Laboratorios Tópicos de Álgebra Enero 2020

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Laboratorio 1.- OPERACIONES DE MATRICES

I. Calcular las operaciones indicadas, utilizando las siguientes matrices.

𝐴 = (4 7 30 5 −12 −2 3

) 𝐵 = (13 10 15−5 7 930 8 6

) 𝐶 = (0 24 1−2 −1

)

𝐷 = (3 74 16

) 𝐸 = (1−17) 𝐹 = (

3 2−5 1

)

A) 2𝐵 + 3𝐴 SOLUCIÓN (−16 −1 158 −22 −1312 12 23

)

B) 𝐶𝐷 SOLUCIÓN (10 817 12−11 −8

)

C) (𝐶𝑡 + 𝐵𝑡)𝐴 SOLUCIÓN No se puede realizar por las dimensiones de las matrices

D) 3𝐹𝑡 − 𝐵 SOLUCIÓN No se puede realizar por las dimensiones de las matrices

II. Hallar la matriz X que cumpla las siguientes condiciones:

1) 𝑋 − 4𝐴 = 𝐵 2) 3𝐴 + 5𝑋 = 𝐵

Dado que 𝐴 = (−2 3 22 −1 1−1 −1 0

), 𝐵 = (−1 4 00 2 6−3 0 2

)

1) SOLUCIÓN (−9 16 88 −2 10−7 −4 2

) 2) SOLUCIÓN

(

1 −1 −

6

5

−6

51

3

5

03

5

2

5 )

III. Obtener AB por bloques:

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FORMAS REDUCIDAS

I. Obtener forma reducida inferior y forma reducida en escalón de las siguientes matrices.

𝐴 = (1 7 −3 0 −65 −2 2 14 106 4 9 −8 1

) 𝐵 = (2 1 −34 −2 53 2 −7

) 𝐶 = (

−2 3 −5 25 −2 7 34 −3 6 5−3 2 2 4

)

𝐷 = (6 2 1 43 3 1 54 6 3 5

) 𝐸 = (

2 −13 −23 −13 7

) 𝐹 = (

3 24 −11 −2−1 3

)

SOLUCIÓN “A” (

6 4 9 −8 1

019

3−9

2

4

3−37

6

0 0 −353

38

414

19

151

38

) SOLUCIÓN “D” (

6 2 1 4

014

3

7

3

7

3

0 0 −1

22

)

SOLUCIÓN “B” (

4 −2 5

07

2−43

4

0 09

14

) SOLUCIÓN “E” (

3 −20 90 00 0

)

SOLUCIÓN “C”

(

5 −2 7 3

011

5−11

5

16

5

0 0 751

11

0 0 0408

7 )

SOLUCIÓN “F” (

4 −1

011

4

0 00 0

)

II. Encuentre la matriz inversa (Si esta existe) utilizando únicamente operaciones elementales.

𝐴 = (2 3 18 4 3−2 5 −1

) SOLUCIÓN (

−19

16

1

2

5

161

80

1

8

3 −1 −1

)

𝐵 = (2 1 −13 2 54 −3 6

) SOLUCIÓN

(

27

73−

3

73

7

732

73

16

73−13

73

−17

73

10

73

1

73 )

C=(

2 3 2 33 6 1 57 14 3 56 12 5 4

) SOLUCIÓN

(

2 −71

48

21

16−31

24

−129

48−

7

16

13

24

01

24−3

8

5

12

017

48−

3

16

1

24 )

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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

I. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método indicado.

