La Turbulencia

7/28/2019 La Turbulencia

1/22

L A T U R B U L E N C I A

Aqu vamos a considerar algunas de las ideas mencionadas conanterioridad para esbozar lo que constituye uno de los desafos msgrandes de la fsica, el problema de la turbulencia. El problemaaparece en casi todas las ciencias experimentales y, por suformulacin, en las matemticas. La "solucin" a este problema haeludido a matemticos, ingenieros y fsicos por ms aos de los queel decoro permite aceptar. Los intentos de abordar el problema hangenerado o estimulado ramas de las matemticas, han introducidomltiples ideas en fsica y han generado una gran variedad demtodos matemticos y experimentales; todos de una utilidadnotable en otras disciplinas. Muchos cientficos sobresalientesestudiaron el problema y luego prefirieron cambiar de tema paralograr las contribuciones que los hicieron figurar en la historia. Porintentos no ha quedado, si bien las cosas no estn como alprincipio.

Al iniciarse la dcada de los aos setenta se abrieron variasperspectivas tericas y experimentales de muy diversa ndole. Cadauna por separado pareca ser la adecuada para atacar en formadefinitiva el problema. Cada una de ellas inici una etapa deintenso, extenso y excitante trabajo en todo el mundo. Combinandoideas y mtodos recin desarrollados en las matemticas, desde lasmuy abstractas como la topologa diferencial, hasta las msprcticas como el anlisis numrico (aunado a la construccin decomputadoras cada vez ms grandes y veloces), se revisaronexperimentos clsicos desde una nueva perspectiva y se

encontraron elementos que estaban a la vista, pero que no sehaban buscado o que simplemente se ignoraban invocandodiversos argumentos. Tambin, nuevas tcnicas experimentales ycuidadosas observaciones hicieron cambiar algunas ideaspreconcebidas y el enfoque terico que sistemticamente se habaestado siguiendo. As, se revisaron las teoras y repitieronexperimentos. Si bien cada una de las nuevas ideas y mtodos,tericos y experimentales, siguen en una efervescente actividad, eloptimismo inicial sobre la comprensin del fenmeno de laturbulencia ha ido decayendo con el tiempo en vista de los exiguosresultados especficos. Muchas cosas han quedado ms claras y loshorizontes por explorar se han abierto en forma sorprendente.

Algo claro e irreversible que sucedi a lo largo de este proceso, fueel inicio de un cambio en la actitud de la mayora de los fsicos; enlos que no se ha dado es porque no lo requeran o porque todavano lo pueden aceptar.

El enfoque reduccionista de la ciencia, llevado a su culminacin enla fsica, busca explicar todos los fenmenos con base en unconjunto reducido de leyes fundamentales. As, la materia seredujo, pasando por las molculas y los tomos, a las partculas


2/22

elementales, los cuarks. De todas las fuerzas en la naturaleza,pasando por las elctricas, las magnticas, las nucleares y lasgravitacionales se lleg (casi) a una sola, la gravitacional - cuntica(supersimtrica). Logrado esto, diran (y aun dicen) pomposamentealgunos, el resto es un problema de aplicaciones; esta imagen vadiluyndose poco a poco ante los hechos y la humildad regresa al

lugar de donde no debi salir.Todava hace poco se deca que las leyes bsicas haban sidoencontradas en la primera mitad del siglo XX y que con esto secerraba una etapa gloriosa del pensamiento humano (algo parecidose pensaba hace cien aos con la mecnica newtoniana y elelectromagnetismo de Maxwell). Aun suponiendo que conocemosestas leyes fundamentales, en forma clara y precisa, lo que seradecepcionantemente pretencioso, algo ha cambiado. Se ha puestode manifiesto que esto no es suficiente y que para explicar elmundo se requiere mucho ms.

El argumento es ms o menos el siguiente. La direccin opuesta al

reduccionismo, creciendo en grado de complejidad, ha tradosorpresas que muy pocos prevean. A partir de casi cualquier puntoen esta direccin aparecen nuevos fenmenos, ricos y variados, conelementos ausentes en el nivel anterior, ms sencillo; se generannuevas simetras y emergen formas nuevas de organizacin. Si a unnivel de descripcin parece slo haber desorden, al siguienteaparece orden en el caos, como en un acto de magia medievaldonde los encantamientos son las fuerzas ocultas que nos desafana descubrirlas. El comportamiento de grupos de tomos o molculasparece tener poco que ver con sus elementos constituyentes,cmulos de estos grupos tienen an menos memoria de suselementos bsicos. Estos cmulos se autorganizan, duplican y

evolucionan solos; confabulados en grupos de cmulos cada vezms grandes llegan a producir patrones de flujo cuya belleza adornala superficie de algunos planetas, a ladrar en las esquinas oscurasde colonias olvidadas o se atreven a construir mquinas queempiezan a pensar sobre ellas mismas...

Comienza a verse claro que el buscar las leyes bsicas de losconstituyentes ltimos de la materia es tan fundamental comoinvestigar las leyes que rigen los procesos que se dan con elaumento en la complejidad de los sistemas. Casos caractersticosson los estudios sobre los mecanismos que dan lugar a laautorganizacin, a la formacin de patrones, a la aparicin de

simetras o a la desaparicin de stas y al orden que nace cada daen lo que slo parece ser el caos...

Como siempre, cuando parece que se alcanza el horizonte, lanaturaleza nos muestra que hay otro igualmente lejano, nuevo,ms rico que el imaginado, ms estimulante para ser estudiado. Lainvestigacin fundamental sigue tan abierta y hay tanto por hacercomo lo haba antes del descubrimiento de las leyes bsicas. Losgrandes pasos que se han dado en el avance del conocimiento son


3/22

sobre un camino que no tiene final. En el mejor de los casos, elcamino se volver infinitamente autorreferente, como la espiral deArqumedes o los conjuntos de Julia. Con esta frase crpticapodemos ahora regresar al asunto que nos rene.

Cul es el problema y qu sabemos de l?

