L'algorithmique, outil ou fondement en mathé ?· L’algorithmique, outil ou fondement en mathématiques…

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  • Lalgorithmique,outil ou

    fondement enmathmatiques

    Jacques-ArthurWeil - XLIM,Universit de

    Limoges

    Lalgorithmiquedanslenseignementdes maths

    lmentsdanalysedalgorithmesCorrectionComplexit etvaluation deperformances

    QuelquesprincipesdalgorithmiquemathmatiqueUn exemple :multiplicationrapide despolynmesPrincipesalgorithmiques :Diviser pourrgnervaluation-interpolationRcursivit

    Lalgorithmique, outil ou fondement enmathmatiques

    Jacques-Arthur Weil - XLIM, Universit de Limoges

    12 Novembre 2009

  • Lalgorithmique,outil ou

    fondement enmathmatiques

    Jacques-ArthurWeil - XLIM,Universit de

    Limoges

    Lalgorithmiquedanslenseignementdes maths

    lmentsdanalysedalgorithmesCorrectionComplexit etvaluation deperformances

    QuelquesprincipesdalgorithmiquemathmatiqueUn exemple :multiplicationrapide despolynmesPrincipesalgorithmiques :Diviser pourrgnervaluation-interpolationRcursivit

    Lalgorithmique en classe de seconde ?

    I Point de vue dun enseignant-chercheur, incomptentsur la classe de seconde..

    I .. mais exprience de lenseignement de lalgorithmique,ou avec de lalgorithmique ( luniversit).

    I Point de vue dun spcialiste en calcul formel(algorithmique mathmatique exacte).

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    Lalgorithmique dans lenseignement des maths

    lments danalyse dalgorithmesCorrectionComplexit et valuation de performances

    Quelques principes dalgorithmique mathmatiqueUn exemple : multiplication rapide des polynmesPrincipes algorithmiques :Diviser pour rgnervaluation-interpolationRcursivit

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    lmentsdanalysedalgorithmesCorrectionComplexit etvaluation deperformances

    QuelquesprincipesdalgorithmiquemathmatiqueUn exemple :multiplicationrapide despolynmesPrincipesalgorithmiques :Diviser pourrgnervaluation-interpolationRcursivit

    Lalgorithmique pour un enseignant-chercheur enmathmatiques ( luniversit)

    I Dans la recherche : http://www.xlim.fr/dmiI Objet de recherche : Calcul numrique (optimisation

    numrique), Calcul exact (calcul formel, codage,cryptographie).

    I Outil pour la recherche, exprimentation mathmatique(papier, crayon, livres, Maple), aide au calcul.

    I Dans lenseignement (Licence, Master) :I Objet denseignement (surtout en Master).I Outil pour lenseignement (surtout en Licence).

    Bien sparer : enseigner un principe algorithmique, ou utiliserdes aspects algorithmiques pour faire passer une notion(exprimentation, dcouverte, etc).

    http://www.xlim.fr/dmi

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    QuelquesprincipesdalgorithmiquemathmatiqueUn exemple :multiplicationrapide despolynmesPrincipesalgorithmiques :Diviser pourrgnervaluation-interpolationRcursivit

    I. Compte-rendu dexpriences denseignement

    avec des ordinateurs en mathmatiques

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    Apparition doutils informatiques dans un cours demathmatiques

    I Ordinateur comme support lenseignement(exprimentation, travaux pratiques).

    I Enseigner un algorithme mathmatique.I Enseigner/approfondir des fondements algorithmiques

    (typage, correction, complexit, etc).

    Apparaissent souvent dans cet ordre.

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    Lalgorithmique dans les mathmatiques de licence

    I Lalgorithmique en tant que telle :I principalement enseigne dans les cours dinformatiques,I quelques cours spcifiques (analyse numrique,

    arithmtique, etc) dalgorithmique mathmatique.I Travaux pratiques en licence pour dcouvrir et manipuler

    des objets mathmatiques.I Laspect algorithmique devient outil , mais pas

    finalit .I Exprimentations et mise en responsabilit ,

    travail en groupe. Petits projets.

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    Exprimentation mathmatiques avec desordinateurs

    I Lordinateur comme objet transitionel : seconcentrer sur lcran (plus que sur papier ?) et lobjectif atteindre.

    I Objectif facile atteindre (satisfaction). Susciter unerflexion critique derrire.

    I Aspect algorithmique facile : lalgo. nest pas lobjet ,mais loutil (donc ne doit pas tre une barrire).

    I Construire la sance sur un problme rsoudre :lordinateur est un auxilliaire et un facilitateur .

    I Saffranchir des calculs lourds (faits par la machine)pour mieux valuer leur but.

    I Occasion de sances individualises.I Importance de linterface : nos sances se passent mieux

    avec Maple quavec Scilab parce que linterface plaitmieux aux tudiants. ( retenir dans le choix dunlangage). Familiarit avec le logiciel.

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    Exprimentation mathmatiques : embuchescourantes

    Ingrdients dune sance qui se passe mal.I Difficults avec la syntaxe : traduire son ide en

    algorithme puis en syntaxe. (utilit dtre familier avec lelogiciel).

    I Difficults avec linterface (se sentir laise, limiterlhostilit de la machine).

    I Sances o lon mle problme mathmatique etdifficult algorithmique : bien sparer les deux (ou alorsbeaucoup guider).

    I Objectif pas clair (but algorithmique ou butmathmatique ?), ou trop dur.

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    II. Un peu dalgorithmique mathmatique.

    Principes et exemples.

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    Analyse dun algorithme :lalgorithme dEuclide tendu

    Algorithme 1 Algorithme dEuclide tenduEntres : A,B NSorties : le pgcd D et U,V Z tels que UA + VB = D.

    R0 := A et R1 := B :U0 := 1, U1 := 0 ; V0 := 0 : V1 := 1.i := 1 ;tant que Ri 6= 0 faire

    Qi+1 := quo(Ri1,Ri ), quotient de la division euclidienneRi+1 := Ri1 Qi+1RiUi+1 := Ui1 Qi+1UiVi+1 := Vi1 Qi+1Vii := i + 1

    fin tant quei := i 1 ;retourner Ri ,Ui ,Vi .

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    QuelquesprincipesdalgorithmiquemathmatiqueUn exemple :multiplicationrapide despolynmesPrincipesalgorithmiques :Diviser pourrgnervaluation-interpolationRcursivit

    DefinitionOn dit quun algorithme est correct si les trois conditionssuivantes sont remplies :1. chaque tape est bien dfinie ;2. lalgorithme se termine en un nombre fini dtapes ;3. le rsultat est toujours celui quon attend.

    Exemple : Euclide tendu est correct.

    ((difficile de trouver les erreurs : enseignement en soit))

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