1) −3𝑥 − 𝑦 = 5

Inversa de Matriz de Coeficientes

2𝑥 + 3𝑦 = 6 Solución 𝑥 = −3 𝑦 = 4

2) 2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 0

𝑥 + 5𝑦 + 2𝑧 = 6 Elección Libre de Método

3𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = −2 Solución 𝑥 = −2, 𝑦 = 0, 𝑧 = 4

3) 7𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 = 1

5𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 1 Gauss

9𝑥 + 4𝑦 + 3𝑧 = −1 Solución: 𝑥 = 0, 𝑦 = −1, 𝑧 = 1

4) −7𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 0

9𝑥 − 𝑦 − 3𝑧 = 0 Gauss-Jordan

2𝑥 + 4𝑦 − 7𝑧 = 0 Solución: 𝑥 = 1

2, 𝑦 =

3

2, 𝑧 = 𝑧; 𝑧 ∈ ℝ

5) 5𝑤 + 7𝑥 − 𝑦 + 8𝑧 = 1

7𝑤 + 𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 11 Elección Libre de Método

−𝑤 − 2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 11 Solución: 𝑤 = 1 𝑥 = 0, 𝑦 = 4, 𝑧 = 0

𝑤 + 𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = −3

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Laboratorio 2.- DETERMINANTES

1. Considere el siguiente determinante |

−𝟑 −𝟏 𝟒 𝟑𝟒 −𝟐 𝟐 −𝟏𝟐 𝟏 −𝟏 −𝟐𝟏 𝟑 −𝟏 −𝟒

|

a) Calcule los menores 𝑀1,3, 𝑀2,2,𝑀2,3 𝑦 𝑀4,4

b) Calcule los cofactores 𝐶1,2, 𝐶3,3, 𝐶3,2 𝑦 𝐶2,2

II. Resolver para x

|𝟒𝒙 −𝟐𝒙 𝟑𝒙 −𝟓𝒙 𝟐𝟐 𝟒 𝟐𝒙

| = −𝟏𝟎𝒙; Solución 𝒙 = 𝟎, 𝒙 =√𝟑

𝟑, 𝒙 = −

√𝟑

𝟑

III. Hallar la inversa de la matriz (si existe), utilizando el determinante.

(

𝟑 −𝟏 −𝟒 𝟎𝟐 −𝟐 𝟐 𝟑𝟎 𝟏 𝟏 𝟏−𝟏 𝟑 𝟐 −𝟑

) Solución:

(

𝟏

𝟒

𝟏

𝟒𝟎

𝟏

𝟒𝟗

𝟕𝟔

−𝟏𝟏

𝟕𝟔

𝟏𝟐

𝟏𝟔

𝟓

𝟕𝟔−𝟕

𝟕𝟔

𝟏𝟕

𝟕𝟔

−𝟑

𝟏𝟗

𝟏𝟑

𝟕𝟔−𝟏

𝟑𝟖

−𝟑

𝟑𝟖

𝟏𝟎

𝟏𝟗

−𝟗

𝟑𝟖)

IV. Calcular los siguientes determinantes utilizando propiedades y desarrollo por menores.

𝑨 = |

𝟒 𝟐 𝟎 𝟏−𝟏 𝟑 𝟏 𝟐𝟒 𝟑 −𝟏 −𝟐𝟏 −𝟑 −𝟏 𝟐

| Solución: -72

B= |

𝟎 𝟐 −𝟐 𝟑𝟏 𝟏 −𝟏 𝟏𝟑 𝟑 −𝟏 𝟎−𝟏 𝟎 𝟎 𝟐

| Solución: -6

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Laboratorio 3.- SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES POR

DETERMINANTES

I. Resolver por el método indicado; si utiliza la inversa el procedimiento es inversa con determinantes.

a) 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 3

2𝑦 − 𝑧 = 1 Cramer SOLUCIÓN

𝑥 = 1𝑦 = 2𝑧 = 3

−𝑥 + 𝑦 = 1

b) 𝑥 + 3𝑦 − 1 = 0

2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 4 Cramer SOLUCIÓN

𝑥 =32

23

𝑦 = −2

23

𝑧 =26

23

3𝑥 + 5𝑦 + 2𝑧 = 6

c) 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 1

2𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = −1 Inversa SOLUCIÓN 𝑥 = 1𝑦 = −1𝑧 = 2

