E x p e r i m e n t o s : P é n d u l o S i m p l e M o v i m i e n t o A r m o n i c o S i m p l e H i d r o d i n á m i c a

06/01/2014

[ S e l e c c i o n a r f e c h a ]

LaboratorioDe

Física II

UNIVERSIDAD NACIONAL

MAYOR DE SAN MARCOS

(Universidad del Perú, DECANA DE AMÉRICA)

FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL

CURSO: REALIDAD PERUANA

CICLO: 3°

TEMA: Labotarorios 1,2 y 3

PROFESOR: ING. REYNOSO BARBOZA

Equipo:

• IRIARTE CHIMAICO, Alexander Isrrael

• GÓMEZ AQUINO, Ana Carolina

• MALVAS ROJAS, Lisseth Anais

• MITMA ARIZA, Diego Enrique

• NINAQUISPE GIL, Paolo Esteban

• PEREZ SALAZAR, Alan Walter

• ROJAS JARAMA, Eddy German

EXPERIMENTO DE LABORATORIO N° 01

EL PÉNDULO SIMPLE

2

CIUDAD UNIVERSITARIA, 06 de febrero del 2014

“La condición general para que se repita un fenomeno es que se realice con las mismas condiciones

iniciales…” Principio de Causalidad.

1. Objetivo:

Hallar la gravedad experimental de la Facultad de Ingeniería Industrial, ubicada en la Ciudad Universitaria de

la Universidad Nacional Mayor de San Marcos.

Péndulo Simple, donde T=2π √ Lg

Comparar este resultado con el valor de la gravedad de Lima e identificar y analizar todos los errores que

contribuyen en la diferencia entre g Lima 1 = 9.782227 ms ²

y g Experimental.

2. Información Teorica:

Un péndulo simple está constituido por un cuerpo cuya masa “m” con respecto a la cuerda que sostiene

es mjuy superior, de manera que se considera toda la masa consentrada en el centro de masa del

cuerpo, que oscila entorno a un punto fijo. Para una pequeña amplitud, el péndulo simple describe un

movimineto armónico simple cuyo periodo depende solamente de la longitud del péndulo y la acelación

“g” debido a la fuerza de gravedad, y se expresa teoricamente así:

Péndulo Simple, donde T=2π √ Lg

2.1. Elementos y caracteristicas de un Pendulo Simple

Cuerpo de la masa “m” tipo plomada.

Cuerda inextensible de longitud L, de masa despreciable.

Amplitud es el angulo θ formado entre posición de dirección vertical del péndulo y la

dirección determinada por la cuerda en una posición de desplazamineto pequeño de la

masa pendular.

Oscilación completa, es el movimineto del péndulo que partiendo de una posición

extrema(un ángulo θ=8°), llega a la otra posición y vi¿uelve a la posición inicial.

El periodo T es el tiempo que se demora el péndulo en realizar una oscilación completa.

1 La aceleracion de la gravedad en Lima Peru, considerando una altitud de 110m sobre el nivel del mar y una latitude de 12. 043° S es 9.782227m/s² obtenida mediante esta erramienta de calculo en linea: http://www.metas.com.mx/utilerias/calcul...

3

3. Equipos y Meteriales:

Soporte Universal

Cuerda Inextensible

Transportador Circular

Juego de Pesas

Regla metrica

Cronometro

4. Procedimiento y tratamiento del péndulo sinple

Montaje del péndulo

Hallar el tiempo de las oscilaciones, completar y de allí el de una oscilacion, T=t10

; t es el tiempo en

segundos medidos con un cronometro.

Se aleja el péndulo de su posición de equilibrio, considerando una amplitud angular, con un

transportador radial, con un ángulo de 8°. Se observo que el péndulo oscilaba bajo la acción de su

peso que no se equilibra con la tensión de la curda; resultando oscilaciones isócronas.

Se observo la combinación de energía potencial y la energía cinética para este movimiento

oscilatorio.

