Lajes

Lajes de Concreto Armado - 1

es13_cap2 16-Aug-2005

2. LAJES DE CONCRETO ARMADO

2.1. Lajes Macias de Concreto Armado

2.1.1. Introduo Lajes so elementos estruturais bidimensionais planos com cargas preponderantemente normais ao seu plano mdio. Considerando uma estrutura convencional, as lajes transmitem as cargas do piso s vigas, que as transmitem, por sua vez, aos pilares, atravs dos quais so as cargas transmitidas s fundaes, e da ao solo. A Figura 2.1 apresenta uma representao de laje.

Figura 2.1 Representao de uma laje [FUSCO]

O comportamento estrutural primrio das lajes o de placa (Figura 2.2), que por definio, uma estrutura de superfcie caracterizada por uma superfcie mdia (S) e uma espessura (h), com esforos externos aplicados perpendicularmente a S. As lajes possuem um papel importante no esquema resistente para as aes horizontais, comportando-se como diafragmas rgidos ou chapas, compatibilizando o deslocamento dos pilares em cada piso (contraventando-os).

2 Exemplo de um Projeto Completo de um Edifcio de Concreto Armado

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Figura 2.2 Comportamento das placas [FUSCO]

As estruturas de placas (lajes) podem ser analisadas admitindo-se as seguintes hipteses [ABNT-2]: Manuteno da seo plana aps a deformao, em faixas suficientemente

estreitas; Representao dos elementos por seu plano mdio.

Os apoios das lajes so em geral constitudos pelas vigas do piso. Nestes casos, o clculo das lajes pode ser feito de maneira simplificada como se elas fossem isoladas das vigas, com apoios (charneiras) livres rotao e indeslocveis translao, considerando-se, contudo, a continuidade de lajes contguas. Em geral, podem ser desprezados os efeitos da interao com as vigas. De fato, normalmente as flechas apresentadas pelas vigas de apoio so desprezveis quando comparadas s das lajes, justificando a considerao dos apoios como irrecalcveis. Alm disso, tambm a rigidez toro das vigas relativamente pequena face rigidez flexo da laje, permitindo-se, em geral, desprezar-se a solicitao resultante desta interao. obrigatria, entretanto, a considerao de esforos de toro inseridos nas vigas por lajes em balano, aonde a compatibilidade entre a flexo na laje e a toro na viga responsvel pelo equilbrio da laje [ISHITANI-1]. As cargas das lajes so constitudas pelo seu peso prprio, pela carga das alvenarias e dos revestimentos que nela se encontrarem e pelas aes acidentais.


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2.1.2. Classificao As lajes podem ser armadas em uma ou duas direes. As lajes armadas em uma nica direo podem ser calculadas como vigas de largura unitria (maiores detalhes podem ser encontrados em [ABNT-1], item 3.3.2.6). J as lajes armadas em duas direes, podem ser analisadas utilizando o modelo elstico-linear, com elementos de placa, utilizando o coeficiente de Poisson = 0,2 para o material elstico linear. Dentro desta sistemtica, inicialmente as lajes so calculadas isoladamente, observando-se as condies de apoio de bordo engastado ou de charneira, conforme haja continuidade ou no entre as lajes. Posteriormente feita a compatibilizao entre os momentos de bordo de lajes contguas. Os valores dos momentos fletores mximos no vo e de engastamento para as formas e condies de apoio mais comuns encontram-se tabelados, existindo tabelas publicadas por diversos autores (Kalmanock, Bars, Czrny, Timoshenko). A diferenciao entre as lajes armadas em uma e duas direes realizada comparando-se a relao entre os vos (dimenses) da laje. Desta forma, temos:

lajes armadas em cruz, quando 2x

y ll

(Figura 2.3)

Figura 2.3 Laje Armada em Cruz (Armada nas duas direes)

lajes armadas numa s direo, quando 2x

y >ll

(Figura 2.4)

V

V1 P1 P2

P P4

lx B B

A

A ly

flecha

flecha a

C

lx D

C ly 2 lx

D


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Figura 2.4 Laje Armada em Cruz (Armada nas duas direes)

Lembramos que nas lajes armadas em uma direo sempre existe uma armadura perpendicular principal, de distribuio.

2.1.3. Aes a Considerar As cargas verticais que atuam sobre as lajes so consideradas geralmente uniformes, algumas o so de fato, outras, como o caso de paredes apoiadas em lajes armadas em cruz, so transformadas em cargas uniformes utilizando hipteses simplificadoras. Referimo-nos sempre s lajes de edifcios residenciais ou comerciais; no caso de lajes de pontes, por exemplo, o clculo deve ser mais preciso. As principais cargas a se considerar so: Peso prprio da laje; Peso de eventual enchimento; Revestimento; Paredes sobre lajes; Carregamento acidental.

O mtodo para o levantamento destas cargas indicado no Captulo 1.

2.1.4. Vos Tericos Em edifcios, as vigas so geralmente de pequena largura, como no edifcio exemplo. Neste caso, pode-se adotar sempre como vo terico a distncia entre os eixos das vigas de apoio.

Por conveno, suporemos sempre

==

maiorvomenorvo

y

x

ll


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2.1.5. Determinao das Condies de Apoio das Lajes Admitem-se trs tipos de apoio para as lajes: Bordo livre: quando no h suporte (Ex.: laje em balano - Figura 2.5);

Figura 2.5 Corte de uma laje em balano (bordo livre)

Bordo apoiado: quando no h restrio dos deslocamentos verticais, sem impedir a rotao das lajes no apoio (Ex.: laje isolada apoiada por vigas - Figura 2.7);

Figura 2.6 Corte de uma laje apoiada em duas vigas (bordos apoiados)

Bordo engastado: quando h impedimento do deslocamento vertical e rotao da laje neste apoio (Ex.: lajes apoiadas por vigas de grande rigidez - Figura 2.7).

Figura 2.7 Corte de uma laje apoiada em duas vigas de grande rigidez (bordos engastados)

2.1.5.1. Lajes Isoladas Para lajes isoladas, admite-se que se utilize a seguinte conveno (Figura 2.8):


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Bordo engastado, quando tivermos vigas de apoio com grande rigidez; Bordo apoiado, quando tivermos vigas de apoio com rigidez normal; Bordo livre, quando no existirem vigas de apoio.