Todos los flujos que se observan pueden clasificarse en dos grandesgrupos, los laminares y los turbulentos. Los casos ms sencillos queejemplifican a los primeros son el flujo uniforme, donde la velocidaddel fluido es la misma en todos lados, y el flujo de Couette plano,ilustrado en la figura IV. 3. Los hay ms complicados, como los queaparecen en las figuras II. 7, II. 8, IV. 2, IV. 4 y IV. 7. En todosestos el fluido se mueve en lminas y parece obedecer reglas ms omenos claras. Estudiando los flujos laminares es como se hanentendido los principios bsicos que describen a los fluidos. Por otraparte, son los flujos turbulentos los que dominan el foro.

Cuando el movimiento de un fluido es irregular y complicado se dice

que el flujo es turbulento. En la figura V.1 se muestra un chorroturbulento de agua; aunque muy familiar, la complicada estructurailustra las caractersticas de la turbulencia. Esta definicin, comotantas otras en nuestro negocio, no parece muy precisa: podamoshaber dejado el pudor a un lado y caracterizar simplemente a laturbulencia como el estado no- laminar. sta es parte de ladificultad.

Figura V. I. Chorro turbulento de agua.

Cundo es un flujo lo suficientemente complicado como para serbautizado como turbulento? Como con el estado mental de laspersonas, es relativamente fcil distinguir los casos extremos. Aquienes estn totalmente desquiciados los confinamos a unahabitacin acolchonada, dejando fuera a los normales (?), pero


4/22

siempre nos preocupa distinguir la ubicacin de la lnea que separalos casos marginales. A los "fluidicistas" les pasa un poco lo que alos psiquiatras (con la nica ventaja de no ser sujetos de su propioestudio).

Una caracterstica del estado turbulento es la completairreproducibilidad de los detalles de un flujo; hay un elementoaparentemente catico que es inherente a este estado demovimiento. Al abrir completamente la llave de un lavaboobservamos un chorro de agua que cae, choca con el fondo delvertedero, se rene con la que cay previamente y, movindose demanera irregular, se va por el desage. Si midiramos algnparmetro del flujo con mucha precisin, como la velocidad en elchorro encontraramos que conforme transcurre el tiempo, talparmetro va cambiando de valor y da lugar a un patrn como elque se muestra en la figura V.2. Si despus medimos muchasveces, abriendo la llave de la misma forma, esperando el mismotiempo y a la misma distancia de la boca de la llave, el resultadoser muy parecido al anterior, pero nunca igual.

Figura V. 2. Grfica de la velocidad (vertical) contra el tiempo (horizontal).

El valor medio de la velocidad es vo.

No slo la velocidad cambia en esta forma irregular. Casi todas lasvariables hacen lo mismo. Por ejemplo, supongamos que sedetermina el gasto, que es la cantidad de agua que sale cadasegundo, manteniendo todo fijo. El resultado sera de -digamos- unlitro cada diez segundos (100 ml/s), aproximadamente; a vecesunos mililitros ms, a veces otros menos. Es decir, flucta alrededorde un valor promedio, el de 100ml/s. El asunto no tiene remedio,

siempre es as cuando el valor promedio de alguna cantidad excedede cierto valor, llamado crtico. Para ciertos casos muy simples seha logrado predecir razonablemente el valor crtico que debealcanzar cierto parmetro (usualmente el nmero de Reynolds)para que el flujo pase de un movimiento laminar a uno turbulento.Es decir, que se pierda completamente la estabilidad del flujo (sevuelva un tanto loco). Por otra parte, el describir estasfluctuaciones, que podemos observar y cuantificar, es uno de losaspectos ms difciles de abordar que tiene el problema, ya que se


5/22

trata de poderlos predecir, no slo de medirlos; la medicin es hoyen da un trabajo de rutina en muchos laboratorios, si bien esnecesaria una tecnologa relativamente complicada.

Los cientos de trabajos que se publican sobre estudios tericos yexperimentales de la turbulencia, cada ao y desde hace muchasdcadas, hacen que una resea de los avances logrados seconvierta en una obra de volmenes. El uso de las ms variadastcnicas experimentales y matemticas las hace, adems, de difcillectura aun para los especialistas. Sin embargo, algunas de lasideas ms viejas y ms recientes, que comparten elementos, nospermiten asomarnos a este mundo agitado y convulso quellamamos turbulencia.

V.1. LA LEY DE KOLMOGOROV

Lewis Fry Richardson (1881-1953), uno de los pioneros de lameteoroga moderna y miembro representativo de la tradicincientfica inglesa, estudi la dinmica atmosfrica y, desde luego, se

enfrent con la turbulencia, siempre presente en el monumentallaboratorio de la atmsfera. En un poema sencillo, que todava secita en los textos, resumi lo que Da Vinci plasm en sus lienzos alobservar el fluir de las aguas y lo que los cientficos creen quesucede en un fluido excitado.

Big whorls have little whorls,

which feed on their velocity;

and little whorls have lesser whorls,

and so on to viscosity

(in the molecular sense).

Vrtices grandes tienen vrtices mschicos,

nutridos por su velocidad.

Vrtices chicos tienen vrtices ms


6/22

chicos,

as hasta la viscosidad

(en el sentido molecular).

Dejando a un lado el adagio latino de "traductor, traidor!", elcontenido del verso expresa el proceso que parece sufrir la energaque se le comunica a un fluido para mantenerlo en estadoturbulento, el llamado modelo de la cascada de energa.

Imaginemos un tanque con agua, a la que agitamos con una paletade cierto tamao (escala). Al mover la paleta se producen vrticesde la misma escala. Observamos que estos vrtices migran y sedesintegran, generndose en el proceso otros vrtices de unaescala menor. Este mecanismo se contina de una escala a otra,

hasta que la escala es lo suficientemente pequea como para que elmovimiento de los vorticillos resultantes sea dominado por losefectos de la friccin interna del fluido, la viscosidad. Ah, lospequeos remolinos comienzan una etapa de decaimiento,disipndose hasta desaparecer; la longitud tpica de esta ltimaescala es de fracciones de milmetro.