5. Tablas y Resultados

4

L

o

θ °

m

Luego de realizar las oscilaciones y registrar los periodos, se obtuvo el siguiente cuadro, que nos ayudo a

realizar cálculos que nos permitan obtener la gavedad experimental (g Experimental).

n t (s) T (1/s) L (m)g= 4π

2LT 2

1 17.33 1.733 0.77 10.12172 17.7 1.77 9.70303 17.33 1.733 10.12174 17.38 1.738 10.06355 17.05 1.705 10.45696 17.36 1.736 10.08677 17.78 1.778 9.61588 17.09 1.709 10.40809 17.48 1.748 9.9487

10 17.75 1.775 9.6484

g prom= 10.0174

g Experimental= 10.0174 ms ²

E% Absoluto=g Experimental−¿ g Lima

EAbsoluto = 10.0174 ms ²

- 9.782227ms ²

= 0.2352 ms ²

E%Relativo= g Experimental−g Lima

g Limax 100=

10.0174ms ²

−9.782227 ms ²

9.782227ms ²

E%Relativo ¿10.0174

ms ²

−9.782227 ms ²

9.782227ms ²

x 100= 2.40 %

6. Conclusiones

Se concluye luego de realizar el experimento del péndulo simple que la la gravedad

experimental de la facultad de Ingenieria Industrial de la Ciudad Universitaria de UNMSM, es de

10.0174 ms ²

.

5

Luego de tomar como referencia una medida como exacta o teórica de la gravedad de Lima,

según la pagina oficial de Metas Metrologos Asocoados, es de 9.782227ms ²

, en relación a

nuestro valor experimental obtenido en el laboratorio, se encontro un error absoluto de 0.2352

ms ²

y un error relativo de 2.40%.

Las condiciones del laboratorio, no contar con materiales adecuado y el error e inexperiencia

humana, son factores importantes que afectan a los resultados finales

7. Recomendaciones

Revisar el estado de los instrumentos de medida, así como también que la posición en la quien se

encuentra no afecte las medidas tomadas posteriormente.

En el caso del resorte que de preferencia sea del mismo tamaño, ya que al armar el sistema resorte-

paralelo pueden presentarse inconvenientes en el fijamiento del sistema.

Cuando se dispongan a tomar las medidas de referencia colocarse justo en frente del sistema y observar

perpendicularmente ya que de esta, manera sus medidas serán más acertadas y por consiguiente

tendrán menos error.

Cuando tome las medidas y vea que se encuentran con demasiada diferencia una con respecto a las

otras, elimínela o reemplácela por una nueva medida, así se reducirá el margen de error.

6

EXPERIMENTO LABORATOTIO N° 02

CONSTANTES ELÁSTICAS DE LOS MATERIALES

1. OBJETIVOS:

Observar las características y condiciones de un resorte en espiral.

Determinar la constante elástica del resorte en espiral.

2. MATERIALES Y EQUIPOS:

1 regla graduada de 1m de longitud

1 regla metálica de 60cm de longitud

1 resorte en espiral de acero

1 juego de pesas mas porta pesas

3. FUNDAMENTO TEORICO:

Los sólidos cristalinos en general tienen una característica fundamental denominada “Coeficiente

elástico” que aparece como consecuencia de la aplicación de fuerzas externas de tensión o compresión,

que permiten al cuerpo de sección transversal uniforme, estirarse o comprimirse hasta un cierto grado

de elasticidad o límite de elasticidad.

7

LIMITE DE ELASTICIDAD

Se llama límite de elasticidad al punto a partir del cual la deformación deja de ser elástica.

Dentro del intervalo elástico las deformaciones se encuentran gobernadas por la ley de Hooke, que establece: “si no se sobrepasa el límite elástico, las deformaciones unitarias producidas en un cuerpo

son proporcionales a los esfuerzos que la producen”.

Se dice que un cuerpo experimenta una deformación elástica cuando recupera su forma inicial al cesar la

fuerza que la produjo. Para poder comprobar este hecho notable, usaremos un resorte en espiral al cual

aplicaremos masas sucesivas y de acuerdo a la Ley de Hooke:

F=-kx

Hallaremos su constante elástica “k”, la cual se obtendrá como la pendiente de la gráfica F vs x, donde F

es la fuerza aplicada y x el estiramiento del resorte en espiral desde su posición de equilibrio.