Figura 2.8 Conveno utilizada para a representao dos apoios

2.1.5.2. Painis de Lajes Para os painis de lajes de edifcios, quando houver lajes contguas no mesmo nvel, o bordo poder ser considerado perfeitamente engastado para o clculo da laje, como mostra a prxima figura:

Figura 2.9 Lajes contguas


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Casos Particulares

Figura 2.10 Lajes em nveis diferentes

Figura 2.11 Lajes com inrcias muito diferentes

Figura 2.12 Lajes com vos muito diferentes


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2 8,0 23,5 6,7

mp

xx

x

= l2

m py x

y

= l2

= m py x

y

l2

wp

Ehmaxx= l4

32

= 0 2,

Beton-Kalender (1976)

l ly x/ x y x y 21,00 32,4 26,5 11,9 31,2 1,05 29,2 25,0 11,3 27,6 1,10 26,1 24,4 10,9 24,7 1,15 23,7 23,9 10,4 22,3 1,20 22,0 23,8 10,1 20,3 1,25 20,2 23,6 9,8 18,7 1,30 19,0 23,7 9,6 17,3 1,35 17,8 23,7 9,3 16,1 1,40 16,8 23,8 9,2 15,1 1,45 15,8 23,9 9,0 14,2 1,50 15,1 24,0 8,9 13,5 1,55 14,3 24,0 8,8 12,8 1,60 13,8 24,0 8,7 12,2 1,65 13,2 24,0 8,6 11,7 1,70 12,8 24,0 8,5 11,2 1,75 12,3 24,0 8,45 10,8 1,80 12,0 24,0 8,4 10,5 1,85 11,5 24,0 8,35 10,1 1,90 11,3 24,0 8,3 9,9 1,95 10,9 24,0 8,25 9,6 2,00 10,8 24,0 8,2 9,4 >2 8,0 24,0 8,0 6,7

mx

mx

my

my

ly

ly

lx

lx

my


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TABELA 3 - TIPO 2B Laje com 3 bordas livremente apoiadas e

uma borda maior engastada (carga uniforme)

TABELA 4 - TIPO 3 Laje com 2 bordas adjacentes engastadas e

as outras duas livremente apoiadas (carga uniforme)

mp

xx

x

= l2

m py x

y

= l2

= m px xx

l2

wp

Ehmaxx= l4

32

= 0 2,


l ly x/ x y x y 21,00 26,5 32,4 11,9 31,2 1,05 25,7 33,3 11,3 29,2 1,10 24,4 33,9 10,9 27,4 1,15 23,3 34,5 10,5 26,0 1,20 22,3 34,9 10,2 24,8 1,25 21,4 35,2 9,9 23,8 1,30 20,7 35,4 9,7 22,9 1,35 20,1 37,8 9,4 22,1 1,40 19,7 39,9 9,3 21,5 1,45 19,2 41,1 9,1 20,9 1,50 18,8 42,5 9,0 20,4 1,55 18,3 42,5 8,9 20,0 1,60 17,8 42,5 8,8 19,6 1,65 17,5 42,5 8,7 19,3 1,70 17,2 42,5 8,6 19,0 1,75 17,0 42,5 8,5 18,7 1,80 16,8 42,5 8,4 18,5 1,85 16,5 42,5 8,3 18,3 1,90 16,4 42,5 8,3 18,1 1,95 16,3 42,5 8,3 18,0 2,00 16,2 42,5 8,3 17,8 >2 14,2 42,5 8,0 16,7

mp

xx

x

= l2

m py x

y

= l2

= m px xx

l2

= m py xy

l2

wp

Ehmaxx= l4

32

= 0 2, Beton-Kalender (1976)

l ly x/ x y x y 21,00 34,5 34,5 14,3 14,3 41,3 1,05 32,1 33,7 13,3 13,8 37,1 1,10 30,1 33,9 12,7 13,6 34,5 1,15 28,0 33,9 12,0 13,3 31,7 1,20 26,4 34,0 11,5 13,1 29,9 1,25 24,9 34,4 11,1 12,9 28,2 1,30 23,8 35,0 10,7 12,8 26,8 1,35 23,0 36,6 10,3 12,7 25,5 1,40 22,2 37,8 10,0 12,6 24,5 1,45 21,4 39,1 9,8 12,5 23,5 1,50 20,7 40,2 9,6 12,4 22,7 1,55 20,2 40,2 9,4 12,3 22,1 1,60 19,7 40,2 9,2 12,3 21,5 1,65 19,2 40,2 9,1 12,2 21,0 1,70 18,8 40,2 8,9 12,2 20,5 1,75 18,4 40,2 8,8 12,2 20,1 1,80 18,1 40,2 8,7 12,2 19,7 1,85 17,8 40,2 8,6 12,2 19,4 1,90 17,5 40,2 8,5 12,2 19,0 1,95 17,2 40,2 8,4 12,2 18,8 2,00 17,1 40,2 8,4 12,2 18,5 >2 14,2 40,2 8,0 12,0 16,7

mx

mx

my

my

ly

ly

lx

lx

mx

mx

my


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TABELA 5 - TIPO 4A Laje com 2 bordas maiores livremente apoiadas e duas bordas

menores engastadas (carga uniforme)

TABELA 6 - TIPO 4B Laje com 2 bordas maiores engastadas e duas bordas menores

livremente apoiadas (carga uniforme)

mp

xx

x

= l2

m py x

y

= l2

= m py xy

l2

wp

Ehmaxx= l4

32


l ly x/ x y x y 21,00 46,1 31,6 14,3 45,3 1,05 39,9 29,8 13,4 39,2 1,10 36,0 28,8 12,7 34,4 1,15 31,9 27,7 12,0 30,4 1,20 29,0 26,9 11,5 27,2 1,25 26,2 26,1 11,1 24,5 1,30 24,1 25,6 10,7 22,3 1,35 22,1 25,1 10,3 20,4 1,40 20,6 24,8 10,0 18,8 1,45 19,3 24,6 9,75 17,5 1,50 18,1 24,4 9,5 16,3 1,55 17,0 24,3 9,3 15,3 1,60 16,2 24,3 9,2 14,4 1,65 15,4 24,3 9,05 13,7 1,70 14,7 24,3 8,9 13,0 1,75 14,0 24,3 8,8 12,4 1,80 13,5 24,3 8,7 11,9 1,85 13,0 24,3 8,6 11,4 1,90 12,6 24,3 8,5 11,0 1,95 12,1 24,3 8,4 10,6 2,00 11,8 24,3 8,4 10,3 >2 8,0 24,3 8,0 6,7

mp

xx

x

= l2

m py x

y

= l2

= m px xx

l2

wp

Ehmaxx= l4

32

= 0 2,


l ly x/ x y x y 21,00 31,6 46,1 14,3 45,3 1,05 29,9 46,4 13,8 43,2 1,10 29,0 47,2 13,5 41,5 1,15 28,0 47,7 13,2 40,1 1,20 27,2 48,1 13,0 39,0 1,25 26,4 48,2 12,7 37,9 1,30 25,8 48,1 12,6 37,2 1,35 25,3 47,9 12,4 36,5 1,40 24,8 47,8 12,3 36,0 1,45 24,4 47,7 12,2 35,6 1,50 24,2 47,6 12,2 35,1 1,55 24,0 47,6 12,1 34,7 1,60 24,0 47,6 12,0 34,5 1,65 24,0 47,6 12,0 34,2 1,70 24,0 47,4 12,0 33,9 1,75 24,0 47,3 12,0 33,8 1,80 24,0 47,2 12,0 33,7 1,85 24,0 47,1 12,0 33,6 1,90 24,0 47,1 12,0 33,5 1,95 24,0 47,1 12,0 33,4 2,00 24,0 47,0 12,0 33,3 >2 24,0 47,0 12,0 32,0

mx

mx

my

my

mx

ly

ly

lx

lx

my

my

mx


es13_cap2 16-Aug-2005

TABELA 7 - TIPO 5A Laje com 2 bordas menores engastadas, uma borda maior engastada e

outra livremente apoiada (carga uniforme)

