L’analisi della varianza Introduzione e concetti generali Giovanni Battista Flebus AA 2013-14

L’analisi della varianza

Introduzione e concetti generali

Giovanni Battista Flebus AA 2013-14

L’analisi della varianza (ANOVA, ANalysi Of VAriance) è una tecnica statistica che permette di valutare se le medie di due o più gruppi sono uguali fra loro.

La variabile Dipendente è misurata su una scala a intervalli e ha una distribuzione normale

La variabile indipendente (classificazione in più gruppi) è una misurazione a livello di scala nominale

La classificazione è fatta in modo indipendente

L’analisi della varianza

• Si basa su due principi:• (1) si può stimare la varianza della

popolazione in due modi diversi, che tengano conto della suddivisione in gruppi

• (2) Si possono confrontare due varianze e verificare se sono estratte dalla stessa popolazione

Le ipotesi di ricerca

• Le due ipotesi di ricerca sono le seguenti

• H0 : le medie dei k gruppi sono uguali

• H1 : almeno una delle medie dei k gruppi è diversa dalle altre

Ulteriori esplorazioni

• Se il test statistico permette di concludere che c’è almeno un gruppo diverso dagli altri, si possono applicare altre tecniche per individuare i gruppi diversi

Esempio preliminare

• In un campione di studenti, si rileva il senso di benessere (un test, scala a intervalli) per vedere se le bocciature a scuola hanno influenza su tale tratto.

• Il benessere si rileva con un test (BeSco, Test di Benessere Scolastico)

• Le bocciature a scuola (nessuna, una o due), anche se sono una scala a rapporti, sono considerate qui come una classificazione e quindi come scala nominale.

• La frequenza dei tre gruppi è la seguente

Bocciature

87 55,4 55,4 55,4

51 32,5 32,5 87,9

19 12,1 12,1 100,0

157 100,0 100,0

0

1

2

Totale

ValidiFrequenza Percentuale

Percentualevalida

Percentualecumulata

Ecco i dati del campione

Il punteggio di benessere nei tre gruppi pare diverso.

Ma le differenze sono attribuibili alla variabilità stocastica o sono veramente consistenti?

• Ma queste differenze sono reali o non sono piuttosto dovuti a fluttuazioni casuali?

• Ricorriamo al grafico con basette

Esaminiano il grafico a basette

Ci sono sovrapposizioni di intervalli di fiducia

per le medie.Nemmeno il grafico

a basette ci permette di trarre una conclusione

sicura

Esaminiamo i risultati dell’ANOVA

ANOVA univariata

benessere

6,767 2 3,384 3,495 ,033149,111 154 ,968155,878 156

Fra gruppiEntro gruppiTotale

Sommadei

quadrati dfMedia deiquadrati F Sig.

La significatività ci dice che le tre

medie non possono essere considerate

uguali

Questa tabella è prodotta

dall’applicazione dell’ANOVA ai dati, che ci permette di

passare alla conclusione…

Principio dell’ANOVA

• Si può stimare la varianza della popolazione in due modi diversi e confrontare le due stime

• Primo metodo: calcolare la varianza delle k medie come se fossero k osservazioni

• Secondo metodo: calcolare la varianza media, usando tutte le osservazioni, eliminando però da ciascuna osservazione l’influenza del proprio gruppo.

g1

g2

g3

Media totale

Media dei

singoli gruppi

Singole osservazion

i, in ciascun gruppo

Media totale

g1

g2

g3

Punto zero per gruppo 2

(Media del gruppo )

Media del

gruppo 2

Distanza del punto dalla media del

gruppo

Media del gruppo 2

Piccolo esempio numerico

• Un ricercatore pensa che il tempo passato a muoversi in città sia di detrimento per il rendimento accademico degli studenti universitari. Ha osservato il numero di esami di 12 studenti, suddivisi in tre gruppi secondo l’uso di trasporto per andare in facoltà:

• A) prendono i mezzi • B) Hanno un loro mezzo (moto – auto)• C) vivono in zona e quindi vanno a piedi

studente gruppo N_esamis1 Mezzi pubblici 2s2 Mezzi pubblici 4s3 Mezzi pubblici 4s4 Mezzi pubblici 6

media 4s5 Mezzi propri 4s6 Mezzi propri 5s7 Mezzi propri 7s8 Mezzi propri 8

Media 6s9 Residenti 5

s10 Residenti 7s11 Residenti 8s12 Residenti 8

media 7Media totale 5,7

Le medie e varianze dei tre gruppi

Report

num_esami

4,00 4 2,6676,00 4 3,3337,00 4 2,0005,67 12 3,879

gruppo1 mezzi pubblici2 auto3 residentiTotale

Media N Varianza

Report

num_esami

4,00 4 2,6676,00 4 3,3337,00 4 2,0005,67 12 3,879


Media N Varianza

Consideriamo gli elementi utili

1 Le medie dei

gruppi

2 Le varianze

dei gruppi

3 La media totale

Report

num_esami

4,00 4 2,6676,00 4 3,3337,00 4 2,0005,67 12 3,879


Media N Varianza

Calcoliamo la varianza fra i gruppi

1 Le medie dei

gruppi

3 La media totale

2 La numerosità dei gruppi è 3

Report

num_esami

4,00 4 2,6676,00 4 3,3337,00 4 2,0005,67 12 3,879


Media N Varianza

Calcoliamo la varianza delle medie dei gruppi

(varianza fra i k gruppi (Xi-M)2/(n-1)

Varianza fra i gruppi =

[(4-5,67)2+(6-5,67)2+(7-5,67)2 ] / 2 =(2,7889+0,1089+1,7689)/2= 2,3335

La varianza delle k medie (s2) è però la varianza della distribuzione campionaria

delle medie: s2 /nA noi serve la varianza della popolazione:

s2

Perciò dobbiamo moltiplicare il valore per n (numerosità nei gruppi):

Varianza della popolazione o varianza della distribuzione campionaria delle medie?

Report

num_esami

4,00 4 2,6676,00 4 3,3337,00 4 2,0005,67 12 3,879


Media N Varianza

Calcoliamo la varianza della popolazione con la stima della

varianza fra i gruppi

Varianza fra i gruppi= [(4-5,67)2+(6-5,67)2+(7-5,67)2 ] / 2 =

(2,7889+0,1089+1,7689)/2= 2,3335 =Varianza delle distribuzione campionaria delle medie (s2/n)

Varianza della popolazione = n S2 2,3335 x 4 = 9,3334

Report

num_esami

4,00 4 2,6676,00 4 3,3337,00 4 2,0005,67 12 3,879


Media N Varianza

Calcoliamo la media delle varianze nei gruppi:

2,667+3,333+2,000=8,00Media della varianza nei gruppi

8,00/3= 2,667

Calcoliamo la varianza della popolazione con la stima della

varianza dentro i gruppi

I gradi di libertà

• I gradi di libertà sono dati da • (1) Numero di gruppi -1 per la

varianza fra i gruppi• (2) Numero di osservazioni meno i

gruppi, per la varianza nei gruppi.• Nel nostro caso, 3-1= 2 gl per la

varianza fra i gruppi• 12-3 = 9 gl per la varianza nei gruppi

Otteniamo il valore di F

• Il rapporto fra le due stime della varianza della popolazione (una nei gruppi e l’altra fra i gruppi) ha una distribuzione descritta dalla variabile casuale F di Fisher Snedecor con gl1 e gl2 gradi di libertà.

Nel nostro caso otteniamoF= 9,334/ 2,666 = 3,500 con 2 e 9 gradi di libertà.

Grafico di F con 2 e 9 g.l.Funz ione di Dens ità di Probabilità

y =F(x ;2;9)

0 1 2 3 4 50,0

0 ,2

0 ,4

0 ,6

0 ,8

1 ,0 Questo grafico è disponibile grazie al computer, nel passato si

usavano le tavole per valori singoli di n1 e n2 e per valori

selezionati di p (0,10; 0,05; 0,01 ecc.)

Le tavole di F ci

dicono che il valore 3,500

ricade al di sotto della

zona critica e perciò

accettiamo l’ipotesi nulla di

uguaglianza delle

medie dei tre gruppi

Grafico di F con 2 e 9 g.l.Funz ione di Dens ità di Probabilità

y =F(x ;2;9)

0 1 2 3 4 50,0

0 ,2

0 ,4

0 ,6

0 ,8

1 ,0 Area di rifiuto di H0= 0,0,5,

maggiore di

0,075

Area di accettazione

di H0= 0,925,

Valore teorico che separa le

aree fra 0,95 e 0,05

F=4,256

F=3,50

Per il calcolo con spss

Le due varianze sono però calcolate in modo diverso da quello che è stato

presentato: si parte dalla somma dei quadrati (distanza dell’osservazione dalla

media) (devianza in italiano, Sum of squares in inglese) dentro e fra i gruppi,

divisi per i rispettivi gradi di libertà.

