Dan Dan tefnoiutefnoiuPProfesorrofesor

PrelucrareaPrelucrarea SemnalelorSemnalelor

LucrriLucrri de de laboratorlaborator

UniversitateaUniversitatea Politehnica din Politehnica din BucuretiBucuretiFacultateaFacultatea de de AutomaticAutomatic & & CalculatoareCalculatoare

ddan.stefanoiu@acse.pub.roan.stefanoiu@acse.pub.ro

http://http://acs.curs.pub.roacs.curs.pub.ro//

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-20

0

20

40

S

p

e

c

t

r

u

[

d

B

]

Spectrul [seriei de t imp] [zgomotui colorat] evaluat cu Algoritmul [Goertzel] [FFT- timp] [FFT-frecventa]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-20

0

20

40

S

p

e

c

t

r

u

[

d

B

]

Spectrul semnalului evaluat cu funct ia FFT din MATLAB

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-202468

x 10-1 0

Frecventa normalizata

E

r

o

a

r

e

[

d

B

]

Eroarea spectrala

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-20

0

20

40

S

p

e

c

t

r

u

[

d

B

]

Spectrul [seriei de t imp] [zgomotui colorat] evaluat cu Algoritmul [Goertzel] [FFT- timp] [FFT-frecventa]

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-20

0

20

40

S

p

e

c

t

r

u

[

d

B

]

Spectrul semnalului evaluat cu funct ia FFT din MATLAB

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9-202468

x 10-1 0

Frecventa normalizata

E

r

o

a

r

e

[

d

B

]

Eroarea spectrala

abs(fft(xabs(fft(x))))[dB][dB]

http://ro.linkedin.com/pub/http://ro.linkedin.com/pub/dandan--stefanoiu/30/bb/617stefanoiu/30/bb/617

SumarSumar

qq AlgoritmulAlgoritmul FFT FFT bazatbazat pepe segmentareasegmentarea semnaluluisemnalului nn timptimp

rr AlgoritmulAlgoritmul FFT FFT bazatbazat pepe segmentareasegmentarea semnaluluisemnalului nn frecvenfrecven

BibliografieBibliografie

nn NotaiiNotaii i i conveniiconvenii

pp AlgoritmulAlgoritmul luilui GoertzelGoertzel

oo ObiectivulObiectivul lucrrilorlucrrilor de de laboratorlaborator

))nn NotaiiNotaii i i conveniiconvenii

))

))

oo ObiectivulObiectivul lucrrilorlucrrilor de de laboratorlaborator

pp AlgoritmulAlgoritmul luilui GoertzelGoertzel

ss Date de Date de intrareintrare, , prezentareaprezentarea rezultatelorrezultatelor i i punctajepunctaje

BibliografieBibliografie))

1

1. Oppenheim A.V., Schafer R. Digital Signal Processing, Prentice Hall, NJ, USA, 1985. 2. Proakis J.G., Manolakis D.G. Digital Signal Processing Principles, Algorithms and

Applications, Prentice Hall, NJ, USA, 1996. 3. Stnil O., Stanomir D. Metode matematice n Teoria Semnalelor, Editura Tehnic,

1980. 4. tefnoiu D. Introducere n Prelucrarea Numeric a Semnalelor, Tipografia

Universitii Politehnica din Bucureti, 1996. 5. tefnoiu D. Tehnici de calcul n Prelucrarea Numeric a Semnalelor, Tipografia

Universitii Politehnica din Bucureti, 1996.

BibliografieBibliografie

Curs, Examen,

Lucrri de laborator

Curs, Curs, ExamenExamen, ,

LucrriLucrri de de laboratorlaborator

Curs & ExamenCurs & Curs & ExamenExamen

2

nn NotaiiNotaii ii conveniiconvenii 1q Operatorul de ntrziere cu un pas.OperatorulOperatorul de de ntrzierentrziere cu un pas.cu un pas. N Numrul de eantioane ale semnalului

(i ale Transformatei Fourier Discrete (TFD) asociate).NumrulNumrul de de eantioaneeantioane ale ale semnaluluisemnalului(i ale (i ale TransformateiTransformatei Fourier DiscreteFourier Discrete (TFD) (TFD) asociateasociate).).

LN 2= (de (de regulregul))

nn cazcaz contrarcontrar::CompletareCompletare cu cu zerourizerouri sausautrunchieretrunchiere pnapna la prima la prima putereputere a a luilui 2 , 2 , superioarsuperioar, , respectivrespectiv inferioarinferioar luilui NN..

x Secvena discret de semnal ce trebuie analizat.SecvenaSecvena discretdiscret de de semnalsemnal cece trebuietrebuie analizatanalizat.. ( )1,0 = NxSupp X Transformata Fourier Discret asociat lui x.TransformataTransformata Fourier Fourier DiscretDiscret asociatasociat luilui x.. ( )1,0 = NXSupp

Nk

Nkew N

kdefkN

2sin2cos2

jj ==

0u Treapta unitar discret.TreaptaTreapta unitarunitar discretdiscret..

===

},2,,0{,0},2,,0{,1

][

NNNkNNNk

kdef

N ZZ

Z

Impulsul unitar periodic.ImpulsulImpulsul unitarunitar periodic.periodic.

Armonic elementar.ArmonicArmonic elementarelementar..

