ANALISIS DE SEALES Y SISTEMASLaboratorio N 5 POLINOMIOS Un polinomio se especifica como un vector cuyos elementos son los coeficientes del polinomio ordenado y completo, cuyas races se obtienen mediante del comando roots. As; el polinomio

( )

se representa por el vector a y las races se

almacenan en el vector r: a=[1 10 35 50 24]; r=roots(a) ans -4.00 -3.00 -2.00 -1.00 Las races pueden ser complejas, como por ejemplo para roots([1 0 1]) ans 0 + 1.0000i -0 1.0000i Para el caso de tener como argumento una matriz y no in vector, sea el ejemplo, obtener las races de ( )

()

(

)(

)(

)(

)

( )

(

)

, obtenindose los coeficientes

del polinomio A(x) usando los comandos poly y eyes b=poly(eye(3)), roots(b) ans 1.0000 1.0000 + 0.0000i 1.0000 - 0.0000i Debe tenerse mucho cuidado cuando el numero de races es alto, ya que por el calculo numrico, no ser exacto c=poly(eye(10)); roots(c) ans 1.0474 1.0376 + 0.0284i 1.0376 - 0.0284i 1.0130 + 0.0445i 1.0130 - 0.0445i 0.9846 + 0.0428i

0.9846 - 0.0428i 0.9633 + 0.0256i 0.9633 - 0.0256i 0.9555 !!!!!!incorrecto!!!!

Para el caso de una matriz como argumento, se obtiene el polinomio caracterstico a | partir de ( ) | P=poly([1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]) P = 1.0000 -15.0000 -18.0000 -0.0000 para x=1, 2 y 3

Para calcular valores de ( ) b=[1 2 1]; polyval(a,[1:3]) ans 4 9 16

% A(1)=4, A(2)=9 y A(3) =16

Se puede evaluar un polinomio, tambin, para valores complejos de x d=[1 0 1]; z=sqrt(-1) ans 0 1.0000 + 2.0000i EJERCICIO 1 Determinar los valores de H(s)=(s3 + 3s2 + 4s + 1)/(5s + 1) para s=jw, w=0.001, 1, 10, 100 (rad/seg). Para multiplicar p1(x)=x2 + 2x + 1 con p2(x)=x3 + 3x2 + 3x + 1 p1=[1 2 1]; p2=[1 3 3 1] p=conv(p1,p2) p = 1 5 10 10 5 1 % se define la variable compleja imaginaria, equivalente a i o j polyval(d,[z z+1]) % d(x)=x2 + 1 evaluado en x=i y x=i+1

SISTEMAS LINEALES E INVARIANTES EN EL TIEMPO - LTIEn el tiempo un sistema LTI se caracteriza por: Funcin del sistema y convolucion. Ecuacin diferencial ordinaria (EDO).

a) Funcin del sistema y convolucionUn sistema LTI caracterizado por su respuesta al impulso h(t) o funcin del sistema, permite obtener la salida para cualquier entrada a travs de la convolucion

x(t)

h(t)

()

() ()

Obtenindose h(t) para una entrada impulso x(t)=(t). Convolucion calculado numricamente (en Chapter3 Linear system analysis) La convolucion integral esta dado por

( )

( )

( )

( ) (

)

Desde que la computadora no realiza operaciones de calculo continuo, se considera evaluar y(t) numricamente. Sea t=kT, donde T es el tamao del paso de integracin.

(

)

( ) (

)

( ) ((

) )

(

)

(

)

Esta ecuacin es la convolucion suma y ser determinado usando la convolucion conv Ejemplo1: Evaluar la convolucion de x(t)=sin[2x(t)] con h(t)=e-0.5t de T=0 a 5 con T=0.1 t=0:0.15:5; x=sin(2*t); h=exp(-0.1*t); z=0.1*conv(x,h); taux=[t t+t(end)]; plot(tconv,z) % define t=KT % define x(kt) % define h(kT) % evala la convolucion % base de tiempo auxiliar para la convolucion

tconv=taux(1:length(taux)-1);

