I) TEOREMA DE THEVENIN

1.- Objetivo.-

Al finalizar la presente practica estaremos en condiciones de identificar, analizar, evaluar, concluir y encarar óptimamente cualquier red eléctrica de dos terminales de configuraron sencilla o compleja aplicando el teorema de THVENIN.

2.- Puntualización teórica.-

Cualquier dipolo activo a-b, compuesto de combinaciones de elementos activos y pasivos, puede representarse con respecto a sus terminales, como un circuito SERIE formado por una fuente ideal de tensión Vo(t) y un elemento operativo Zs (p) entre los terminales a-b.

La fuente de tensión Vo(t) es el voltaje ente los terminales a-b, del dipolo activo debido a las fuentes en su interior cuando esta cuando esta conectado a sus terminales (voltaje a circuito abierto).

Zs(p) es la impedancia de excitación de los terminales a-b, del dipolo si todas las fuentes del interior de la red A se hacen cero (Fuentes de tensión se cortocircuitan y fuente de corriente se ponen en circuito abierto).Si la red A tiene fuentes controladas, estas no pueden hacerse cero, y Zo=Vo/Io ; donde Io es la corriente que circula entre los terminales a-b cuando estos se cortocircuitan (Corriente de corto circuito).

3.- Material y Equipo a Utilizar.-

5 resistencias de carbón pulverizado. Fuente de alimentación continua de 15.7 [V] y 31.2 [A]. Transformador reductor de 220[V] a 10 [V]. Amperímetro digital. Voltímetro digital. Ohmetro digital. Accesorios eléctricos.

4.- Circuitos de análisis.-

a) Circuito propuesto:

b) Medición de corriente y voltaje:

c) Medición de :

- Medición de resistencia equivalente Req:

d) Circuito equivalente de Thevenin:

5.- Montaje Y Ejecución:

Seleccionar 5 resistencias con la característica de no variar su magnitud con la temperatura.

Regular la fuente de tensión hasta 15.7[V] según el circuito de análisis. Seleccionar instrumentos de medición necesarias para la medición en función

del circuito de análisis. Conectar al circuito la fuente de forma que circule por la rama central una

corriente apreciable. Esto se consigue variando las ramas del puente. Efectuar las lecturas de corriente y tensión según e circuito de análisis y calcular

las resistencias de cada una de ellas con los datos obtenidos. Para determinar en forma practica la corriente en la rama central ( R5) del

circuito, debemos abrir esta rama o sacarla del circuito y con el voltímetro hacer

la medida de el voltaje en los bornes (X-Y), luego registrar este dato como .

Para determinar la resistencia equivalente, cortocircuitar la fuente (para ello previamente desconectar de la red) y en los bornes (X-Y) conectar un ohmetro y leer la resistencia equivalente y apuntar como Req.

Reemplazar en el circuito equivalente THEVENIN la fuente de Thevenin y la resistencia equivalente, y con el ohmetro, determinar la corriente circula en la rama central.

Para determinar en forma analítica la corriente en la rama R5 leer los valores de corriente y tensión para confirmar la resistencia calculada anteriormente y calcular la diferencia de potencial en los bornes (X-Y), y comparar con la determinada lectura y registrar como fuente de Thevenin.

Con los valores calculados de las resistencias R1,R2,R3 y R4 determinar la resistencia equivalente cortocircuitando la fuente y anotar como resistencia equivalente según el inciso d).

Aplique la ley de ohm en el circuito equivalente de Thevenin, y determinar la corriente I en la zona central del puente y comparar con el determinado en forma practica.

Montaje:

6.- Lectura de Datos:

Del Circuito b):

------------- R1 R2 R3 R4 R5 Ro [Ω] 217.0 98.0 118.0 146.0 265.0I [A] 31.3E-3 63.4E-3 48.1E-3 54.7E-3 8.6E-3V [V] 8.5 6.2 5.7 7.98 2.3R [Ω] 216.3 97.8 118.5 145.9 264.4

I alim =102.1E-3 [A]V alim = 14.10 [V]

Circuito de :

-------------- R1 R2 R3 R4 R5I [A] 42.2E-3 58.3E-3 42.5E-3 58.1E-3 --------------V[V] 9.1 5.7 5.0 8.4 3.4

Circuito equivalente :

= 3.4 [V]Resistencia equivalente Rxy = 141 [Ω]

7.- Cuestionario:

