Laminación de Una Crecida en Una Cuenca Urbana

7/23/2019 Laminacin de Una Crecida en Una Cuenca Urbana

1/20

Modelacin Numrica 95.10 T.P. Nro. 3 Grupo Nro. 11

Pgina 1de 20

Introduccin

Ante el problema que generan las inundaciones debidas a precipitaciones intensas, en

particular, en las inmediaciones del Arroyo Dupuy (Localidad de Laferrere, Partido de LaMatanza), se desea analizar una posible solucin que consiste en construir un reservorio en el

subsuelo del stadio !iudad de Laferrere"

l ob#etivo de este traba#o pr$ctico es el an$lisis de los efectos de la construccin de este

reservorio sobre el caudal del arroyo" Las caracter%sticas a analizar puntualmente ser$n el

atenuado del caudal de salida del reservorio, con respecto al caudal de entrada, y el tiempo de

retardo entre los picos de estos" &ambi'n se observar$ el comportamiento variando las

dimensiones del reservorio y del vertedero"

Para esto se plantea la siguiente ecuacin diferencial de conservacin del volumen de agua

dentro del reservorio

=

n donde es el caudal ingresante al reservorio que es desviado del arroyo al producirseuna precipitacin de gran tamao y es el caudal que sale del reservorio e ingresanuevamente al cauce del arroyo" sigue la ley de caudal en vertedero rectangular de pareddelgada"

La resolucin de la ecuacin se *ar$ por tres m'todos distintos (orden +, orden y orden -) y

distintas discretizacines Para cada uno de estos m'todos se analizar$ la estabilidad,

velocidad y precisin del c$lculo"

Los datos del problema son

.eservorio

a = 100 m(Largo)b = 75 m (Anc*o)N = 10 (/ivel del fondo)0ertedero

= 1 m(Largo) =1.85(!oeficiente de vertedero rectangular) = 5 (/ivel de cresta) = N (Altura total del reservorio)


2/20


Pgina 2de 20

!audal ingresante

t [r! Qin[m3"#!

0 0.$

1 1.$

$ $.5

3 %.&

% '.1

5 9.9

( 10.$

& 9.$

' (.3

9 %.%

10 3.3

11 $.&

1$ $.%

13 $.1

1% 1.'5

15 1.(5

1( 1.5

1& 1.%$

1' 1.$5

19 1.1

$0 0.9

$1 0.'

$$ 0.((

$3 0.5'

$% 0.%'

$5 0.%%

$( 0.39

$& 0.35

$' 0.$'

$9 0.$%

30 0.$

31 0.$

3$ 0.$

33 0.$

3% 0.$

35 0.$

3( 0.$

3& 0.$

3' 0.$

39 0.$

%0 0.$

%1 0.$

%$ 0.$

%3 0.$

%% 0.$

%5 0.$

%( 0.$

%& 0.$

%' 0.$


3/20


Pgina 3de 20

Resolucin del Problema

a) Discretizacines de la ecuacin diferencial

1e modific la ecuacin diferencial para ponerla en funcin de la variable ! (tirante de agua enel vertedero), sabiendo que el volumen de agua en el reservorio puede e2presarse de la

siguiente manera

= " !# $ % $ & = $ % $ & ! $ % $ & &eniendo en cuenta que el valor $ % $ & no var%a con el tiempo una vez llenado el reservorio,la ecuacin diferencial ser$

! =

'("#% $ &

)*+"!#% $ &

n donde

)*+"!# = ,- $ $ $ / $ !- (!audal en vertedero rectangularde pared delgada)

Definiendo

"(2 !(# = ! "(2 !(# ='("(# /3 $ $ $ 4/ $ !(-

% $ &

1e procedi a discretizar la "D" con los distintos m'todos a utilizar con un paso 3 e2presado

en segundos

i) M'todo de orden + (uler)

!(6 = !( $ "(2 !(#

ii) M'todo de orden ( .unge45utta 6 uler Modificado)

!(6 = !( / $ "(2 !(# "( 2 !( $ "(2 !(##9


4/20


Pgina 4de 20

iii) M'todo de orden - (.unge45utta -)

6 = $ "(2 !(#

, = $ :( ;, 2 !(

- = $ :( ;, 2 !(


5/20


Pgina 5de 20

b) 7mbral de estabilidad

1e encontr el umbral de estabilidad de cada m'todo num'rico de forma apro2imada

empezando con el mayor paso posible (3 8 + *ora) y disminuy'ndolo en 9 minutos (:"+ *oras)