Ejercicio1) 2) Ver la expresin analtica de x(t)*h(t) en la tabla de convoluciones del libro de Lathi y graficar para comparacin con la grafica anterior. Con la escala de tiempo para la convolucion dado por el siguiente cdigo, compararlo con la escala de tiempo del ejemplo. t2=0:0.15:(2*5); figure(3) plot(t2,z) % Conserva la figura del ejemplo, para comparacin. Puede usar subplot

b) EDOs de sistemas LTIUn sistema LTI genrico esta caracterizado por una EDO de orden n, que mediante la transformada de Laplace se obtiene la FUNCION DE TRANSFERENCIAS H(s). Esta funcin de s es, tambin, la transformada de Laplace de la funcin del sistema (o respuesta al impulso) h(t). H(s) esta definida con condiciones iniciales nula. Por qu? Las formas cannicas de expresar la funcin de transferencia de un sistema LTI son:

b1) Funcin racional, es decir el cociente de polinomios, con el grado del denominador mayor o igual al grado del numerador. Por qu?

( )

( ) ( )

b2) Ganancia, polos y ceros

( ) Donde: K=ganancia para s=0

( (

)( )(

) ( ) (

)( )(

) )

zi: ceros de H(s). A las races del numerador se denominan ceros de H(s). pi: polos de H(s). A las races del denominador se denominan ceros de H(s).b3) Fracciones parciales y resto

( )

( )

B1) FUNCION RACIONAL DE LA FUNCION DE TRANSFERENCIAHay dos formas de definir la funcin de transferencia. 1) Comando tf y definicin de los polinomios P(s) y Q(s)

Ejemplo2 num=[1 1]; den=[1 5 6]; sys=tf(num,den); sys % especifica el numerador de H(s, o P(s)) % especifica el denominador de H(s), o Q(s) % especifica la funcin de transferencia del sistema % denominado sys, que es H(s) % imprime la funcin de transferencia del sistema Transfer function: s + 1 ------------s^2 + 5 s + 6 2) Definiendo la variable s como simblica y el comando tf

Ejemplo3 Consider a system with transfer function given by

( )Primero definimos la funcin de transferencia y luego declaramos en MATLAB que estamos usando s como la variable para la funcin de transferencia y H como la funcin racional de s. s=tf('s') Transfer function:

s H=4*s/(s^2+9*s+8) Transfer function: 4 s ------------s^2 + 9 s + 8

B2) GANANCIA, POLOS Y CEROSEjemplo4 Considere la funcin de transferencia del sistema

( )Determine la forma factorizada de la funcin de transferencia num=[1 -3 5 2 0]; den=[2 5 0 -3 1 -2 3 -1]; [z,p,k]=tf2zp(num,den) Z = 0 1.6641 + 1.8230i 1.6641 - 1.8230i -0.3283 p = -1.8409 -1.8409 -0.2313 -0.2313 0.5834 0.5834 0.4775 k = 0.5000() . ( . . )( . . ( )( .66 . . . )( )( .66 . . . )( )( . . ) . 66)( . . 66)( . )

+ + + -

0.1732i 0.1732i 0.8010i 0.8010i 0.3166i 0.3166i

B3) FRACCIONES PARCIALES Y RESTOEn el anlisis de sistemas de tiempo continuo, un mtodo muy til para determinar la transformada de Laplace inversa es realizar una expansin en fracciones parciales de la funcin de transferencia H(s). Matlab tiene una funcin residue que realiza esta expansin. Matlab elimina as el tedioso clculo requerido para determinar los coeficientes de la expansin en fracciones (PFE) de funciones racionales.

A. Simple PolesUna funcin de transferencia expresada como una expansin en fracciones parciales es:

Donde p(k) son los polos de la funcin de transferencia, r(k) son los coeficientes de los trminos de las fracciones parciales (llamado los residuos de los polos) y k(s) es un polinomio residuo el cual usualmente es vaco. Syntax [r,p,k]=residue(num,den); [num,den]=residue(r,p,k); % Realiza la expansin en fracciones parciales de H(s)% Convierte las fracciones parciales nuevamente a su forma polinmica