P

r

o

p

r

i

e

t

i

P

r

o

p

r

i

e

t

i

PeriodicitatePeriodicitate:: ;NkNkN ww

= SimetrieSimetrie::

knN

nNkN ww = )(

knN

nNkN ww =+ )(

GenerareaGenerarea impulsuluiimpulsului unitarunitar periodic:periodic:

][1

0

1

0

kNww NN

n

knN

N

n

knN Z==

=

= Z nk,** minusminus 3

oo ObiectivulObiectivul lucrrilorlucrrilor de de laboratorlaboratorImplementareaImplementarea unorunor algoritmialgoritmi eficienieficieni de de calculcalcul pentrupentru urmtoareleurmtoareleformuleformule dualeduale de de analizanaliz--sintezsintez din din PrelucrareaPrelucrarea SemnalelorSemnalelor::

))

1,0,][][1

0

= =

NkwnxkXN

n

nkN

defAnaliz(TFD)

AnalizAnaliz(TFD)(TFD)

Sintez(ITFD)

SintezSintez(ITFD)(ITFD)

1,0,][1][1

0

= =

NnwkXN

nxN

k

knN

Observaii:ObservaiiObservaii::

Se Se poatepoate artaarta cc, , pentrupentru a a calculacalcula ITFD, ITFD, esteeste suficientsuficient ss se se utilizezeutilizezedefiniiadefiniia TFD.TFD.

Se Se poatepoate verificaverifica uor uor cc: : ITFD(TFD(ITFD(TFD(xx)) )) xx..

NumrulNumrul de de operaiioperaii necesarenecesare calcululuicalculului nn implementareaimplementarea directdirect a TFD:a TFD:

[ ] [ ] 220 4~)12(24][ NNNNN ++=Onumrulnumrul de de

nmulirinmuliri realerealenumrulnumrul de de

adunriadunri realereale

((pentrupentru xx = = secvensecven discretdiscret complexcomplex, de , de duratdurat N)N)

Reducerea numrului de operaii folosind proprietilearmonicelor elementare.

ReducereaReducerea numruluinumrului de de operaiioperaii folosindfolosind proprietileproprietilearmonicelorarmonicelor elementareelementare..

4

pp AlgoritmulAlgoritmul luilui GoertzelGoertzelpp..nn Prima Prima variantvariant de de calculcalcul a TFDa TFD

Exprimare echivalent a TFDExprimareExprimare echivalentechivalent a TFDa TFD 1,0,][][1

0

)( = =

NkwnxkXN

n

nNkN

=

1,0

1

Nk

wkNN

sumsum de de convoluieconvoluieIeIeireairea la la momentulmomentul NN

a a unuiunui sistemsistem liniarliniar

khx kkhxy 1,0,][][][][

1

0

)(

0

== =

NpwnxnphnxpyN

n

npkN

nkk

1,0],[][ = NkNykX k

( )1,0 = NxSupp

Z= ppuwph kpNdef

k ,][][ 0

Funcia de transfer a sistemului

FunciaFuncia de transfer de transfer a a sistemuluisistemului

( ) 1,0,1

1][)( 10

1

0

===

NkzwzwzphzH kNp

pkN

p

pk

def

k

1>zZ= nnxnywny kkNk ],[]1[][

TeoremaTeorema ntntrzieriirzierii

))(())(( 11 zfqzfz =ZZ

Ecuaia recursiv a TFDEcuaiaEcuaia recursivrecursiv a TFDa TFD

==+=

+==

][]1[][]1[][

]1[]0[]1[]0[]0[

kXNywNxNywNy

xywyxy

kkNk

kNk

kkNk

k

# 1,0 Nk

periodicitateperiodicitate

5

Ecuaia recursiv a ieiriiEcuaiaEcuaia recursivrecursiv a a ieiriiieirii

pp AlgoritmulAlgoritmul luilui GoertzelGoertzelpp..oo A A douadoua variantvariant de de calculcalcul a TFD (a TFD (mbuntitmbuntit))

Exprimare echivalent ecuaiei recursive anterioareExprimareExprimare echivalentechivalent ecuaieiecuaiei recursive recursive anterioareanterioare

( ) 1,0,,0],[][1 1 = NkNnnxnyqw kkNnmulirenmulire foratforat cu cu ( )11 qwkN

( ) 1,0,,0],[1][2cos21 121 = + NkNnnxqwnyqqNk kNk

1,0,,0],1[][]2[2cos]1[2][ += NkNnnxwnxnyNknyny kNkkk

Schema de calculSchema de Schema de calculcalcul

1qkNw

1qNk2cos2

11q

x ky

IniializareIniializareIniializare

1,0

0]2[]1[

==

Nk

yy kk

6

pp AlgoritmulAlgoritmul luilui GoertzelGoertzelpp..pp VariantaVarianta eficienteficient de de calculcalcul a TFDa TFD

Schema anterioar de calcul se poate transforma echivalent, folosind Teorema lui TELLEGEN.Schema Schema anterioaranterioar de de calculcalcul se se poatepoate transformatransforma echivalentechivalent, , folosindfolosind TeoremaTeorema luilui TELLEGENTELLEGEN..

1qkNw

1qNk2cos2

11q

x ky Algoritmul lui GoertzelAlgoritmulAlgoritmul luilui GoertzelGoertzel

=

+=

==

]2[]1[2cos2][

][]2[]1[2cos2][

0]1[]2[

NvNvNkNv

nxnvnvNknv

vv

kkk

kkk

kk

#

#

]1[][][][ == NvwNvNykX kkNkk1,0 Nk

Numr de operaiiNumrNumr de de operaiioperaii

[ ] 21 ~)1(4)52(21][ NNNNNN +++

+

=O

** de 4 de 4 oriori maimai micmic

7

1qNk2cos2

11q

ky

kNw

x kv

Prelucrarea Semnalelor Lucrri de laborator SumarBibliografie Notaii i convenii Obiectivul lucrrilor de laborator Algoritmul lui Goertzel Algoritmul lui Goertzel Algoritmul lui Goertzel