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1. Objetivos

Aprender a representar gráficamente datos obtenidos experimentalmente en papel milimetrado y; en papel logarítmico.

Deducir la ecuación general de las variables; es decir hallar la relación entre las magnitudes físicas que intervienen en el experimento.

Aprender a interpolar y extrapolar datos (calcular los valores de variables dependientes para valores de variables independientes que no se hayan sido obtenidos en el experimento o; que estén fuera del rango de los mismos.

2. Materiales e instrumentos utilizados

Figura N°1(1) papel milimetrado A-4

Figura N°2 (1) Papel logarítmico

3x3

Figura N°3(1) Lápiz 2B

Figura N°4(1) regla

Figura N°5(1) Calculadora científica

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Experimento N°2

Análisis de Datos Experimentales

Figura N°6Gráfica de una función potencial

Figura N°7Gráfica de una función logarítitmica de

diferentes bases

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3. Teoría

FUNCIONES

Una función en matemáticas es un conjunto de pares ordenados donde por cada una de las primeras componentes solo existe una segunda componente. A la primera componente de cada par ordenado se le denomina variable independiente y a la segunda componente se le denomina variable independiente.Al conjunto de todas las variables independientes se le llama dominio y al conjunto de todas las variables dependientes se le llama rango o imagen.La relación entre la variable dependiente e independiente suele ser expresada mediante una ecuación. A dicha ecuación se le conoce como regla de correspondencia.En el caso concreto de Física es común representar los fenómenos físicos en donde intervienen dos magnitudes físicas en forma de funciones siendo en este caso las variables: magnitudes físicas y la regla de correspondencia: la ecuación general de dichas magnitudes.

LOGARITMO

En matemáticas, el logaritmo de un número —en una base de logaritmo determinada— es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número. Por ejemplo, el logaritmo de 1000 en base 10 es 3, porque 1000 es igual a 10 a la potencia 3: 1000 = 103 = 10×10×10.De la misma manera que la operación opuesta de la suma es la resta y la de la multiplicación la división, el cálculo de logaritmos es la operación inversa a la exponenciación de la base del logaritmo.Para representar la operación de logaritmo en una determinada base se escribe la abreviatura log y como subíndice la base y después el número resultante del que

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Figura N°8Gráfica de la altura versus envergadura

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deseamos hallar el logaritmo. Por ejemplo, 35=243 luego log3243=5. Cuando se sobreentiende la base, se puede omitir.Los logaritmos fueron introducidos por John Napier a principios del siglo XVII como un medio de simplificación de los cálculos. Estos fueron prontamente adoptados por científicos, ingenieros, banqueros y otros para realizar operaciones fácil y rápidamente, usando reglas de cálculo y tablas de logaritmos. Estos dispositivos se basan en el hecho más importante — por derecho propio — que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores:

AJUSTE POR MÍNIMOS CUADRADOS

Existen numerosas leyes físicas en las que se sabe de antemano que dos magnitudes x e y se relacionan a través de una ecuación lineal

y=mx+b

Donde las constantes b (ordenada en el origen) y m (pendiente) dependen del tipo de sistema que se

estudia y, a menudo, son los parámetros que se pretende encontrar.

EJEMPLO: La fuerza F de tracción sobre un muelle y el alargamiento l que experimenta éste están ligadas a través de una ley lineal: I=(1/K )F

con ordenada en el origen cero y donde el inverso de la pendiente (K) es una característica propia de cada muelle: la llamada constante elástica del mismo.

El método más efectivo para determinar los parámetros m y b se conoce como técnica de mínimos cuadrados.

Consiste en someter el sistema a diferentes condiciones, fijando para ello distintos valores de la variable independiente x, y anotando en cada caso el correspondiente valor medido para la variable dependiente y. De este modo se dispone de una serie de puntos (x1,y1), .... (xn,yn) que, representados gráficamente, deberían caer sobre una línea recta. Sin embargo, los errores experimentales siempre presentes hacen que no se hallen perfectamente alineados (ver Fig. 1). El método de

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Figura N°9Gráfica de la altura versus envergadura

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mínimos cuadrados determina los valores de los parámetros a y b de la recta que mejor se ajusta a los datos experimentales. Sin detallar el procedimiento, se dará aquí simplemente el resultado:

m =N ∑xy−∑x∑ yN ∑x2−(∑x)2

(1)

b = ∑x2∑ y−∑xy∑ xN ∑ x2−(∑x )2

(2)

Donde N es el número de medidas y ∑ Lrepresenta la suma de todos los datos que se indican.

4. Experimento

4.1 Procedimiento

4.1.1 EXPERIMENTO 1

El diámetro del agujero debe ser de 1.5cm

1) Se llena el tanque con agua hasta una altura de 30cm.2) Se mide el tiempo que demora el agua en descender hasta una altura de 20 cm,

a este tiempo lo llamaremos t5

3) Se mide el tiempo que demora el agua en descender hasta una altura de 10 cm, a este tiempo lo llamaremos t4

4) Se mide el tiempo que demora el agua en descender hasta una altura de 4 cm, a este tiempo lo llamaremos t3

5) Se mide el tiempo que demora el agua en descender hasta una altura de 1cm, a este tiempo lo llamaremos t2

6) Finalmente se mide el tiempo que demora el agua en vaciarse completamente, a este tiempo lo llamaremos t1

4.1.2 EXPERIMENTO 2

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4

D=1,5cm

H

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1) Se llena el tanque hasta una altura de 30 cm y luego se mide el tiempo de vaciado del agua para un agujero de diámetro de 1.5 cm.

2) Se vuelve a llenar el tanque hasta una altura de 30 cm y luego se mide el tiempo de vaciado del agua para un agujero de diámetro de 2 cm.