Las características elásticas de un material homogéneo o isotrópico quedan completamente definidas si

se conocen las constantes elásticas: Modulo de Young (E) y el Coeficiente de Poisson (σ )

Cuando, se flexiona una varilla experimenta un alargamiento por su parte convexa y una contracción por

la cóncava. El comportamiento de la varilla está determinada por el módulo de Young del material de

que está hecha, de modo que el valor de dicho modulo puede determinarse mediante experimentos de

flexión.

8

Veamos algunos módulos de elasticidad o módulo de Young.

4. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL Y RESULTADOS:

Con los datos de la tabla, determinar la constante elástica en forma analítica.

Tabla 1

N° m (g) F = m*g (N) X (m) Ki

1 50 0.491 0.008 61.313

2 75 0.736 0.037 19.885

3 100 0.981 0.064 15.328

4 125 1.226 0.11 11.148

5 150 1.472 0.137 10.741

6 175 1.717 0.165 10.405

7 200 1.962 0.196 10.010

8 225 2.207 0.224 9.854

9 250 2.453 0.26 9.433

9

NOMBRE MODULO DE YOUNG DE

ELSTICIDAD (1010 N/m)

Aluminio 6,8

Cobre 10,8

Oro 7,6

Hierro fundido 7,8

Níquel 20,6

Platino 16,7

Plata 7,4

Latón 4,6

Plomo 1,7

Acero 20,0

10 275 2.698 0.291 9.271

El resorte sin estirar tiene una cierta longitud. Al colgarle cierto peso ocurre un cambio en su

longitud del resorte.

La diferencia de la longitud final y

la inicial viene hacer la

elongación. Si duplicamos la

masa el estiramiento

también se duplicaría se

cumpliría lo que dice la ley de

Hooke donde la fuerza

restauradora es proporcional al

estiramiento.

Formula de mínimos cuadrados:

m=p∑ xy−∑ x∑ y

p∑ x2−(∑ x )2

Dónde:

10

X F (N)=Y XY X2

0.008 0.491 0.00392 0.00006

0.037 0.736 0.02722 0.00137

0.064 0.981 0.06278 0.00410

0.11 1.226 0.13489 0.01210

0.137 1.472 0.20160 0.01877

0.165 1.717 0.28326 0.02723

0.196 1.962 0.38455 0.03842

0.224 2.207 0.49442 0.05018

0.26 2.453 0.63765 0.06760

0.291 2.698 0.78505 0.08468

∑ = 1.492 ∑ = 15.941 ∑ = 3.01535 ∑ = 0.3045

M = pendiente de la recta

K =constante elástica

P = cantidad de datos

Y = datos de F

X = datos de la deformación promedio

Pero sabemos que k es también la pendiente de la recta, por tanto: m=k

Reemplazando:

k=10∗(3.01535 )−(1.492)(15.491)10∗(0.3045 )−1.492∗1.492

k= 23.78390.818936

K=29.04N /m

Hallando el Error Porcentual (E%)

E%=(Valor teorico−Valor experimentalValor teorico )100%

Reemplazando:

E%=(26.97−29.0429.04 )100%

E%=(−2.0726.97 )100%E%=7.675%

5. CONCLUSIONES:

Con la experiencia que realizamos con el resorte y la regla, nos dimos cuenta que los cuerpos

tienden a mantener su forma cuando se les aplica fuerzas externas, se debe a que las moléculas

tienen posiciones fijasen el espacio ,al comienzo los objetos variaron su forma pero una vez que la

fuerza deja de actuar regresa a su estado actual, por esta razón se les denomina cuerpos elásticos

11

Hemos comprobado en el laboratorio de un sistema-resorte que la constante de rigidez pueden

variar si el sistema se encuentra en serie o en paralelo.

Las características elásticas están definidas por el módulo de Young y el coeficiente de Poisson,

además tiene mucho que ver la naturaleza del objeto utilizado, ya que de acuerdo a eso puede

variar el resultado.

6. SUGERENCIAS Y RECOMENDACIONES:

Revisar el estado de los instrumentos de medida, así como también que la posición en la quien se

encuentra no afecte las medidas tomadas posteriormente.

En el caso del resorte que de preferencia sea del mismo tamaño, ya que al armar el sistema resorte-

paralelo pueden presentarse inconvenientes en el fijamiento del sistema.

