Laboratorio Macchine Aritmetiche

La Pascalina

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Le calcolatrici meccaniche si diffusero in Europa partire dal XVII secolo, quando era ormai noto (anche se non sempre utilizzato nella pratica) il sistema di notazione posizionale

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Origini

Blaise Pascal mise a punto una macchina da calcolo (l’antenato delle attuali calcolatrici) che eseguiva addizioni e sottrazioni utilizzando una serie di ruote dentate analoghe a quelle utilizzate negli orologi dell’epoca

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Un po’ di storia…

La Pascalina, così è stata soprannominata la macchina da calcolo di Pascal, è stata una delle prime macchine da calcolo in grado di effettuare addizioni e sottrazioni con il riporto automatico delle unità

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Un po’ di storia…

Il primo esemplare di “pascalina” fu costruito da Pascal per aiutare il padre, funzionario delle imposte a gestire la propria contabilità.

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http://www2.polito.it/didattica/polymath/ICT/Htmls/Informazioni/Antologia/Pascal.htm

Nella presentazione della sua macchina, nel 1645, Pascal scriveva:

“Tu mi sarai grato dell’impegno di cui mi son fatto carico per fare in modo che tutte le operazioni che con i metodi precedenti erano penose, complicate, lunghe e mai sicure diventassero ora facili, semplici, veloci e affidabili”.

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Che cosa useremo noi

“pascaline” Zero+1 prodotte da Quercetti (ispirate all’artefatto storico)

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Domande chiave

1. Come è fatta la macchina?(Artefatto)2. Cosa fa la macchina? (Artefatto -> StrumentoProcessi di produzione di congetture e sviluppo di

argomentazioni)3. Perché?(Argomentazioni che legano la struttura e movimento

della macchina con la matematica in essa “incorporata”)

4. Cosa succederebbe se …?(Genesi condizionalitàproblem posing e solving)

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Come è fatta?

• Le componenti della macchina

• Le reazioni tra queste

• I possibili movimenti

• …

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1. Artefatto (Come è fatta la macchina)

La pascalina è costituita di cinque ruote dentate.

Ognuna è divisa in dieci settori o denti.

Sulle tre ruote in basso (“ ruote significative”) sono indicate le cifre dallo 0 al 9 del sistema decimale.

Le due ruote in alto sono ruote ausiliarie (ruote di trasmissione) che consentono, per mezzo delle barrette ad esse vincolate, di trasmettere il moto da una ruota all’altra.

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2. Strumento (Cosa fa la macchina)Rappresentazione di numeri naturali

Nella pascalina un numero è rappresentato mediante una terna di cifre:

• la ruota a destra indica le unità; • la ruota centrale indica le decine;• la ruota a sinistra indica le centinaia.

Analogie e differenze con altri strumenti di calcolo

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2. Strumento (Cosa fa la macchina) Operazioni di addizione e sottrazione

Diversi modi di sommare due numeri:• operando solo sulla ruota delle unità • operando sulle diverse ruote, girando in senso

orario a partire da …Diversi modi di sottrarre due numeri:• operando solo sulla ruota delle unità • operando sulle diverse ruote, girando in senso

antiorario a partire da …

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2. Strumento (Cosa fa la macchina)

Operazioni di addizione e sottrazione

Diversi modi di sommare due numeri:• Come combinazione di addizione e

sottrazione (completamento…)

Sulla pascalina è favorito il collegamento tra le due operazioni di addizione e

sottrazione.

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Perché lo fa?

• In che modo la macchina garantisce lo svolgimento delle operazioni?

• Quale matematica incorpora?

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3. Matematica “incorporata”

a) Assiomi di Peano (numeri naturali)• In N c’è un elemento indicato con il simbolo 0 (zero). • Esiste una funzione biunivoca o operatore (detta

successivo)• : N N* = N – {0}• La funzione inversa si chiama ‘precedente’.• Tali funzioni sono spesso richiamate con il simbolo: ‘+1’

e ‘-1’.• N è infinito ed equipotente ad un sottoinsieme proprio

(per la definizione di Dedekind).