*asta encontrar el primer paso que *aga estable el m'todo"

l criterio para tomar ese paso fue que la solucin generada por el mismo fuese una funcin;suave< y que el error de truncamiento no sea tan grande"

A continuacin se muestran como e#emplo un par de soluciones generadas por m'todos

inestables


6/20


Pgina 6de 20

Los umbrales de estabilidad *allados fueron los siguientes

M'todo de uler

G 0./ !HF%IM'todo de .unge45utta (uler Modificado)

G 0.J !HF%IM'todo de .unge45utta -

G 0.5 !HF%I

1e eligi como paso de discretizacin com=n a todos el paso m$s grande posible, es decir 3 8

:" *oras"

Para el paso de cada uno de los m'todos, se tom el valor medio de sus respectivos umbrales

de estabilidad" s decir, para uler se tom 3 8 :"+ *oras, .54 3 8 :" *oras y .54- 3 8 :">

*oras"

!uadro de resultados con el paso com=n a todos


7/20


Pgina 7de 20

!uadro de resultados con los pasos elegidos para cada m'todo

c)

Para este caso se resolvi el problema con tres m'todos diferentes y con una discretizacin

para cada uno" Para el m'todo de uler se utiliz un paso de 3 8 + *ora, en el caso de .unge4

5utta el paso fue de 38:"+ *oras y para .unge45utta - un paso de 38:":> *oras" n el

siguiente cuadro se detallan los resultados obtenidos #unto con los tiempos de c$lculo

1e observa que el M'todo de .unge45utta - es el de mayor precisin, con .unge45utta se obtienen

resultados similares, y el M'todo de uler es poco e2acto" sto se debe a que para el primer m'todo

mencionado se eval=a la pendiente de la solucin al principio del paso, dos veces en el medio, y al final

del paso, con lo cual el incremento de la solucin en el paso siguiente va a ser un promedio de esas

cuatro pendientes" Para el caso de .unge45utta la pendiente se eval=a al principio y al final del paso y

para el M'todo de uler solo al principio" Adem$s usar diferentes pasos para cada m'todo tambi'n

influye en la e2actitud de la solucin del problema"

Mtodok

[#!

t0[ora#!

Qin(t0

[m3"#!

Qoutma!

[m3"#!

t(Qoutma!

[#!

Qinma!"

Qoutma!

[m3"#!

Retardo

[#!

#$%#R 0.$ ( 10.$0 10.0050 (.' 0.195 0.'

R$&'#"$))* 2 0.$ ( 10.$0 9.009$ &.$ 1.190' 1.$

R$&'#"$))* 4 0.$ ( 10.$0 9.3($% &.$ 0.'3&( 1.$

Mtodo k[#! t0

[ora#! Qin(t0[m3"#! Q

outma![m3"#! t(Qoutma![#!

Qinma!"

Qoutma!

[m3"#!Retardo[#!

#$%#R 0.1 ( 10.$0 9.('&( (.9 0.51$% 0.9

R$&'#"$))* 2 0.$ ( 10.$0 9.009$ &.$ 1.190' 1.$

R$&'#"$))* 4 0.$5 ( 10.$0 9.3%1( &.$5 0.'5'% 1.$5

Mtodok

[#!

t0[ora#!

Qin(t0

[m3"#!

Qoutma!

[m3"#!

t(Qoutma!

[#!

Qinma!"

Qoutma![m3"#!

Retardo

[#!

)iem+o de

c,lculo

[#eg!

#$%#R 0.$ ( 10.$0 10.0050 (.' 0.195 0.' 0.5(5&99

R$&'#"$))* 2 0.1 ( 10.$0 9.3551 & 0.'%%9 1 %.$(3(01

R$&'#"$))* 4 0.05 ( 10.$0 9.%1'9 (.95 0.&'11 0.95 $5.51&3%%


8/20


Pgina -de 20

n cuanto a la velocidad del c$lculo se aprecia que *ay una diferencia considerable entre cada m'todo,

adem$s de las diferentes comple#idades de los m'todos, tambi'n afecta el paso, ya que .unge45utta

dar$ el doble de resultados que uler y .unge45utta - el cu$druple"

