Laboratorio delle

Macchine Matematiche

secondo incontro

CREMONA 2011

Discussione sul “compito per casa”

Costruire rette parallele

Cremona 2011

Un esempi di costruzione

A

P

B

Q

Questa è una possibile costruzione: • vi riconoscete degli elementi delle vostre costruzioni ? •avete ottenuto un prodotto analogo? Differente? In cosa? •Perché? Cremona 2011

April 21, 2023 4

Due triangoli isosceli congruenti … Diagonali che si secano…

Perpendicolare alla perpendicolare ….

Esempi di costruzioni ricostruite da Simone Banchelli con un software di DG

Rombo o parallelogramma…

Angoli alterni interni o corrispondenti congruenti…

Triangoli e Talete…

E poi variazioni di queste come: costruzioni di trapezi isosceli, di rettangoli…

Ultima scheda

Analizzare il primo passo e l’ultimo di una costruzione

Adattare la costruzione ad un compito analogo

Cremona 2011

Nelle sperimentazioni in classe

Elementi di cui tener conto

Cremona 2011

Elementi di cui tener conto…

1. Qual è la funzione dello strumento?Il compasso può essere utilizzato: • per il trasporto di misura (raggio della crf)• per disegnare circonferenze• …

Cremona 2011

2. Quali proprietà matematiche “orientano” la costruzione

• Esempio: Nella costruzione di un triangolo isoscele la proprietà che mi orienta potrebbe essere la congruenza di due lati o degli angoli…

Elementi di cui tener conto…

A B

C

Cremona 2011

Elementi di cui tener conto…

3. Quali altre proprietà geometriche osservo alla fine della costruzione?

Esempio: nel triangolo isoscele posso vedere l’asse di simmetria…

A B

C

A B

C

Cremona 2011

1. Problema di costruzioneObiettivi:• Analisi dello strumento• Riflessione sulle proprietà matematiche utilizzate• Produzione di testi “giustificativi” della

costruzione

Steps del percorso

Cremona 2011

2. Confronto di costruzioni Obiettivi:• Comprendere una costruzione diversa dalla propria• Esplicitare tutti i passaggi e giustificarli• Cogliere analogie e differenze tra la propria

costruzione e quella data (dal punto di vista sia dell’uso dello strumento, sia delle proprietà matematiche in gioco)

• Produzione di testi interpretativi

Steps del percorso

Cremona 2011

3. Ri-costruzione di una costruzioneEsempio:

Steps del percorsodopo le costruzioni dei triangoli

O

B

A

A

P

O

B

•Qual è il legame tra la prima e la seconda figura?•Perché le due rette costruite nella Fig.2 sono parallele?

Cremona 2011

Come possiamo schematizzare le diverse fasi delle attività

Quadro della mediazione semiotica(Bartolini Bussi & Mariotti)

Cremona 2011

consegnaAttività semiotica

Studente/i

cultura“testi” (segni)

matematici

“testi” (segni)situati

sapere matematico(da insegnare)

Cremona 2011

Ruolo dell’insegnante

Pianificare l’attività

Aiutare gli studenti nelle situazioni di blocco facendogli esplicitare le difficoltà

incontrateOrchestrare la fase di discussione collettiva

Cremona 2011

Da alcune sperimentazioni

Scuola secondaria di primo grado e di secondo grado

Cremona 2011

Due esempi di sperimentazioni

Scuola sec. I°- I (maggio-Giugno 2010)Ins. Fulvio Buonomo, Stefania Ferretti, Franca Postal

Obiettivi: • Saper esplorare e descrivere

gli strumenti; • saper riconoscere le

proprietà matematiche che orientano la costruzione geometrica;

• saper descrivere e giustificare la costruzione eseguita;

• saper cogliere analogie e differenze tra costruzioni diverse.

I liceo scientifico (Marzo- Maggio 2010)Ins. Simone Banchelli

Obiettivi:• Esplorazione e rivisitazione di

alcune costruzioni note e non note apprese come insieme di procedure

• Analisi delle proprietà matematiche incorporate all'interno degli oggetti fisici (riga e e compasso) utilizzate per queste costruzioni

• Dalla procedura alla dimostrazione: perché la costruzione funziona?

Fig 1.1

Scuola sec. I°- I

Scuola sec. I°- I

Dagli assiomi di congruenza (trasporto di segmenti e angoli) ….

I liceo Scientifico

“Costruisco” gli assiomi del trasportoI liceo Scientifico

… alla divisione di un segmento in n parti

I liceo Scientifico

La divisione di un segmento in n parti (un tentativo !)

I liceo Scientifico

…e ora o pantografi per le trasformazioni geometriche del

piano!

Cremona 2011

PantografoMeccanismo che stabilisce

una corrispondenza

locale tra i punti di due

regioni piane limitate

collegandole fisicamente, e

che incorpora le proprietà

che caratterizzano la

trasformazione geometrica

del piano.

April 21, 2023 25

Esplorazione del pantografo

Come è fatta la macchina

April 21, 2023 30

Cosa fa la macchina

Perché lo fa

Attività con pantografi

Al lavoro!

April 21, 2023 31

Questioni chiave

1. Come è fatta la macchina? • Caratteristiche fisiche della macchina• Movimenti possibili• Come si usa

Questioni chiave2. Cosa fa la macchina?• Si può usare per disegnare figure secondo una

trasformazione…• Le figure disegnate sono…

Questioni chiave

In un rombo le diagonali si intersecano nel loro punto medio, come in tutti i parallelogrammi, inoltre le diagonali sono tra loro perpendicolari

Proprietà geometriche della figura formata dalle aste

e modo in cui è incernierata al piano: vedremo che la forma non basta!!

3. Perché lo fa?

Simmetria assiale

Equazioni:

x'=xy'=-y

cabri

Nei pantografiil movimento e la traccia

permettono di mettere in luce la relazione (covarianza e dipendenza)

tra i due punti “trasformati”, ma anche la relazione tra le figure

prodotte dalla macchina

Rimini, 6 Aprile 2011

Qual è la matematica in gioco?

• Le trasformazioni geometriche del piano• La geometria euclidea• La geometria analitica

Quali processi?• Produzione di congetture, argomentazioni e

costruzioni di dimostrazioni• Attività di problem solving• Cosa accadrebbe se …..

Cosa succederebbe se… cambiassimo la lunghezza delle aste?

Variazioni del pantografo: quadrilateri

con i lati congruenti a due a due

Cosa succederebbe se… cambiassimo la lunghezza delle aste?Variazioni del pantografo:

quadrilateri con due lati congruenti

Associazione delle Macchine Matematichewww.macchinematematiche.org

PERCHE’ fa/non fa una simmetria assiale?

AB

C

Che cosa fa? Perché?

E se il rombo fosse incernierato alla guida in

modo diverso …

Rimini, 6 Aprile 2011