De acuerdo con estas ideas, la energa pasa de una escala a otra,como en una cascada en la que el agua cae de un nivel a otro,perdiendo altura (energa potencial) pero ganando movimiento(energa cintica). En el fondo de las escalas el movimiento seconvierte en calor, disipndose la energa, y queda el fluido en

reposo. En la medida en que se siga agitando la paleta (inyectandoenerga al fluido) se podrn apreciar las estructuras en las distintasescalas, siendo la ms pequea la ms difcil de ver.

Por consiguiente el estudio de la dinmica de vrtices es uno de losms importantes en los trabajos de turbulencia. El objetivo esentonces entender cmo se generan, cmo interaccionan entre s,cmo se rompen y, finalmente, cmo decaen. Algunas de las teorasms comunes abordan estos problemas desde diversos puntos devista, tratando de encontrar cantidades que se conserven en esteproceso y estudiando la forma en que van cambiando otras, alpasar a travs de las distintas escalas.

Uno de los resultados ms clebres en la teora de la turbulencia sedebe a Andrei Nikolayevich Kolmogorov (1903-) y a A. M. Obukhov,quienes obtuvieron el mismo resultado, en forma independiente, en1941. La importancia de la expresin se debe a que es uno de lospocos resultados generales y cuantitativos y a que es vlida paratodo flujo turbulento isotrpico y homogneo. Que la turbulenciasea homognea significa que se ve igual si nos trasladamos adistintos puntos del fluido; que sea isotrpica quiere decir queparece igualsi vemos en cualquier direccin. Para que lo anterior


7/22

sea (aproximadamente) cierto se requiere que la regin en estudiose encuentre lejos de objetos o de las paredes que contienen alfluido; se dice entonces que la turbulencia es localmente isotrpica.Esta simplificacin fue introducida por Geoffrey Ingram Taylor(1886-1975) en 1936. Muchas ideas fundamentales en la dinmicade fluidos moderna fueron propuestas por Taylor en los profundos

trabajos que hizo a lo largo de su prolfica carrera cientfica.Kolmogorov, quien era un distinguido matemtico sovitico,fundador de la teora moderna de la probabilidad, logr atraer laatencin de numerosos colegas hacia la teora de la turbulencia. Alver la naturaleza fsica, ms que matemtica, de la contribucin deKolmogorov, la mayora opt por volver a sus intereses originales.

Curiosamente, el mismo resultado fue obtenido en 1948 por tresfsicos del ms alto nivel, en forma independiente y por caminosdiferentes. Werner Karl Heisenberg (1901-1976) y Karl Friedrichvon Weizsacker (1912), durante su detencin en Inglaterra conotros cientficos alemanes, y Lars Onsager (1903-1976), en los EUA.

Como ha sucedido en otros casos, la ley descubierta por estosinvestigadores deba llevar como nombre un anagrama con susiniciales, algo como wookh; afortunadamente no fue as.

La famosa expresin establece en forma cuantitativa variosaspectos relacionados con la cascada de energa propuesta porRichardson. Para percibir la esencia del resultado seguiremos aKolmogorov en su razonamiento. Empezaremos por formular elresultado, que parece ms un criptograma de la Guerra Fra queuna descripcin de lo que puede pasarle a un fluido. Despus,intentaremos descifrarlo.

La ley de los dos tercios de Kolmogorov, como se le conoce, afirmalo siguiente. En un flujo turbulento, la autocorrelacin develocidades entre dos puntos separados por una distancia l, dentrodel subintervalo inercial, es igual a C( l) 2/3; C es una constantenumrica universal y es el flujo promedio de la energa (porunidad de masa). Todo indica que para entender el enunciadoharan falta estudios serios de paleologa. Realmente no es as, essuficiente con algo de fsica y de matemticas; para apreciar elsabor basta un poco de paciencia.

La cascada de energa "a la Richardson", sugiere la existencia deuna serie de escalas a travs de las cuales la energa transita, hastadisiparse en calor. En la escala ms grande, las estructuras(vrtices) llevan "impresa" la forma en que fueron generadas.Chorros y estelas ejemplifican este hecho; cada uno parece estarestructurado de manera muy distinta. A este nivel, son aspectoscomo la geometra del sistema los que definen el tamao y la formade los vrtices portadores de la mayor parte de la energa. En elotro extremo, los vorticillos ms pequeos consumen toda laenerga al disiparse por efecto directo de la viscosidad. En esteproceso de cascada, en el que las estructuras se van


8/22

descomponiendo en otras ms pequeas, el flujo va perdiendo lamemoria del mecanismo generador de la turbulencia.

Con estas ideas en mente, Kolmogorov introduce su primerahiptesis. Propone la existencia de un intervalo de escalas en el queel comportamiento turbulento es universal (olvid sus orgenes...).Es decir, el flujo turbulento es homogneo, isotrpico yestacionario. Este ltimo atributo indica que, en promedio, el estadono cambia con el tiempo; la amnesia es permanente, digamos.Adems, nos asegura el abstracto pensador, en este intervalo lascosas no pueden depender ms que de dos parmetros: el flujo deenerga ( ) que se le inyecta al flujo para mantenerlo agitado (algoas como el sufrimiento que experimenta el que mueve la paleta osopla el chorro) y la viscosidad (v), que caracteriza la disipacin dela energa (el calentamiento del fluido).

Hecha esta suposicin, recurre a algo muy ingenioso. Estima eltamao de la escala mxima para la cual los efectos de la friccintodava desempean un papel. Al efecto demuestra que slo hay

una manera de combinar los parmetros y vpara que formen unalongitud, as de simple! (slo con propsitos morbosos cito elresultado: ( )-1/4 v3/4). La escala as determinada, que con sumaoriginalidad fue bautizada de Kolmogorov, se denota por .

Entonces - se atreve a postular de nuevo- a escalas mayores que no hay disipacin, por lo que la viscosidad debe ser una cantidadirrelevante. De esta manera, hay una zona de escalas(subintervalo) en la que vdebe desaparecer, quedando como elnico parmetro importante. La energa inyectada para mantener laturbulencia se va transfiriendo a escalas cada vez ms chicas, hastaaparecer una envidiable amnesia. Sigue pasando a escalas todava

ms pequeas, hasta que la viscosidad aparece en la escena,iniciando su destructivo papel, y luego el final fatal, que a todo lellega. Como la energa slo transita por estas escalas intermedias,al subintervalo se le llama inercial, como de paso!