1e puede concluir que los resultados arro#ados por .unge45utta son aceptables y, como se mencion

anteriormente, el M'todo de .unge45utta - es muy e2acto" Adem$s se compararon los tiempos de

c$lculo entre estos dos m'todos para un mismo paso y no se apreci gran diferencia, por lo tanto, si lo

que se busca es precisin, se puede usar .unge45utta - sin sufrir muc*o mayor costo computacional"

d) rror local de truncamiento y costo computacional

1e evalu el error de truncamiento para cada m'todo con la siguiente ecuacin

K+L = M !'2; !"'#Mn donde !'2; es la solucin generada por el m'todo num'rico de paso 3 en i4'sima posicin y !"'#es lasolucin e2acta en esa misma posicin"

1e evaluaron todos los m'todos con un paso de discretizacin 3 8 :" *oras y se obtuvieron los

resultados" 1e muestran los errores en las primeras ? operaciones, ya que en el resto de las soluciones el

error se va *aciendo m$s c*ico, como se puede apreciar en el gr$fico"

&umero de o+eracin i etruncamiento(#uler .m/ etruncamiento(R"2 .m/ etruncamiento(R"4 .m/

1 0 0 0

2 0.1&$09(0( 0.0'%'3550& 0.00$1&&5'3

3 0.$$&&1'$0' 0.1095&353 0.003%&%13$4 0.11%'%'%'% 0.0''$'$%0$ 0.00$'(5$&(

5 0.0%'3(1%99 0.0593$1&'% 0.001'05'3$

6 0.0$$$(93'$ 0.03&$&0$(' 0.001030$&

7 0.01$(9&'(% 0.0$3$&$'0' 0.0005'%55&

- 0.00'$5(0&3 0.01%(05(53 0.0003%1%1&

0.00535353& 0.0090&$159 0.000$003(9


9/20


Pgina de 20

1e calcul el tiempo que tarda cada m'todo en *acer todas las operaciones

Mtodo )iem+o de alculo[ #eg !

7uler 0.3$93%'

8> = $ 0.(151'5

8> = % 0.95'5'9

l m'todo de .5 @ - tiene mayor gasto computacional que los otros m'todos al precisar de un mayor

n=mero de operaciones para calcular la solucin" 1in embargo la diferencia en tiempo de c$lculo no es

tan pronunciada como la de los errores de truncamiento, en donde el m'todo de .5 @ - lleva una venta#a

sobre los otros dos"

e) 1ensibilidad al paso de discretizacin

1e *allaron distintas soluciones correspondientes a distintos pasos de discretizacin utilizando el m'todo

de .unge45utta -" 1e empez con el mayor paso posible, 3 8 -> minutos (paso en donde el m'todo

empieza a ser estable), y luego se fue disminuyendo el paso en 9 minutos *asta llegar a 3 8 minutos"

1e obtuvieron los resultados y se grafic"

k[ minuto#! t0[ora#! Qin(t0[m3"#! Qout(m,![m

3"#! tQout(m,![ora#! tretardo [ora#!

$% ( 10.$ '.'01$ &.( 1.(

1' ( 10.$ 9.311& &.$ 1.$

1$ ( 10.$ 9.3($% &.$ 1.$

( ( 10.$ 9.%1'$ & 13 ( 10.$ 9.%1'9 (.95 0.95


10/20


Pgina 10de 20


11/20


Pgina 11de 20

De los resultados obtenidos se puede concluir que a menor tamao de paso mayor precisin en la

solucin, ya que a medida que disminuye el paso el error por truncamiento disminuye y los valores

convergen a la solucin e2acta"

&ambi'n se observa que la mayor diferencia entre las distintas soluciones se da entre las *oras de

caudales m$2imos" sto sucede porque en ese rango *orario (entre la se2ta y novena *ora) se dan las

mayores variaciones de la variable Biny por lo tanto una solucin con paso de discretizacin muy grande

pasar$ por alto valores intermedios, generando resultados poco e2actos"

A medida que la variacin de Binva disminuyendo las soluciones obtenidas con los distintos pasos se

aseme#an, siendo e2actamente iguales cuando Binpermanece constante"

l an$lisis de estos resultados resalta la importancia de analizar el problema f%sico a la *ora de elegir el

paso de discretizacin si las variables presentan grandes variaciones es conveniente tomar un paso de

discretizacin c*icoC si en cambio las variables no presentan grandes fluctuaciones, se puede tomar un

paso relativamente grande obteniendo una solucin con poco gasto computacional y sin demasiado error"

f) 1ensibilidad a las dimensiones del reservorio

Para probar la respuesta del problema a una variacin en las medidas del reservorio se decidi cambiar

una de las dimensiones del mismo"

Al estar el reservorio confinado entre los l%mites de la canc*a, se lleg a la conclusin que lo m$s viable

seria cambiar la profundidad, tomando un incremento de + m *asta llegar a los +> metros de nivel de

fondo del reservorio"

1e *icieron los c$lculos con .54- con 3 8 9 minutos"

[ metro#! t0[ora#! Qin(t0[m3"#! Qout(m,![m

3"#! tQout(m,![ora#! tretardo [ora#!

