebbe una probabilità di suc-cesso nulla, mentre si sa che non è così.L'ipotesi dev'essere errata: deve cioè esi-stere un assegnamento di colori riuscito(non con una probabilità del 99,9 percento, ma con certezza assoluta). L'esi-stenza di questo assegnamento di coloriimplica che un milione è un limite infe-riore per il numero di Ramsey per 34rosso e 34 blu.

Questo metodo di tipo probabilisticoha fornito i migliori limiti inferiori cono-sciuti per i numeri di Ramsey. Tuttaviail metodo probabilistico non fornisce in-dicazioni sulla «costruzione» effettivadell'assegnamento di colori desiderato.Tentando di ottenere questi assegna-menti i ricercatori hanno applicato tuttauna serie di tecniche tratte dalla teoriadei numeri, dalla teoria degli insiemi eda altri settori della matematica. I risul-tati, per quanto interessanti, non si av-vicinano ancora ai limiti ottenuti col me-todo della moneta.

Per quanto buona parte delle prime

ricerche sulla teoria di Ramsey siconcentrasse su insiemi di punti e di seg-menti, molti dei primi problemi riguar-davano insiemi di numeri. Anzi, il ma-tematico olandese Bartel L. van derWaerden cominciò a risolvere problemidel genere pyinaa aíricora che Ramsey di-mostrasse il suo teorema.

Nel 1926 van der Waerden venne aconoscenza di un curioso problema che

La teoria di Ramsey e le progressioni aritmeticheUna progressione aritmetica è una successione di numeri tale che la differenza tra due termini

successivi è costante. Per esempio 7, 10, 13, 16 è una progressione aritmetica in cui la differenzatra due termini successivi è tre. Dalla teoria di Ramsey discende la seguente proposizione relativa alleprogressioni aritmetiche: se ciascuno dei numeri da 1 a 9 viene colorato di rosso o di blu, vi sarannosempre tre numeri rossi o tre numeri blu in progressione aritmetica.

Per dimostrare la congettura, si potrebbe verificare ciascuna delle 512 possibili colorazioni deinumeri. Si può tuttavia giungere alla dimostrazione considerando solo due casi. Partiamo dal caso incui 4 e 6 abbiano lo stesso colore, per esempio blu

12 3 4 5 6 7 8 9

Per evitare la progressione aritmetica blu 4, 5, 6, coloriamo 5 di rosso

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Per evitare le progressioni blu 2, 4, 6, e 4, 6, 8, coloriamo 2 e 8 di rosso

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Ma così si ottiene la progressione rossa 2, 5, 8. Perciò se 4 e 6 hanno lo stesso colore c'è sempreuna progressione aritmetica rossa o blu. Consideriamo adesso il caso in cui 4 e 6 siano di colore diverso.Si può colorare 5 di rosso o di blu senza generare una progressione, coloriamo perciò 5 di rosso.

1 2 3 4 5 C 7 8 9

Poi coloriamo i numeri come segue:

3 per evitare 3 4 5

9 per evitare 3 6 97 per evitare 5 7 g

8 per evitare 6 7 82 per evitare 2 5 8

1 per evitare 1 2 3

Si ottiene così la successione

2 3 4 5 6 7 8 9

in cui c'è tuttavia la progressione aritmetica 1, 5, 9. Perciò, che 4 e 6 abbiano lo stesso colore o uncolore diverso, esiste sempre una progressione aritmetica rossa o blu.

78 LE SCIENZE n. 265, settembre 1990 LE SCIENZE n. 265, settembre 1990 79

I concetti della teoria di Ramsey possono essere applicati a problemi geometrici. Se i latidegli esagoni sono tutti lunghi 0,45 unità (l'unità è arbitraria), due punti interni a unesagono distano tra loro non più di 0,9 unità. Ogni esagono è di un colore scelto tra sette,in modo che due esagoni dello stesso colore non distino mai tra loro meno di 1,19 unità.Tra due punti dello stesso colore non c'è mai una distanza esattamente uguale all'unità.Nessuno è riuscito a stabilire se si possa colorare il piano con sei colori in modo che tradue punti dello stesso colore non ci sia mai una distanza esattamente uguale all'unità.