TABELA 8 - TIPO 5B Laje com 2 bordas maiores engastadas, uma borda menor engastada e

outra livremente apoiada (carga uniforme)

mp

xx

x

= l2

m py x

y

= l2

= m px xx

l 2

= m py xy

l2

wp

Ehmaxx= l4

32


l ly x/ x y x y 21,00 44,6 38,1 18,3 16,2 55,4 1,05 41,7 37,3 16,6 15,4 49,1 1,10 38,1 36,7 15,4 14,8 44,1 1,15 34,9 36,4 14,4 14,3 40,1 1,20 32,1 36,2 13,5 13,9 36,7 1,25 29,8 36,1 12,7 13,5 33,8 1,30 28,0 36,2 12,2 13,3 31,7 1,35 26,4 36,6 11,6 13,1 29,7 1,40 25,2 37,0 11,2 13,0 28,1 1,45 24,0 37,5 10,9 12,8 26,6 1,50 23,1 38,3 10,6 12,7 25,5 1,55 22,3 39,3 10,3 12,6 24,5 1,60 21,7 40,3 10,1 12,6 23,6 1,65 21,1 41,4 9,9 12,5 22,8 1,70 20,4 42,7 9,7 12,5 22,1 1,75 20,0 43,8 9,5 12,4 21,5 1,80 19,5 44,8 9,4 12,4 21,0 1,85 19,1 45,9 9,2 12,3 20,5 1,90 18,7 46,7 9,0 12,3 20,1 1,95 18,4 47,7 8,9 12,3 19,7 2,00 18,0 48,6 8,8 12,3 19,3 >2 14,2 48,6 8,0 12,0 16,7

mp

xx

x

= l2

m py x

y

= l2

= m px xx

l2

= m py xy

l2

wp

Ehmaxx= l4

32


l ly x/ x y x y 21,00 38,1 44,6 16,2 18,3 55,4 1,05 35,5 44,8 15,3 17,9 51,6 1,10 33,7 45,7 14,8 17,7 48,7 1,15 32,0 47,1 14,2 17,6 46,1 1,20 30,7 47,6 13,9 17,5 44,1 1,25 29,5 47,7 13,5 17,5 42,5 1,30 28,4 47,7 13,2 17,5 41,2 1,35 27,6 47,9 12,9 17,5 39,9 1,40 26,8 48,1 12,7 17,5 38,9 1,45 26,2 48,3 12,6 17,5 38,0 1,50 25,7 48,7 12,5 17,5 37,2 1,55 25,2 49,0 12,4 17,5 36,5 1,60 24,8 49,4 12,3 17,5 36,0 1,65 24,5 49,8 12,2 17,5 35,4 1,70 24,2 50,2 12,2 17,5 35,0 1,75 24,0 50,7 12,1 17,5 34,6 1,80 24,0 51,3 12,1 17,5 34,4 1,85 24,0 52,0 12,0 17,5 34,2 1,90 24,0 52,6 12,0 17,5 33,9 1,95 24,0 53,4 12,0 17,5 33,8 2,00 24,0 54,1 12,0 17,5 33,7 >2 24,0 54,0 12,0 17,5 32,0

mx

mx

my

my

mx

ly

ly

lx

lx

my

my

mx

mx

my


es13_cap2 16-Aug-2005

TABELA 9 - TIPO 6

Laje com as 4 bordas engastadas (carga uniforme)

TABELA 10 Laje com 3 bordas engastadas e uma livre

(carga triangular)

TABELA 11 Laje com 3 bordas engastadas e uma livre

(carga triangular)

mp

xx

x

= l2

m py x

y

= l2

= m px xx

l 2

= m py xy

l2

w pEhmax

x= l4

32

= 0 2,


l ly x/ x y x y 21,00 47,3 47,3 19,4 19,4 68,5 1,05 43,1 47,3 18,2 18,8 62,4 1,10 40,0 47,8 17,1 18,4 57,6 1,15 37,3 48,3 16,3 18,1 53,4 1,20 35,2 49,3 15,5 17,9 50,3 1,25 33,4 50,5 14,9 17,7 47,6 1,30 31,8 51,7 14,5 17,6 45,3 1,35 30,7 53,3 14,0 17,5 43,4 1,40 29,6 54,8 13,7 17,5 42,0 1,45 28,6 56,4 13,4 17,5 40,5 1,50 27,8 57,3 13,2 17,5 39,5 1,55 27,2 57,6 13,0 17,5 38,4 1,60 26,6 57,8 12,8 17,5 37,6 1,65 26,1 57,9 12,7 17,5 36,9 1,70 25,5 57,8 12,5 17,5 36,3 1,75 25,1 57,7 12,4 17,5 35,8 1,80 24,8 57,6 12,3 17,5 35,4 1,85 24,5 57,5 12,2 17,5 35,1 1,90 24,2 57,4 12,1 17,5 34,7 1,95 24,0 57,2 12,0 17,5 34,5 2,00 24,0 57,1 12,0 17,5 34,3 >2 24,0 57,0 12,0 17,5 32,0

l ly x/ x y x y 21,00 85,5 80,5 29,0 34,5 118

1,10 73,5 78,1 25,3 32,1 94,7

1,20 65,2 77,7 22,9 30,3 79,5

1,30 57,6 78,2 21,1 29,2 69,0

1,40 52,4 80,8 19,6 28,5 61,3

1,50 48,2 83,2 18,8 28,2 55,7

2,00 37,8 94,6 16,6 27,3 43,0

>2 33,5 94,6 15,0 26,0 34,9

l ly x/ x y x y 21,00 80,5 85,5 34,5 29,0 118

1,10 70,3 82,9 31,1 26,9 103

1,20 62,8 80,7 28,7 25,8 92,2

1,30 57,7 78,9 26,7 24,9 85,4

1,40 54,3 77,5 25,3 24,1 80,1

1,50 51,5 76,4 23,7 23,8 76,6

2,00 45,2 73,3 20,2 21,9 70,9

>2 40,0 70,0 16,0 20,0 68,0

mx

mx

my

my

mx

my

ly

ly

lx

lx

my

ly

my

my

lx

mx

mx

mx

Valem as mesmas frmulas das tabelas anteriores.

Valem as mesmas frmulas das tabelas anteriores.

my

my

mx mx

p

p


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b) Lajes Contnuas O momento em um bordo comum a duas lajes deve ser determinado a partir da compatibilizao dos momentos negativos mb1 e mb2 das lajes isoladas:

+

2b

1b

2b1b

12b

m8,0m8,02

mm

m

( 2.3 )

Ao compatibilizarmos os momentos negativos sobre os apoios, devemos corrigir o momento positivo da laje que tiver o seu momento fletor de bordo diminudo: ( )12bbiifinal,i12bbi mm5,0mmmmse +=< ( 2.4 ) O momento aplicado no bordo de uma laje em balano no pode ser reduzido.

