L’arithmétique et la beauté des nombres · Khadija Mbarki Deuxième journées mathématiques 19/01/2017 5 / 28. Rappels d’arithmétique La beauté des nombresREMERCIEMENTS Résultats

Rappels d’arithmétique La beauté des nombres REMERCIEMENTS

L’arithmétique et la beauté des nombresDeuxième journées mathématiques

Maths pour tous-Maths utiles18-19/01/2017

Khadija Mbarki1

1Lycée secondaire Imtiez, Tozeur

19/01/2017

Khadija Mbarki Deuxième journées mathématiques 19/01/2017 1 / 28


Plan de la présentation

1 Rappels d’arithmétiqueDéfinitionsRésultats d’arithmétique

2 La beauté des nombresNombre premier poupée russeNombres heureuxNombre d’orLe nombre d’or dans la nature

Le règne végétalLe règne animal

Le nombre d’or dans le corps humainLe nombre d’or et la musiqueLe nombre d’or et ToyotaDécouvertes de Ramanujan

Beauté du nombre πNombre taxicab



Définitions

Division euclidienne

Définition :Soient a un entier et b un entier non nul. La division euclidienne de a par b estl’opération qui associe à a et à b deux uniques entiers q et r définis par : a = b × q + ravec 0 ≤ r < b. a est le dividende, b le diviseur, q le quotient et r est le reste.

Exemples :

63 = 5× 12 + 3 est la division euclidienne de 63 par 5.

63 = 5× 11 + 8 et 63 = 5× 13− 2 ne sont pas de divisions euclidiennes de 63par 5 ! !

Remarque :Si le reste de la division euclidienne de a par b est 0 alors on dit que b est un diviseurde a ou que a est divisible par b ou un multiple de b.



Définitions


Définition :Soient a un entier et b un entier non nul. La division euclidienne de a par b estl’opération qui associe à a et à b deux uniques entiers q et r définis par : a = b × q + ravec 0 ≤ r < b. a est le dividende, b le diviseur, q le quotient et r est le reste.

Exemples :






Définitions


Définition :Soient a un entier et b un entier non nul. La division euclidienne de a par b estl’opération qui associe à a et à b deux uniques entiers q et r définis par : a = b × q + ravec 0 ≤ r < b. a est le dividende, b le diviseur, q le quotient et r est le reste.Exemples :






Définitions

Critère de divisibilité par quelques entiers

Divisibilité par 11 :Un nombre est divisible par 11 si la somme des chiffres situés aux positions paires estégale à la somme ses chiffres situés aux positions impaires . Ceci fonctionneégalement si la différence est divisible par 11.Exemples :a) 2475 Positions paires : 2 + 7 = 9 Positions impaires : 4 + 5 = 9 Sommes :9 = 9,donc OUI, c’est divisible par 11 (2475/11 = 225).b) 5181 Positions paires :8 + 5 = 13 Positions impaires :1 + 1 = 2 Différence :13− 2 = 11 qui est divisible par 11 donc OUI, c’est divisible par 11 (5181/11 = 471).

Divisibilité par 7 :1. On sépare le dernier chiffre du nombre (371) du reste (37).2. On multiplie ce chiffre par 2 (1× 2 = 2) et on le soustrait du nombre qui restait (37)(37 - 2 = 35)3. Si ce nouveau nombre est divisible par 7, le nombre initial est divisible par 7. (Ici, 35est divisible par 7, donc 371 l’est aussi)Note : Il est possible que ce processus doive être répété plusieurs fois, car le résultatest encore trop difficile à diviser par 7.Exemple :On sépare le dernier chiffre : 2961→ 296/1 296− (2× 1) = 296− 2 = 294 Est-ceque 294 est divisible par 7? Trop difficile ! On doit recommencer ... avec 294 au lieu de2961. 294→ 29/4 29− (4× 2) = 29− 8 = 21 Est-ce que 21 est divisible par 7? OUI,donc 294 est divisible par 7, donc 2961 est divisible par 7. (2961/7 = 423).