As, en la traduccin de la ley de los dos tercios se aclara un poco lode subintervalo inercial y el significado de . Sigamos adelante conla interpretacin.

En un flujo turbulento la velocidad cambia (flucta) en el tiempo yen el espacio. Es decir, al medir la velocidad en un punto fijo delespacio, conforme transcurre el tiempo, se obtienen datos como losque se muestran en la figura V.2. Un patrn semejante se obtiene sise mide la velocidad, simultneamente, en varios puntos. Desdeluego, el promedio de la fluctuacin es cero; igual aumenta quedisminuye, o se mueve a uno u otro lado.

Qu tan independiente es el valor que tiene la velocidad en unpunto del que tiene en otro punto o del valor que tom tiempoantes? La respuesta a esta pregunta se encuentra en laautocorrelacin de las velocidades, espacial o temporal,respectivamente. Nos dice cmo estn (cor)relacionados los valores


9/22

de la velocidad (el prefijo auto indica que es la correlacin de unacantidad dada consigo misma). Si los puntos estn muy cercanos,es de esperarse que exista alguna conexin entre los valores de lavelocidad, mientras que si estn muy separados probablemente notendrn relacin alguna. En lenguaje tcnico se dice que laautocorrelacin de las velocidades decae con la distancia. Por

ejemplo, mi autocorrelacin temporal de memoria es de cortoalcance; hay quienes aseguran que no pasa mucho tiempo para quemis recuerdos sean cada vez ms vagos...

Regresando a la ley de los dos tercios, podemos resumirla de lasiguiente manera. Primero, existe una escala a partir de la cual elmovimiento turbulento es independiente de la forma en que segener. Segundo, para dos puntos en el fluido separados por unadistancia l, las velocidades estn relacionadas. Tercero, si la escalade l es suficientemente grande, los efectos disipativos (laviscosidad) no desempean un papel determinante. Cuarto, larelacin entre las velocidades (su producto) depende, a lo ms, de

y de la distancia l. Al recapitular hemos introducido dos puntosadicionales. Uno, que la autocorrelacin est definida como elpromedio del producto; aunque es importante este punto, no esnecesario entrar en ms detalles. El otro consiste en proponer ladependencia exclusiva en y l. Si l est en el subintervalo inercial,cualquier cantidad depender slo de , como parmetrocaracterstico del flujo.

El ltimo ingrediente para obtener el resultado de Kolmogorov es elargumento dimensional. Nuevarnente, la nica forma de combinar

y l para que formen el producto de dos velocidades (unaautocorrelacin) es... la escala de Kolmogorov! El factor restanteslo puede ser un nmero (sin dimensiones, igual para los que

miden en pies, que para los civilizados que miden en metros) y, nosabiendo cunto vala, le llam C. Los experimentos indican que suvalor es cercano a 0.5.

Los intentos por extender las ideas de Kolmogorov, Obukhov,Heisenberg, Von Weizscker y Onsager han sido hasta ahorainfructuosos. Las extensiones han requerido de aparatosmatemticos formidables y en ellas el esfuerzo realizado contrastacon los escasos resultados o lo poco significativo que son. Una deellas fue desarrollada por Robert H. Kraichnan, durante los aoscincuenta y sesenta, con tcnicas importadas de la teora cunticadel campo, desarrolladas para el tratamiento de fenmenos

relacionados con las partculas elementales.En un contexto distinto aparecieron los enfoques de la siguientedcada, la de los setenta. Las ideas de estructuras coherentes, deatractores extraos y de fractales generaron un frenes que todavano acaba, aunque el optimismo inicial ha disminuido. An esprematuro hacer una evaluacin justa de la repercusin de las ideasactuales sobre el problema de la turbulencia; todava hay muchasesperanzas y es posible que alguien sepa combinarlas en lasproporciones adecuadas para dar el siguiente gran paso. Con la


10/22

sobriedad y la madurez que slo vienen con el tiempo se podrapreciar la perspectiva con ms objetividad. Veamos en quconsisten algunas de estas ideas.

V.2. ESTRUCTURAS COHERENTES

La tecnologa usada en la investigacin experimental se hamantenido en constante desarrollo a travs del tiempo. Una parteconsiderable de la llamada tecnologa de punta ha sido el fruto delas necesidades especficas de la investigacin en diversos camposde la fsica; tristemente, han sido las aplicaciones a la industria dela violencia las que han sido argumentadas para justificarla y elmotor para su desarrollo.

El uso de computadoras cada vez ms grandes y veloces, deelectrnica cada vez ms rpida y verstil, de sondas mecnicas,pticas y acsticas ms complejas y delicadas han dado lugar a unarevolucin en la forma de hacer experimentos en las cienciasnaturales. Los laboratorios dedicados al estudio de la turbulencia no

son la excepcin, es ms, son un excelente ejemplo. No seraexagerado afirmar que, por ejemplo, el desarrollo de computadorascada vez ms grandes ha tenido como principal promotora a ladinmica de fluidos. Sin embargo, an no existe un problema deturbulencia que se pueda solucionar con la computadora msgrande disponible, aunque ya se empiezan a acercar...

Al iniciarse la era de la electrnica moderna, acoplada a sistemas deadquisicin de datos y tcnicas de medicin y visualizacin, basadasen la ptica de lseres, se llevaron a cabo algunas observacionesque influyeron decisivamente en la investigacin de la turbulencia.Curiosamente, stas se realizaron con mtodos pticos sencillos que

se venan usando por dcadas. El descubrimiento central fue que lamayora de los flujos turbulentos no son tan irregulares como secrea; dentro del evidente caos hay cierto orden en el movimientodel fluido. Al azar, aparecen estructuras con caractersticas biendefinidas estadsticamente: la distribucin de sus escalas, sustiempos de vida (periodos), etctera.

Estos sorprendentes resultados dieron lugar a una reconsideracinprofunda de los experimentos que se venan realizando. Unacalificacin ms cuidadosa de la estructura espacial de cada flujoturbulento se hizo necesaria para llegar a entender lasobservaciones (Figura V. 1).