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3. Matematica “incorporata” b) Notazione posizionaleOgni numero naturale può essere scritto come

combinazione lineare di potenze di dieci, utilizzando come coefficienti della combinazione le dieci cifre 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9:

n = ak10k + …. + a2102 + a110 + a0

Ovvero, scritto velocemente :

n = ak …. a2a1a0 

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Alcuni esempi di consegne

•Analizzare le possibili strategie di risoluzione

•Il ruolo dello strumento•I concetti matematici coinvolti

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• Usare la pascalina per svolgere le seguenti operazioni:1. 3+42. 11+93. 59+314. 155-65. 301-299

• Come avete usato la pascalina (per formare i numeri e per fare le operazioni)? Quali caratteristiche della macchina avete sfruttato? In che modo? Quali conoscenze matematiche avete messo in gioco?

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rete di strumenti (pascalina, mani, fogli,…)

schemi d’utilizzo e proprietà delle operazioni

Strumento Operazioni di addizione e sottrazione

Diversi modi di sommare due numeri: operando solo sulla ruota delle unità operando sulle diverse ruote, girando in senso

orario a partire da …

Diversi modi di sottrarre due numeri: operando solo sulla ruota delle unità operando sulle diverse ruote, girando in senso

antiorario a partire da …

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Significati matematici coinvolti

Addizione (definizione e proprietà)• L’addizione è definita ricorsivamente• L’addizione per decomposizione• L’addizione per completamento• Elemento neutro dell’addizione• Proprietà commutativa dell’addizione• Proprietà associativa dell’addizione

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Significati matematici coinvolti

Sottrazione (definizione e proprietà)• La sottrazione è definita ricorsivamente• La sottrazione per decomposizione• La sottrazione per completamento• Elemento neutro della sottrazione• Non commutativa della sottrazione• Non associativa della sottrazione

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Strumento (Cosa fa la macchina)

Operazioni di addizione e sottrazione

Sulla pascalina è favorito il collegamento tra le due operazioni di addizione e sottrazione.

E poi moltiplicazione e divisione…

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La divisione…

35 :12=?

Nella divisione gli schemi d’uso sono gli stessi che nel caso delle altre operazioni?

Che significato ha il numero che si ottiene?

• Divisione come sottrazione ripetuta• Divisione euclidea (significato di resto)

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Limiti della macchina

•Cosa succede se faccio 999 +1? Perché?•Quale risultato ottengo se faccio o -1? Oppure 3-5? Perché?•Posso fare 850+212? Che risultato ottengo? Perchè?•….

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Funzioni di successivo e precedente su un insieme finito di 1000 elementi. Operazioni su un insieme finito di 1000 elementi

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Problem solving

Si può fare l’operazione 8-3 girando le ruote SEMPRE in senso orario?

Se sì, perché; se no, perché.

Produzione di enunciatiConfronto enunciati

Produzione di argomentazioniConfronto di argomentazioni

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IL PROGETTO MMLab-ER:un esempio con la PASCALINA

Rossella GarutiDirigente scolastico e insegnante -ricercatore

Dottorato presso l’Università di Modena e Reggio Emilia

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Un esempio di laboratorio: la pascalina

1° B - 28 ALUNNIScuola media “A. Chionna”

Lizzano TARANTO20 – 24 APRILE 2009

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SCHEMA DELLE ATTIVITA’

1. La pascalina come artefatto: come è fatta la macchina?

2. Alla scoperta di alcuni schemi d’uso della Pascalina

3. L’addizione e la sottrazione: diversi schemi d’uso. Come funziona? Perché?

4. Un problema curioso: calcola 8-3=??????

5. La moltiplicazione: diversi schemi d’uso Come funziona? Perché?

6. La divisione: diversi schemi d’uso. Come funziona? Perché?

7. Criteri di divisibilità con la pascalina

8. Una lettera storica: Blaise Pascal (1645)

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SCHEMA DELLE ATTIVITA’

