UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE HONDURAS-VSDepartamento De Fsica

Laboratorio de Herramientas Computacionales de Mecanica IPractica 1: Graficas con Octave

1. Objetivo: Utilizar Octave para graficar algunas cantidades fsicas de interes.

2. Teora y ejemplos.

Es muy importante en las diferentes areas de la fsica estudiar el comportamiento graficode las cantidades fsicas de interes y en el caso de la mecanica clasica no es la excepcion,a continuacion vamos a estudiar algunos ejemplos que van a ilustrar como graficar enOctave, los cuales se pueden tomar de base junto al tutorial suministrado por el profesorpara realizar los ejercicios asignados al final de la gua.

Ejemplo1: considere una molecula de dos atomos que tiene un energa potencial igual a:

U (x) =

(A

x3 Bx2

)(1)

Dado que A = u0a30 y B = u0a

20, donde u0 esta en unidades de energa molecular, y a0 esta

en unidades de distancia molecular, (a)obtener la posicion de equilibrio de este sistema.(b) Encontrar la frecuencia de vibracion de la molecula, cuando una de ellas se separaun poco de la posicion de equilibrio. (c) Graficar el potencial y la fuerza e identificar lascaractersticas mas importantes del potencial.

Solucion

(a) Cuando hay equilibrio entre los atomos la fuerza es cero:

Fx = dU

dx=

(3Ax4

+2B

x3

)= 0

al resolver para x, obtenemos: x0 =3A

2B=

3

2a0

(b) La constante efectiva de resorte para la molecula es k = U

(x0) =12A

x50 6Bx40

la frecuencia de oscilacion es

0 =

k

m=

U

(x0)

m(2)

evaluando x0 en la ecuacion (2) se obtiene

=

32B5

81mA4=

32u0

81ma20

(c) Notemos que la ecuacion (1) se puede escribir como U (x) =

(u0a

30

x3 u0a

20

x2

)Para graficar, podemos escribir el potencial en forma adimensional definiendo x = xa0 yU (x) = U (x)u0 para obtener

U (x) =

(1

x3 1x2

)1

En el punto mnimo se tiene x0 =3

2y el potencial toma el valor de:

Umin = U (x0) =

(1

x30 1x20

)= 4

27

lo cual significa que la molecula tiene una energa de ionizacion de (4/27)u0 en nuestrasunidades.

La fuerza asociada es:

F (x) =3

x4 2x3

(3)

la cual tiene un valor de cero en x0, el siguiente script grafica, el potencial y la fuerzaadimensional.

u_f.m

% grafica V=(1/x^3-1/x^2) y la fuerza asociada F=3/x^4-2/x^3

clear;

xb=3/2; %PUNTO MINIMO

vmin=-4/27; %minimo del potencial

xmin=0.5; %minimo de x

xmax=5*xb;

NPTS=100; %numero de puntos

x=[xmin:2/NPTS:2*xmax]; % arreglo

V=1./x.^3-1./x.^2; %potencial

F=3./x.^4-2./x.^3; %fuerza

plot(x,V,b:,x,F,r-.);

line([0,xmax],[0,0],Color,k,LineStyle,--)

axis([xmin, xmax,1.5*vmin,-1.5*vmin])

title( V(x)=(1/x^3-1/x^2) F=3/x^4-2/x^3 vs posicion,FontSize,14)

ylabel(V(x), F(x) (u_0),FontSize,14);

xlabel(x(a_0),FontSize,14);

h=legend(V,F,0); set(h,FontSize,14)

Al correr el programa anterior se obtiene

2

Ejemplo 2: Oscilador forzado con amortiguamiento.Al estudiar el sistema masa resorte sometido a una fuerza impulsora sinusoidal propor-cionada por un motor con amortiguamiento proporcional a la velocidad del oscilador, laecuacion diferencial asociada se puede escribir as:

md2x

dt2+ c

dx

dt+ kx = F0e

i(t+) (4)

Para resolver la ecuacion (4) se propone una solucion de la forma x = Aei(t+)

Al realizar la sustitucion y simplificar se obtienen los siguientes resultados:

A =F0/m

(2)2 + (20 2)2

(5)