Nuevamente se repitieron experimentos y se formularon otros paradelinear las propiedades de estas formas semiordenadas queparecan pulular entre el caos. La explosin en la capacidad decmputo, que todava no acaba, vino a dar mayores posibilidades aeste nuevo giro experimental. Las medidas ms extensas que sehacan con anterioridad eran autocorrelaciones de la velocidad, loque daba lugar a que, al observar en dos puntos distintos ypromediar el resultado, se borraran estas estructuras; las medidastendan a registrar estados distintos de estas estructuras que poco


11/22

tenan de relacin unas con otras. Al promediar entre pulpos y niosse obtienen seres que en promedio tienen seis apndices; este datopromedio no parecera ser muy til a un observador externo. As, laforma de medir y sobre todo, de analizar los datos, sufri uncambio de fondo.

Un huracn que se mueve en el Ocano Atlntico, visto desde unsatlite orbital a 300 km de distancia, parece una estructura(vrtice) perfectamente organizada, regular, que se muevelentamente. Para el capitn de una nave camaronera y para susasustados tripulantes, que lo ven en una escala de metros, odecenas de stos, parece un infierno hmedo e irregular que varaviolentamente de un lugar a otro y de un instante al siguiente. Ni loven muy organizado (excepto para ahogarlos) ni lo ven variarlentamente. Esta estructura coherente, vista por el astronauta, estconformada por miles de vrtices ms pequeos en plena algaraba,que sufre el argonauta.

En la figura V.3 se ilustra una de las primeras fotografas que

exhiban estas estructuras coherentes. En sta se pone demanifiesto una estructura bidimensional de vrtices sobre la quehay superpuesta una complicada trama de vorticillos (laturbulencia). El flujo corresponde a lo que se llama la capa demezclado. Dos fluidos, uno arriba y otro abajo, se mueven dederecha a izquierda con velocidades distintas. En este caso se tratade nitrgeno (arriba) y de una mezcla de helio y argn (abajo). Lasvelocidades son de 1 000 cm/s y de 380 cm/s, respectivamente, yla presin es de 8 atmsferas. La fotografa fue tomada por el grupode Anatol Roshko, en la dcada de los setenta, usando un mtodoque podramos llamar sombragrafa.

Figura V. 3. Estructuras coherentes en un flujo turbulento; capa de

mezclado.

El procedimiento para obtener estas fotografas es relativamentesencillo y el fenmeno que lo genera es muy comn. Quien ha vistouna fogata o un montn de brasas encendidas, recordar que lasimgenes que se ven del otro lado parecen bailar; sobre un fondoclaro y uniforme pueden verse ciertas sombras irregulares, comoondas de calor. El efecto es producido por las variaciones que sufrela direccin de la luz al pasar por regiones con temperaturasdistintas. Al aumentar la temperatura del aire, ste se expande,cambia su densidad y tiende a moverse hacia arriba. La luz que vapasando, tan rpido que ni se entera que se mueve el aire, modificasu direccin al pasar de un medio ms denso a otro menos denso;


12/22

decimos que cambia el ndice de refraccin. Las zonas de diferentedensidad, irregulares en forma, generan un patrn tembloroso deimgenes. En el flujo en cuestin, cada uno de los fluidos tiene unndice de refraccin distinto y deja pasar a la luz de diferentemanera. As, en la regin de mezclado turbulento hay unacomplicada combinacin de ambos ndices de refraccin y la luz

sigue estas variaciones. Al poner una pantalla del otro lado del flujose pueden ver los patrones resultantes (una criatura con unacmara fotogrfica de plstico puede hacer el resto).

Es interesante notar que destacados investigadores habanestudiado este flujo y haban determinado todo lo que entonces seconsideraba necesario para caracterizar sus propiedadesestadsticas. Descubrir la existencia, persistencia y evolucin deestas estructuras, en lo que pareca un flujo sin orden alguno, fueuna verdadera revelacin.

La caracterizacin de estructuras coherentes sigue siendo el grantema de actualidad en la investigacin experimental. La parte

terica se encuentra todava en sus inicios, cosa no del todo rara eneste churrigueresco problema. Los intentos por elaborar unaexplicacin cuantitativa de estos fenmenos siguen desafiando a laimaginacin y al colmillo de la comunidad cientfica que se interesaen el problema. Las dificultades se inician desde la forma de definirmatemticamente a estas criaturas que viven en el caos. Sirecordamos que la definicin de un vrtice sencillo nos eludetodava, no es de sorprender que este asunto le quite el sueo ams de uno.

Hay la sospecha fuerte de que una de las mejores formas deacorralar a las elusivas estructuras coherentes es estudiar el

problema en trminos de la vorticidad, y los enfoques tericos semueven en esta direccin. De esta manera, los experimentalestratan de medir la vorticidad y los tericos de ver cmo sedistribuye en el espacio y el tiempo. Aqu, de nuevo, losinvestigadores depositan sus esperanzas en las computadoras. Losexperimentales, para la adquisicin, manejo y anlisis de grandescantidades de datos; sin ellas, este trabajo tomara cientos de milesde aos, de todos aquellos que trabajan en el tema, para un solocaso! A los tericos les pasa algo semejante. Para todos se haconvertido en la herramienta indispensable y la fuente deinspiracin para muchos estudios, desde las simulaciones directasde flujos sobresimplificados hasta el terreno de juego para los

experimentos pensados.El estado actual de esta situacin es todava nebuloso(turbulento!), si bien hay mltiples ideas cualitativas sobre el papelque desempean las estructuras coherentes. Estas ideas platicadasson el motor del trabajo experimental y terico que se puedeconsultar en la bibliografa especializada. La forma de plantearmatemticamente lo que sugiere la intuicin y la informacinacumulada es parte de la tarea para llevar a casa.


13/22

El problema contina abierto y ofrece la posibilidad de ganarse elpan cotidiano a muchos curiosos y necesitados de la ciencia y elconocimiento, ya sea motivados por razones prcticas o estticas.