Cuando se dispongan a tomar las medidas de referencia colocarse justo en frente del sistema y

observar perpendicularmente ya que de esta, manera sus medidas serán más acertadas y por

consiguiente tendrán menos error.

Cuando tome las medidas y vea que se encuentran con demasiada diferencia una con respecto a las

otras, elimínela o reemplácela por una nueva medida, así se reducirá el margen de error.

12

EXPERIMENTO DE LABORATORIO N° 03

HIDRODINAMICA

1. Objetivo:

Hallar el tiempo de desocupación del agua, experimentalmente y matematicamente.

2. Características y leyes generales

La hidrodinámica o fluidos en movimientos presenta varias características que pueden ser descritas

por ecuaciones matemáticas muy sencillas. Entre ellas:

Ley de Torricelli: si en un recipiente que no está tapado se encuentra un fluido y se le abre al

recipiente un orificio la velocidad con que caerá ese fluido será:

La otra ecuación matemática que describe a los fluidos en movimiento es el número de

Reynolds (adimensional):

donde es la densidad, la velocidad, es el diámetro del cilindro y es la viscosidad dinámica.

Concretamente, este número indica si el fluido es laminar o turbulento, o si está en la zona de

transición. indica laminar, turbulencia.

13

Caudal

El caudal o gasto es una de las magnitudes principales en el estudio de la hidrodinámica. Se define

como el volumen de líquido que fluye por unidad de tiempo . Sus unidades en el Sistema

Internacional son los m3/s y su expresión matemática:

Esta fórmula nos permite saber la cantidad de líquido que pasa por un conducto en cierto intervalo

de tiempo o determinar el tiempo que tardará en pasar cierta cantidad de líquido.

Ecuacion fundamental de la dinámica de fluidos

Para llegar a ella se trata que sobre un fluido actúan dos tipos de fuerzas: las de presión, por las que

cada elemento de fluido se ve afectado por los elementos rodantes, y las fuerzas exteriores que

provienen de un campo conservativo, de potencial V.

Ecuacion de continuidad

Esta expresión expresa la idea de que la masa de fluido que entra por el extremo de un tubo debe

salir por el otro extremo.

En un fluido en movimiento, las moléculas poseen una velocidad determinada, de forma que para

conocer el movimiento del fluido, hace falta determinar en cada instante su correspondiente campo

de velocidades. En dicho campo es donde se obtiene el llamado tubo de corriente. El tubo de

corriente es, por tanto, el espacio limitado por las líneas de corriente que pasan por el contorno de

una superficie, situada en el seno de un líquido.

Para obtener la expresión de continuidad hay que partir de un elemento de volumen en forma de

paralelepípedo de elemento de volumen dV, y lados dx, dy y dz.

Tratamos una pequeña masa de fluido que se mueve en un tubo. En la posición 2, con una sección

de valor A2, el fluido tiene una rapidez v2 y una densidad 2.Corriente abajo en la posición A las

cantidades son A1 , v1 y 1 .

Puesto que ningún fluido puede atravesar las paredes del tubo, entonces el gasto másico debe ser el

mismo entre los dos puntos. Matemáticamente:

A2 v2 2 = 1 A1 v1

14

Esta ecuación es una particularidad de la ecuación de continuidad y está definida para el caso de

fluidos incompresibles, es decir de densidad constante y estacionaria, por tanto, la velocidad en cada

punto es siempre la misma, aunque varíe de unos puntos a otros.

Principio de Bernoulli

El principio de Bernoulli es una consecuencia de la conservación de la energía en los líquidos en

movimiento. Establece que en un líquido incompresible y no viscoso, la suma de la presión

hidrostática, la energía cinética por unidad de volumen y la energía potencial gravitatoria por unidad

de volumen, es constante a lo largo de todo el circuito. Es decir, que dicha magnitud toma el mismo

valor en cualquier par de puntos del circuito. Su expresión matemática es:

donde es la presión hidrostática, la densidad, la aceleración de la gravedad, la altura del

punto y la velocidad del fluido en ese punto. Los subíndices 1 y 2 se refieren a los dos puntos del

circuito.