10 ( 10.$ 9.%1'$ & 1

11 ( 10.$ 9.099( &.1 1.1

1$ ( 10.$ '.&1&& &.3 1.3

13 ( 10.$ '.$3%' &.5 1.5

1% ( 10.$ &.(95$ &.( 1.(

15 ( 10.$ (.'1%$ &.9 1.9


12/20


Pgina 12de 20


13/20


14/20


Pgina 14de 20


15/20


Pgina 15de 20

Aonclu#ione# Generale#

n este traba#o pr$ctico el ob#etivo fue resolver el problema ingenieril planteado por medio de la

resolucin de una ecuacin diferencial con tres m'todos distintos, analizando sus venta#as ydesventa#as" Las principales caracter%sticas que se analizaron fueron la estabilidad, la

sensibilidad, la velocidad y la precisin de cada uno de los m'todos"

Por lo visto en los incisos de este traba#o pr$ctico, se concluye que con los tres m'todos se

pueden obtener resultados apro2imados a la realidad, siempre que se eli#a adecuadamente el

paso que se vaya a utilizar" Por lo tanto, la eleccin del m'todo y su respectivo paso a utilizar

queda condicionada por la precisin requerida y el costo computacional que se est' dispuesto

a tolerar"

n cuanto al proyecto, se analiz el efecto de la construccin del reservorio, el cual para los

datos dados de sus dimensiones, se observ que el caudal m$2imo es atenuado en casi un

+: y retrasado en apro2imadamente una *ora, lo cual ante precipitaciones intensas quegeneren un aumento considerable del caudal del Arroyo Dupuy, los vecinos que son afectados

por las inundaciones tendr$n m$s tiempo para tomar las decisiones que crean convenientes y

adem$s el dao ser$ menor ya que se reduce el pico del caudal" A pesar de no ser una

solucin al problema, ser%a una gran ayuda para los vecinos ya que las inundaciones son una

problem$tica frecuente en la zona y esto reducir%a las consecuencias"

&ambi'n se analiz el comportamiento de la situacin planteada seg=n las variables f%sicas del

proyecto, en las que se concluy que aumentando el nivel del fondo del reservorio (m$s

profundo) y reduciendo la longitud del vertedero se obtienen me#ores resultados, ya que el

caudal m$2imo saliente disminuye y el retardo aumenta" Por e#emplo, se apreci que llevando

el nivel del fondo del reservorio a 4+> metros se reduce considerablemente el caudal saliente y

el tiempo de retardo ser%a casi el doble" Ebviamente estas me#oras generar%an costos m$s

elevados, pero no realizamos este an$lisis ya que e2cede al ob#etivo de este traba#o pr$ctico"


16/20


Pgina 16de 20

Anexos

1) Mtodo de Euler

%Datosa = 100; b = 75; Hd = 5; Hf = 10;Cw = 1.85; g = 9.81;L = 1;Q_in = importdata!"a#da$.tt!&;s = '(00;

) = 0.*; %+aso d, $a dis"r,ti-a"in

/o$_ma = abHdHf&; %/o$#m,n m2imo d,$ r,s,r3orio

H = Q_in41&;6 = Q_in4*&;66 = sp$in, H6&; %nt,rpo$a"ion d, $a "#r3a Q_int = 04)48;6_ingr,sant, = pp3a$66t&;

%D,t,rmina"in d, $a ora a $a 6#, s, $$,na ,$ r,s,r3orio

fori=14$,ngtt&/o$ = int,gra$:t&pp3a$66t&t1&ti&&&s;if/o$ = /o$_ma

br,a),nd

,nd

%Ca$"#$o d, m,diant, ,$ m


17/20


Pgina 17de 20

2) Mtodo de Runge-Kutta 2 (Euler modificado)

%Datosa = 100; b = 75; Hd = 5; Hf = 10;