3) Se vuelve a llenar el tanque hasta una altura de 30 cm y luego se mide el tiempo de vaciado del agua para un agujero de diámetro de 3 cm.

4) Se vuelve a llenar el tanque hasta una altura de 30 cm y luego se mide el tiempo de vaciado del agua para un agujero de diámetro de 5 cm.

5) Se vuelve a llenar el tanque hasta una altura de 30 cm y luego se mide el tiempo de vaciado del agua para un agujero de diámetro de 7 cm.

4.2 Resultados

Se ha vaciado un tanque con agua y se miden los tiempos de vaciado para diferentes valores de diámetro del agujero y alturas del fluido en el recipiente.

4.2.1 EXPERIMENTO 1

Los tiempos obtenidos fueron:

t5=13,1; t4=16,9; t3=16,3; t2=13,2; t1=13,5

Para conocer los tiempos de vaciado para cada altura, nos fijamos que el tiempo de vaciado de 1 cm corresponde a t1, el tiempo de vaciado de 4 cm corresponde a t1+t2, el tiempo de vaciado de 10 cm corresponde a t1+t2+t3, el tiempo de vaciado de 20 cm corresponde a t1+t2+t3+t4 y el tiempo de vaciado de 30 cm corresponde t1+t2+t3+t4+t5; por lo tanto la tabla quedaría de la siguiente forma:

TABLA 1

D(cm) H(cm) 30 20 10 4 1

1,5 t(s) T1+t2+t3+t4+t5 T1+t2+t3+t4 T1+t2+t3 T1+t2 T1

Luego:

TABLA 2

D(cm) H(cm) 30 20 10 4 1

1,5 t(s) 73,0 59,9 43,0 26,7 13,5

4.2.2 EXPERIMENTO 2

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5

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TABLA 3

H(cm) D(cm) 1,5 2,0 3,0 5,0 7,0

30 T(s) 73,0 41,2 18,4 6,8 3,2

5. Análisis de resultados

5.1 Análisis CualitativoPara este experimento se ha utilizado un hoja de papel milimetrado tamaño A-4 marca HOSHI; una hoja de papel logarítmico 3x3 marca HOSHI; un lápiz 2B marca Artesco; una regla de 15 cm marca Artesco y una calculadora científica marca Casio, modelo Fx-100m

5.2 Análisis cuantitativo

5.2.1 Experimento 1

x y xy x²

Log t Log H (Log t)(log H) (log t)²

Log (73,0)=1,9 Log (30)=1,5 2,9 3,6

Log (59,9)=1,8 Log (20)=1,3 2,3 3,2

Log (43,0)=1,6 Log (10)=1,0 1,6 2,6

Log (26,7)=1,4 Log (4)=0,6 0,8 2,0

Log (13,5)=1,1 Log (1)=0 0 1,2

∑ 7,8 4,4 7,6 12,6

(∑x )² 60,8

TABLA 4

Por ajuste de rectas de rectas por mínimos cuadrados

La ecuación de la recta es : y = mx+b

Donde: x = log t ; y = log H ; b = log H0

H ˳=10−1,8 H=H ˳.tm

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6

m=5(7,6)−(7,8)(4,4 )5 (12,6)−60,8

m=1,7

b=(12,6)(4,4)−(7,6)(7,8)

5(12,6)−60,8

b=−1,8

H=H (t )=0,002 t 1,7

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H ˳= 163,2

=0.02

5.2.2 Experimento

x y xy x²

Log t Log D (Log t)(log D) (log t)²

Log (73,0)=1,9 Log (1,5)=0,2 0,4 3,6

Log (41,2)=1,6 Log (2,0)=0,3 0,5 2,6

Log (18,4)=1,3 Log (3,0)=0,5 0,5 1,7

Log (6,8)=0,8 Log (5,0)=0,7 0,6 0,6

Log (3,2)=0,5 Log (7,0)=0,8 0,4 0,3

∑ 6,1 2,5 2,4 8,8

(∑x )² 37,2

TABLA 5

Por ajuste de rectas de rectas por mínimos cuadrados

m=5(2,4 )−(6,1)(2,5)5(8,8)−37,2

m=−0,5

101,1=D˳

D ˳=12,6

b=(8,8)(2,5)−(2,4)(6,1)

5 (8,8)−37,2

b=1,1

D=D ˳.tm

D=D (t )=12,6 t−0,5

D=D ( t )=12,6√ t

6. Discusión

-La gráfica para la tabla 2 de este informe muestra una curva que asciende y está determinada por la ecuación potencial H ( t )=0,002 t1,7 , esto significa que la relación entre la altura y tiempo en este experimento es directamente proporcional.- La gráfica para la tabla 3 de este informe muestra una curva que desciende y está determinada por la ecuación potencialD (t )=12,6 t−0,5 , eso quiere decir que la relación entre el diámetro del agujero y el tiempo de vaciado es inversamente proporcional.

7. ConclusionesUniversidad Nacional del Callao - Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica

Escuela Profesional de Ingeniería Electrónica7

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-La relación entre la altura de un recipiente con un agujero y el tiempo en que este se vacía es directamente proporcional.-La relación entre el diámetro del agujero del recipiente y el tiempo en que se vacía es inversamente proporcional.-Todos los resultados de un experimento para diferentes valores de alguna magnitud siempre tienen una relación determinada por una función ya sea potencial, lineal, etc.

8. Bibliografía

http://www.optica.unican.es/.../Ajuste%20por%20mínimos%20cuadrados.doc; consultada el 18 de abril de 2014.

http://es.wikipedia.org/wiki/Logaritmo ; consultada el 19 de abril de 2014. http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica ; consultada el

19 de abril de 2014.

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