Définitions

Critère de divisibilité par quelques entiers

Divisibilité par 11 :Un nombre est divisible par 11 si la somme des chiffres situés aux positions paires estégale à la somme ses chiffres situés aux positions impaires . Ceci fonctionneégalement si la différence est divisible par 11.Exemples :a) 2475 Positions paires : 2 + 7 = 9 Positions impaires : 4 + 5 = 9 Sommes :9 = 9,donc OUI, c’est divisible par 11 (2475/11 = 225).b) 5181 Positions paires :8 + 5 = 13 Positions impaires :1 + 1 = 2 Différence :13− 2 = 11 qui est divisible par 11 donc OUI, c’est divisible par 11 (5181/11 = 471).

Divisibilité par 7 :1. On sépare le dernier chiffre du nombre (371) du reste (37).2. On multiplie ce chiffre par 2 (1× 2 = 2) et on le soustrait du nombre qui restait (37)(37 - 2 = 35)3. Si ce nouveau nombre est divisible par 7, le nombre initial est divisible par 7. (Ici, 35est divisible par 7, donc 371 l’est aussi)Note : Il est possible que ce processus doive être répété plusieurs fois, car le résultatest encore trop difficile à diviser par 7.Exemple :On sépare le dernier chiffre : 2961→ 296/1 296− (2× 1) = 296− 2 = 294 Est-ceque 294 est divisible par 7? Trop difficile ! On doit recommencer ... avec 294 au lieu de2961. 294→ 29/4 29− (4× 2) = 29− 8 = 21 Est-ce que 21 est divisible par 7? OUI,donc 294 est divisible par 7, donc 2961 est divisible par 7. (2961/7 = 423).



Définitions

Nombres premiers

Définition :Un nombre est dit premier, s’il admet exactement 2 diviseurs distincts (lui-même etl’unité). 1 n’est donc pas premier !

Crible d’Eratosthène :C’est une méthode de recherche des nombres premiers plus petits qu’un entier natureln donné. Pour ceci, on écrit la liste de tous les nombres jusqu’à n.

On élimine 1.

On souligne 2 et on élimine tous les multiples de 2.

Puis on fait de même avec 3.

On choisit alors le plus petit nombre non souligné et non éliminé ici 5, et onélimine tous ses multiples.

On réitère le procédé jusqu’à la partie entière de la racine de n.

Les nombres non éliminés sont les nombres premiers jusqu’à n.



Définitions

Nombres premiers

Définition :Un nombre est dit premier, s’il admet exactement 2 diviseurs distincts (lui-même etl’unité). 1 n’est donc pas premier !

Crible d’Eratosthène :C’est une méthode de recherche des nombres premiers plus petits qu’un entier natureln donné. Pour ceci, on écrit la liste de tous les nombres jusqu’à n.

On élimine 1.

On souligne 2 et on élimine tous les multiples de 2.

Puis on fait de même avec 3.

On choisit alors le plus petit nombre non souligné et non éliminé ici 5, et onélimine tous ses multiples.

On réitère le procédé jusqu’à la partie entière de la racine de n.

Les nombres non éliminés sont les nombres premiers jusqu’à n.



Résultats d’arithmétique

Infinité des nombres premiers

Théorème d’Euclide sur les nombres premiers

Il existe une infinité de nombres premiers.




Théorème fondamental de l’arithmétique

ThéorèmePour tout entier naturel n ≥ 2, il existe des nombres premiers p1, p2, ..., pr et desentiers naturels non nuls α1, α2, ..., αr tels que

n = pα11 × pα2

2 × ...× pαrr .

De plus, cette décomposition est unique.

Exemples

2961 = 31 × 71 × 471.

1575 = 32 × 53 × 71.




Théorème fondamental de l’arithmétique

ThéorèmePour tout entier naturel n ≥ 2, il existe des nombres premiers p1, p2, ..., pr et desentiers naturels non nuls α1, α2, ..., αr tels que

n = pα11 × pα2

2 × ...× pαrr .