1) Demuestre el teorema de THEVENIN:

Consideremos la red activa de la figura 7 conectada a la combinación serie de una fuente V(t) y una impedancia Zs(p). La corriente i(t) que circula por la impedancia Zs puede calcularse por superposición en la siguiente forma:

i(t) = [i(t) debido a V(t)] + [i(t) debido a fuentes en el interior de la red ] ….(1)

consideremos ajustable la onda de la fuente V(t) y variamos esta hasta que la corriente total i(t) tienda a cero el valor particular de la función V(t) que hace que i(t) tienda a

cero en la ecuación (1) lo representaremos por V1(t) como se indica en la figura 8 por tanto :

0 ≡ [i(t) debido a V1(t) ] + [i(t) debido a fuentes en el interior de la red]…….(2)

Si ponemos a cero todas las fuentes ‘independientes’ del interior de la red, esta deja de ser activa y puede representarse por la impedancia de excitación Zs en los terminales ( a’ – b’ ) , y como se indica en la fig. 9 la corriente i(t) debida a V1(t) viene dada por:

[I(t) debida a V1(t) ] = - (1/(Zs+Zt))*V1(t)……..(3)

Sustituyendo la EC.(3) en la EC.(2)nos da :

0≡ -(1/(Zs+Zt))*V1(t)+ [i(t) debido a fuentes en el interior de la red]….. (4)

Ahora bien como la corriente total i(t) es cero, la tensión en las terminales a’ – b’ es exactamente igual a la tensión en dichos terminales a circuito abierto. Se deduce que:

V1(t) = Vo(t) =

Si los terminales a’-b’ están a circuito abierto. Con este resultado, la ecuación (4) nos da:

[I(t) debido a fuentes en el interior de la red] = (1/(Zs+Zt))*Vo(t)……..(5)

Este resultado viene a demostrar el resultado de THEVENIN ya que la ecuación (5) Puede representarse por el circuito de la fig.10.

2) Usando el teorema de THEVENIN experimentando y calculando, demuestre que la corriente en la rama R5 es igual a 8.6E-3 [A].

- Hallando la resistencia equivalente del circuito :

Req13 = (R1*R3)/(R1+R3)= (216.3*118.5)/(216.3+118.5)Req13 = 77.56 [Ω]

Req24 = (R2*R4)/ (R2+R4) = (97.2*145.9)/ (97.2+145.9)Req24 = 58.55 [Ω]

Y la resistencia equivalente será:

Req = Req13 + Req24Req = 77.56+58.55Req = 136.11 [Ω]

Resolución por el método de voltaje de nodos:

V1=15.7 [V]

V4 =0 [V]

V3*((R1+R3)/R1*R3)- V1/R1 = 0V3 =(V1*R3)/(R1+R3)=(15.7*118.5)/(216.3+118.5)

V3 =5.56 [V]

V2 =(V1*R4)/(R2+R4) =(15.7*145.9)/(145.9+97.8)V2 =9.32 [V]

Por tanto la diferencia de potencial será:

= V2 – V3 =9.4 – 5.56 =3.76 [V]

La corriente que circula a través de R5 será:

I = /(Req+R5)=3.76/(136.11+264.4) =9.37E-3 [A]

Calculando el error porcentual:

Er %= ((8.6E-3-9.37E-3)/8.6E-3)*100% =8.95%

En forma practica:

La red propuesta es:

*Se abre la rama y se instala un voltímetro:

La lectura en voltios es la fuente de THEVENIN ( ), es decir 3.4 [V]:

*Cortocircuitando la fuente e instalando el ohmetro a los bornes X y Y:

La resistencia equivalente entre los bornes X y Y es igual a: 143.0 [Ω]

* el circuito equivalente de THEVENIN será:

Entonces la corriente que circula por R5 será:

I = /(Req+R5) =3.4/(143.0+264.4)

I = 8.35E-3[V]

El error porcentual será:

Er %= ((8.6E-3-8.35E-3)/8.6E-3) *100%

Er %= 2.91%

II) TEOREMA DE NORTON

1’.- Objetivo.-

Al finalizar la presente practica estaremos en condiciones de identificar, analizar, evaluar, concluir y encarar óptimamente cualquier red eléctrica de dos terminales de configuraron sencilla o compleja aplicando el teorema de NORTON.