= tan1(

2

20 2

)(6)

donde 0 =k/m y = c/2m

El siguiente script grafica la amplitud versus

%amplitud_frecuencia.m

%grafica amplitud versus frecuencia

clear;

m=0.5; %masa

k=0.5; %constante del resorte

F0=0.5; %amplitud de la fuerza impulsora

wo=sqrt(k/m); % frecuencia natural del sistema

wmin=0.1; %frecuencia minima

wmax=2; %frecuencia maxima

NPTS=200; %numero de puntos

w=[wmin:wmax/NPTS:wmax]; % arreglo de frecuencias

hold on %esto superpone las graficas

cmin=0.2; % valor minimo de c

cmax=2*m*wo/sqrt(2); %valor maximo de c

cstep=(cmax-cmin)/5; %medida del paso

for c=cmin:cstep:cmax, %ciclo sobre el coeficiente de friccion

gam=c/2/m; %se calcula gama

desc=(2*gam*w).^2+(wo^2-w.^2).^2;

A=F0/m./sqrt(desc); % amplitud

plot(w,A); %grafica amplitud

om_res=sqrt(wo^2-2*gam^2); %frecuencia de resonancia

Amax=F0/2/m/gam/sqrt(wo^2-gam^2); %Amplitud maxima

%next, draw point at position of Amax

line([om_res;om_res],[Amax;Amax],Color,red,Marker,.);

%num2str(c,p) c to string with p digits

%cat(2,a,b) concatenates a and b

str=cat(2,\gamma=,num2str(gam,2));

text(om_res+0.1,Amax-0.06,str,FontSize,10,Color,red);

end

title(Amplitud versus Frecuencia del Motor ,FontSize,14)

3

ylabel(A(\omega),FontSize,14);

xlabel(\omega,FontSize,14);

El resultado de aplicar el programa anterior se muestra a continuacion

El grafico muestra claramente que al disminuir el factor asociado al amortiguamientola amplitud aumenta y el fenomeno de resonancia es manifiesto, de tal manera que si es cero la amplitud tiende a infinito.

3. Ejercicios a presentar en el reporte.

Los estudiantes van a presentar un reporte individual de los siguientes ejercicios siguiendoel mismo esquema de los ejemplos presentados en esta gua, el reporte debe ser desarrol-lado en latex, se debe enviar al profesor un archivo comprimido con los programas que sedesarrollaron y el informe impreso.

Ejercicio1: el potencial molecular de Lennard-Jones puede modelar una moleculadiatomica

U (x) =

(A

x12 Bx6

)donde A = 412 y B = 46, donde tiene unidades de energa, y unidades dedistancia.

(a) Considere que un atomo esta en el origen, calcule la posicion donde los atomosestan en equilibrio.(b) Encontrar la frecuencia de vibracion de la molecula.(c) Graficar el potencial y la fuerza asociada. Identifique las caractersticas princi-pales de cada grafica

4

Ejercicio2: Utilizando la ecuacion (6), escriba un programa que grafique el angulode fase versus la frecuencia, este grafico debe tener graficos simultaneos, un graficopara cada (similar al segundo grafico mostrado en esta gua).Identifique el comportamiento fsico para las diferente , que sucede con el factor decalidad Q al variar .

Ejercicio3: Un peso de 16 lb esta fijo a un resorte vertical, la constante del resortees 10lb/pie. El peso parte del reposo en la posicion de equilibrio. Empezando ent=0 una fuerza externa de 5cos (2t) se aplica al sistema. Determinar el movimientoresultante si la fuerza de amortiguamiento en libras es numericamente igual a dosveces la velocidad.En clase se estudio este problema, ah se obtuvo la siguiente solucion:

x = 0.63e2tcos (4t 0.64) + 0.56cos (2t 0.46)

Grafique posicion versus tiempo, velocidad versus tiempo y aceleracion versus tiempo,utilice el comando subplot, para el uso de subplot revise el tutorial suministrado porel profesor. Comente las graficas.

Ejercicio4: Una masa de 2kg esta conectada a un resorte con constante de fuerzak=32/N y una fuerza periodica F (t) actua sobre la masa.

Ft =

{10 , 0 < t < 1

10 , 1 < t < 2

Este problema se resolvio en clase con el metodo de la serie de Fourier, ah se obtuvo,que la serie de Fourier para la fuerza es:

F (t) =

n,impar

40

nsen (nt)

Grafique las sumas parciales para n = 1, n = 3, n = 5 y n = 15, usando el comandosubplot. Investigue el fenomeno de Gibbs y comente si lo observa en los graficos ycomente las graficas.

4. Referencias

1. Classical Mechanics with MATLAB Application , Javier Hasbun. Jones and Bartlettpublisher, 2008.

2. Classical Mechanics, Tom Kibble and Frank Berkshire. Imperial College Press, 5th edi-tion, 2004.

3. Mechanics, third edition, David Symon. Addison Wesley, third edition, 1971.

4. Computational Physics, Nicholas Giordano and Hisao Nakanishi. Addison Wesley, secondedition, 2005.

5