2.1.7. Dimensionamento Flexo (Estado Limite ltimo) O dimensionamento feito para uma seo retangular de largura unitria (normalmente, b = 1 m = 100 cm) e altura igual espessura total da laje, h. a) Altura til A armadura de flexo ser distribuda na largura de 100 cm. Em geral, tm-se nos vos, num mesmo ponto, dois momentos fletores (mx e my, positivos) perpendiculares entre si. Desta forma, a cada um desses momentos corresponde uma altura til; dx para o momento fletor mx e dy para o momento fletor my. Normalmente, mx maior do que my; por isso, costuma-se adotar dx > dy; para isto, a armadura correspondente ao momento fletor my (Asy) colocada sobre a armadura correspondente ao momento fletor mx (Asx).

Figura 2.19 Altura til

y x c

h dy

dx dy dx

100 cm

Asy

Asx


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Conforme a figura, tem-se: dx = h - c - x / 2 dy = h - c - x - y / 2

( 2.5 )

onde c = cobrimento mnimo da armadura em lajes de acordo com a NBR-6118/2003; x = dimetro da armadura Asx correspondente a mx y = dimetro da armadura Asy correspondente a my . Nas lajes macias revestidas, usuais em edifcios (comercial e residencial), pode-se adotar aproximadamente: dx h - c - 0,5 cm dy h - c - 1 cm

( 2.6 )

b) Clculo das Armaduras Tem-se uma seo retangular de largura unitria (normalmente, b = 1 m = 100 cm) e altura h, sujeita a momento fletor m (mx ou my ) em valor caracterstico. A altura d igual a dx para o momento fletor mx e, dy para o momento fletor my. O momento fletor de clculo dado por: md = f mk = 1,4 mk ( 2.7 )

Figura 2.20 Armadura de flexo

Nas lajes, normalmente, a flexo conduz a um dimensionamento como pea sub-armada com armadura simples (x x34). Assim, conforme a fig. 2.8, a equao de equilbrio conduz a: 0,68 b x fcd (d - 0,4 x) = md ( 2.8 )

100 cm

h d 0,8x

md

0,85fcd

Rcd

Rsd


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resultando, para a altura da zona comprimida o valor

=cd

2d

f0,425bdm111,25dx (x x34)

( 2.9 )

e a armadura

0,4x)(dfmA

yd

ds =

( 2.10 )

onde As = Asx , para m = mx e As = Asy para m = my. Normalmente, utilizam-se as unidades kN e cm resultando m e md em kN.cm/m, x em cm e As em cm2 / m.

2.1.8. Clculo das Reaes de Apoio Para o clculo das reaes de apoio das lajes macias retangulares com carga uniforme, permite-se que as reaes em cada apoio correspondam s cargas atuantes nos tringulos ou trapzios determinados por meio das charneiras plsticas correspondentes anlise efetivada com os critrios do item 14.6.4 Anlise Plstica [NBR-6118/2003]. Estas charneiras podem ser (de maneira aproximada) representadas por retas inclinadas, a partir dos vrtices da laje, com ngulos de: 45o entre dois apoios de mesmo tipo (Figura 2.21); 60o a partir do apoio considerado engastado, se o outro for considerado

simplesmente apoiado; 90o a partir do apoio, quando a borda vizinha for livre.

Outra forma de representar estas charneiras, utilizada pelo prof. Lauro Modesto, a de traar sempre as charneiras pelas bissetrizes entre as arestas das lajes. Os resultados para o edifcio exemplo j foram apresentados no Captulo 1.


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Figura 2.21 Charneiras plsticas [FUSCO]

2.1.9. Verificao ao cisalhamento (Estado limite ltimo) (Item 19.4 da NBR 6118/2003)

As lajes macias podem prescindir de armadura transversal para resistir aos esforos de trao oriundos da fora cortante, quando a fora cortante de clculo obedecer expresso:

VSd VRd1 A resistncia de projeto ao cisalhamento dada por: VRd1 = [Rd k (1,2 + 40 1) + 0,15 cp] bw.d

( 2.11 )

onde: Rd = 0,25 fctd (Item 8.25 da NBR 6118)


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fctd = fctk,inf / c fctk,inf = 0,7.fctm fct,m = 0,3.fck2/3 1 = Asx /bw. d = (no maior que 0,02) k = [1,6 d] = (d em metros)

2.1.10. Verificao da Flecha (Estado Limite de Servio)

O modelo de comportamento da estrutura pode admitir o concreto e o ao como materiais de comportamento elstico e linear, de modo que as sees ao longo do elemento estrutural possam ter as deformaes especficas determinadas no estdio I, desde que os esforos no superem aqueles que do incio fissurao, e no estdio II, em caso contrrio. Deve ser utilizado no clculo o valor do mdulo de elasticidade secante Ecs definido abaixo, sendo obrigatria considerao do efeito da fluncia. O clculo das flechas nas lajes pode ser feito no Estdio I de comportamento do concreto (seo no fissurada) com

21

.560085,0 ckcs fE = (MPa). (Item 8.2 da NBR 6118)

( 2.12 )

O efeito da deformao lenta sobre a flecha proveniente da carga permanente pode ser considerado, de modo aproximado, dobrando-se a flecha imediata. Desta forma, deve-se verificar: aq+g lx / 250 e aq lx / 350 onde aq+g = flecha proveniente da carga total. ag = flecha devido cargas acidentais.


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2.1.10.1. Clculo do Momento de Fissurao (Item 17.3.1 da NBR 6118) Mr = (.fctm. Ic)/yt = Onde: = 1,5 para seo retangular; 1,2 para sees T ou duplo T fct,m = resistncia a trao direta do concreto, conforme item 8.2.5 da NBR6118; Ic = b.h

3/12 que momento de inrcia da seo bruta de concreto; yt = distncia do centro de gravidade fibra mais tracionada. Assim,

Se Ma (Momento aplicado) < Mr ESTDIO I (EI calculado multiplicando o Ecs por Ic)

Se Ma (Momento aplicado) Mr ESTDIO II (EI calculado como EIeq pela formula de Branson)

2.1.10.2. Clculo do Momento Equivalente Calcula-se pela formula de Branson o EIeq para considerar a perda da rigidez na seo fissurada.

ccsIIa

rc

a

rcseq 1)( I EI M

M IMM

EEI33

+=

( 2.13 )

Ecs = 0,85 x 5600.fck

1/2 ; III = o momento de inrcia da seo fissurada ESTDIO II; Calculando o xII para o ESTDIO II com e = Es/Ecs

b x II 2 ( )

2 A s e ( ) d x II ( ) 0


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Temos:

2.1.10.3. Clculo do Momento de Inrcia Equivalente Assim, pode-se calcular o momento de inrcia equivalente.

EIeq = Ec[(Mr/Ma)

3. Ic + [1- (Mr/Ma)3] III] =

( 2.14 )

