PÉNDULO FÍSICO

1. OBJETIVOS

- Determinar el valor del radio de giro respecto del centro de masa y la aceleración de la gravedad en Cochabamba.

2. FUNDAMENTO TEORICO

Cualquier cuerpo rígido suspendido de un eje fijo que no pasa por el centro de masa recibe el nombre de péndulo físico. En la Figura A se muestra un cuerpo de forma irregular, que se encuentra en su posición de equilibrio, donde el centro de masa C y el eje de oscilación O se encuentra sobre la misma línea vertical. En la Figura B el cuerpo a partir de esa posición empezara a oscilar formando un péndulo físico donde: la distancia del centro de mas al eje de oscilación en b, además I es el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje O.

La fuerza restauradora del movimiento oscilatorio se debe a la componente tangencial de la fuerza gravitacional, que está dada por el troqué:

La ecuación (1) no cumple la condición del movimiento armónico simple, pero si se considera desplazamientos angulares pequeños es valida la aproximación sin θ ≈ θ, de manera que la ecuación será:

Además el troqué para un sólido esta dado por

Donde:

Reemplazando las ecuaciones (2) y (4) en la ecuación (3) e igualando a cero se obtiene:

La forma de la ecuación (5) corresponde al caso del movimiento armónico simple, a partir de esta ecuación se expresa el periodo (T) de un péndulo físico como:

Aplicando el teorema de Steiner I = Icm + mb2 = mk2 + mb2, donde k es el radio de giro del péndulo físico respecto a un eje fijo que pasa por su centro de masa. La ecuación (6) también se puede escribir como:

La ecuación (7) también se puede expresar como:

Comparando la ecuación (7) con el periodo del péndulo simple L, se obtiene:

La longitud de la ecuación (9) se denomina la longitud equivalente del péndulo simple. El comportamiento del periodo (T) en función a la distancia (b) se ilustra en la figura (2), donde el periodo es mínimo para una distancia igual al radio de giro.

Se denominan puntos conjugados aquellos puntos para los cuales se tiene el mismo periodo T(b1) = T(b2), observado la figura existen infinitos puntos conjugados. Es fácil demostrar que los puntos conjugados satisfacen la siguiente relación:

Así mismo la longitud equivalente del péndulo simple para los puntos conjugados será:

3. EQUIPOS Y MATERIALES

- Soporte del equipo- Péndulo físico- Soporte y eje graduable de suspensión en forma de cuchilla- Cronómetros- Flexo metro

3.1. Procedimientos

1.- Nivela al plano horizontal el soporte del equipo, utilizando los tornillos de apoyo y un nivel.

2.- Ubica el centro de masa (marcando con un cero) del péndulo físico formado por una esfera soldada al extremo de una varilla.

3.- Registra el numero de péndulo utilizado que se encuentra en el extremo libre de la varilla.

4.- Coloca el péndulo físico sobre el soporte sujetándolo con la cuchilla a 5 cm sobre el centro de masa, de manera que la esfera se encuentre en la parte inferior.

5.- Desplaza la esfera a partir de su posición de equilibrio ángulos menores a 10º y suelta la esfera, produciendo un movimiento armónico simple.

6.- Determina el periodo de oscilación (T), y registra la distancia del eje de rotación al centro de masa (b)

7.- Incrementa gradualmente la distancia (b) en 5 cm y determina el periodo (T) en cada caso.

4. TABLA DE DATOS Y RESULTADOS

4.1. Registro de Datos

4.1.1. Tiempos de 10 oscilaciones a una distancia b

Tabla 1Nº b [m] t1 [s] t2 [s] t3 [s] t4 [s] t5 [s]1 0,05 28,57 28,33 28,25 28,33 28,572 0,10 20,63 20,63 20,64 20,69 20,613 0,15 17,83 17,72 17,78 17,81 17,994 0,20 16,67 16,77 16,46 16,64 16,635 0,25 15,78 15,84 15,77 15,83 15,856 0,30 15,71 15,79 15,60 15,61 15,897 0,35 15,73 15,75 15,74 15,70 15,998 0,40 15,98 15,95 15,97 15,91 15,789 0,45 16,28 16,40 16,34 16,25 16,2010 0,50 16,55 16,68 16,64 16,70 16,66

4.2. Resultados

4.2.1. Parámetros de la Linealización

4.2.2. Ecuación de ajuste b 2 = ƒ(T 2 b)

4.2.3. Radio de giro

5. GRAFICOS Y CALCULOS

5.1. Datos del tiempo, periodo y la distancia

Tabla 2Nº t [s] b [m] T [s]1 28,41 0,05 2,8412 20,64 0,10 2,0643 17,826 0,15 1,78264 16,634 0,20 1,66345 15,814 0,25 1,58146 15,72 0,30 1,5727 15,782 0,35 1,5782

8 15,918 0,40 1,59189 16,294 0,45 1,629410 16,646 0,50 1,6646

5.2. Grafico de Periodo VS Longitud

La grafica no presenta un comportamiento lineal, ni exponencial, ni potencial. Para linealizar, a partir de la ecuación (7), encontramos una expresión para b2 la cual es:

Donde:

5.3. Datos para la ecuación de ajuste

Tabla 3Nº T2 [s2] T2b [s2m] b2 [m2]1 8,07128100 0,40356405 0,00252 4,26009600 0,42600960 0,01003 3,17766276 0,47664941 0,02254 2,76689956 0,55337991 0,04005 2,50082596 0,62520649 0,06256 2,47118400 0,74135520 0,09007 2,49071524 0,87175033 0,12258 2,53382724 1,01353090 0,16009 2,65494436 1,19472496 0,202510 2,77089316 1,38544658 0,2500

5.4. Grafica de la ecuación de ajuste

5.5. Relación funcional b 2 = ƒ(T 2 b)

5.6. Aceleración de la gravedad

5.7. Radio de Giro

6. RESPUESTAS AL CUESTIONARIO

1.- Calcula la diferencia porcentual entre los valores encontrados para la aceleración de la gravedad del péndulo simple respecto al péndulo físico.

R.- Sea la gravedad obtenida con en péndulo simple gS = 9,9 [m/s2] y la obtenida con el péndulo físico gF = 10,0 [m/s2].

Existe una diferencia del 1% con respecto de la gravedad obtenida con el péndulo simple.

2.- Calcula teóricamente el momento de inercia del péndulo físico, respecto del centro de masa.

R.-

3.- Calcula experimentalmente el momento de inercia del péndulo físico, respecto a su centro de masa.

R.- El momento de inercia esta dada por:

6.1. Demostraciones

6.1.1. Puntos conjugados (puntos de un mismo periodo) k 2 = b 1b2

6.1.2. Longitud equivalente del péndulo simple para puntos conjugados L = b1 + b2