El comando residue proporciona tres piezas de informacin, a saber: (1)Los residuos se dan en el vector columna de salida r. (2)Los polos se dan en el vector columna de salida p. (3)Los trminos directos se dan en el vector fila de salida k. (a)Cuando el orden del numerador del polinomio es mas pequeo que el orden del denominador, no habr trminos directos. (b)Cuando el orden del numerador del polinomio es igual al orden del denominador, habr solo un trmino directo. (c)Cuando el orden del numerador del polinomio es mayor que el orden del denominador, habr dos trminos directos; etc. Ejemplo 5 POLOS SIMPLES Un sistema LTI esta gobernado por la funcin de transferencia dado por

Use el comando residue para obtener la expansin en fracciones parciales de H(s) num=[1 2 3]; den=[1 5 2 7]; [r,p,k]=residue(num,den) r = 0.6912 0.1544 - 0.1645i 0.1544 + 0.1645i p = -4.8840 -0.0580 + 1.1958i -0.0580 - 1.1958i k = [] % especifica el numerador de H(s) % especifica el denominador de H(s) % realiza la expansin en fracciones parciales

Ejemplo 6 POLOS MULTIPLES En este caso la forma cannica es la siguiente

Determinar los coeficientes de la expansin en fracciones parciales de la siguiente funcin de transferencia

num=[8 10]; den=conv([1 1],[1 6 12 8]); [r,p,k]=residue(num,den) r = -2.0000 -2.0000 6.0000 2.0000 p = -2.0000 -2.0000 -2.0000 -1.0000 k = []

% especifica el numerador de H(s) % especifica el denominador de H(s) % realiza la expansin en fracciones parciales

OTROS COMANDOS UTILES Comando pzmap

El comando pzmap permite visualizar los polos y ceros de un sistema lineal en el plano complejo. La multiplicidad de los polos y ceros no es especificado por pzmap. Los polos son graficados con cruces (xs), y los ceros por (0s). Ejemplo 7 Un sistema LTI es modelado por su funcin de transferencia dado por

Bosquejar la grafica de polos y ceros del sistema especificado por H(s). %Pole-zero plot of the system specified by H(s) num=[1 2 3 4]; den=[1 5 2 2 9]; sys=tf(num,den); pzmap(sys) [p,z]=pzmap(sys); % especifica el numerador de H(s) % especifica el denominador de H(s) % modelo del sistema % dibuja la grafica de polos y ceros % devuelve los polos y ceros del sistema

Comando tfdata

El comando tfdata devuelve los coeficientes de los polinomios del numerador y denominador de una funcin de transferencia que modela un sistema LTI. >>[num,den]=tfdata(sys,v) Donde sys es la funcin de transferencia del sistema y v especfica que se devuelva los coeficientes de los polinomios del numerador y denominador como vectores. Comando zpkdata

El comando zpkdata devuelve la informacin del modelo de polos y ceros a partir del modelo de polos-ceros creado por el comando zpk. La sintaxis para zpkdata es >>[z,p,k]=zpkdata(sys,v) Comandos pole y zero

Para determinar separadamente las races del numerador y denominador de una funcin de transferencia se usan los comandos pole y zero.

Ejemplo 8 Obtener los polos y ceros de la funcin de transferencia H(s)= 4s/(s2 + 9s + 8) s=tf(s) H=4*s/(s^2+9*s+8) Para obtener los polos de H y almacenarlos en la variable poles_H, procedemos como sigue: poles_H=pole(H) poles_H = -8 -1 Similarmente, los ceros de H son obtenidos como sigue y almacenados en zeros_H: zeros_H=zero(H) zeros_H = 0 Comando tf2zp

Realiza la conversin de una funcin de transferencia SIMO especificado por polinomios del numerador num y denominador den a un modelo de polos, ceros y ganancia. [Z,P,K] = TF2ZP(NUM,DEN) % Halla los ceros, polos y la ganancia