V.3. ATRACTORES EXTRAOS Y CAOS

Una serie de revolucionarias ideas y de descubrimientos paralelos alos anteriormente descritos, independientes, diferentes yaparentemente desconectados, pero sobre el mismo problemageneral de la turbulencia, ocurrieron en la misma prolfica dcadaen que se descubrieron las estructuras coherentes. Describiremosslo una parte, pero no tocaremos las sugerentes ideas eimportantes teoras como las de Mitchel Feigenbaum, BenoitMandelbrot, Pierre Manneville e Yves Pomeau.

Uno de los antecedentes fue el descubrimiento hecho por otrometeorlogo, Edward N. Lorenz, en 1963. Estaba interesado encomprender ciertos aspectos de la atmsfera terrestre con elpropsito de avanzar en los mtodos para la prediccin del tiempo.

Con esto en mente elabor un modelo muy sencillo para estudiar loque le pasa a un fluido sometido a una diferencia de temperaturasen presencia del campo gravitacional, conocido como el problemade Rayleigh- Bnard. A partir de las ecuaciones bsicas de lamecnica de fluidos, las de Navier- Stokes, introdujo variashiptesis para reducir las ecuaciones a lo que en su opinin antena elementos suficientes para generar una dinmica interesante.Luego, procedi a resolverlo en forma numrica. Cul no sera susorpresa al encontrar que, para ciertos valores de los parmetrosque caracterizaban al problema, la solucin mostraba uncomportamiento errtico. Curiosamente, no tir a la basura losresultados.

Cmo era posible que el resultado de una ecuacin, compuesta portrminos bien definidos y perfectamente regulares, diera lugar a uncomportamiento no determinista? Otros, seguramente, hubierandescartado los resultados y pensado que haba algo equivocado conel mtodo de solucin o con la computadora misma. Para Lorenzhaba algo nuevo y profundo en lo que acababa de encontrar; habadescubierto a los atractores extraos. Pasaron varios aos para quela comunidad cientifica se percatara de la enorme importancia de suhallazgo. Baste decir que gracias a su trabajo, ahora sabemos quenunca podremos predecir el tiempo ms all de siete das. Si omosque se espera buen clima para la semana prxima, podemos

asegurar que es precisamente eso, una esperanza.A la impredictibilidad del clima a largo plazo se le ha dado porllamar el efecto mariposa. La razn para este nombre proviene delhecho de que una pequea diferencia en las condiciones inicialesdigamos, hoy dar lugar a una profunda diferencia a lo que puedeestar ocurriendo tiempo despus. El efecto de la imperceptiblevariacin ir creciendo con el tiempo, acumulndose poco a poco,como una avalancha; para exagerar el punto, se dice que el aleteode una mariposa modificar el clima en unos meses. Desde luego,


14/22

aqu nos referimos a la prediccin detallada de las condicionesmeteorolgicas despus de unos das. Caractersticas burdas opromediadas sobre muchos eventos y muchos aos no se vernmodificadas en forma sustancial por estos pequeos mariposeos; laerupcin de un volcn o la desmesurada produccin decontaminantes en alguna regin hipottica del planeta, no estaran

incluidos entre estos ltimos. La temporada de lluvias ser igual, sipor ello entendemos que es parecida a la temporada del bisbol; notienen fechas fijas y los caprichos de los protagonistas respectivossiempre estn presentes.

Qu es un atractor extrao? Veamos primero qu son los noextraos, por extraos (o triviales) que parezcan.

Si estiramos un resorte con una canica de cada lado y lo soltamosdentro del agua, observaremos que empieza a oscilar y que poco apoco se va parando. Si hacemos la misma prueba fuera del agua,en el aire sucio que algunos respiran, sucede lo mismo, aunque elamortiguamiento ser mucho menor y se tardar ms en

detenerse. Decimos que la disipacin es menor en este caso. Si lopudiramos hacer en el vaco, tardara ms en detenerse;habramos reducido an ms la friccin. Al cambiar el material delque est hecho el resorte por uno ms elstico (ms caro), ladisipacin podra reducirse an ms. A pesar de que nuncapodramos quitar la friccin (disipacin) por completo, podramosver que cada vez tarda ms en detenerse. En condiciones ideales sequedara oscilando ad infinitum. Estas observaciones ilustran elpunto siguiente.

El estado final de un resorte (oscilador) es el reposo total o laoscilacin perenne. Pues que trivialidad!, decimos todos. La

ventaja del ejemplo, que no es el nico, es que todo puede hacersecon un lenguaje matemtico preciso y entonces puede demostrarseque los movimientos posibles tienden (son atrados) a un punto, eldel reposo. Este estado final es un atractory su dimensin es cero.

En el espacio en el que viven estos movimientos, que llamamosvariedades, hay diferentes tipos de atractores: puntos (como en elcaso de osciladores con friccin), curvas (como en el caso de lososciladores no amortiguados, de dimensin uno), superficies (dedimensin dos), etc.; objetos ms o menos simples. Antes deLorenz se crea que todos eran de este tipo y fue entonces queaparecieron los extraos, que resultaron ser cosas (variedades)

conocidas, aunque eran consideradas como curiosidadesmatemticas sin conexin alguna con el mundo real. Baste decirque su dimensin no es ningun nmero entero (si no sern raros).

Para poder imaginar a los atractores extraos es convenientemencionar una de sus principales caractersticas, la de serautosemejantes, lo cual en este caso significa que mientras ms levemos menos ensea, o que ensea lo mismo (por algo sonextraos). Un objeto autosemejante que puede ilustrar(confundir?) la autosemejanza y que tiene una dimensin


15/22

fraccionaria (fractal), es lo que se conoce como el conjunto deCantory se construye de la siguiente manera.

Consideremos el segmento de recta del cero al uno (Figura V.4). Lodividimos en tres partes iguales y quitamos la del centro (segundorengln de la Figura V.4). Ahora, a cada segmento restante lodividimos en tres y volvemos a quitar los tramos centrales (tercerrengln). Luego repetimos este proceso hasta el cansancio y... leseguimos ad nauseam. El resultado es algo que tiene la propiedadde que si lo vemos parece una serie de puntitos con ciertadistribucin espacial que no alcanzamos a distinguir claramente. Sitomamos una parte y la amplificamos cien veces digamos se veuna serie de puntitos con cierta distancia... exactamente igual! Noimporta cunto o cuantas veces amplifiquemos, siempre se verigual!