Flecha Imediata ai = (b.p.lx

4) / 12.EIeq . 2 = Onde: 2 = valor da Tabelas de CZERNY p = g + 2 q = valor da carga para a combinao quase permanente (2 = 0,3 p/ edifcios residenciais); (Tabela 11.4 NBR6118) Flecha Diferida no Tempo t0 = 1 (tempo, em meses, que foi aplicado o carregamento) t > 70 (tempo, em meses, que se deseja saber o valor da flecha)

I IIb xII( )3

3 e A s d xII( )2+

t( ) t 0( ):= t 0( ) 0.68 0.996t 0( ) t 00.32:= t( ) 0.68 0.996t( ) t0.32:= (t) = 2

para t 70

para t > 70 meses


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'501 +

=f af = ai x f = (flecha diferida) Flecha Total Se levado em considerao que a estrutura esteja em ESTDIO I, temos: aT = a0 (1+), onde (t, t0) encontrado na Tabela 8.1 da NBR 6118. Se levado em considerao que a estrutura esteja em ESTDIO II, temos: aT = ai(1+ f)

2.1.11. Verificao da fissurao (Estado limite de Servio) O clculo da fissurao feito no estdio II e a verificao da abertura mxima da fissura feita, conforme a NBR6118/2003. A abertura mxima das fissuras, desde que no exceda valores da ordem de 0,2 mm a 0,4 mm, (conforme tabela 13.3 NBR6118/2003), mo tem importncia significativa na corroso das armaduras.

7,5

7,5

7,57,5

7,57,5

c < 7,5

a

(a < 15 )

Acr

Figura 2.22rea de influncia para a considerao da abertura de fissuras


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=

+=

ctmsi

si

risi

si

fEw

Ew

w

..3.

.5,12

454..5,12

2

1

12

1

11

onde:

Acr a rea da regio de envolvimento protegida pela barra i; Esi o mdulo de elasticidade do ao da barra considerada (i); i o dimetro da barra que protege a regio de envolvimento

considerada; ri a taxa de armadura em relao rea da regio de envolvimento

(Acri); si a tenso de trao no centro de gravidade da armadura, no Estdio II; 1 o coeficiente de conformao da armadura (1 em barras lisas, 1,4

barras dentadas e 2,25 barras nervuradas).

7,5

7,5 7,5

c = 1,5 cm

Acrit

7,5

7,5 7,5

c = 1,5 cm

Acrit

Figura 2.23 rea crtica da abertura de fissuras segundo NBR 6118/2003


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2.1.12. Escolha das Barras, Espaamentos e Armaduras Mnimas

Dimensionadas as armaduras e feitas todas as verificaes necessrias, resta-nos detalhar as armaduras. Para a correta escolha de bitolas e de espaamento, preciso lembrar de algumas prescries normativas: a) Bitola mxima das barras A bitola mxima, definida pela NBR 6118 :

8h

mx = ( 2.15 ) Recomenda-se utilizar como bitola mnima = 4mm e utilizar para a armadura negativa, no mnimo = 6,3mm, para evitar que esta dobre muito (pelo peso de funcionrios) antes da concretagem, o que reduz a altura til da laje. Desta forma, devemos respeitar:

8)(3,6)(4 h

mmmm

+ ( 2.16 )

b) Taxas de armadura mnimas de flexo Os valores de min estabelecidos pela NBR6118/2003, pressupem o uso do ao CA-50: Armadura Negativa: s min Armadura Positiva de lajes armadas nas 2 direes: s 0,67min Armadura Positiva (principal) de lajes armadas em uma direo: s min Armadura Positiva (secundria) de lajes armadas em uma direo: As/s 20 % da armadura principal As/s 0,9 cm/m s 0,5min fck (MPa) 20 25 30 35 40 45 50 min (As,min /Ac)

0,15 0,15 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288


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Espaamento das barras Recomenda-se o espaamento entre as barras de no mnimo 8 cm e no mximo 20 cm ou 2h.

smin = 8 cm s 20 cm (para a armadura principal limitar a 2 h)] = 20 cm Definio das barras e espaamentos

Bitolas comerciais

= dimetro nominal da barra em mm As1 = rea da seo transversal de uma barra em cm2 m1 = massa de uma barra por metro linear em kg/m

Figura 2.24 Escolha das barras (bitola x espaamento)

Calculada a rea de ao As por metro de laje, e conhecendo a rea da seo transversal de uma barra (As1) de uma determinada bitola (Tabela 2.1), determinamos a quantidade mnima de barras necessria em 1m de laje:

1s

s

AAn = ( 2.17 )

Com a quantidade de barras, determinamos o espaamento entre as barras:

( )cmemn

s 100= ( 2.18 )

Para escolher as barras e espaamentos, podemos fazer tambm uso de tabelas:

(mm) As1(cm2) m1(kg/m) 4 0,125 0,1 5 0,2 0,16

6,3 0,315 0,25 8 0,5 0,4 10 0,8 0,63

12,5 1,25 1,0

100 cm

h

s s


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Tabela 2.1 - rea da seo da armadura por metro de laje (cm2/m) Espa. Bitola cm 3,2 4 5 6,3 8 10 12,5 16 7 1,14 1,79 2,86 4,50 7,14 11,43 17,86 28,57 8 1,00 1,56 2,50 3,94 6,25 10,00 15,63 25,00 9 0,89 1,39 2,22 3,50 5,56 8,89 13,89 22,22 10 0,80 1,25 2,00 3,15 5,00 8,00 12,50 20,00 11 0,73 1,14 1,82 2,86 4,55 7,27 11,36 18,18 12 0,67 1,04 1,67 2,63 4,17 6,67 10,42 16,67 13 0,62 0,96 1,54 2,42 3,85 6,15 9,62 15,38 14 0,57 0,89 1,43 2,25 3,57 5,71 8,93 14,29 15 0,53 0,83 1,33 2,10 3,33 5,33 8,33 13,33 16 0,50 0,78 1,25 1,97 3,13 5,00 7,81 12,50 17 0,47 0,74 1,18 1,85 2,94 4,71 7,35 11,76 18 0,44 0,69 1,11 1,75 2,78 4,44 6,94 11,11 19 0,42 0,66 1,05 1,66 2,63 4,21 6,58 10,53 20 0,40 0,63 1,00 1,58 2,50 4,00 6,25 10,00

2.1.13. Detalhamento das Armaduras a) Armadura Positiva As armaduras obtidas para os momentos de vo (tambm chamadas de armaduras de momentos positivos) so, usualmente, estendidas, a favor da segurana, de apoio a apoio da laje. b) Armadura Negativa As armaduras resistentes calculadas junto aos apoios internos da laje (tambm chamadas de armaduras negativas) so estendidas de modo cobrir o diagrama de momento fletor negativo; uma extenso de lx / 4 para cada lado do apoio , normalmente, suficiente para essa finalidade (quando as lajes adjacentes tm vos no muito diferentes entre si, pode-se adotar o maior destes vos para a definio do comprimento da barra). Nas bordas da laje, junto s vigas de apoio, costuma-se posicionar uma armadura (As,borda) com extenso lx / 5, visando atenuar uma eventual fissurao proveniente do engastamento parcial da laje nestas vigas. Pode-se considerar suficiente, a As,borda correspondente min de flexo simples, no menor do que 1,5 cm2/m e


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restringindo o espaamento entre as barras a 2h (min = 0,15% para o ao CA50). Assim, As,borda = 0,0015 b h

Figura 2.25 Armadura de borda

Para as lajes em balano, usual prolongar a armadura do balano, sobre a laje adjacente, com extenso de lbalano. Quando no houver viga em algum bordo de uma laje, deve ser feito um gancho com a armadura positiva ou negativa para proteger a borda da laje.

