Experiencia Nº 2:

DETERMINACION DE g MEDIANTE GRAFICOS Y AJUSTES DECURVAS

I. OBJETIVOS

Representar en una curva los datos obtenidos en un experimento. Comprender el fenómeno de caída libre. Inferir a través de un proceso de ajuste, el tipo de curva resultante. Interpretar el significado físico de la ecuación de la curva obtenida. Hallar experimentalmente el valor de la aceleración de la gravedad. Aplicar el método de mínimos cuadrados para obtener un ajuste lineal. Aprender a hacer ajustes de curvas con el software Excel.

II. INTRODUCCIÓN TEÓRICA

Cuando se realiza un proceso experimental, se desea obtener la mayor informaciónde él, especialmente la relación entre las variables involucradas. En general, al finalizar unexperimento se dispone de un gran número de valores para las distintas variables.

Una primera etapa en el procesamiento de la información consiste en Tabular losdatos disponibles, en forma ordenada en columnas verticales correspondientes a cadavariable o parámetro medido, anotando en cada caso la unidad de medición usada.

Ejemplon t [seg] x [m] v [cm/seg]1234

0.250.220.200.18

1.250.950.750.55

20.219.817.916.2

La relación existente entre las variables es posible obtenerla si lo valores se graficanen un sistema de coordenadas cartesianas XY. En el eje X se ubica la variableindependiente y en el eje Y la variable dependiente. Estas variables deben identificarseclaramente en los extremos de los ejes positivos con su respectiva unidad de medida.

1. RELACIÓN LINEAL

Cuando las variables involucradas siguen una relación lineal, existen dosprocedimientos para determinar la pendiente de la recta y la intersección de esta con eleje Y. Estos procedimientos son el método gráfico y el método de los mínimoscuadrados. Estos métodos requieres a lo menos 10 puntos.

a) Método gráfico: Consiste en trazar “la mejor recta” que intuitivamente se ajusta alos puntos representados. Se escogen dos puntos de esta recta, convenientementeseparados y se calculan con ellos la pendiente y la intersección de esta con el eje Yde la siguiente manera:

12

12

xx

yy

x

ym

(Ec. 1)

111 xmyb (Ec. 2)

222 xmyb (Ec. 3)

Conocido m de la ecuación 1, se reemplaza en las ecuaciones 2 y 3 y se calculan 1b

y 2b . Con el promedio de 1b y 2b , se calcula b, con lo cual la ecuación de la rectabuscada es:

bxmy (Ec. 4)

UNIVERSIDAD DE ATACAMAFacultad de Ciencias NaturalesDepartamento de Física LABORATORIO FISICA I

b) Métodos de los Mínimos Cuadrados (MMC): Se basa principalmente en lasiguiente suposición: La mejor curva es la que hace mínima la suma de loscuadrados de las desviaciones de la curva. La pendiente m y el término libre b secalculan por:

22 xnx

yxnyxm (Ec. 5)

22

2

xnx

xyxyxb (Ec. 6)

donde n es el número de puntos considerados.

Como una manera de determinar el grado de dependencia lineal existenteentre las variables y el grado de asociación entre ellas, se utiliza el coeficiente decorrelación, designado por r. La correlación puede ser positiva o negativa; ella espositiva cuando una variable tiende a aumentar a medida que aumenta la otra, y esnegativa cuando una variable tiende a disminuir a medida que disminuye la otra. Elcoeficiente de correlación r está entre los límites –1 y +1. un valor absoluto alto der indica un alto grado de asociación, mientras que un valor absoluto pequeño de r,indica un grado de asociación bajo. Cuando el valor absoluto de r es 1, la relación esperfecta. Cuando r = 0 las variables son independientes.

El valor de r está dado por:

2222 yynxxn

yxyxnr (Ec. 7)

El gráfico ilustra coeficientes de correlación bajo y alto.

Correlación lineal positiva baja Correlación lineal positiva alta

2. RELACIÓN NO LINEAL

Cuando la curva resultante no es una recta, el procedimiento para obtener laecuación de la curva no es simple. Existen métodos como el de Lagrange o el de lasdiferencias finitas que permiten obtener el mejor polinomio que se ajusta a la curva.

Un procedimiento alternativo que corresponde a un método de tanteo esposible aplicar cuando el aspecto de la curva corresponde a una función de potenciasimple o exponencial. En tal caso se procede a rectificar la curva, es decir, sedeterminan las constantes de las funciones respectivas por medio de un cambio devariables que transforma la función potencia o exponencial, según el caso, en unafunción lineal, cuyos parámetros se pueden determinar a partir de los datos, y con elprocedimiento antes descrito para el caso lineal.

a) Caso de una función de potencia simple

Si se tienen las variables Z y W, supuestamente relacionadas por una funciónBWAZ , donde A y B son constantes, entonces aplicando logaritmos (base 10),

resulta:

WlogBAlogZlog

Si ahora se efectúa el cambio de variables Wlogx,Zlogy , Alogb yBm , se obtiene la ecuación de la recta: bmxy