Il rapporto F è sempre stampato usando la devianza nei e fra i gruppi. La loro somma è uguale alla devianza totale

Passiamo a SPSS• Selezioniamo il menu Analizza-

>Confronta Medie-> ANOVA univariata. Compare questo finestra. Inseriamo la variabile Gruppo come fattore, e il numero di esami come variabile dipendente

Output di SPSS per l’ANOVA

ANOVA univariata

num_esami

18,667 2 9,333 3,500 ,07524,000 9 2,66742,667 11


Somma deiquadrati df

Media deiquadrati F Sig.

Valore F calcolato

Gradi di liberta FRA e DENTRO i gruppi,

quelli totali

Le due varianze calcolate nei due modi

diversi

Significatività di F

Guardiamo solo una parte della tabella

Il metodo di calcolo seguito è diverso

• Le due varianze appena confrontate sono di solito concepite come un rapporto di scarti quadrati, divisi per i rispettivi gradi di libertà, per produrre delle stime delle varianze

• Per rendere questo metodo di calcolo utilizzabile con gruppi di diversa numerosità, si procede ricordando il concetto di devianza totale, suddivisa in devianza fra i gruppi e devianza nei gruppi

La variabilità totale è descritta da SQT, ovvero Devianza totale:

Scomposizione della variabilità totale

p

i

n

jij

i

yySQT1 1

2

La variabilità fra i gruppi è descritta con la formula seguente

Devianza fra i gruppi:


k

iii yynSQF

1

2

La variabilità nei (o dentro i) gruppi è descritta dalla SSE detta anche variabilità dell’errore:

Devianza dentro i gruppi:


k

i

n

jiij

i

yySQE1 1

2

Rappresentazione grafica della devianza

Dalle devianze alle due varianze

• Le due varianze (dentro e fra i gruppi) sono quindi calcolate come rapporti fra due somme di quadrati, divise dai rispettivi gradi di libertà.

I risultati del test F per la ANOVA sono generalmente presentati in una tabella come questa:

Test F per ANOVA

Fonti di Variabilità

Devianze g.l. Varianze F

Fra i gruppi SS(A) k-1 MS(A) MS(A)/ MS(E) Entro i gruppi SS(E)

nt-k MS(E)

Totale SSTOT nt-1 MSTOT


ANOVA univariata

num_esami

18,667 2 9,333 3,500 ,07524,000 9 2,66742,667 11




Valore F calcolato


quelli totali


diversi




ANOVA univariata

num_esami

18,667 2 9,333 3,500 ,07524,000 9 2,66742,667 11




Valore F calcolato


quelli totali


diversi



Nel grafico seguente, per ogni n osservazione, sono riportati solo

gli scarti dalle medie: dalla media generale, dalla media del gruppo e scarto del gruppo dalla

media generale.

Rappresentazione grafice di punteggi, scarti dalla media

e devianza

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

punteggiomedie gruppomedia totale

Rappresentazione degli scarti dalle medie

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

A A A A B B B B C C C C

scarto dalla media

scarto dal gruppo

scarto gruppo dal totale

Grafico degli scarti da tre medie

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

A A A A B B B B C C C C

scarto dalla media

scarto dal gruppo


Grafico degli scarti da tre medie

Ingrandiamo il grafico

-3,67

-1,67 -1,67

0,33

-1,67

-0,67

1,33

-2

0 0

2

-2

-1

1

-1,67 -1,67 -1,67 -1,67

0,33 0,33 0,33

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

s1 s2 s3 s4 s5 s6 s7

scarto dalla media totale

scarto dal gruppo


-3,67

-1,67 -1,67

0,33

-1,67

-0,67

1,33

-2

0 0

2

-2

-1

1

-1,67 -1,67 -1,67 -1,67

0,33 0,33 0,33

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

s1 s2 s3 s4 s5 s6 s7

scarto dalla media totalescarto dal grupposcarto gruppo dal totale

Per ogni osservazione, lo scarto dalla media totale è uguale alla somma degli

altri due- 3,67 = (- 2) + (-1,67)

La devianza

Si usa il termine devianza per indicare

la somma dei quadrati delle distanze dalla media.