De plus, cette décomposition est unique.

Exemples

2961 = 31 × 71 × 471.

1575 = 32 × 53 × 71.



Nombre premier poupée russe

Nombre premier poupée russe

Le nombre 357686312646216567629137 est appelé nombre premier poupée russe.C’est un nombre premier et il reste un nombre premier même si on supprime n’importequel nombre de chiffres de la gauche !



Nombres heureux

Nombres heureux

En mathématiques, un entier naturel est un nombre heureux si, lorsqu’on calcule lasomme des carrés de ses chiffres dans son écriture en base dix puis la somme descarrés des chiffres du nombre obtenu et ainsi de suite, on aboutit au nombre 1.On peut démontrer qu’en appliquant un tel processus, à partir d’un entier quelconquenon nul, on finit pour boucler sur un des cycles suivants : {1}, ou{4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20}. Un nombre est malheureux quand il boucle sur le cyclelong.Les dix plus petits nombres heureux sont : 1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44. Les autresentiers entre 1 et 44 sont donc malheureux !Les nombres heureux premiers sont 7, 13, 19, 23, 31, 79, etc.



Nombre d’or

Définition

Le "nombre d’or" est le nombre Φ = 1+√

52 = 1, 61803... Les géomètres et les

philosophes ont calculé ce nombre qui donne l’harmonie parfaite d’une forme ou d’uneconstruction. C’est la proportion, définie initialement en géométrie, comme l’uniquerapport entre deux longueurs telles que le rapport de la somme de deux longueurs(a + b) sur la plus grande(a) soit égal à celui de la plus grande (a) sur la plus petite(b) c’est-à-dire lorsque

(a + b)/a = a/b = Φ.

Le découpage d’un segment en deux longueurs vérifiant cette propriété est appeléepar Euclide découpage en extrême et moyenne raison.

Le nombre d’or est désigné par la lettre Φ (Phi), pour faire allusion au célèbre sculpteurPhidias (Vème siècle avant J.C) qui participa à la décoration de l’Acropole à Athènes.



Nombre d’or

Le nombre d’or et la suite de Fibonacci

La suite de Fibonacci est une suite d’entiers dans laquelle chaque nombre est lasomme de deux nombres qui le précèdent. Ses premiers nombres sont : 0, 1, 1, 2, 3,5, 8, 13, 21, etc.

On remarque que le rapport de deux termes consécutifs est alternativement inférieuret supérieur au nombre d’or. Ce rapport tend vers le nombre d’or lorsque le rang destermes tend vers l’infini.



Le nombre d’or dans la nature

Le règne végétal

Il existe un très grand nombre de fleurs comportant cinq pétales régulièrement répartistelle que la geranium rivulare. Les extrémités de ces pétales sont placées auxextrémités d’un pentagone régulier.

Les nombres de Fibonacci se manifestent dans la disposition des rameaux sur lepédoncule d’une plante au cours de son développement




Fleur de tournesol

On distingue des spirales sur beaucoup de végétaux . Ce qui est étonnant, c’est que lasuite de Fibonacci apparaît dans ces spirales. Une fleur de tournesol est constituée dedeux groupes de spirales : qui comptent souvent 21 spirales dans un sens et 34 dansl’autre.




Pomme de Pin

La pomme de pin montre clairement les spirales de Fibonacci : 8 vertes dans un sens,13 rouges dans l’autre sens. 8 et 13 sont deux termes consécutifs de la suite deFibonacci : 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13. Ses écailles sont alignées selon la spirale de Fibonacci :on repr ésente les 4 coins des écailles de la pomme de pin par des points. Lorsqu’onrelie ces points, on obtient des spirales qui tournent vers la droite et d’autres vers lagauche.




L’ananas

On le retrouve ainsi dans l’ananas. Les écailles que l’on voit sur ce fruit forment destermes successifs de la suite de Fibonacci.