𝑥 + 5𝑦 + 3𝑧 = 2

d) 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 𝑤 = 0

−2𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 − 5𝑤 = 3 Elección Libre de Método

𝑥 = 2𝑦 = −2𝑧 = 1𝑤 = 1

−3𝑥 + 2𝑦 + +3𝑧 + 6𝑤 = −1

2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 +𝑤 = 2

II. Determinar los valores de K, para que el sistema:

a) Tenga Solución Única b) Sin solución c) Soluciones Infinitas

1) 𝑥 + 𝑦 + 𝑘𝑧 = 2 2) 𝑘𝑥 + 2𝑦 + 6𝑧 = 0

3𝑥 + 4𝑦 + 2𝑧 = 𝑘 2𝑥 + 𝑘𝑦 + 4𝑧 = 2

2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 1 2𝑥 + 𝑘𝑦 + 6𝑧 = 𝑘 − 2

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Laboratorio 4.- FRACCIONES PARCIALES

I.- En cada uno de los ejercicios descomponer la fracción dada en sus fracciones parciales simples y comprobar el

resultado.

1) 3𝑥+6

(𝑥−2)(𝑥+4) 2)

9𝑥+7

𝑥2+2𝑥−3

3) 3𝑥2−5𝑥−52

(𝑥+2)(𝑥−3)(𝑥+5) 4)

𝑥3+2𝑥2−1

𝑥2+𝑥−6

5) 𝑥2+3𝑥−2

𝑥2(2𝑥−1) 6)

9𝑥3+16𝑥2+3𝑥−10

𝑥3(𝑥+5)

7) 3𝑥2−4𝑥+5

(𝑥−1)(𝑥2+1) 8)

2𝑥3−4𝑥2+4𝑥−4

(𝑥2+2)(𝑥2+1)

9) −10𝑥2−24𝑥−48

(𝑥+2)(𝑥−3)(𝑥2+𝑥+2) 10)

2𝑥4+4𝑥3+4𝑥2+𝑥−6

𝑥4+𝑥3+3𝑥2

11) 2𝑥5+4𝑥3−3𝑥2+3𝑥−1

(𝑥2+1)3 12)

2𝑥5+9𝑥3+3𝑥2+5𝑥+4

𝑥6+2𝑥3+1

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Laboratorio 5.- FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA

I. En cada uno de los ejercicios pasar la relación dada a la forma logarítmica.

1) (1

8)2/3

=1

4 2) N = bx 3) xy = z

II. En cada uno de los ejercicios pasar la relación dada a la forma exponencial.

4) log10 100 = 2 5) logb a = c 6) log√2 1 = 0

III. En cada uno de los ejercicios hallar el logaritmo que se pide.

7) log10 1000 8)Si logb 0.01 = −2, hallar b

9)Si logb 9 = −2, hallar b 10) Si log4 N = 3, hallar N

IV. Trazar la gráfica de las siguientes funciones.

11) y = 2x 12) y = (1

2)x

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Laboratorio 6.- PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LOS LOGARITMOS

I.- En cada uno de los ejercicios expresar el logaritmo dado en función de logaritmos de expresiones más

sencillas.

1) logbx2−1

x2−4 2) logb

x(x+2)2

(x−2)4 3) logb√

x(x2−5)

(x2+3)(x2−3)

II.- En cada uno de los ejercicios hallar el valor de “x”.

4) logb x = logb 2 + 3 logb 2 − logb 4

5) logb x =1

2logb 3 + logb 4 −

1

2logb 2

6) log10 x = 2log10 3 + 3 log10 2 − 2

III.- En cada uno de los ejercicios la función inversa de la función dada.