Figura 2.26 Armadura de proteo (bordos sem vigas)

Figura 2.27 Armadura de proteo (furo em laje bordos sem vigas)

20


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2.1.14. Desenho das Armaduras Determinados a bitola e o espaamento das barras pode ser feito nos croquis das frmas um desenho esquemtico das armaduras. O esquema mais importante o da armadura negativa, onde aparecem os detalhes: comprimento da barra sem considerar os ganchos e dimenses de um lado e de outro do eixo da viga. A Figura 2.28 apresenta um arranjo das armaduras de lajes.

Figura 2.28 - Regras usuais de arranjo das armaduras de lajes


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2.1.15. Tabela de Ferros e Tabela Resumo Fica por conta do desenhista, com fiscalizao do engenheiro calculista, os detalhes restantes, como por exemplo, nmero da barra (ou posio nmero tal), nmero de barras, comprimento total da barra incluindo ganchos, etc. No fim, o desenho deve apresentar a tabela de ferros:

Comprimento (m) No. (mm) Quant. Unitrio Total ... ... ... ... ...

Figura 2.29 Tabela de Ferros

Seguida da tabela-resumo:

(mm) C. Total (m) Peso (kg)

... ... ...

Figura 2.30 Tabela Resumo

Com as tabelas-resumo, o construtor encomenda o ao necessrio obra. A coluna kg pode incluir um peso adicional de 10% como previso para as perdas inevitveis no corte das barras. Funcionamento Global das Lajes As lajes possuem grande capacidade de acomodao plstica, permitindo o clculo na ruptura em regime rgido plstico, sem maiores indagaes sobre a capacidade de rotao das charneiras plsticas. Entretanto, quando precisarmos que a laje funcione tambm como chapa: Deveremos admitir uma redistribuio mxima de 15% dos momentos negativos calculados em regime elstico, evitando a formao de charneiras plsticas; A laje no deve ser calculada pelo mtodo das charneiras plsticas.


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Trabalhando como chapa, as lajes contraventam a estrutura, ajudando a garantir a integridade estrutural tridimensional da estrutura como um todo. A garantia do comportamento de chapa das lajes decorre do detalhamento adequado das ancoragens, conforme mostram as prximas figuras.

Figura 2.31 Ancoragens das armaduras das lajes para o seu funcionamento como chapa


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2.2. Exemplo Prtico Calcular e detalhar as lajes esquematizadas na Figura 2.32 - Exemplo Dados: fck = 25 MPa (C25) ; Ao CA50 cl = 1,5 cm (cobrimento das armaduras das lajes) q = 2,0 kN/m2 (carga acidental) ; h = 10 cm vigas: bw = 12 cm ; c = 2,0 cm

Figura 2.32 - Exemplo


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a) determinao das cargas peso prprio = 0,1025 = 2,5 kN/m2 revestimento = 1,0 g = 3,5 kN/m2 (carga permanente) q = 2,0 kN/m2 (carga acidental) p = g + q = 5,5 kN/m2 (carga total) b) clculo dos momentos fletores b.1. nas lajes isoladas: tem-se L1 = L2 e L3 = L4 = L5 = L6. Laje Tipo lx ly p ly/lx x y x y mx my mx my L1 3 3,5 4,0 5,5 1,14 28,0 33,9 12,0 13,3 2,4 2,0 -5,6 -5,1 L3 5B 3,5 4,0 5,5 1,14 32,0 47,1 14,2 17,6 2,1 1,4 -4,7 -3,8 b.2. nos apoios contnuos

b.3. armaduras de flexo Laje d m md x As 8,0 mx=240 336 0,35 0,98 L1 7,5 my=200 280 0,34 0,87 8,0 m12=510 714 0,76 2,13 L2 8,0 m13=520 728 0,78 2,18 L3 8,0 mx=210 294 0,3 0,86 L4 7,5 my=140 196 0,22 0,7 L5 8,0 m34=380 532 0,56 1,57 L6 8,0 m35=470 658 0,70 1,96

Apoio mesq mdir 0,8m> mmdio mij L1-L2 my=-5,1 my=-5,1 -4,1 -5,1 m12=-5,1 L1-L3 mx=-5,6 mx=-4,7 -4,5 -5,2 m13=-5,2 L3-L4 my=-3,8 my=-3,8 -3,0 -3,8 m34=-3,8 L3-L5 my=-4,7 mx=-4,7 - - m35=-4,7


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As armaduras mnimas foram calculadas pela Tabela 17.3 da NBR/6118. Laje min Asmin Asf Escolha 0,10 1,00 1,00 L1 1,00

5c/20 0,15% 1,50 2,13 6,3c/15 L2 2,18 5c/16 L3 0,10% 1,00 1,00 L4 1,00

5c/20 L5 0,15% 1,50 1,50 5c/12 L6 1,96 6,3c/16 c) Arranjo das armaduras As armaduras esto esquematizadas na Figura 2.35. d) Verificao ao cisalhamento (Estado limite ltimo) (Item 19.4 da NBR 6118) A verificao ao cisalhamento nas lajes feita da seguinte maneira: VSd VRd1 A resistncia de projeto ao cisalhamento dada por: VRd1 = [Rd k (1,2 + 40 1) + 0,15 cp] bw.d onde: Rd = 0,25 fctd = 0,32 MPa (Item 8.25 da NBR 6118) fctd = fctk,inf / c = 1,282 Mpa fctk,inf = 0,7.fctm = 0,7. 2,565 = 1,795 MPa fctm = 0,3.fck2/3 = 0,3.25

2/3 = 2,565 MPa 1 = Asx /bw. d = 1 /100 x 8,0 = 0,125% (no maior que 0,02) k = [1,6 d] [m] = 1,6 0,08 = 1,52 1,0 onde: Asx = 1 cm

2 (considerando toda a armadura) bw = 100 cm (largura mnima da seo ao longo da altura til d); cp = NSd / Ac = 0 NSd = 0 pois no existe fora longitudinal na seo devida protenso ou carregamento. Assim,


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VRd1 = [Rd k (1,2 + 40 1) + 0,15 cp] bw.d = [0,032 x 1,52(1,2 + 40 x 0,00125)+ 0]100 x 8 VRd1 = 48,64 kN/m VSd = px . f = 4,82 x1,4 = 6,7 kN/m VRd1 = 48,64 > 6,7 = VSd No h a necessidade de estribos e) Verificao da flecha (Laje 1) (CQP) f) Clculo do Momento de Fissurao Mr = (.fct,m. Ic)/yt = (1,5 x 2565 x 8,34.10-5) / 0,05 = 6,4 kN.m Onde: = 1,5 para seo retangular; fct,m j calculado anteriormente para o cisalhamento Ic = b.h

3/12 que momento de inrcia da seo de base 100 cm ESTDIO I; yt = 0,05 cm (distncia do centro de gravidade fibra mais tracionada) Como: Mr = 6,4 kN.m > Ma = 1,79 kN.m No se faz necessrio o clculo da flecha em ESTDIO II.