Figura V. 4. Conjunto de Cantor.

Un atractor extrao, llamado de Henn-Heiles en honor a susdescubridores en un modelo astrofsico, se muestra en la figura V.5.Se han hecho varias amplificaciones que exhiben parte de suestructura. En el problema correspondiente, todos los movimientosson atrados por el atractor.


16/22

Figura V. 5. (a) Atractor de Henn-Heiles. Forma general.

Figura V. 5. (b) Atractor de Henn-Heiles. Amplificacin del recuadro de la

parte (a).


17/22

Figura V. 5. (c) Atractor de Henn-Heiles. Amplificacin del recuadro de laparte (b).

En 1971, David Rouelle y Floris Takens propusieron una nuevateora de la turbulencia basados en el descubrimiento de Lorenz. En1978 Rouelle y Takens, en colaboracin con Steven Newhouse,publicaron una importante extensin a la teora y es la versin queahora se maneja. La propuesta ha permitido cambiar el marcoconceptual desde el que contemplamos el problema de laturbulencia, aunque su utilidad prctica para describir la turbulenciatotalmente desarrollada se ve tan cercana como la colonizacin dela galaxia ms cercana; es cosa de tiempo, un tanto largo, desdeluego. El resultado fue una verdadera explosin de trabajos tericosy experimentales sobre el tema, abrindose por completo un reade investigacin que se haba circunscrito a los iniciados enmatemticas relativamente complejas.

Cul era el dogma aceptado?

Lev Davidov Landau (1908-1968), tal vez el ms brillante fsicosovitico, famoso por sus profundos trabajos en la ms variadagama de temas de la fsica, public en 1944 un clebre artculo. Enste propuso un modelo sobre la forma en que se genera laturbulencia en todos los flujos. En forma esquemtica, la idea eraque si en cierto flujo se iba aumentando el parmetro bsico, como

el nmero de Reynolds, el estado de movimiento cambiara con eltiempo a otro de naturaleza un poco mas complicada. Al seguiraumentando el parmetro de nuevo ocurrira un cambio en laestructura del flujo, y as sucesivamente. A la larga deca, el flujo eslo suficientemente complicado como para que se vea turbulento.

Por ejemplo, en el flujo alrededor de un cilindro, inicialmentelaminar (Figura II. 7 y II. 8), se observa que al aumentar lavelocidad con la que llega el fluido se transforma en otro flujo,


18/22

tambin laminar, con ms estructura. A mayor velocidad losvrtices posteriores se desprenden y aparece una estela hermosa ycompleja, difcil de describir matemticamente (Figura V.6). Alcontinuar el proceso la estela se va complicando hasta versecompletamente turbulenta.

Figura V. 6. Estela detrs de un cilindro circular en flujo uniforme. Lavelocidad del flujo es mayor que en los casos de las figuras II. 7. Y II. 8.

La teora de Landau, de carcter esencialmente cualitativo,prevaleci hasta la dcada de los setenta. Hoy en da tiene slovalor histrico; sin embargo, motiv numerosos trabajos paraestudiar estas transiciones y sirvi para desarrollar diversosmtodos matemticos para atacar el problema. Lo anterior, quepareca perfectamente plausible, fue modificado por Rouelle yTakens; su teora, construida sobre bases conceptuales ymatemticas ms slidas tambin es, por lo pronto, de carctercualitativo. Vencer las dificultades para utilizarla en forma explcitapara hacer predicciones concretas es un proyecto a futuro. Si bienla teora parece sumamente abstracta (matemtica), las ideasfsicas pueden verse con relativa sencillez. Estas pueden resumirseen dos principales.

El primer resultado sobre el que est construida la teora es lademostracin de que las ecuaciones de Navier-Stokes tienendependencia sensible en las condiciones iniciales. Esto quiere decir,en trminos normales, que todo lo que le pasa a un fluido dependede los detalles de su estado inicial. Ms directo, que los fluidostienen muy buena memoria cuando se les excita demasiado. Lo quehacen depende de cmo empezaron.

Esto explica por qu cada vez que se empieza un flujo dentro de untnel de viento, por ejemplo, se observan patrones muy diferentes.Sucede que nunca podemos repetir un experimento exactamente enla misma forma; siempre partimos de un estado muy parecido, perono del mismo. Todo tiene que ver con la forma en que unmovimiento va a evolucionar; la contaminacin del aire en el tnel,la deformacin nocturna del dispositivo mecnico y, podraargumentarse, el humor del investigador. Ernst Mach (1838-1916),uno de los profundos pensadores sobre el quehacer cientfico,


19/22

hubiera estado fascinado por tal resultado; el llamado principio deMach, en pocas palabras, postula la influencia de cada parte delUniverso sobre el resto. Esto, "aunque usted no lo crea", le ocurre alos queridos fluidos; algo as tena que andar pasando.

De hecho, desde el siglo XIX, James Clerk Maxwell fue explcito al

respecto cuando deca: "Es una doctrina metafsica que de lasmismas causas se siguen los mismos efectos... Pero es poco til enun mundo como ste, en el que las mismas causas nunca se repiteny nada ocurre dos veces..." Luego agregaba: "[....] el axioma fsicoanlogo es que de causas semejantes se siguen efectossemejantes. Ahora hemos pasado de la igualdad a la semejanza, dela certeza absoluta a la burda aproximacin [...]; cuando sucede, elcurso de los acontecimientos es estable. Hay fenmenos mscomplicados en los que ocurren inestabilidades [...] que aumentanrpidamente con el nmero de variables relacionadas". Con laintuicin que lo llev al Olimpo de la ciencia, conclua: "[...] elestudio de las singularidades y las inestabilidades, ms que el delas cosas continuas y estables, tal vez elimine el prejuicio en favordel determinismo [...]."

