L’Analyse de Variance 2

1. L’ANOVA 2 fixe à r répétitions

2. L’ANOVA 2 sans répétition

ANOVA 2 : comparaison de pq moyennes

Objectifs : tester les effets sur la variable Y

• du facteur A (p modalités) • du facteur B (q modalités)• de l’interaction AxB

Les plans d’expérience de l’ANOVA 2

L’Analyse de Variance 2

A1 A2 … Ai … Ap

B1 y111

y112

…B2

…Bj yijk

…Bq

nij mesures par case

Plans à facteurs croisés

Ex : A : souche, B : température, Y : rythme cardiaque

L’Analyse de Variance 2

Les plans d’expérience de l’ANOVA 2

* A et B fixe : plan fixe* A et B aléatoires : plan aléatoire* A ou B aléatoire : plan mixte

* nij = 1 : ANOVA 2 sans répétition* nij = r constant : ANOVA 2 avec nombre égal de répétitions* nij = variable : ANOVA 2 avec nombre inégal de répétitions

L’Analyse de Variance 2

Les plans d’expérience de l’ANOVA 2

Notion d’interaction

Interaction : B a un effet différent suivant la modalité de A considérée (ou réciproquement)

Ex : souche A : le rythme cardiaque augmente quand t° augmente souche B : reste stable souche C : diminue

L’interaction peut masquer un effet principal

Les plans d’expérience de l’ANOVA 2

L’Analyse de Variance 2

Graphiquement

Pas d’interaction

15 18 21 24 27 30

y

15 18 21 24 27 30

y15 18 21 24 27 30

y

Conséquenceles effets principaux ne peuvent être étudiés qu’en tenant compte de l’interaction

Les plans d’expérience de l’ANOVA 2

L’Analyse de Variance 2

1. Données et notations

A1 A2 … Ai … Ap

B1 y111

y112 n11

… y11k T11.

… y11r

B2

…Bj yijk

…Bq

n1. T1..

n.1

T.1.

n.j

T.j.

NT

nij

Tij.

ni. Ti..

1 ≤ i ≤ p ; 1 ≤ j ≤ q ; 1 ≤ k ≤ r

L’ANOVA 2 fixe à r répétitions

2. Modèle et décomposition de la variation

Yijk = + i + j + ij + eijk

: moyennei : effet de la ième modalité de Aj : effet de la jème modalité de Bij : effet de l’interaction dans la ijème caseeijk : erreur : N(0,) : à tester!

yijk y ... (y i .. y ...)(y . j. y ...) (y ij. y i .. y . j. y ...) (yijk y ij .)

(yijk

ijk y ...)

2 (ijk y i.. y ...)

2 (ijk y . j. y ...)

2 (ijk y ij. y i .. y . j. y ...)

2 (ijk yijk y ij.)

2

SCET = SCEA + SCEB + SCEAxB + SCER

L’ANOVA 2 fixe à r répétitions

3. Calculs pratiques

SCET yijk

2

ijk

T2

N SCEA

Ti..2

qri1

p

T2

N

SCEB

T. j.2

prj1

q

T2

N SCER yijk

2

ijk

Tij.2

rij

SCEAxB SCET SCEA SCEB SCER

L’ANOVA 2 fixe à r répétitions

4. Tableau d’ANOVA

SV SCE ddl CM F

A SCEA p-1 CMA FA = CMA/CMR

B SCEB q-1 CMB FB = CMB/CMR

AxB SCEAxB (p-1)(q-1) CMAxB FAxB = CMAxB/CMR

R SCER pq(r-1) CMR

T SCET pqr-1

L’ANOVA 2 fixe à r répétitions

4. Tests de l’ANOVA 2

Ho : j = 0

FA:Fpq(r 1)p 1

FB:Fpq(r 1)q 1

FAxB:Fpq(r 1)(p 1)(q 1)Ho : ij = 0

Ho : i = 0

L’ANOVA 2 fixe à r répétitions

5. Sélection de modèles dans l’ANOVA 2

Interaction S : Yijk = + i + j + ij + eijk

Interaction NS, A et B S : Yijk = + i + j + eijk

Interaction et B NS, A S : Yijk = + i + eijk

Interaction et A NS, B S : Yijk = + j + eijk

Interaction, A et B NS : Yijk = + eijk

Partir du modèle le plus complexe:

L’ANOVA 2 fixe à r répétitions

L’ANOVA 2 sans répétition

r = 1. Dans le cas du modèle fixe : Yij = + i + j + ij + eij

Décomposition :

yij y .. (y i . y ..) (y .j y ..) (y ij y i . y . j y ..) (yij y ij)

A B AxB e = 0

Pas d’estimation de la variance intra-case = résiduelleOu :Les variances résiduelle et d’interaction sont confondues.

1. Le modèle

3. Exemple

sable argile terreauA 21 16 23B 20 18 31C 16 11 24

nij = 1

L’ANOVA 2 sans répétition

rendement agricole en fonction du sol et de la variété

3. Exemple

0

5

10

15

20

25

30

35

sable argile terreau0

5

10

15

20

25

30

35

A B C

analyse graphique de l’interaction

L’ANOVA 2 sans répétition

3. Exemple

SV SCE ddl CM F

sol 186 2 93 15,5

variété 54 2 27 4,5

R 24 4 6

T 264 8

F4,0,052 6,94

L’ANOVA 2 sans répétition