La teoria di Ramsey e il tris

Nel 1926 Bartel L. van der Waerden dimostrò che se n è un intero abbastanza grande e se si scrivonoi numeri da 1 a n usando due colori ad arbitrio, esiste sempre una progressione monocromatica conun certo numero di termini. Nel 1963 Alfred W. Hales e Robert I. Jewett scoprirono quello che risultòessere il punto essenziale del teorema di van der Waerden studiando il gioco del tris. Benché il trisclassico, in cui si devono allineare tre simboli uguali, possa risultare noioso, il tris tridimensionale, incui si devono allineare quattro simboli uguali, è molto avvincente. Il campo del gioco tridimensionalecontiene 64 celle disposte a cubo. I giocatori riempiono a turno le celle con un cerchio o una crocefinché uno dei due riesce a occupare quattro celle in fila e vince. Talvolta il tris bidimensionale e quellotridimensionale danno luogo a una patta. Che cosa si può dire dei tris a più di tre dimensioni? Esistequalche versione a n dimensioni in cui si debbano collocare k simboli in fila, che porti sempre alla vittoriadi uno dei giocatori?

Hales e Jewett dimostrarono che se il numero n di dimensioni è abbastanza grande, si può sempretrovare una versione da k simboli in fila che non dà mai una patta. Per esempio, comunque venganocollocati i cerchi e le croci in una versione tridimensionale da tre simboli in fila, o tre cerchi occupanouna fila o tre croci occupano una fila.

Il teorema di van der Waerden può essere ricavato dal risultato di Hales e Jewett sfruttando un'ope-razione che trasforma le file del tris in progressioni aritmetiche. Consideriamo una partita a tris tridi-mensionale da tre simboli in fila:

2

3

2 X 2 X 2 X

3 3 3

1 23

l 23

1 23

Le coordinate delle croci in questa combinazione vincente sono 121, 222 e 323, che formano unaprogressione aritmetica. Si può dimostrare che qualunque combinazione vincente, trasformata conquesto metodo, fornisce una progressione aritmetica.

riguardava le progressioni aritmetiche.Come dice il nome, una progressionearitmetica è una successione di numeriin cui la differenza tra due termini con-secutivi è costante. Per esempio la suc-cessione 3, 5, 7 è una progressione arit-metica di tre termini in cui la differenzatra i termini consecutivi è due. Un casoparticolare del problema che attirò l'at-tenzione di van der Waerden è il seguen-te: se ciascun intero da 1 a 9 è scritto suuna pagina o in rosso o in blu, è semprevero che tre numeri rossi o tre numeriblu formano una progressione aritmeti-ca? La risposta si trova nel riquadro allapagina precedente.

Van der Waerden si cimentò con lageneralizzazione seguente: se n è un in-tero abbastanza grande e se ogni interoda I anè scritto ad arbitrio in rosso o inblu, esiste sempre una progressione arit-metica monocromatica con un certo nu-mero di termini. Questo enunciato puòessere considerato come il teorema diRamsey per le progressioni aritmetiche,benché in genere vada sotto il nome diteorema di van der Waerden.

Van der Waerden si assicurò l'aiutodei colleghi Emil Artin e Otto Schreier.In seguito scrisse: «Andammo nell'uffi-cio di Artin, al Dipartimento di matema-tica dell'Università di Amburgo, e cer-cammo di trovare una dimostrazione.Tracciammo qualche diagramma sullalavagna. Avevamo quelle che in tedescosi chiamano Einfiille: idee improvviseche vengono fulminee alla mente. Più

volte queste nuove idee impressero unasvolta alla discussione e alla fine una diesse portò alla soluzione». Risultò co-munque che van der Waerden non pote-va dimostrare la congettura per due co-lori senza dimostrarla allo stesso tempoper un numero arbitrario di colori.

Nella dimostrazione van der Waerdensfruttò una forma particolare di induzio-ne matematica. La forma comune, dettainduzione semplice, consiste in due pas-si. Dapprima si dimostra che il risultatovale per qualche valore piccolo, peresempio due. Poi si dimostra che se ilrisultato vale per un valore qualunque,allora vale anche per il valore successivo.Ciò comporta che esso vale per tre, quat-tro e così via. I risultati si susseguonocome in una fila infinita di tessere di do-mino che cadono una di seguito all'altra.