(s-z1)(s-z2)...(s-zn) H(s) = K --------------------(s-p1)(s-p2)...(s-pn) Donde den especifica los coeficientes del polinomio del denominador en potencia descendente de s. La matriz num indica los coeficientes del denominador con tantas filas como salidas existan. Los valores de los ceros se devuelven en las columnas de la matriz Z, con tantas columnas como filas existan en num. Los polos son devueltos en el vector columna P, y las ganancias de cada numerador de la funcin de transferencia en el vector K. Para funciones de transferencia de tiempo discreto, es altamente recomendable hacer iguales las longitudes el numerador y denominador para asegurar resultados correctos. Usted puede hacer esto usando la funcin EQTFLENGTH en el Toolbox de Procesamiento de Seales. Sin embargo, esta funcin nicamente maneja sistemas SISO. Comando zp2tf

Realiza la conversin de la forma de polos y ceros de la funcin de transferencia a su forma polinmica de denominador y numerador. [NUM,DEN]=ZP2TF(Z,P,K) %Forma la funcin de transferencia H(s)=num(s) / den(s)

RESPUESTA EN EL TIEMPO DE UN SISTEMA LTI A ENTRADAS ESTANDARES Y DIVERSASSe suele usar entradas de prueba para analizar el comportamiento de un sistema LTI. Entre estos tenemos: funcin impulso unitario (t), funcin escaln unitario u(t) y funcin rampa r(t). Matlab tiene comandos para obtener respuestas a estas entradas estndares. Ejemplo 9 Respuesta a un impulso unitario. Determinar la respuesta al impulso de un sistema LTI gobernado por la funcin de transferencia dado por:

% Respuesta al impulse de un num=[1 1]; den=[1 3 3]; sys=tf(num,den); t=0:0.01:10; impulse(sys,t);

sistema LTI de tiempo continuo

% especifica el numerador de H(s) % especifica el denominador de H(s) % especifica el modelo del sistema % define un vector de tiempo % grafica la respuesta al impulse, h(t)

Un mtodo alternativo es almacenar como fichero de datos la respuesta al impulso de salida y luego graficar el resultado. %Impulse response of a continuous-time LTI system t=0:0.01:10; sys=tf([1 1]),[1 3 3]); [y,t]=impulse(sys,t); plot(t,y) % specify time vector % model of the system % compute the impulse response % plot the impulse response

Ejemplo 9 Respuesta a un escaln unitario. Un sistema LTI es modelado por su funcin de transferencia dado por

Hallar la respuesta al escaln unitario. % Respuesta al escaln unitario de un sistema LTI de tiempo continuo num=[1 1]; den=[1 3 3]; % especifica el numerador de H(s) % especifica el denominador de H(s)

sys=tf(num,den) % Modelo del sistema LTI representado por la funcin de transferencia (tf) step(sys) % Grafica la respuesta al escaln para el sistema dado

Una segunda alternativa para un resultado similar puede obtenerse a travs de los siguientes pasos: %Step response of a continuous-time LTI system num=[1 1]; den=[1 3 3]; sys=tf(num,den); t=0:0.01:10; step(sys,t) % specify the numerator of H(s) % specify the denominator of H(s) % LTI system model % specify time vector % plot the step response of given system

Una tercera alternativa es almacenar los valores de salida como fichero de datos y luego graficarlo %Step response of a continuous0time LTI system t=0:0.01:10; % specify a time vector

sys=tf([1 1],[1 3 3]); % specify model of system [y,t]=step(sys,t); plot(t,y);grid; % compute the step response % plot the step response

Ejemplo 10 Respuesta a una entrada arbitraria. El comando lsim es usado para similar y graficar la respuesta de un sistema LTI a una entrada arbitraria >>lsim(sys,u,t) Donde sys es el modelo de una funcin de transferencia, u es un vector de la entrada y deber de sr de la misma longitud que el vector de tiempo t (vector de muestras de tiempo). 10.1 Dado el sistema LTI:

Graficar las respuestas para a) b) c) La respuesta al impulse. La respuesta al Escalon. La respuesta a la entrada x(t)=sin(0.5t) calculado usando tanto los comandos lsim y residue. clear all; close all; clc; num=[3 2]; den=[2 4 5 1]; sys=tf(num,den); t=0:0.01:10;

impulse(sys,t) figure(1); step(sys,t) u=sin(0.5*t); figure(2); lsim(sys,u,t) 10.2 Dado el sistema LTI:

% impulse response % step response

Graficar la respuesta del sistema a una onda cuadrada de periodo T=1 y duracin 10. num=[1 5]; den=[1 2 5]; sys=tf(num,den); [u,t]=gensig('square',1,10); subplot(2,1,1); plot(t,u) set(gca, 'Ylim',[-0.1 1.1]) subplot(2,1,2); lsim(sys,u,t) NOTA:

gensig genera seales peridicas para obtener respuesta en el tiempo de simulaciones con LSIM. [U,T] = gensig(TYPE,TAU) genera una seal escalar U de clase TYPE y periodo TAU. Las siguientes clases son aceptados:TYPE = 'sin' TYPE = 'square' TYPE = 'pulse' ------sine wave square wave periodic pulse

gensig devuelve un vector T de muestras del tiempo y el vector U de los valores de laseal para estas muestras. Todas las seales generadas tienen amplitud unitaria.

[U,T] = GENSIG(TYPE,TAU,TF,TS) especifica adems el tiempo de duracin de la seal TF y el periodo de muestreo TS del vector de tiempo t.

RESPUESTA EN FRECUENCIA DE UN SISTEMA LTI GRAFICOS DE BODE Comando bode

Si un sistema tiene una funcin de transferencia H(s), su respuesta en frecuencia, H(jw), es en general una funcin compleja, y es tpicamente representado en dos graficas separadas, uno para su magnitud y el otro para su fase, ambos funciones reales de la frecuencia angular w (rad/seg). Estas dos graficas juntas son denominadas graficas de Bode del sistema. El comando bode genera tanto las respuestas de magnitud como de fase. Sintaxis >>bode(sys) Dibuja automticamente las grficas de magnitud y fase de un sistema LTI modelado, por su funcin de transferencia H(s), especificado en matlab por sys. Estas graficas deben tener sus ejes: Escala horizontal: logartmica. Escala vertical de la magnitud en dB, definido como 20*log| ( Escala vertical de la fase, en grados. )|.

>>[mag,phase]=bode(sys,w) Esta funcin devuelve la magnitud y la fase de un sistema especificado por su funcin de transferencia H(S).La magnitud y fase son evaluados para un vector de frecuencia angular w especificado por el usuario. Para obtener una grfica con la magnitud expresada sobre un eje de frecuencia angular logartmico con semilogx(w,20*log10(mag)). Similarmente, la fase (en grados sexagecimales) sobre un eje de frecuencia logartmica es obtenido mediante semilogx(w,phase). Finalmente, si se desea tener un eje de frecuencia en Hz, use x/(2*pi) en lugar de w. >>[mag,phase,w]=bode(sys); Esta funcin devuelve la magnitud, fase y un vector w que contiene los valores de la frecuencia en rad/seg donde la respuesta en frecuencia ha sido calculada. NOTAS. Con el fin de graficar la magnitud y fase usted necesita remover las dimensiones simples de mag y phase. Esto se realiza mediante las funciones squeeze (compresin) o funcin reshape (formar de nuevo). Esto se lleva acabo como sigue: [mag, phase]=bode(sys,w); mag=squeeze(mag); phase=squeeze(phase); en decibelios

semilogx(w,20*log10(mag)) Ejemplo 11. Considere un sistema LTI g0bernado por la funcin de transferencia dado por

Dibujar la grafica de Bode % Graficas de Bode con MATLAB num=78*[1 8]; den=[1 25 625]; H=tf(num,den); [mag,phase,w]=bode(H) % specify the numerator of H(s) % specify the denominator of H(s) % specify the transfer function model % compute magnitude and phase

% Los argumentos de salida de la mag y phase son arreglos en 3-D. Necesitamos % alterar el tamao de ambos va la funcin reshape, antes de graficarlo.subplot(2,1,1); semilogx(w,reshape(mag,length(w),1));grid ylabel('|H(\omega)|') subplot(2,1,2); semilogx(w,reshape(phase,length(w),1));grid ylabel('\theta(\omega)') xlabel('\omega')

Alternativamente,los mismos resultados pueden obtenerse como sigue:

%Bode plot with MATLAB num=78*[1 8]; den=[1 25 625]; H=tf(num,den); w=1:0.02:100; % specify the numerator of H(s) % specify the denominator of H(s) % model of the system % specify a frequency vector % compute magnitude and phase % reshape mag into a column vector

[mag,phase]=bode(H,w); mag=reshape(mag,size(w));

phase=reshape(phase,size(w)); % reshape phase into a column vector subplot(2,1,1);semilogx(w,20*log10(mag));grid subplot(2,1,2);semilogx(w,phase);grid Ejemplo 12. 1. Simule la respuesta del sistema

Para la entrada sinusoidal x(t)=3cos(6t+30) sobre el intervalo de 0 t 5, asumiendo que el sistema esta en el estado cero. 2. Hallar la respuesta en frecuencia H(jw) para w=6 rad/seg 3. Calcular la salida de estado estacionario 4. Bosquejar x(t), y(t) y t=[0:0.05:5]'; x=3*cos(6*t+30*pi/180); y=lsim(num,den,x,t); [mag,phase]=bode(num,den,6); yss=3*mag*cos(6*t+(30+phase)*pi/180); subplot(2,1,1);plot(t,x,t,y,'r',t,yss,'k','LineWidth',2); set(gca,'XTick',[0:0.5:5]) title('Respuesta sinusoidal de estado estacionario') xlabel('Tiempo (seg)') ylabel('Amplitud')

( ).

( ) en una sola grafica.

Respuesta sinusoidal de estado estacionario 4Amplitud

2 0 -2 -4 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Tiempo (seg) 3.5 4 4.5 5

Comando freqs

Los comandos freqs y freqz proporciona la respuesta en frecuencia para el dominio-S y dominio-Zeta respectivamente. Diversos comandos en MATLAB son usados conjuntamente con los grficos en frecuencia, entre ellos, abs, angle, y upwrap. Los comandos abs y angle las respuestas de la magnitud y fase, respectivamente, y

unwrap elimina los saltos de tamao de 2 antes de graficar la fase.Comencemos con la respuesta en frecuencia de un sistema LTI de tiempo continuo. La funcion del sistema de un sistema de tiempo continuo puede ser escrito de la forma:

Sintaxis 1. [H,w]=freqs(num,den);

Sea la funcin de transferencia H(s), especificado por los coeficientes del numerador y denominador, num y den, de forma vectorial. La funcin freqs devuelve la respuesta en frecuencia compleja H, y un conjunto de 200 frecuencias w (rad/seg) en donde la respuesta en frecuencia han sido calculados. 2. [H,w]=freq(num,den,w);

Esta funcin devuelve la respuesta en frecuencia H de un sistema LTI especificado en trminos de su funcin de transferencia H(s). La respuesta en frecuencia compleja es evaluada para un vector de frecuencias w especificado por el usuario. 3. [H,w]=freqs(num,den);

Dibuja automticamente las graficas de la magnitud (en dB) y la fase (en grados sexagesimales de un sistema modelado por la funcin de transferencia H(s). Ejemplo 13. Graficar la respuesta en frecuencia en el dominio-S de un sistema gobernado por la siguiente funcin de transferencia

% La funcin de transferencia deber ser ingresado como % vectores de potencia descendente de s num=10; den=[1 11 10]; w=-15:0.05:15; H=freqs(num,den,w); mag=20*log10(abs(H)); % specify numerator of H(s) % specify denominator of H(s) % specify a frequency vector % Proporciona el vector de frecuencias % calcula la magnitud de la respuesta

phase=angle(H)*180/pi; % calcula la fase de la respuesta en grados % line_3dB=0.07*ones(size(w))*max(mag); line_3dB= max(mag)-3*ones(size(w)); % Dibuja la lnea de -3 dB % Dibuja la lnea de -3 dB

subplot(2,1,1);plot(w,mag,w,line_3dB,'r'); % plot magnitude response and 3-dB line subplot(2,1,2);plot(w,phase);0 -5 -10 -15 -20 -25 -30 -15

% Grafica la fase de la respuesta

-14

-13

-12

-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

150 100 50 0 -50 -100 -150 -15

-14

-13

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-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

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-3

-2

-1

0

1

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3

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5

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8

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15