In inglese Sum of Squares

• La varianza stimata della popolazione si ottiene dividendo la devianza per il numero dei gradi di libertà– Si usano i termini inglesi within (W) per

indicare la devianza nei gruppi e between (B) per indicare la devianza fra i gruppi

• Esaminiamo il primo studente, che ha un

• Numero di esami pari a 2• La media del suo gruppo è 4• La media dell’intero campione è pari

a 5,67

5,67

4,00

2,00

0

1

2

3

4

5

6

punteggio medie gruppo media totale

Per l’osservazione 1, la distanza del primo soggetto

dalla media totale è pari a -

3,67, il suo quadrato

contribuisce alla devianza totale

5,67

4,00

2,00

0

1

2

3

4

5

6


5,67

4,00

2,00

0

1

2

3

4

5

6


Per la medesima osservazione 1, la distanza

della media del gruppo dalla media globale è 1,67;

il suo quadrato contribuisce alla devianza fra i gruppi

• Usando gli scarti dalla media, rappresentiamo i due quadrati per il primo caso (osservazione) che ha un punteggio di 2. La media del suo gruppo è 4 e quella del campione intero è pari a 5,67

-3,67

-1,67 -1,67

0,33

-1,67

-0,67

1,33

-2

0 0

2

-2

-1

1

-1,67 -1,67 -1,67 -1,67

0,33 0,33 0,33

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

s1 s2 s3 s4 s5 s6 s7


-3,67

-1,67 -1,67

0,33

-1,67

-0,67

1,33

-2

0 0

2

-2

-1

1

-1,67 -1,67 -1,67 -1,67

0,33 0,33 0,33

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

s1 s2 s3 s4 s5 s6 s7


•All’interno di ciascun gruppo, i quadrati ocra sono tutti uguali (devianza fra i gruppi). Perché?

Dati sul foglio excel

stud gruppoN_esa

mimedie gruppo

media totale

scarto dalla media totale quadrato

s1 A 2 4 5,6667 -3,666667 13,444447s2 A 4 4 5,6667 -1,666667 2,7777789s3 A 4 4 5,6667 -1,666667 2,7777789s4 A 6 4 5,6667 0,333333 0,1111109s5 B 4 6 5,6667 -1,666667 2,7777789s6 B 5 6 5,6667 -0,666667 0,4444449s7 B 7 6 5,6667 1,333333 1,7777769s8 B 8 6 5,6667 2,333333 5,4444429s9 C 5 7 5,6667 -0,666667 0,4444449s10 C 7 7 5,6667 1,333333 1,7777769s11 C 8 7 5,6667 2,333333 5,4444429s12 C 8 7 5,6667 2,333333 5,4444429

somma 0 68 68 68 0,00 42,66667gradi di liberta 11

Devianza totale.

Serve per i controlli

stud gruppoN

esamimedie gruppo

media totale

scarto dal

gruppo quadr

scarto gruppo dal totale Quadr

s1 A 2 4 5,67 -2 4 -1,6667 2,78s2 A 4 4 5,67 0 0 -1,6667 2,78s3 A 4 4 5,67 0 0 -1,6667 2,78s4 A 6 4 5,67 2 4 -1,6667 2,78s5 B 4 6 5,67 -2 4 0,33333 0,11s6 B 5 6 5,67 -1 1 0,33333 0,11s7 B 7 6 5,67 1 1 0,33333 0,11s8 B 8 6 5,67 2 4 0,33333 0,11s9 C 5 7 5,67 -2 4 1,33333 1,78s10 C 7 7 5,67 0 0 1,33333 1,78s11 C 8 7 5,67 1 1 1,33333 1,78s12 C 8 7 5,67 1 1 1,33333 1,78

somma 0 68 68 68 0 24 0,00 18,67gradi di liberta 9 2,00varianza 2,67 9,33

Valore F 3,5

nei gruppi fra i gruppi

Devianza nei gruppi

Devianza fra i gruppi

I gradi di libertà

Ad ognuna delle devianze sono associati i gradi di libertà:• la devianza totale ha n − 1 gradi di libertà• la devianza tra gruppi ha k − 1 gradi di libertà• la devianza entro i gruppi ha n - p gradi di libertà

Dividendo ciascuna devianza per i rispettivi gradi di libertà si ottengono le media dei quadrati, cioè le VARIANZE:

1var

p

SQFfra

pn

SQEerr

t var

Varianza tra i gruppi Varianza entro i gruppi

Il rapporto F

• La statistica F è quindi un rapporto fra due varianze, calcolate dividendo la devianza fra i gruppi per la devianza nei gruppi, ognuno divisa per i rispettivi gradi di libertà