Allo scopo di dimostrare il teorema diRamsey per le progressioni aritmetiche,van der Waerden usò un tipo di induzio-ne più sottile, l'induzione doppia. Fecel'ipotesi che per un qualunque numerodi colori fissato esista un numero n taleche, se ciascun intero da 1 a n viene scrit-to in uno di questi colori, esiste una pro-gressione aritmetica monocromatica, di-ciamo di 10 termini. Da ciò potè alloradedurre che per un numero di colori ar-bitrario fissato esisteva un numero m ta-le che, se ogni numero da 1 a m vienescritto in uno di questi colori, allora esi-ste una progressione aritmetica mono-cromatica di 11 termini. Van der Waer-den dimostrò in generale che la validità

del risultato per k termini e per tutti inumeri di colori comporta la validità delrisultato per k + 1 termini e per tutti inumeri di colori.

Arrivato a questo punto, a van derWaerden bastava dimostrare che il risul-tato vale per qualche valore piccolo di k.Se il numero degli interi supera di uno ilnumero dei colori, ci sono sempre dueinteri che hanno lo stesso colore: questidue interi formano una progressionearitmetica di due termini. Quindi, se ilnumero degli interi supera di uno il nu-mero di colori, esiste sempre una succes-sione aritmetica monocromatica di duetermini. Ora l'insieme infinito delle tes-sere di domino con due termini fa caderel'insieme infinito con tre termini, che asua volta fa cadere l'insieme infinito conquattro termini e così via.

Dopo aver dimostrato il teorema diRamsey per le progressioni aritme-

tiche, van der Waerden applicò le cono-scenze acquisite al problema seguente:qual è il minimo valore di n per cui esistecertamente una progressione aritmeticamonocromatica, diciamo di 10 termini,se ciascuno dei numeri da l an è scrittoad arbitrio in rosso o in blu? Il migliorvalore che van der Waerden riuscì a tro-vare era così grande che non può esserescritto nella notazione ordinaria. Era piùgrande di un miliardo, e anche più gran-de di 10 elevato a un miliardo.

In effetti, per riuscire a esprimerequesto risultato i matematici ricorro-no a una successione di funzioni notacome gerarchia di Ackermann. La primafunzione della gerarchia si chiama sem-plicemente DOPPIO (x). Come dice ilnome, questa funzione raddoppia il nu-mero x; pertanto, DOPPIO (1) = 2 eDOPPIO (50) = 100. La seconda fun-zione, ESPONENTE (x), viene espres-sa come 2 elevato alla , x; e dunqueESPONENTE (3) = 8. E anche possi-bile esprimere ESPONENTE in terminidi DOPPIO. Per esempio, per trovareESPONENTE (3), si raddoppia 1, poi siraddoppia il risultato e poi si raddoppiadi nuovo il risultato. In effetti ciascunafunzione della gerarchia di Ackermannè definita nei termini della funzioneprecedente.

Quindi la terza funzione della gerar-chia, TORRE (x), può essere espressamediante ESPONENTE. Per esempioTORRE (3) è 2 elevato alla 2 elevatoalla 2, cioè 2 alla quarta, che è 16.TORRE (x) si scrive a volte sotto formadi una torre di esponenti

2222

dove il numero di 2 nella torre è x. Maneppure la funzione TORRE (x) cresceabbastanza rapidamente per poter de-scrivere il risultato di van der Waerden.

La funzione successiva, detta infor-malmente WOW (x) (dall'interazionedi stupore), si costruisce cominciando

da 1 e applicando x volte la funzioneTORRE. Perciò

WOW (1) = TORRE (1) = 2WOW (2) = TORRE (2) = 4WOW (3) = TORRE (4) = 65 536

Per trovare WOW (4) dobbiamo calco-lare TORRE (65 536). A questo finecominciamo da 1 e applichiamo la fun-zione ESPONENTE 65 536 volte. Giàapplicando ESPONENTE cinque voltesi ottiene 265 536 , un numero le -cui cifreriempirebbero due pagine di questa rivi-sta. In effetti, un numero che riempissetutte le pagine di tutti i libri e tuttele memorie di tutti i calcolatori sarebbeancora molto più piccolo di WOW (4).

Ma per esprimere il risultato di vander Waerden è necessario definire unafunzione che cresce ancora più rapida-mente. ACKERMANN (x) è la funzio-ne definita dalla successione di fun-zioni DOPPIO (1), ESPONENTE (2),TORRE (3), WOW (4) e così di segui-to. ACKERMANN (x) prima o poi do-mina tutte le funzioni della gerarchia. Ladimostrazione di van der Waerden fornìil seguente risultato quantitativo: se gliinteri 1, 2, ... ACKERMANN (k) ven-gono scritti con due colori, allora esistesempre una progressione aritmetica mo-nocromatica di k termini.