7) y = bx+2 8) y = bx−1

x

9) y = logbx

x−1 10) y = logb

1+ √1+x2

x

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Laboratorio 7.- ECUACIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES

I. En cada uno de los ejercicios resolver la ecuación dada.

1)3x+1 = 81

2)e2x − 2e−2x − 1 = 0

3) log x − log(x − 2) = log 2

4) log 12 − log(x − 1) = log(x − 2)

5)2 log(x + 3) + log(x + 2) = 2

II. En cada uno de los ejercicios transformar la ecuación dada en otra que no contenga logaritmos.

6) log x + log y = log 4

7) 3log x − 2 log y = 1

8) 2log 2x − log(z + 2y) = log(z − 2y)

9) log(x + y) − log y = log 3 − log(x2 − xy + y2)

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Laboratorio 8.- PERMUTACIONES Y COMBINACIONES

I. Simplificar la expresión dada.

1) 3!6!

8!

2) 3!+4!

7!

II. Hallar “n” si:

3) 𝑐(𝑛 + 1,4) = 6 ∙ 𝑐(𝑛 − 1,2)

4) 𝑝(𝑛, 2) = 72

III. Resuelve los siguientes problemas

5) ¿De cuántas maneras puedes escogerse un comité compuesto de 3 hombres y 2 mujeres de

un grupo de 7 hombres y 5 mujeres?

6) ¿Cuántos números mayores de 5000 pero de cuatro dígitos se pueden formar con las cifras

2,3,5 y 7?

a) Si se permite la repetición de dígitos.

b) Sin repetir ningún dígito. 7) ¿En cuántas formas diferentes pueden acomodarse 7 llaves diferentes en un llavero

circular?

8) De cuántas maneras pueden sentarse 5 estudiantes en una fila de 8 sillas si:

(a) dos de los estudiantes insisten en sentarse juntos.

(b) dos estudiantes no desean estar juntos.

9) Hay 6 aerolíneas que vuelan entre Los Ángeles y San Francisco y cuatro líneas de

camiones que cubren la ruta san francisco-sonora. Hallar el número de maneras en una

persona puede cubrir la ruta Los Ángeles-sonora de ida y vuelta sin usar la misma compañía

dos veces.

10) De cuántas maneras pueden arreglarse en un estante 4 libros de francés, 2 libros de alemán

y 3 libros de español, de manera que los libros del mismo idioma permanezcan juntos.

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Laboratorio 9.- SUCESIONES Y SERIES

I. Determine si la sucesión dada es monótona creciente o monótona decreciente.

1) 1

3,2

5,3

7,4

9, …

2) {2𝑛 + 4}

3) { (−2)𝑛−13𝑛}

II. Determine si la sucesión dada es convergente o divergente

4) {4𝑛 + 7}

5) {2𝑛+1

𝑛+3}

III. Calcule el límite indicado

6) lim𝑥→∞

𝑥

𝑥2 +1

7) lim𝑥→0 𝑒𝑥−𝑒−𝑥

𝑠𝑒𝑛 𝑥

8) lim𝑥→∞

ln 3𝑥

3𝑥2

IV. Determinar si la serie dada es convergente o divergente. Justifique su respuesta.

9) ∑𝑛2

2𝑛∞𝑛=0

10) ∑𝑛!

3𝑛∞𝑛=0

11) ∑(−1)𝑛−1𝑛

2𝑛−1∞𝑛=1

12) ∑2𝑛−1

2𝑛∞𝑛=1

13) ∑1

2𝑛−5∞𝑛=0

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V. Halle la serie de Taylor para la función dada alrededor del punto indicado. Además, halle una serie

de Maclaurin.

14) 𝑓(𝑥) = cos(4𝑥) , 𝑥 = 𝜋

15) 𝑓(𝑥) = 𝑒3𝑥 , 𝑥 = 2

16) 𝑓(𝑥) = sin(3𝑥) , 𝑥 =𝜋

2

VI. Hallar el intervalo de convergencia de las siguientes series de potencias.

17) ∑(−1)𝑛−1𝑛

2𝑛−1∞𝑛=1

18) ∑𝑥𝑛

𝑛!∞𝑛=0