Si se aplican las ecuaciones 5 y 6 del método de los mínimos cuadrados, entonces sepueden calcular m y b. Se puede determinar de esta manera A y B por lasrelaciones:

mB10blogantiA b

b) Caso de una función exponencial

Si ahora se supone que AWeBZ , donde A y B son constantes, aplicandologaritmos naturales a esta ecuación, se obtiene:

AWBlnZln

Si, como en el caso anterior, hacemos ahora el cambio de variables

Zlny , Wx , Blnb y Am , entonces resulta:

bxmy

Si se aplican las ecuaciones 5 y 6 del método de lo mínimos cuadrados, entonces sepuede calcular m y b; las constantes A y B se determinan por las relaciones:

mA beB

III. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL

1. Sujete la varilla a la mesa mediante una prensa. Instale elTIMER sobre la varilla de tal modo que la huincha depapel pueda pasar verticalmente.

2. Verifique que el largo de la huincha de papel es menor oigual a la distancia entre el TIMER y el piso.

3. Asegure mediante un scotch la masa al extremo de lahuincha.

4. Pase el otro extremo de la huincha de papel a través delTIMER. ¡Cuidado con el papel calco! Eleve la masa hastaque queda al mismo nivel del TIMER.

5. Mantenga la huincha de papel totalmente vertical sobre el TIMER,si cree necesario súbase arriba de un banco o de la mesa.

6. Encienda el TIMER en el modo de 40 Hz, suelte la cinta,permitiendo caer la masa.

7. Defina un sistema cartesiano XY, elija el sentido del vectorunitario ̂. Esto es necesario para establecer los signos de losvectores desplazamiento, velocidad y aceleración. Escriba lasecuaciones itinerario y(t), y velocidad en función del tiempov(t).

8. Coloque la cinta sobre una mesa y con regla o pie de metro,mida la distancia entre cada par de puntos y . No use elprimer punto, ya que la masa puede no haber comenzado amoverse cuando se imprimió el primer punto. Registre losvalores en la Tabla Nº 1.

9. Calcule la velocidad media usando la expresión:t

yv

, siendo t el tiempo entre

dos puntos consecutivos. Como el TIMER fue encendido a una frecuencia de 40 Hz, esdecir, marca 40 puntos en un segundo. Esto significa que el tiempo transcurridoentre dos puntos consecutivos (Periodo) es de t =1/(40 Hz) = 0,025 [s]. Como estevalor es muy pequeño (∆ → 0) este valor de velocidad media puede ser considerado, aefectos prácticos, como la velocidad instantánea (o simplemente, la velocidad) de lamasa.

IV. ACTIVIDADES EN EL LABORATORIO

1. Termine de completar la Tabla Nº 1.

2. Grafique, de forma individual, en un papel milimetrado la velocidad en función deltiempo. No olvide especificar las variables graficadas con su respectiva unidad demedida.

3. Obtenga por el Método de los Mínimos Cuadrados (MMC) la relación lineal entre lasvariables. Realice una interpretación física de la ecuación de la recta obtenida:Verifique que la aceleración de la gravedad es la pendiente de la recta, ¿qué sería elcoeficiente de posición. Calcule el coeficiente de correlación (Ec. 7)

4. Calcule el error porcentual entre valores experimentales ( Eg ) y valores teóricos ( Tg )mediante la siguiente expresión:

%100%

T

ET

g

gge

5. Verificación: Grafique en Microsoft Excel la velocidad en función del tiempo. Realiceun ajuste de curva apropiado para determinar la relación funcional entre las variables.Compare esta relación funcional con la obtenida por el MMC, y el gráfico desplegadopor Excel con el hecho por usted en papel milimetrado.

6. Haga una tabla y complétela con los valores experimentales de la aceleración de lagravedad hallados por sus compañeros.

V. ACTIVIDADES ADICIONALES PARA EL INFORME

1. Grafique la posición en función del tiempo, de acuerdo a su sistema de referencia.Encuentre los parámetros de la ecuación de esta curva por medio de un ajustepolinómico de grado 2 con el Software Excel. A partir de estos parámetros, determineotra estimación de la aceleración de gravedad “ Eg ” (aceleración de gravedadexperimental).

2. Calcule el error porcentual entre el valor de la aceleración de gravedad experimental y

el valor aceptado para “

280,9

s

mgT ”.

3. Si existe alguna diferencia entre Tg y Eg , ¿a qué se puede atribuir? ¿observa algúnsesgo? ¿a qué se puede deber?

4. ¿Qué puede decir acerca de la exactitud y de la precisión de sus observaciones (y la desus compañeros)?

Nota: Su informe no es una guía de preguntas y respuestas, use las preguntas de lasactividades como ayuda para redactar un texto fluido y coherente, enfóquese en que unalumno de su mismo nivel debe ser capaz de entender. Consulte con su profesor antes deentregar el informe acerca de sus principales conclusiones.

TABLA Nº 1

y[cm]

Posición[cm]

Velocidad media[cm/s]

Tiempo acumulado[s]

TABLA Nº 1

y[cm]

Posición[cm]

Velocidad media[cm/s]

Tiempo acumulado[s]

Integrantes:

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