Flecha Imediata

ai = (b.p.lx

4) / 12.E.I0 . 2 = (1 x 4,1x 3,54) / 12 x 1983,34 x 31,7 = 0,000815 m Onde: 2 = 31,7 (laje tipo 1 com ly/lx = 1,00); (Tabelas CZERNY) p = g + 2 q = 4,1 kN/m2 (valor da carga para a combinao quase permanente (2 = 0,3 p/ edifcios residenciais);

Flecha Diferida no Tempo (Tabela 8.1) Considerando a umidade relativa do ar em 40%, a espessura fictcia da pea em 20 cm e um perodo de 60 dias, (60, t0) = 3 encontrado na Tabela 8.1 da NBR 6118. af = ai x (t, t0) = 0,000815 x 3,0 = 0,002445 m


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Flecha Total

Como est sendo levado em considerao que a estrutura esteja em ESTDIO I, temos: aT = a0 (1+) aT = 0,000815 (1+3) = 0,00326 mm

Verificando os limites para deslocamentos aq+g lx / 250 = 3,5/250 = 0,014 m (OK! (Atende o Limite) g) Verificao da fissurao (Estado limite de Servio) O clculo da fissurao feito no estdio II e a verificao da abertura mxima da fissura feita, conforme a NBR-6118.

7,5

7,5

7,57,5

7,57,5

c < 7,5

a

(a < 15 )

Acr

Figura 2.33 rea de influncia para a considerao da abertura de fissuras

=

+=

ctmsi

si

risi

si

fEw

Ew

w

..3.

.5,12

454..5,12

2

1

12

1

11

onde: Acr a rea da regio de envolvimento protegida pela barra i; Esi o mdulo de elasticidade do ao da barra considerada (i); i o dimetro da barra que protege a regio de envolvimento considerada;


es13_cap2 16-Aug-2005

ri a taxa de armadura em relao rea da regio de envolvimento (Acri); si a tenso de trao no centro de gravidade da armadura, no Estdio II; 1 o coeficiente de conformao da armadura (1 em barras lisas, 1,4 barras

dentadas e 2,25 barras nervuradas)

7,5

7,5 7,5

c = 1,5 cm

Acrit

7,5

7,5 7,5

c = 1,5 cm

Acrit

Figura 2.34 rea crtica da abertura de fissuras segundo NBR 6118/2003

mmw

mmw

cmkNfcmkNE

cmkNAd

MAA

ctm

si

s

dsi

crit

scri

086,0256,0.21000

37,29.3.

25,2.5,125

05,0450254,04

2100037,29.

25,2.5,125

/2565,0

/21000

/37,291.8.8,0

188..8,0

%54,20254,038,39

1

2

2

1

2

2

2

==

=

+=

==

===

====

w = 0,05 mm < wklim (tab 13.3-NBR6118/2003) w < 0,4 mm OK!


es13_cap2 16-Aug-2005

Figura 2.35 Arranjo das Armaduras


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2.3. Aplicao ao Edifcio Exemplo Neste item sero apresentados os clculos das lajes L1 e L7 do edifcio exemplo, tomando como base a teoria apresentada anteriormente. Inicialmente, ser feito o clculo da laje L7 e posteriormente ser apresentado o clculo da laje L1.

2.3.1. Laje L7 A laje 7 uma laje de tipo especial: em forma de L, com duas bordas livres. Dificilmente encontraremos tabelas para tais casos. O clculo exato, pela Teoria da Elasticidade ou utilizando um programa de elementos finitos, como j dissemos, bastante trabalhoso e no se justifica pela dimenso do problema. Faremos, ento, um clculo aproximado bem simples, a favor da segurana.

2.3.1.1. Hiptese Simplificadora A faixa com 1,97m de largura apia-se nas vigas V6 e V11 e a faixa com 2,00m de largura apia-se nas vigas V18 e V20, conforme ilustra a Figura 2.36.

L7

Pd=10,77 kN/m

mx

myV6

V11

V18

V20


es13_cap2 16-Aug-2005

Figura 2.36 Simplificao adotada para o clculo da laje L7 A laje L7 apresenta carregamento permanente de 4,69 kN/cm e carregamento varivel de 3,0 kN/cm, o que resulta em um carregamento total de 7,69 kN/cm. Dessa maneira, o valor de clculo do carregamento igual a : pd = 1,4.pk = 1,4.7,69 = 10,77 kN/cm Sabendo-se os carregamentos e os vos podemos calcular os momentos nas direes x e y. Assim, temos:

kN.cm1648,58

10,77.3,58lpm

22xd

x ===

kN.cm1792,98

10,77.3,658lp

m22

ydy ===

A altura da laje L7 e o cobrimento de armadura foram adotados conforme a NBR6118/2003.

Figura 2.37 Altura e cobrimentos de armaduras das lajes com h=10cm

Conhecidos os momentos atuantes nas duas direes possvel calcular a armadura necessria. O clculo feito da seguinte maneira: Direo x mx = 1648,5 kN.cm (valor de clculo) dx = 6,5 cm

kN/cm1,7861,42,5fcd ==


es13_cap2 16-Aug-2005

kN/cm43,481,1550fyd ==

OK!cm4,080,628dxcm2,46x

.1,7866,50,425.100.1648,5111,25.7,5.

.f0,425.b.dm11d1,25x

34

2cd

2d

==


es13_cap2 16-Aug-2005

L1L2

L5

my1

mx1

mby1 mbx2

mbx

5

mb12

mb1

5

Figura 2.38 Momentos atuantes nas lajes adjacentes a L1

Conhecidos os carregamentos, os vos e as condies de vinculao das lajes isoladas pode-se obter os esforos solicitantes por meio da utilizao das Tabelas de Czerny, fornecidas no item 2.1.6.2. A laje L1 possui trs bordas livremente apoiadas e uma borda menor engastada, dessa maneira, trata-se de uma laje do Tipo 2A. A partir da relao entre os vos da laje possvel entrar na tabela citada anteriormente e obter os coeficientes para o clculo dos esforos solicitantes. Assim, temos que:

===

== 9,723,719,5

1,28432555

ll

y

y

x2ATipoTabela

x

y

kN/m9,651,4.6,891,4.ppd ===

kN.cm923,2kN.m9,2319,5

9,65.4,32.lxpmx

2

x

2d

1 ====


es13_cap2 16-Aug-2005

kN.cm759,9kN.m7,6023,7

9,65.4,32.lxpmy

2

y

2d

1 ====

kN.cm1856,6kN.m18,569,7

9,65.4,32.lxpmby

2

y

2d

1 ==== A laje L2 possui duas bordas adjacentes engastadas e duas bordas livremente apoiadas. Dessa maneira, temos uma laje do Tipo 3.