L’exemple des abeilles

En remontant les générations, on trouve donc des nombres d’ancêtres égaux auxnombres de la suite de Fibonacci. On remarque également qu’à chaque génération,les nombres de femelles et de mâles sont deux nombres consécutifs de cette suite.




L’étoile de mer

On peut également trouver un rapport entre les étoiles de mer et le nombre d’or du faitque l’étoile de mer est en effet un pentagone régulier étoilé qui lui même est en relationdirecte avec le nombre d’or.




L’ammonite

L’enroulement régulier d’une ammonite se fait suivant une spirale logarithmique, laspirale d’or, comme de nombreux coquillages qui sont formés ainsi.




D’autres animaux...

Chez ces trois animaux le nombre d’or est présent : en faisant le rapport de la longueurjaune par le rapport de la longueur verte, on obtient constamment le nombre d’or.



Le nombre d’or dans le corps humain

Le corps humain

Le nombre d’or est présent dans le corps humain en divisant les longueurs des partiesdu même organe colorées avec deux couleurs différentes.

On peut même l’observer dans une séquence d’une chaîne d’ADN!



Le nombre d’or et la musique

La musique

On mesure l’intervalle séparant 2 notes de musique en calculant le rapport desfréquences caractérisant respectivement la note la plus aiguë et la note la plus grave.La fréquence étant le nombre de vibration par seconde de la note. Voici le tableau defréquence des principales note de musique :



Le nombre d’or et Toyota

Toyota



Découvertes de Ramanujan

Photo de Ramanujan




Nombre π

Ramanujan a expliqué comment on trouve la valeur exacte du nombre π. Il a remarquéq’on peut écrire π comme suite de fractions continues :

Théorème de Ramanujan

π = 3 +12

6 + 32

6+ 52

6+ 72

6+ 926+...




Histoire du nombre taxicab

1729 est également connu sous le nom de «nombre de Hardy-Ramanujan » ; il s’agitdu plus petit entier naturel s’écrivant de deux manières différentes comme somme dedeux cubes :

1729 = 123 + 13 = 103 + 93.

Son nom est lié à une anecdote relatée par le mathématicien britannique GodfreyHarold Hardy après une visite à son collègue indien hospitalisé Srinivasa Ramanujan,en 1917 :« Je me souviens d’une fois où j’arrivai à son chevet à Putney. J’avais étéconduit par le taxi numéro 1729 ; la morosité qui semblait émaner de ce nombre avaitattiré mon attention. J’espérais qu’il ne constituait pas un mauvais présage. “Non, merépondit-il, c’est un nombre fort intéressant ; c’est le plus petit que l’on puisse exprimercomme somme de deux cubes de deux manières différentes.” »




Puzzle

Ce Puzzle a été suggéré par une des expositions au musée de Ramanujan àl’université de SASTRA à Kumbakonam, Inde :Qu’est-ce que chacune des paires suivantes partagent?

(3, 3, 12) = (1, 8, 9)

(4, 8, 9, 21) = (3, 7, 14, 18)

(4, 7, 21, 36) = (1, 12, 27, 28)

(5, 7, 10, 14, 27) = (3, 6, 15, 18, 21)

(5, 85, 85, 169, 425) = (13, 17, 125, 289, 325)

(17, 21, 24, 48, 54, 238) = (3, 4, 14, 119, 126, 136).




Solution

Vous avez peut-être remarqué que pour chaque paire, on a la même somme dechiffres des nombres. De plus, les produits contiennent les mêmes facteurs premiers,bien qu’ils ne soient pas égaux. Ce qui est égal est le produit de xx :

33331212 = 118899

4488992121 = 337714141818

447721213636 = 11121227272828

5577101014142727 = 3366151518182121

5585858585169169425425 = 13131717125125289289325325

17172121242448485454238238 = 33441414119119126126136136.

Ramanujan a trouvé plusieurs autres exemples de ce type.




Documents

L’arithmétique et la beauté des nombres · Khadija Mbarki Deuxième journées mathématiques 19/01/2017 5 / 28. Rappels d’arithmétique La beauté des nombresREMERCIEMENTS Résultats