La otra ecuación que cumplen los fluidos no compresibles es la ecuación de continuidad, que

establece que el caudal es constante a lo largo de todo el circuito hidráulico:

donde es el área de la sección del conducto por donde circula el fluido y su velocidad media.

Fluidos compresibles

En el caso de fluidos compresibles, donde la ecuación de Bernouilli no es válida, es necesario utilizar

la formulación más completa deNavier y Stokes. Estas ecuaciones son la expresión matemática de la

conservación de masa y de cantidad de movimiento. Para fluidos compresibles pero no viscosos,

también llamados fluidos coloidales, se reducen a las ecuaciones de Euler.

Ley de poiseuille

Se define viscosidad a la resistencia opuesta por los fluidos al movimiento en alguna de sus partes.

Por el fenómeno de la viscosidad, la velocidad de los fluidos por los tubos crece de las paredes al

centro del tubo, ya que en los puntos pegados a la pared, el fluido se adhiere a ella frenándose por

su viscosidad. Por efecto de esta viscosidad, hay una pérdida de carga a lo largo del tubo.

Por esto a la fórmula de Bernuilli hay que sumarle un término referido a la perdida de carga y que se

denota por hf representando la perdida de carga por frotamiento.

15

Hay diferentes ecuaciones que tiene en cuenta la variable viscosidad como son las ecuaciones de

Navier. Gracias a su expresión se puede obtener la llamada ley de Poiseuille: “el caudal de fluido por

un tubo cilíndrico en régimen laminar, es directamente proporcional a la cuarta potencia del radio,

R, y a la diferencia de presiones entre la parte superior del tubo e inferior p, e inversamente

proporcional a la longitud de este, l, y al coeficiente de viscosidad del líquido, ”.

G = (R4 p) / (8l)

Número de reynolds

La distinción entre los dos tipos de flujos fue inicialmente demostrada por Reynold en 1883.

Sumergió un tubo horizontal de vidrio en un tanque de vidrio lleno de agua; el flujo de agua a través

del tubo se podía controlar mediante una válvula. La entrada del tubo controlaba la entrada de un

fino haz de agua coloreada en la entrada de corriente del flujo. Reynolds encontró que para bajas

velocidades de flujo, el chorro de agua coloreada circulaba inalterado a lo largo de la corriente

principal sin que se produjese mezcla alguna. Entonces el flujo era laminar. Al aumentar la velocidad

se alcanzaba una velocidad crítica, difuminándose la vena coloreada. Esto quiere decir que el flujo ya

no circulaba de forma laminar sino que se había alcanzado un movimiento turbulento.

Reynolds estudió las condiciones por las que se produce el cambio de un tipo de movimiento a otro y

encontró que la velocidad crítica, para la que el flujo pasa de laminar a turbulento, depende de

cuatro variables: el diámetro del tubo, así como la viscosidad, la densidad, y la velocidad lineal media

del líquido.

Esto dio lugar a la expresión siguiente:

NRe = (vd) /

Experimentalmente se comprueba que el régimen es laminar para velocidades pequeñas y de alta

viscosidad, y turbulento todo lo contrario. Asimismo la viscosidad influye en que el movimiento de

un fluido pueda ser laminar o turbulento.

El valor del número de Reynolds, Re, es dimensional y su valor es independiente de las unidades

utilizadas con tal de que sean consistentes.

Para re < 2100 tenemos flujo laminar

Para re > 4000 tenemos flujo turbulento.

Para 2100 < re < 4000 existe una zona de transición, donde el tipo de flujo puede ser tanto laminar

como turbulento. Esta ecuación solo debe utilizarse para fluidos de tipo newtoniano, es decir, la

16

mayoria de líquidos y gases; Sin embargo los hay no newtonianos, los cuales no tienen un único valor

de la viscosidad independiente del esfuerzo cortante.

3. Materiales

Depositos con agujeros

Vernier

Cronometro

Agua

Batea o balde

4. Procedimiento

Se tapo el agujero de la parte inferior del deposito, hasta llenar al ras con agua.

Paso seguido se empezo a tomar el tiempo de descarga con el cronometro desde que se destapo el

agujero inferior del deposito.

Repetimos el proceso 1 y 2 por 5 veces, siempre registrando los tiempos de descarga.

