7/25/2019 Lab 2 Simulacion

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Laboratorio 1 MA4402-1 Simulacin Estocstica

Ral Pezoa, Cristbal Valenzuela, Joaqun Faria

3 de octubre de 2015

1. Ejercicio 1

1.1. Ejercicio 1.1

Tenemos que para todox, y R se cumple

(f(x) f(y))(g(x) g(y)) 0

La razn es sencillamente que cuandox > y, comof , g son crecientes, claramente los dos productos son positivos. Si

en cambio,x yambos productos son negativos y la desigualdad se sigue teneindo.

De modo que si reemplazamos porX, Y(variables aleatorias) en lo anterior y tomamos esperanza, tenemos que:

E((f(X) f(Y))(g(X) g(Y))) 0

Desarrollando y usando la linealidad de la esperanza:

E(f(X)g(X) + f(Y)g(Y)) E(f(X)g(Y) + f(Y)g(X))

Luego se tiene la desigualdad deseada.

Siguiendo con el ejercicio, si tomamosX1, X2 variables aleatorias i.i.d. y las reemplazamos en la desigualdad anterior

tenemos que:

E(f(X1)g(X1) + f(X2)g(X2)) E(f(X1)g(X2) + f(X1)g(X2))

E(f(X1)g(X1)) + E(f(X2)g(X2)) E(f(X1)g(X2)) + E(f(X1)g(X2)) (Linealidad)

E(f(X1)g(X1)) + E(f(X2)g(X2)) E(f(X1))E(g(X2)) + E(f(X1))E(g(X2)) (Independencia)

E(f(X)g(X)) + E(f(X)g(X)) E(f(X))E(g(X)) + E(f(X))E(g(X)) (Idnticamente distribuidas)

2E(f(X)g(X)) 2E(f(X))E(g(X))

E(f(X)g(X)) E(f(X))E(g(X))

Luego se tiene queC ov(f(X), g(Y)) 0

1.2. Ejercicio 1.2

Por induccin.El caso k = 1ya fue probado en la primera parte. Supongamos que tenemos el resultado para funciones que tienenk 1variables aleatorias.

Esto es:

E(f(X1,...,Xk1)g(X1,...,Xk1)) E(f(X1,...,Xk1))E(g(X1,...,Xk1)

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Ahora sif , gson funciones dek variables, podemos definir

(x) = E(f(X1,...,Xk1, x)g(X1,...,Xk1, x)) F(x) = E(f(X1,...,Xk1, x)) G(x) = E(g(X1,...,Xk1, x))

Por hiptesis inductiva (Pues las funciones de adentro dependen dek 1v.a) tenemos que:

(x) F(x)G(x) E((Xk)) E(F(Xk)G(Xk))

PeroF, Gson claramente montonas crecientes, luego por la parte1,1

E(F(Xk)G(Xk)) E(F(Xk))E(G(Xk))

Juntando ambas desigualdades se concluye.

E((Xk)) E(F(Xk))E(G(Xk))

Lo cual por definicin equivale a:

E(f(X1,...,Xk1, Xk)g(X1,...,Xk1, Xk)) E(f(X1,...,Xk1, Xk))E(g(X1,...,Xk1, Xk))

1.3. Ejercicio 1.3

Recalcamos que si Ues una variable aleatoria uniforme en [0, 1], entonces Uy 1U tienen la misma ley de probabilidad.Adems, sih(x1,...,xk)es una funcin creciente por coordenadas, entonces la funcin

g(x1,...,xk) = h(1 x1,..., 1 xn)

tambin lo es.

Utilizando estas ultimas dos cosas, y usando las partes anteriores tenemos que:

Cov(h(U,...,U)g(U, ...U)) 0

Pero esto por definicin es:

Cov(h(U,...,U) h(1 U, ..,1 U)) 0

Cov (h(U,...,U), h(1 U,..,1 U)) 0

e era justamente lo que queriamos mostrar.

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