Laboratorio di Statistica

ATTIVITÀ PIANO LAUREE SCIENTIFICHE

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI NAPOLI

Federico II

CLASSI QUARTE

Indagine

“Terra promessa”

Analisi delle relazioni tra variabili

qualitativa

qualitativa

Chi quadrato

LA VERIFICA DELLE IPOTESI

1. formulazione delle ipotesi statistiche;

2. scelta delle regola di decisione adeguata;

3. confronto del valore campionario calcolato con la distribuzione campionaria sotto H0;

4. rifiuto dell’ipotesi sotto H0 in base al fatto che il valore campionario calcolato cada in una particolare regione di valori nella distribuzione campionaria specificata nell’ipotesi H0.

Verifica di ipotesi statistica

Conclusioni

1. L’ipotesi nulla è conservata (si è verificato un risultato probabile)

2. L’ipotesi nulla è respinta (si è verificato un risultato altamente

improbabile)

H0: I DUE CARATTERI SONO INDIPENDENTI

H1: I DUE CARATTERI NON SONO INDIPENDENTI

: errore di I tipo = 0,05

Funzione test: chi-quadrato

Regola di decisione:

•2 ≤ 2 accetto H0

•2 > 2 rifiuto H0

POSSIBILI DECISIONI NELLA VERIFICA D’IPOTESI

NELLA POPOLAZIONE È VERA

H0 H1

IN BASE AI

DATI

CAMPIONARI

NON SI RESPINGE H0

DECISIONE CORRETTA

(PROBABILITÀ 1- )

ERRORE 2° TIPO

(PROBABILITÀ )

SI RESPINGE H0

ERRORE 1° TIPO

(PROBABILITÀ )

DECISIONE CORRETTA

(PROBABILITÀ 1- )

Esiste una relazione tra la variabile

«Hai fiducia in te stesso?»

e «We are the Champions»?

"We are the Champions"  SI NO totale

SI 276 90 366"Hai fiducia in te stesso?" NO 72 57 129

totale 348 147 495

ESEMPIO: Verifica di indipendenza in tabelle 22 (tetracoriche)

CALCOLO DELLE FREQUENZE TEORICHE o ATTESE

a, b, c, d frequenze attese

a=348 x 366 / 495 a = 257,3

b=348 x 129 / 495 b = 90,7

c=147 x 366 / 495c = 108,7

d=147 x 129 / 495

d = 38,3

"We are the Champions"  SI NO totale

SI 257,3 (a) 108,7 (c) 366"Hai fiducia in te stesso?" NO 90,7 (b) 38,3 (d) 129

totale 348 147 495

FREQUENZE OSSERVATE E FREQUENZE ATTESE NELL’IPOTESI DI ASSENZA DI ASSOCIAZIONE

We are the championsTOTALE

Sì No

Hai fiducia

in te stesso?

SI276 O

A 257,3

90 O A 108,7

366

NO72 O

A 90,7

57 OA 38,3

129

TOTALE 348 147 495

Per ciascuna cella si calcola la differenza tra la frequenza osservata

e quella attesa (contingenza)

TEST 2 (CHI-QUADRATO)

Il valore del chi-quadrato indica presenza o assenza di associazione?

6,1713,986,322,336,1

3,38

3,3857

7,90

7,9072

7,108

7,10890

3,257

3,257276

A - O

22222

2

1

2

1

22

i j A

Per interpretare il risultato ottenuto si deve confrontare il

valore calcolato del chi-quadrato con il valore critico della

distribuzione del chi-quadrato (essendo vera H0) che

corrisponde ad una probabilità di errore pari a 0,05.

Per trovare il valore critico del chi-quadrato bisogna

consultare la tavola della distribuzione dei suoi valori. Il valore

critico è individuato entrando attraverso la colonna

corrispondente alla probabilità prescelta (0,05) e alla riga

corrispondente ai gradi di libertà (GdL) della tabella, dove:

GdL = (n° righe -1) x (n° colonne -1)

Essendo questa tabella 2X2, GdL=1.

La distribuzione chi-quadrato per alcuni valori dei gradi di libertà (gl=1, 2, 3,…)

Den

sità

Distribuzione CHI-QUADRATO

Chi-quadrato calcolato=17,6 Chi-quadrato critico =3,84

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

X2

g.l. 1

3,8

Il chi-quadrato calcolato è maggiore del chi-quadrato critico quindi si rifiuta l’ipotesi di assenza di relazione.

Esempio: Verifica di indipendenza fra le variabili «dove proseguirai gli studi» e «dove ti

piacerebbe vivere»

Campania Altra Regione

Estero Totale

Sto bene dove sto

49 16 4 69

Altro quartiere

21 6 0 27

Altra città 22 11 1 34

Altra regione

45 45 3 93

Estero 140 77 50 267

tot 277 155 58 490

Calcolo delle frequenze teoriche

Campania Altra regione

Estero Totale

Sto bene dove sto

39 21,82 8,18 69

Altro quartiere

15,26 8,54 3,20 27

Altra città 19,22 10,75 4,02 34

Altra regione 52,62 29,44 11 93

Estero 150,9 84,45 31,60 267

Totale 277 155 58 490

TEST 2 (CHI-QUADRATO)

2 =42.36

g.d.l.=4x2=8 =0.05

2 = 15.50

2 > 2 quindi i due caratteri sono dipendenti

2222222

2

1

2

1

22

6.31

6.3150

45.84

45.8477

9.150

9.150140

11

113.........

82.21

82.2116

39

3949

A - O

i j A

Indice di contingenza media quadratica del Pearson

• L’indice di contingenza quadratica media di Pearson è Φ2 = 2 /N;

• in caso di indipendenza assume il suo valore minimo che è zero;

• il valore massimo è pari a [(il più piccolo valore tra numero di righe e numero di colonne) -1];

• per renderlo normalizzato tra 0 e 1 occorre dividere il valore dell'indice per il suo valore massimo.

Coefficiente di contingenza di Pearson

= 2/N (5)

Una misura di associazione basata sul chi-quadrato è:

il coefficiente di contingenza di Pearson

Indice di YuleData una tabella tetracorica

a b

c d

L’indice di Yule si calcola :

Q di Yule

•Q=+1 i casi sono concentrati sulla diagonale ad

•Q = - 1 i casi sono concentrati sulla diagonale bc

•Q=0 i casi sono equiripartiti

Applicabile se le coppie di marginali sono entrambe equilibrate, oppure entrambe squilibrate e non vi sono una o tre celle semivuote, oppure entrambe squilibrate e una diagonale è semivuota.

"We are the Champions"  SI NO totale

SI 276 90 366"Hai fiducia in te stesso?" NO 72 57 129

totale 348 147 495

ESEMPIO n °1: Calcolo degli indici in tabelle 22 (tetracoriche)

276 57 90 720.37

276 57 90 72Q

22 17.6

0.036495N

2

2

17.60.19

495 17.6C

N

ESEMPIO n °2: Calcolo degli indici in tabelle 53

Campania Altra Regione

Estero Totale

Sto bene dove sto

49 16 4 69

Altro quartiere

21 6 0 27

Altra città 22 11 1 34

Altra regione

45 45 3 93

Estero 140 77 50 267

tot 277 155 58 490

ESEMPIO n °2: Calcolo degli indici in tabelle 53

22

2

2

42.360.086

490

42.360.08

490 42.36

N

CN

Conclusioni

Grazie per l’attenzione

Liceo Statale “Q. O. Flacco” Portici (Na)