11,71,23460565

ll

x3TipoTabela

x

y = ==

kN/m10,071,4.7,191,4.ppd ===

kN.cm1821,2kN.m18,211,7

10,07.4,6.lxpmbx

2

x

2d

2 ==== A Laje L5, por sua vez, possui 2 bordas maiores engastadas, uma borda menor engastada e outra livremente apoiada. Dessa maneira, trata-se de uma laje do Tipo 5B.

16,21,01273275

ll

x5BTipoTabela

x

y = ==

kN/m9,171,4.6,551,4.ppd ===

kN.cm421,9kN.m4,216,2

9,17.2,73.lxpmbx

2

x

2d

5 ==== Aps calcular os momentos negativos atuantes na laje 1 e nas lajes adjacentes necessrio ento fazer a compatibilizao dos momentos fletores negativos. O momento compatibilizado o maior valor entre a mdia dos momentos negativos e 80% do maior momento negativo. Dessa maneira, temos na continuidade das lajes L1 e L2 a seguinte compatibilizao:


es13_cap2 16-Aug-2005

==

=+=+

kN.cm1485,30,8.1856,60,8.mby

kN.cm1838,92

1821,21856,62

mbxmby

mb

1

21

12

Na continuidade existente entre as lajes L1 e L5 o momento compatibilizado dado por:

==

==

kN.cm337,50,8.421,90,8.mbx

kN.cm2112

421,92

mbx

mb

5

5

15

Feita a compatibilizao dos momentos negativos necessrio corrigir os momentos positivos da laje L1. Isto feito da seguinte maneira:

kN.cm768,82

1838,91856,6759,92

mbmbymymymbymb 12111112 =+=+=<

kN.cm923,2mx0mbxmb 1115 ==> Uma vez obtidos os esforos finais (momentos corrigidos e compatibilizados), podemos ento calcular as armaduras necessrias. A rotina de clculo para o clculo das armaduras a mesma apresentada para a laje L7. Dessa maneira, temos: mx1 = 923,2 kN.cm (valor de clculo) d = 7,5 cm

kN/cm1,7861,42,5fcd ==

kN/cm43,481,1550fyd ==


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OK!4,7cm0,628dxcm1,1x

.1,7867,50,425.100.923,2111,25.7,5.

.f0,425.b.dm111,25.dx

34

2cd

2d

==


es13_cap2 16-Aug-2005

onde: Asx = 3 cm

2 (considerando toda a armadura) bw = 100 cm (largura mnima da seo ao longo da altura til d); cp = NSd / Ac = 0 NSd = 0 pois no existe fora longitudinal na seo devida protenso ou carregamento. Assim, VRd1 = [Rd k (1,2 + 40 1) + 0,15 cp] bw.d = [0,032 x 1,525(1,2 + 40 x 0,002)+ 0]100 x 7,5 VRd1 = 46,89 kN/m VSd = px . f = 9,65 kN/m VRd1 = 48,64 > 9,65 = VSd No h a necessidade de estribos Calculadas as armaduras, deve-se ento fazer o detalhamento final da laje L1. A escolha das barras e os espaamentos mximos so feitos utilizando os critrios abaixo:

Escolha da bitola 8h

mm6,3

mm4 Escolha do espaamento cm20scm8 As armaduras mnimas calculadas para a laje L1 so dadas abaixo:

cm/m1,00,15.10.67,0A mins, ==+ cm/m1,50,15.10A mins, ==

O clculo do nmero de barras para o momento negativo mb12 apresentado abaixo: As = 6,43 cm/m As1= 0,8 cm (10 mm)

m/barras04,88,043,6

AAn

1s

s ===


es13_cap2 16-Aug-2005

12cmc/10 - N1cm12s4,1204,8

100s === N1 - 10 c/12 cm Do mesmo modo, procede-se para as demais armaduras, de maneira que possvel montar a Tabela 2.3.

Tabela 2.3 Bitolas e espaamentos de armaduras para a laje L1 As (cm/m) Bitolas e Espaamento mx1 3,00 6,3 c/10 cm my1 2,91 6,3 c/10 cm mb12 6,43 10 c/12 cm mb15 1,83 6,3 c/17 cm

Calculadas as armaduras, resta-nos determinar os desenhos de armao e as tabelas resumo:


es13_cap2 16-Aug-2005

Figura 2.39 Armaduras positivas

V9(19-12/55)P13(19/65) V

15(1

2/55

)

L5h=7cm

V7(12/55)

P14(20/160) V11(12/55)

L7h=10cm

V4(19-12/55)

V14

(19/

55)

(19/65)P7

(19/65)P1

V1(19/55)

h=10cm

(20/285)P8

L1

(110/19)P2

(20/140)h=10cmL2 P9

V5(12/55) V18

(10/

40)

V3(12/55)

(20/40)P3

P15(20/160)

V8(12/55)

(20/140)P10

P4(20/40)

42 N1 - 0 6,3 c/ 10 - c= 569

54 N

2 - 0

6,3

c/ 1

0 - c

= 44

6

19 N3 - 0 10 c/ 11 - c= 379

13 N

5 - 0

10

c/ 1

2 - c

= 23

1

17 N

6 - 0

10

c/ 1

2 - c

= 36

4

13 N4 - 0 10 c/ 11 - c= 236


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Figura 2.40 Armaduras negativas

Comprimento No. (mm) Quant. Unitrio (cm) Total (m)

1 6,3 42 569 239 ... ... ... ... ...

(mm) C. Total (m) Peso (kg)

6,3 239 59,75 ... ... ...

V4(19-12/55)

V9(19-12/55)

P7

P13(19/65)

(19/65)

V14(

19/5

5)P1(19/65) V1(19/55)

V18(

10/4

0)

V15(

12/5

5)

L8

h=7cmL5

V7(12/55)

P8(20/285)

(20/160)

P14

L9h=10cm

V11(12/55)

h=10cmL7

V5(12/55)

L1h=10cm

P2(110/19)

(20/140)h=10cmL2 P9 V3(12/55)

P3(20/40)

(20/160)P15

(20/140)P10

P4(20/40)

108

108

115115

32 N7 - 0 5 c/ 13 - c= 99

42 N

7 - 0

5 c

/ 13

- c=

99

35 N8 - 0 10 c/ 12 - c= 242

16 N

9 - 0

6,3

c/ 1

7 - c

= 22

5

21 N

7 - 0

5 c

/ 13

- c=

99

15 N10 - 0 5 c/ 13 - c= 236

15 N

12 -

0 5

c/ 1

3 - c

= 18

8

11211215 N10 - 0 5 c/ 13 - c= 236

27 N

11 -

0 5

c/ 1

3 - c

= 83

88

112 112

88

70

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