5. Calculos y Resultados del Experimento

Una masa líquida desplazándose hacia abajo a la altura h, con una velocidad v1. El punto de salida es por el

agujero en la base cuya área es A2.

Por definición: v1=dyd t

Por continuidad entre 1 y 2:

17

A2

A1

bb

a

a

h

v1× A1=v2× A2 donde A1 es variable; v2=√2gy (Torricelli)

A1=(2 x+b)2

En A1:

A1=[2( a−b2 ) yh +b ]

2

A1=[ ayh −byh

+b]2

A1=a2 y2

h2+b2+ b2 y2

h2−2ab y2

h2−2b

2 yh

+ 2abyh

Reemplazando en continuidad:

−dy [ a2 y2h2+b2+ b2 y2

h2−2ab y2

h2−2b

2 yh

+ 2abyh ]=√2gy × A2d t

18

(a-b)/2(a-b)/2

b

xx b

Thales

hy=

a−b2x

x=( a−b2 ) yh …(1)

Integrando:

t=−1A2

×1

√2g∫h0 ( a2 y2h2

+b2+ b2 y2

h2−2ab y2

h2−2b

2 yh

+2abyh )dy

y

t=−1A2

×1

√2g∫h0

( a2 y2h2+b2+ b2 y2

h2−2ab y2

h2−2b

2 yh

+ 2abyh ) y

−12 dy

t=−1A2

×1

√2g×( a2 y22h2

+b2 ln|y|+ b2 y2

2h2−2ab

h2ln|y|−2b

2 yh

+ 2abyh )0h

Reemplazando con los datos del primer recipiente (tronco de pirámide) usado en el experimento

a=14.9cm A1=222.01cm2 H=13.3 cm ∅=0.420cm

b=0.27cm e=0.23cm h=13.3−0.23=13.07cm

t=−1A2

×1

√2g×( a2 y22h2

+b2 ln|y|+ b2 y2

2h2−2ab

h2ln|y|−2b

2 yh

+ 2abyh )0.2313.3

t= −1222.01

×1

√2×10×( a2 y22h2

+b2ln|y|+ b2 y2

2h2−2ab

h2ln|y|−2b

2 yh

+ 2abyh ) ln|0.23−13.3|

t=1+1589/60

t=1 ´ 00,65

Hallamos el Error:

%E=Valor T eórico−Valor ExperimentalValor Teórico

×100

%E=1,0065−1,00811,0065

×100=−0.159%

19

Una masa líquida desplazándose hacia abajo a la altura h, con una velocidad v1. El punto de salida es por el

agujero en la base cuya área es A2.

Por definición: v1=dyd t

Por continuidad entre 1 y 2:

v1× A1=v2× A2 donde A1 es variable; v2=√2gy (Torricelli)

A1=π (r+x)2

En A1:

20

R

h

rA2

xx

R

Thales

yh= x+r2 R

x=2Ryh

−r…(1)

A1=π [ 2Ryh ]2

Reemplazando en continuidad:

−dy [ 4 R2 y2h2 ]=√2gy × A2d t

Integrando:

t=−1A2

×1

√2g×4∫

h

0 (R2 y2h2 )dyy

t=−1A2

×1

√2g×4∫

h

0

( R2 y2h2 ) y−12 dy

t=−1A2

×1

√2g×4 ( R2 y22h2 )0h

Reemplazando con los datos del primer recipiente (cilindro) usado en el experimento

H=95.20mm ∅mayor=69.4mm ∅menor=4.4mm

e=2.85mm h=95.20−2.85=92.35mm

t=−1A2

×1

√2g×4 ( R2 y22h2 ) 2.8595.20

t= −115.205

×1

√2×10×4 (R2 y22h2 ) ln|2.85−95.20|

t=0 ´ 35,80

Hallamos el Error:

%E=Valor Teórico−Valor ExperimentalValor Teórico

×100

%E=0,3580−0,34650,3580

×100=3.21%

21

6. CONCLUSIONES

Se determinó el modelo matemático para el cálculo de vaciado.

Se demuestra experimentalmente los tiempos de descarga del tronco de pirámide rectangular y el

cilindro.

22