Cw = 1.85; g = 9.81;L = 1;Q_in = importdata!"a#da$.tt!&;s = '(00;


/o$_ma = abHdHf&; %/o$#m,n m2imo d,$ r,s,r3orio

H = Q_in41&;6 = Q_in4*&;

66 = sp$in, H6&; %nt,rpo$a"in d, $a "#r3a Q_int = 04)48;6_ingr,sant, = pp3a$66t&;



br,a),nd

,nd

%C2$"#$o d, m,diant, ,$ m=14n?1

>1&= 0;n1& = 0;form = n4$,ngtt&

6in1 = pp3a$66tm&&;6in* = pp3a$66tm&)&;f1 = 6in1@ab& ? *CwLs6rt*gm1&A'&&@'ab&;* = m1& )sf1;

f* = 6in*@ab& ? *CwLs6rt*g*A'&&@'ab&;m11& = m1& )@*sf1f*&;

ifm1 = $,ngtt&br,a)

,nd,nd

,ndto"

%Ca#da$ d,$ 3,rt,d,ro

fori=14si-,1&Q_o#ti1& = *@'&CwLs6rt*gi1&A'&;

,nd


18/20


Pgina 1-de 20

3) Mtodo de Runge-Kutta 4

%Datosa = 100; b = 75; Hd = 5; Hf = 10;Cw = 1.85; g = 9.81;L = 1;

Q_in = importdata!"a#da$.tt!&;s = '(00;


/o$_ma = abHfHd&; %/o$#m,n m2imo d,$ r,s,r3orio

H = Q_in41&;6 = Q_in4*&;66 = sp$in, H6&; %nt,rpo$a"in d, $a "#r3a Q_int = 04)48;6_ingr,sant, = pp3a$66t&;



br,a),nd

,nd

%C2$"#$o d, m,diant, ,$ m=14n?1

>1&= 0;n1& = 0;form = n4$,ngtt&

6in1 = pp3a$66tm&&;6in*' = pp3a$66tm&)@*&;6in = pp3a$66tm&)&;

f1 = 6in1@ab& ? *CwLs6rt*gm1&A'&&@'ab&;E1 = )sf1;

f* = 6in*'@ab& ?*CwLs6rt*gm1&E1@*&A'&&@'ab&;

E* = )sf*;

f' = 6in*'@ab& ?*CwLs6rt*gm1&E*@*&A'&&@'ab&;

E' = )sf';

f = 6in@ab& ? *CwLs6rt*gm1&E'&A'&&@'ab&;

E = )sf;


19/20


Pgina 1de 20

m11& = m1& E1 *E* E'& E&@(;

ifm1 = $,ngtt&br,a)

,nd,nd

,ndto"

%Ca#da$ d,$ 3,rt,d,ro

fori=14si-,1&Q_o#ti1& = *@'&CwLs6rt*gi1&A'&;

nd

4) Errores de Truncamiento

%Fo$#"ion,s "on #n paso d, dis"r,ti-a"in ) = 0.* r

$oad!_,#$,r.mat!&; % #$,r$oad!_E*.mat!&; % E?*$oad!_E.mat!&; % E?

% Fo$#"in ,a"ta$oad!Fo$#"ion_a"ta.mat!&; % E? )=0.1 r&

)* = 0.*;)1 = 0.1;n1 = 04)14*;n* = 04)*4)*$,ngt_,#$,r&?)*;

% rror d, tr#n"ami,nto ,n ,$ m


20/20


Pgina 20de 20

p$otn*,_,#$,r!og!&p$otn*,_E*!Lin,stG$,!!non,!!mar),r!!!!"o$or!0.51 0.1(90.88(I&p$otn*,_E!Lin,stG$,!!non,!!mar),r!!!!"o$or!0.50* 0 0I&

$ab,$!JKm,ro d, op,ra"in i!&

G$ab,$!,_tr#n"ami,ntoM m,trosI!&ais0500.*5I&tt = 04)*45; = 04*5;

s,tg"a!NOi")!tt&s,tg"a!NOi")Lab,$!&

tit$,!rror,s d, Or#n"ami,nto "on #n paso d, ) = 0.* r +rim,ras *5op,ra"ion,s&!&L,g,nd = $,g,nd!#$,r!!#ng,?E#tta *!!#ng,?E#tta !&;$t = t,t!+ar,nt! L,g,nd.D,"orationContain,r !Ftring!!

Documents

Laminación de Una Crecida en Una Cuenca Urbana