1. La pascalina come artefatto: come è fatta la macchina?

2. Alla scoperta di alcuni schemi d’uso della Pascalina

3. L’addizione e la sottrazione: diversi schemi d’uso. Come funziona? Perché?

4. Un problema curioso: calcola 8-3=??????

5. La moltiplicazione: diversi schemi d’uso Come funziona? Perché?

6. La divisione: diversi schemi d’uso. Come funziona? Perché?

7. Criteri di divisibilità con la pascalina

8. Una lettera storica: Blaise Pascal (1645)

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l’ARTEFATTO cioè gli INGRANAGGI

Disegna e descrivi come è fatta la pascalina senza farla “girare” (Sadmir e Tania)

1° giorno- 20 aprile 2009

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1° giorno- 20 aprile 2009

l’ARTEFATTO cioè gli INGRANAGGIDescrivi come si muove la pascalina (Giacomo)

Quando la ruota in basso a destra arriva a 9 fa muovere la ruota arancione che a sua volta muove la seconda ruota gialla. Le ruote arancioni si muovono quando una gialla arriva a 9. Le ruote dentate gialle si possono muovere sia in senso orario che antiorario. Secondo me le ruote arancioni servono a far muovere le ruote gialle

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argomentare, congetturare e dimostrareCome fare affinché si muovano tutte e 5 le ruote insieme?

Qualsiasi

Tutti

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Dimostra le congetture prodotte

Sulla Pascalina numero ruote 5

Posso provare tutte le configurazioni099 000199 100299 200….. ….

e se le ruote fossero n?

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Le domande chiave

« cosa succede se…?»

« perché?»

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La Pascalina non è ancora una MACCHINA ARITMETICA è tutt’al più un INGRANAGGIO

• FAI UN CLICK VERSO L’ALTO (ANTIORARIO)•FAI UN CLICK VERSO IL BASSO (ORARIO)

• AGGIUNGI 1•SOTTRAI 1

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STRUMENTO

Fai con la Pascalina la seguente addizione729+11=

Spiega con cura quello che fai. Spiega con cura cosa fa la macchina

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Posiziono la Pascalina a 729 e siccome 11 è composta da una decina e da una unità devo aggiungere 1 alla ruota gialla a destra che fa il riporto di 1 alla ruota centrale e poi devo aggiungere 1 a quest’ultima (Flavia)

Due diversi schemi d’uso

Posiziono la Pascalina a 729 e poi giro 11 volte la ruota gialla a destra. La Pascalina fa il riporto quindi si muove anche la ruota gialla centrale (valentina)

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Lo schema d’utilizzo di Flavia corrisponde a729 + 10+1=740

Due diversi schemi d’utilizzo

Lo schema d’utilizzo di Valentina corrisponde a729+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=740

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Diverse strategie, il problema è il PERCHE’ queste strategie funzionano!

Abbiamo posizionato la pascalina a 998 dopo abbiamo aggiunto 7 unità è ci è uscito 5 998+7=005Perché la pascalina arriva a 999 fa un giro completo esce 000 ci aggiungiamo 7 e viene 5 (Gianluca)

Per fare questa operazione devo individuare il sottraendo che è 3; per arrivare a 10 me ne mancano 7 così basta fare 7 click in senso orario e sulla ruota delle unità ci sarà 5! (Claudia)

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Se le diverse strategie funzionano, PERCHE’ funzionano?

IL LABORATORIO DI MATEMATICA: ASPETTI STORICI, EPISTEMOLOGICI, DIDATTICI E COGNITIVI. IL PROGETTO REGIONALE MMLAB-ER. Tesi di dottorato di Rossella Garuti

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http://www.mmlab.unimore.it/on-line/Home/ProgettoRegionaleEmiliaRomagna/RisultatidelProgetto/TesididottoratosulProgettoRegionale.html

Grazie!

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