La triple La triple hélice hélice ::vers une mécanique vers une mécanique du du collagènecollagène

Lk= -9Tw= -9Wr= 0

Lk= -9Tw= -3.3Wr= -5.7

S. Neukirch & G. van der Heijden

Compétition courbure Compétition courbure / torsion/ torsion

Rigidité decourbure : EI

Rigidité de torsion : GJ

)(21

)(21

)(

)(

22

0

sGJsEIsW

dssWVL

τκ +=

= ∫ élasticité linéaire

EIGJ

=γ

silicone

métal

A.D.N.

collagène

0.67γ ≈

75.0≈γ

5.17.0 ≤≤ γ

hyperélastique

κκ ∂∂

=W

mττ ∂

∂=

Wm

?γ =

GéométrieGéométrie : : enroulement enroulement en triple en triple hélicehélice

θ

GéométrieGéométrie : contact : contact entre les brins entre les brins (incorrect)(incorrect)

Cette erreur apparaît dansdifférents articles, livres(cables, textile)

0θ = 0θ >

GéométrieGéométrie : contact : contact entre les brins entre les brins (correct)(correct)

•inter distance = 2r•contact tangentiel

ligne de contact est une hélice de rayon :

1cos( sin )

2R x

nπ

θ −

décalage en abcisse curviligne : 1 2s sx

R−

=

1 2 3 4 5 6R€€€€r

p€€€€3

2 p€€€€€€€€3

p

x

p€€€€4p€€€€2

q

p€€€€3

2 p€€€€€€€€3

p

x

MécaniqueMécanique de la de la torsadetorsade

(1) Pourquoi sur-enroulement ? 2 2

0

1 1( ) ( )

2 2

L

V EI s GJ s dsκ τ = + ∫

(pour minimiser l’énergie de déformation élastique)

(2) Quel est l’angle de sur-enroulement ?

(3) Quelle est la pression de contact entre les brins ?

Mécanique Mécanique : : obtenir l’équation d’équilibre obtenir l’équation d’équilibre 1/31/3

Approche variationnelle : extremum de l’énergie déformation élastique

( )0

[ , , , ] ( ), ( ), ( ), ( )L

V W s s s s dsθ θ φ φ θ θ φ φ= ∫& & & &

θθ &∂∂

=∂∂ W

dsdW

eqs. Lagrange

V fonctionnelle

W d Wdsφ φ

∂ ∂=∂ ∂ &

Ne donne pasla pression de

contact !

Mécanique Mécanique : : obtenir l’équation d’équilibre obtenir l’équation d’équilibre 2/32/3

bilan des forces : (1) pour chaque brin et puis (2) pour la torsade

Mécanique Mécanique : : obtenir l’équation d’équilibre obtenir l’équation d’équilibre 3/33/3

On impose un type de configuration -> équation devant être vérifiée

3 3 3 3

' 0

' ' 0

'

F p

M r F

M d d u dγ

+ =

+ × =

= × +

r rr rr

r r rr

sin( ) cos

cos

Rr s R

s

ψψ

θ

= −

sins

Rθ

ψ ε=

0 0( , , , , ) 0

( )

( )

R F M

F s

M s

ϕ θ γ =rr

Mécanique Mécanique : : équations d’équilibreéquations d’équilibre

23

32 sin cos cos 2 sin cos 0R R R

n n u f mr r r

θ θ ε γ θ θ ε θ + + − =

22 2

2

1 2 11 cos sin cos2 4

2cos sin sin sin 0

r x xR n

x xn

π θ θ

πθ θ θ

= − − + − − =

33

33

sincos sin

prm u r

B nθ ερ

ρεγ θ θρ

= − − Pression de contact :

( )3, , ,R x uθ

inconnues

n : nombre de brins

système sous contraint !(f,m) : charges

externes

Mécanique Mécanique :: birdcaging birdcaging of a wire rope of a wire rope

33

33

sincos sin

prm u r

B nθ ερ

ρεγ θ θρ

= − − Force de contact :

Mécanique Mécanique :: torsade libre torsade libre

hélice droitehélice gauche

- p€€€€8- p€€€€4- 3 p€€€€€€€€8- p€€€€2

p€€€€8p€€€€4

3 p€€€€€€€€8p€€€€2

q

- 3

- 2

- 1

1

2

3gru3

p€€€€8p€€€€4

3 p€€€€€€€€8p€€€€2

q

- 3

- 2

- 1

1

2

3

pr 3€€€€€€€€€

B

Cable à 3 Cable à 3 brinsbrins : : contrainte topologiquecontrainte topologique

( )k w rL T torsade W= +

( ) ( )k w w rL T torsade T boucle W= + +

torsade

boucle

Biologie Biologie du du collagènecollagène

• Protéine fibreuse (os, tendon).

• 25% de la masse protéinique

du corps humain.

• Filaments extra-cellulaires

(au contraire de l’actine, kératine).

• Hiérarchie : organisation de fibres.

• Tropocollagène : triple hélice.

• Chaque brin compte 1050 résidus.

• Chaque brin est lui meme une

hélice : polymère (Gly-X-Y)n

CollagèneCollagène : : les résidusles résidus de de GlycineGlycine

τφ ˆ' −=ˆ 0.0732 /rad Aτ = &3.3 résidus /tour

Gly

Gly

Gly

X

X

X

Y

Y

Gly

Gly

Gly72

17,1

6Α

s

CollagèneCollagène : estimation du rapport : estimation du rapport des rigidités des rigidités ((brinsbrins))

3 ˆ' 'cos sin cos 0.0027 /u rad ARε

φ ψ θ τ θ θ= + = − + = − &

2

3sin 2 sin

0.0062 /cos 2

u rad AR

θ θγ ε

θ= − = − &

silicone

métal

A.D.N.

collagène

0.67γ ≈

75.0≈γ

5.17.0 ≤≤ γ

?γ =

hélice primitive : plus facile àcourber qu’à tordre

pas de la triple hélice : 85.5 0.203z A radθ∆ = ⇒ =&

2.3γ =

rayon de la triple hélice : 2.8R A= &2tanz

Rπθ

∆ =

Diffraction rayons X (Bella & al., 1994)

CollagèneCollagène : modules de : modules de rigidité rigidité en extension et torsionen extension et torsion

0 3 00

: cosply ply plyM C u C B θθ

∂Ξ= =

∂

( )( )2

33, , , 2 sin cos cos2 sin cos 0

R R Rf m f m n n u f m

r r rθ θ ε γ θ θ ε θ Ξ Θ = + + − =

00 2 2

00

cos:

sinply ply ply

BF K e K

Rθθ θ

∂Ξ= =

∂

? ?ply TROPO COLB γ −= ⇒ =

relation nonlinéaire entre charges externes et déformations :

linéarisation autour de (f,m)=(0,0) :

rigidité en torsion :

rigidité en extension :