2’.- Puntualización Teórica:

Como toda combinaron serie de una fuente de tensión y una impedancia puede representarse como una combinaron paralelo de una fuente de corriente y una impedancia, toda red activa puede representarse con respecto a los terminales a-b por dicha fuente de corriente.

El valor de la fuente de corriente Io, es la corriente entre los terminales a-b de la red A, cuando estos se cortocircuitan. Por tanto la relación entre el teorema de THEVENIN y el teorema de NORTON esta dada por:

V = Io* Zs(p)

De tal forma que el circuito equivalente de THEVENIN o el de NORTON pueden obtenerse por l conocimiento de la tensión de circuito abierto o la corriente de corto circuito.

3’.- Material y Equipo a Utilizar.-

5 resistencias de carbón pulverizado. Fuente de alimentación continua de 15.7 [V] y 31.2 [A]. Transformador reductor de 220[V] a 10 [V]. Amperímetro digital. Voltímetro digital. Ohmetro digital. Accesorios eléctricos.

4’.- Circuitos de análisis:

a) Circuito propuesto:

b) Medición de corriente y tensión:

c) Fuente de Norton:

Resistencia equivalente:

Circuito equivalente de NORTON:

5’.- Montaje Y Ejecución:

Seleccionar 5 resistencias con la característica de no variar su magnitud con la temperatura.

Regular la fuente de tensión hasta 15.7[V] según el circuito de análisis.

Seleccionar instrumentos de medición necesarias para la medición en función del circuito de análisis.

Conectar al circuito la fuente de forma que circule por la rama central una corriente apreciable. Esto se consigue variando las ramas del puente.

Efectuar las lecturas de corriente y tensión según e circuito de análisis y calcular las resistencias de cada una de ellas con los datos obtenidos.

Para determinar en forma practica la corriente en la rama central ( R5) del circuito, debemos cortocircuitar los bornes (X-Y) y con el amperimetro en el cortocircuito hacer la medida de la corriente en los bornes (X-Y), luego registrar este dato como fuente de NORTON.

Para determinar la resistencia equivalente, procedemos de la misma forma que se hizo en el caso de THEVENIN con la única diferencia de descortocircuitar y sacar la resistencia central para luego conectar un ohmetro y determinar su magnitud.

Reemplazar en el circuito equivalente NORTON los valores registrados, aplique divisor de corriente para determinar la corriente en la rama central.

Para determinar la corriente en forma analítica en la rama R5, escribimos la corriente de cortocircuito (ramas X-Y) y registraremos como fuente de NORTON.

Para determinar la resistencia equivalente procedemos a reducir el circuito hasta encontrar la magnitud de resistencia a partir de los terminales (X-Y) y apuntar este valor como resistencia equivalente.

Reemplazando estos datos calculados en el circuito equivalente de NORTON procedemos a calcular la corriente en la rama central con ayuda de divisor de corriente y comparar este valor con el encontrado en forma practica.

Montaje:

6’.- Lectura de Datos:

* Circuito b):

------------- R1 R2 R3 R4 R5 Ro [Ω] 217.0 98.0 118.0 146.0 265.0I [A] 31.3E-3 63.4E-3 48.1E-3 54.7E-3 8.6E-3V [V] 8.5 6.2 5.7 7.98 2.3R [Ω] 216.3 97.8 118.5 145.9 264.4

I alim =102.1E-3 [A]V alim = 14.10 [V]

* Circuito de Norton:

-------------- R1 R2 R3 R4 RXYI [A] 42.8E-3 58.7E-3 42.8E-3 58.7E-3 25.7E-3V [V] 4.2 5.7 5.0 8.5R [Ω] 216.3 97.8 118.5 145.9 141

V alim =14.2[V]I alim =100.3[A]

* Circuito equivalente de Norton:

Corriente de de Norton Is =25.3 [A]

7’.- Cuestionario:

1.- Demuestre el Teorema de NORTON.

El circuito A entrega una corriente ‘I’ al circuito B y produce un voltaje Vo a través de los terminales entre (+A y –B). desde el punto de vista de las relaciones terminales del

circuito A, podemos podemos reemplazar el circuito B por una fuente de voltaje Vo [V], aplicando ahora el principio de superposición:

I = Io+Isc………………….(1)

Donde Io es la corriente de Vo con todas las fuentes independiente del circuito A igualadas a cero , es decir las fuentes de voltaje por corto circuito y fuentes de corriente reemplazadas por circuitos (abiertos), e Is es la corriente de cortocircuito debido a todas las fuentes en el circuito A con Vo remplazada por un corto circuito.Los términos Io y Vo están relacionados por la ecuación :

Io = - Vo/ ………………….(2)

Donde es la resistencia equivalente que retorna en el circuito A desde los terminales A-B con todas las fuentes independientes en circuito A igualadas a cero.