)(

)1/(

knSQdentro

kSQfra

Output completo di SPSS

ANOVA univariata

num_esami

18,667 2 9,333 3,500 ,07524,000 9 2,66742,667 11


Sommadei


stud gruppoN

esamimedie gruppo

media totale

scarto dal

gruppo quadr




Valore F 3,5


Output completo di SPSS

ANOVA univariata

num_esami

18,667 2 9,333 3,500 ,07524,000 9 2,66742,667 11


Sommadei


stud gruppoN

esamimedie gruppo

media totale

scarto dal

gruppo quadr




Valore F 3,5


ANOVA univariata

num_esami

18,667 2 9,333 3,500 ,07524,000 9 2,66742,667 11


Sommadei


stud gruppoN

esamimedie gruppo

media totale

scarto dal

gruppo quadr




Valore F 3,5


Concludendo…• Se le k medie sono simili, la variabilità fra i k gruppi è

bassa, la varianza della popolazione è stimata in modo corretto, (tenuto conto della variabilità stocastica), il rapporto F è vicino all’unità e si conclude con l’accettazione di H0.

• Se c’è molta variabilità fra i k gruppi, la variabilità fra i gruppi è elevata, la varianza della popolazione è sovrastimata, il rapporto F è molto più grande dell’unità, il test statistico di F dà valori di probabilità molto bassi

• Se la probabilità di ottenere il valore F calcolato è molto bassa, si conclude con il rifiuto dell’ipotesi di nullità di differenze, per accettare l’ipotesi alternativa: almeno un gruppo proviene da una popolazione diversa, ossia con medie diverse

ANOVA per due gruppi?

• Il test dell’ANOVA dà gli stessi risultati della t di Student: infatti il rapporto F è il quadrato della t.

Confronti post-hoc

• Sono confronti che si fanno a posteriori, se l’Anova è significativa e se ci sono più di 2 gruppi in una variabile indipendente

• La logica è quella di tenere sotto controllo i problemi di significatività legati ai confronti multipli.

• Vi sono diverse procedure di confronti• alcuni presumono che le varianze siano uguali: LSD (Least

Significant Difference), Bonferroni,Sidak, Scheffé, SNK (Student-Neumann-Kouls), Tukey HSD (Honestly Significant Difference), Duncan, Hochberg, Gabriel, Waller-Duncan, Dunnett

• altre no: Tamhane, Dunnett, Games-Howell, C di Dunnett• In Spss, premete il bottone Post Hoc... e selezionate tutti i test che

volete• gli output sono di due tipi: confronti multipli completi oppure

gruppi omogenei

Esempio con dati reali

• Differenze di vocabolario nei quattro gruppi di studenti di terza media

Descrittivi

g4 vocabolario

21 18,90 5,638 1,230 16,34 21,47 8 28515 18,47 5,163 ,227 18,02 18,91 4 3587 15,37 4,273 ,458 14,46 16,28 8 2812 17,17 4,407 1,272 14,37 19,97 12 28

635 18,03 5,157 ,205 17,63 18,43 4 35

13141516Totale

N MediaDeviazione

std. Errore std.Limite

inferioreLimite

superiore

Intervallo diconfidenza 95% per

la media

Minimo Massimo

ANOVA univariata

g4 vocabolario

740,378 3 246,793 9,660 ,00016119,9 631 25,54716860,3 634


Sommadei


Il test F è significativo

Si conclude che…

Almeno un gruppo ha la media diversa dagli altri.

In altre parole, il gruppo con la media più alta è statistica mente diverso dal gruppo con la media più bassa.

Un grafico è sempre utile…

E degli altri gruppi, che si può dire?

Come si differenziano fra di loro? Esiste un solo gruppo diverso dagli altri? Esistono più gruppi diversi dagli altri? Si possono individuare i gruppi simili e quelli diversi?

Differenze a priori e a posteriori

Si può dare risposta a questi interrogativi con i post hoc (termine latino per indicare che si cercano differenze fra i gruppi a posteriori, ossia dopo che si è stabilità la differenza statistica fra i gruppi.