La segunda parte de la receta para cocinar la teora de Rouell-Takens-Newhouse est ligada muy de cerca con el punto anterior.El meollo del asunto radica en que las ecuaciones de Navier-Stokestienen atractores, como casi todas las ecuaciones, pero que resultanser de los extraos; esto sucede en el espacio (variedad) en el quese encuentran sus posibles soluciones. As, el movimiento de unfluido se va transformando en otros al ir cambiando el nmero deReynolds, a la Landau. Pero, y aqu es donde cambian las cosas, alocurrir el tercercambio es muy probable que el flujo sea turbulento.Matemticamente se dice que la solucin que describe el tercer

estado de movimiento est cerca de un atractor extrao. En estascondiciones las cosas se van a ver por dems extraas (o seaturbulentas). Veamos un poco ms de cerca la razn.

Digamos que la forma del atractor es la que se ilustra en la figuraV.5. El estado inicial del fluido corresponde a un punto cualquieraen el papel de la grfica; el punto escogido podra describir unmovimiento regular y sencillo que no cambia en el tiempo.

Ahora cambiamos el nmero de Reynolds (abrimos ms la llave,digamos) lo suficiente como para que el estado de movimientocambie a otro estado (cambiamos de punto en la grfica). Si est

lejos del atractor, desde luego que ser atrado a l. Repetimos elproceso y... se acerca al atractor (como en las novelas de terror).La siguiente ocasin en que repetimos la operacin el movimientocambia, muy probablemente, a uno turbulento. Visto en la grfica,el punto se acerc tanto que empieza a moverse sobre la curvailustrada; va cambiando en el tiempo. Como slo lo podemos vercada cierto tiempo (con la vista, menos de treinta veces cadasegundo), parecer brincar de un lugar a otro, sin ton ni son, siendoque en realidad se mueve sobre el atractor que se muestra.


20/22

Cuando parece que el estado es uno que se registr anteriormente,en realidad es uno parecido que se encuentra en otra parte de lacurva; en una amplificacin parecera estar en una de las lneasadyacentes. En realidad no es ni curva ni superficie..., es unatractor extrao.

Al publicarse la teora, los investigadores pensaron que las cosaseran demasiado abstractas como para tener conexin alguna conlos experimentos. Despus de todo, a pesar de que los autorestenan un reconocido prestigio, se trataba de matemticas muycomplicadas. Al irse traduciendo la teora al lenguaje de losinteresados en el tema, se vio que haba formas de poner a pruebaalgunas de las afirmaciones de la teora.

Varios investigadores se dieron a la tarea de reexaminar, con lasnuevas ideas, algunos flujos conocidos; unos aos despus, JerryGolub y Harry Swinney, experimentales reconocidos en el campo delos superfluidos, haban logrado demostrar que haba un flujo quesegua el camino que insinuaba la teora. Reinterpretando

observaciones anteriores, encontraron que tras de un par decambios, el flujo perda la brjula y su estabilidad; en su locuraexhiba la turbulencia en forma descarada y de la manera esperada.

Los experimentos consistieron en estudiar los patrones de flujo queocurren cuando se pone agua entre dos cilindros concntricos y unode stos se pone a girar (Figura V.7(a)). Este arreglo se conocecomo el flujo de Couette-Taylor, recordando a quien lo estudi porprimera vez y a quien mejor lo hizo, respectivamente. Lo queocurre en este sencillo arreglo es sorprendente.

Figura V. 7. (a) Flujo de Couette-Taylor. Diagrama del arreglo

experimental.

Al ir aumentando la velocidad con la que gira el cilindro interior, conel cilindro exterior fijo, se llega a un valor para el cual el fluido dejade dar vueltas en rbitas circulares alrededor del cilindro. Ahora semueve siguiendo una trayectoria que -puede decirse- est enrolladaen la superficie de una dona contenida entre los cilindros.


21/22

Observando el sistema se aprecian estas donas, bautizadas celdasde Taylor, a todo lo largo del cilindro exterior (Figura V.7(b)); staes la primera transicin. El patrn se hace visible cuando seagregan al agua partculas pequeas.

Figura V. 7. (b) Flujo de Couette-Taylor. Celdas de Taylor.

Al seguir aumentando la velocidad de giro aparece un patrn deceldas de Taylor moduladas. Como si distintas partes de las donasquisieran ir hacia arriba y parte hacia abajo; una especie de ondacongelada se superpone a las celdas de Taylor. Esta segundatransicin se puede apreciar en la figura V.7(c). Luego, se vieneabajo el espectculo y hace su aparicin la turbulencia.

Figura V. 7. (c) Flujo de Couette-Taylor. Celdas de Taylor moduladas.

Un movimiento catico alrededor del cilindro es lo nico quesobrevive del flujo (Figura V.7(d)).


22/22

Figura V. 7. (d) Flujo de Couette-Taylor. Rgimen turbulento.

Como lo indica la nueva teora, despus de un par de transicionesaparece la turbulencia. Desechada la teora de Landau, hered elforo la nuevaprima donna (excepto que ahora no est sola...); peroal igual que con los aplaudidos artistas, deportistas, etc., su tiempodura en tanto llegan los nuevos.

Como dijera hace unos aos Uriel Frisch, destacado fsicocontemporneo: "Yo creo que tenemos un conocimientopeorsobrelo que sucede en un milmetro cbico de agua, que sobre lo queocurre en el interior del ncleo atmico." Sabiendo que se refera alproblema de la turbulencia, como prototipo de esta ignorancia crasaque cargamos sobre los hombros, no puede uno menos que

compartir su visin.Una ancdota sobre este punto la debemos a Sir Horace Lamb(1849-1934), destacado investigador ingls en el campo de lamecnica de fluidos. En un homenaje internacional que se le brindal cumplir los ochenta aos, en 1929, declar lo siguiente: "Cuandomuera, espero ir al cielo. Ah, espero ser iluminado sobre la solucinde dos problemas, la electrodinmica cuntica y la turbulencia.Sobre el primero, soy muy optimista..." En cuanto al segundoesperamos que Lamb haya ido al cielo. Seguramente as sabr larespuesta del primero. Cabe agregar que el primero fue resuelto poruno de los grandes fsicos de este siglo, Richard P. Feynman (1918-

1988), por lo que le fue otorgado el premio Nobel en 1965. Enpalabras de Feynman: "la turbulencia es el ltimo problemaimportante por resolver de la fsica clsica."

Documents

La Turbulencia