Al sustituir la ecuación (2) en la EC (1):

I = -(Vo/ )+Isc……………… (3)

Para estas condiciones, I =0 y Vo es igual al voltaje del circuito abierto VocAsí la Ec (3) se convierte en:

I = 0 =-(Vo/ )+Isc………………. (4)

De aquí:

Voc = *Isc………………….. (5)

Sustituyendo la Ec (5) en la Ec (3) tenemos:

Vo = Voc - +I…………………. (6)

2.- Demuestre analíticamente y prácticamente mediante el teorema de Norton que la corriente en R5 es 8.6E-3 [A].

*Hallando la resistencia equivalente en el circuito:

Req13 = (R1*R3)/(R1+R3)= (216.3*118.5)/(216.3+118.5)Req13 = 77.56 [Ω]

Req24 = (R2*R4)/ (R2+R4) = (97.2*145.9)/ (97.2+145.9)Req24 = 58.55 [Ω]

Y la resistencia equivalente será:

Req = Req13 + Req24Req = 77.56+58.55Req = 136.11 [Ω]

Resolución por el método de voltaje de nodos:

V1=15.7 [V]

V4 =0 [V]

V3*((R1+R3)/R1*R3)- V1/R1 = 0V3 =(V1*R3)/(R1+R3)=(15.7*118.5)/(216.3+118.5)

V3 =5.56 [V]

V2 =(V1*R4)/(R2+R4) =(15.7*145.9)/(145.9+97.8)V2 =9.32 [V]

Por tanto la diferencia de potencial será:

= V2 – V3 =9.4 – 5.56 =3.76 [V]

La corriente que circula a través de R5 será:

= / Req = 3.76 / 136.11= 2.76E-2 [A]

=(Req/ (Req+R5))* =(136.11/ (136.11+264.4))*2.76E-2

=9.37E-3[A]

Calculando el error porcentual:

Er %= ((8.6E-3-9.37E-3)/8.6E-3)*100% =8.95%

-En forma practica:

La red propuesta es:

*Se cortocircuita R5 y se instala un Amperímetro para leer la corriente de corto circuito:

La lectura en amperios es la fuente de NORTON ( ), es decir: 25.7 [A]

* Cortocircuitando la fuente e instalando el ohmetro a los bornes (X-Y):

La resistencia equivalente entre X y Y es: 141.0[Ω]

Entonces la corriente en R5 será:

= / Req =3.4 / 136.11 = 2.5E-2

= (Req / (Req+R5))* = (136.11 / (136.11+264.4))*2.5E-2

= 8.49E-3[A]

El error porcentual será:

Er %= ((8.6E-3-8.49E-3)/8.6E-3) *100%

Er %= 1.27 %

8.- Conclusiones:

Finalizada la práctica podemos llegar a concluir lo siguiente:

Para demostrar prácticamente estos teoremas, con la ayuda de un voltímetro, de un amperímetro y un ohmetro debemos tener mucho cuidado que las resistencias a usadas no calienten con lo que se garantizara que la resistencia sea constante a lo lago de la ejecución.

Los teoremas son muy útiles por que nos permite reducir una red de configuración compleja, en una configuración sencilla.

La exactitud se puede ver en la práctica, es decir no se presenta calentamiento alguno en las resistencias usadas que es la condición de su obtención.

Experimentar estos teoremas con resistencias de carbón pulverizado no es recomendable por que estas cambian su valor respecto a su diferencial de temperatura (tienden a subir su temperatura).

En el teorema de THEVENIN se concluye aplicando la ley de OHM para calcular la corriente circulante de las ramas.

En el teorema de NORTON se concluye aplicando el divisor de corriente circundante en una de las ramas.

9.- Bibliografía:

Análisis de circuitos eléctricos ----------------------------------- Brenner.Análisis básico de circuitos eléctricos ----------------------------David E. Jonson.Análisis básico de circuitos en ingeniería ------------------------David Irwin.Laboratorio de medidas --------------------------------------------FNI.