I confronti pianificati invece si cercano a priori, perché la teoria prevede già una differenza nei gruppi

Test post hoc (LSD)Confronti multipli

Variabile dipendente: g4 vocabolario

,437 1,125 ,698 -1,77 2,653,537* 1,229 ,004 1,12 5,951,738 1,829 ,342 -1,85 5,33-,437 1,125 ,698 -2,65 1,773,100* ,586 ,000 1,95 4,251,301 1,476 ,378 -1,60 4,20

-3,537* 1,229 ,004 -5,95 -1,12-3,100* ,586 ,000 -4,25 -1,95-1,799 1,556 ,248 -4,86 1,26-1,738 1,829 ,342 -5,33 1,85-1,301 1,476 ,378 -4,20 1,601,799 1,556 ,248 -1,26 4,86

(J) età141516131516131416131415

(I) età13

14

15

16

LSD

Differenzafra medie

(I-J) Errore std. Sig.Limite

inferioreLimite

superiore

Intervallo diconfidenza 95%

La differenza media è significativa al livello .05*.

Test dei sottoinsieme omogenei (SNK)

g4 vocabolario

87 15,3712 17,17 17,17

515 18,47 18,4721 18,90

,059 ,407

età15161413Sig.

Student-Newman-Keuls

a,b

N 1 2

Sottoinsieme peralfa = .05

Sono visualizzate le medie per i gruppi di sottoinsiemi omogenei.

Utilizza dimensione campionaria media armonica =27,703.

a.

Le dimensioni dei gruppi non sono uguali. Verràutilizzata la media armonica delle dimensioni deigruppi. Non vengono garantiti i livelli di errore Tipo I.

b.

Dati sul test di vocabolario, per scuole

Descrittivi

g4 vocabolario

128 13,80 3,528105 16,42 4,25862 16,76 3,570

120 19,08 4,57272 20,35 3,95831 24,42 4,91180 22,16 4,81137 17,22 4,158

635 18,03 5,157

1 CFP2 IPSIA3 ipscom4 ITC5 ITI6 Classico7 Scientifico8 MagistraliTotale

N MediaDeviazione

std.

Le differenze di vocabolario in studenti che andranno in scuole diverse non ci sorprende

ANOVA univariata

g4 vocabolario

5842,46 7 834,637 47,497 ,00011017,8 627 17,57216860,3 634


Sommadei


Il test post hoc sui gruppo omogenei dà risultati molto ben interpretabili

g4 vocabolario

128 13,80105 16,4262 16,7637 17,22

120 19,0872 20,3580 22,1631 24,42

1,000 ,536 ,092 1,000 1,000

scuola1 CFP2 IPSIA3 ipscom8 Magistrali4 ITC5 ITI7 Scientifico6 ClassicoSig.

Student-Newman-Keuls

a,b

N 1 2 3 4 5Sottoinsieme per alfa = .05

Sono visualizzate le medie per i gruppi di sottoinsiemi omogenei.

Utilizza dimensione campionaria media armonica = 62,759.a.

Le dimensioni dei gruppi non sono uguali. Verrà utilizzata la media armonica delledimensioni dei gruppi. Non vengono garantiti i livelli di errore Tipo I.

b.

Le differenze di vocabolario in studenti che andranno in scuole diverse non ci sorprende

Descrittivi

g4 vocabolario

128 13,80 3,528105 16,42 4,25862 16,76 3,570

120 19,08 4,57272 20,35 3,95831 24,42 4,91180 22,16 4,81137 17,22 4,158

635 18,03 5,157

1 CFP2 IPSIA3 ipscom4 ITC5 ITI6 Classico7 Scientifico8 MagistraliTotale

N MediaDeviazione

std.

ANOVA univariata

g4 vocabolario

5842,46 7 834,637 47,497 ,00011017,8 627 17,57216860,3 634


Sommadei


Confronti a priori• Oltre ai post hoc si possono effettuare dei confronti a priori ovvero

decisi prima ancora di effettuare l’anova, sulla base di una teoria• Questi confronti si chiamano anche contrasti perché contrastano la

media di uno o più gruppi con quella di altriAnche in questo caso ci sono due possibilità:• contrasti predefiniti: lineare, quadratico, Helmert...contrasti decisi da

noi In Spss, premete il bottone Contrasti...• se selezionare Polinomiale, poi potete scegliere fra Lineare,• Quadratico, Cubico... (ipotizzo che le medie aumentano o• diminuiscono nella varie categorie in modo lineare, quadratico...)• altrimenti dovrete inserire dei coefficienti (uno alla volta e poi

premere Aggiungi).• dopo aver inserito un contrasto è possibile inserirne un secondo• tramite il pulsante Successivo

Documents

L’analisi della varianza Introduzione e concetti generali Giovanni Battista Flebus AA 2013-14