Sembrava mostruoso che questi nu-meri smisurati potessero scaturire da unenunciato così innocente, in cui compa-iono soltanto progressioni aritmetiche.Nel corso degli anni molti matematicitentarono di migliorare la dimostrazionedi van der Waerden, ma poiché nessunoci riusciva cominciò a prendere piede l'i-dea che in qualunque dimostrazione delteorema di van der Waerden fosse ne-cessario usare la doppia induzione e lacorrelata funzione ACKERMANN. Ilogici tentarono con tenacia di fornireargomentazioni a favore di questa tesi.

Nel 1987, tuttavia, il logico israelianoSharon Shelah, dell'Università ebraicadi Gerusalemme, ottenne un risultatoche segnò un notevole progresso. She-lah, che è da molti considerato uno deipiù abili risolutori di problemi tra imatematici contemporanei, riuscì a in-frangere la «barriera» della funzioneACKERMANN dimostrando che se gliinteri 1, 2, ..., WOW (k) vengono scrittiin due colori, allora esiste sempre unaprogressione aritmetica monocromaticadi k termini.

Nonostante la sua formazione di logi-co, Shelah nella dimostrazione non usòalcuno strumento della logica matemati-ca: usò soltanto idee matematiche ele-mentari, ma molto ingegnose. Scrittaper esteso, la dimostrazione occupa circaquattro pagine e in genere gli esperti laconsiderano più chiara della dimostra-zione originale di van der Waerden. Lacosa più importante è che Shelah evitala doppia induzione. Il numero dei coloriviene posto uguale a due (o a qualunquealtro numero) e poi si dimostra un'indu-

zione semplice: se il risultato vale perprogressioni di k termini, vale anche perprogressioni di (k + 1) termini.

I matematici stanno attualmente esa-minando con attenzione la dimostrazio-ne di Shelah per vedere se sia possi-bile migliorarla ulteriormente, dimo-strando il teorema di van der Waerdenin termini di una funzione TORRE oaddirittura ESPONENTE. Uno degliautori (Graham) ha addirittura offertoun premio di 1000 dollari per chi dimo-stri (o confuti) che, per ogni numero k,se si scrivono in due colori i numeri 1, 2,..., TORRE (k) allora deve esistere unaprogressione aritmetica monocromaticadi k termini.

j fondamenti della teoria di Ramsey-L sono dovuti allo stesso Ramsey e aErdós, van der Waerden e molti altri.Ma i ricercatori hanno appena comincia-to a esplorarne le implicazioni. Questateoria indica che gran parte della strut-tura essenziale della matematica consi-ste in numeri e insiemi di enorme gran-dezza, oggetti così smisurati che sonodifficili da capire e da esprimere.

A mano a mano che acquisteremo fa-miliarità con numeri così grandi, trove-remo forse relazioni matematiche in gra-do di aiutare gli ingegneri a progettaregrandi reti di comunicazione o gli scien-ziati a riconoscere determinate configu-razioni all'interno di sistemi fisici di

grandi dimensioni. Oggi, grazie alla teo-ria di Ramsey, siamo in grado di ricono-scere con facilità le costellazioni delcielo notturno. Quali configurazioni po-tremmo mai trovare in insiemi che sonoACKERMANN (9) volte più grandi?

BIBLIOGRAFIA

GLEASON A. M. e GREENWOOD R. E.,Combinatorial Relations and ChromaticGraphs in «Canadian Journal of Ma-thematics», 7, n. 1, 1955.

VAN DER WAERDEN B. L., How theProof of Baudet's ConjectureWas Foundin Studies in Pure Mathematics, a cura diL. Mirsky, Academie Press, Inc., 1971.

SPENCER JOEL (a cura), Paul Erdós:The Art of Counting: Selected Writings,The MIT Press, 1973.

HOFFMAN PAUL, The Man Who LovesOnly Numbers in «Atlantic Monthly»,260, n. 5, novembre 1987.

GRAHAM R. L. e RODL V., Numbersin Ramsey Theory, in Surveys and inCombinatorics, London MathematicalSociety Lecture Notes Series, n. 123,pp. 111-153, 1987.

GRAHAM RONALD L., ROTHSCHILDBRUCE L. e SPENCER JOEL H., RamseyTheory, seconda edizione, John Wiley &Sons, Inc., 1990.

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