LANČANICE

Lančanice su linijski savitljivi konstruktivni elementi – kablovi, pričvršćeni svojim krajevima i obešeni o nepomične oslonce.

Pod pojmom lančanog sistema u tehničkoj praksi se takođe podrazumeva niz štapova međusobno povezanih zglobovima.

U mehanici se pod tim pojmom podrazumeva sistem od velikog brojaili beskonačno mnogo neistegljivih štapova međusobno povezanih zglobovima koji dozvoljavaju da štapovi zauzimaju različite položaje pri različitom delovanju sila.

Lančani sistemi se mogu smatrati deformabilnim telima, a zavisno od toga kakav oblik pod opterećenjem zauzimaju, mogu biti • parabolične, • hiperbolične, • kubne, itd.

Pri analiziranju lančanica je potrebno odrediti njihov oblik ravnoteže - ravnotežnu liniju.

Lančanice se dele na dve grupe:• sa konačnim brojem štapova – lančani poligoni,• sa beskonačno mnogo štapova beskonačno malih dužina – lančanica.

U zavisnosti od vrste i pozicije opterećenja oblik kabla je različit:

Teret može biti ravnomerno raspoređen, a može da ima i neku drugu raspodelu. Dva najčešća slučaja opterećenja su prikazana na slici:

Savitljiv lanac slobodno obešen u polju teže i izložen jedino dejstvu sopstvene težine. Ovakvo opterećenje je prirodno – ravnomerno raspodeljeno po dužini samog lanca.

Uže ili čelični kabl, opterećen teretom, ravnomerno raspodeljenim po horizontali, koje je obešeno o kabl pomoću vešaljki. Ako je ovaj teret znatno veći od težine samog kabla, onda se može uzeti da je i celokupno opterećenje ravnomerno raspodeljeno duž horizontalnog raspona.

Viseći most oblika lančanice

Lančanice su uvek zategnute. One mogu da prime samo sile zatezanja, nikako momente savijanja.

Pri analiziranju ovakvih kablova treba odrediti:• kakav je oblik krive koji će uže ili kabl zauzeti u svom ravnotežnom stanju?• kako se menja zatežuća sila po dužini kabla?

Da bi se odgovorilo na ova pitanja, posmatraće se lančanica ACDB, obešena svojim krajevima o oslonce A i B, opterećena vertikalnim teretima, raspodeljenim proizvoljno po horizontali.

Opterećenje je prikazano dijagramom A′abB′.

Lančanica mora da bude u ravnoteži, kao i svaki njen izdvojen deo.

Izdvojeni deo CD - slobodno telo

Uzeće se za koordinatni početak najniža tačka C krive.

Sile H i S tangiraju krivu u C i D, a vertikalna sila Q prolazi kroz težište onog dela dijagrama opterećenja koji se odnosi na deo CD.

Ove tri sile moraju da zadovolje uslov ravnoteže triju sila a to znači da se njihove napadne linije seku u jednoj tački i da one čine zatvoreni poligon, pa može da se napiše:

Qtg ,H

θ =

dytg ,dx

θ =

dy Qdx H

= diferencijalna jednačina krive ravnoteže koju zauzima lančanica

Iz trougla sila sledi:

2 2S Q H= + zatežuća sila u bilo kom delu lančanice

Parabolična lančanica

Uže je približno paraboličnog oblika ukoliko je opterećeno jednoliko kontinualno duž horizontalne projekcije lančanice

( ) Qq q x const ql

= = =

Neka je vertikalni teret q ravnomerno raspoređen duž horizontalnog raspona l, tada jednačina (a) glasi:

dy qxdx H

=

pri čemu je q const.H

=

2qxy C,2H

= +

C je jednako nuli, jer je za izabrani koordinatni sistemx=0 i y=0, pa je:

2qxy2H

= jednačina ravnoteže krive koju zauzima lančanica pod dejstvom ravnomernog opterećenja duž horizontalnog raspona.

parabola sa vertikalnom osom

( )22S H qx= +

Zatezanje je minimalno u najnižoj tački C gde je S=H, idući prema osloncima zatežuća sila je sve veća, a dostiže svoj maksimum na višem osloncu.

Sile zatezanja na krajevima kabla, u oslonačkim tačkama su

( )

( )

22A

22B

S H q

S H qb

a= +

= +

Da bi se odredile dužine a i b i mesto najniže tačke C u odnosu na oslonce A i B treba iskoristiti jednačinu prvo za deo AC x= −a, y=f1, a zatim za deo CB, za koji je x= b, y=f 2 :

2

1

2

2

qf ,2Hqbf2H

a=

=

2qxy2H

=

Oduzimajući prvu jednačinu od druge, uzimajući u obzir da je: 2 1f f h,− =

( )2 2

1 2qa qbf , f . g2H 2H

= =

dobija se: ( )2 22hH q b a .= −

a b+ = lIsto tako, imamo da je: pa se iz zadnje dve jednačine dobija:

( )hH hHa , b . h2 ql 2 ql

= − = +l l

Zamenom (h) u (g) dobija se jednačina za izračunavanje veličine H:

2 2 42

22

2q h qH f H 0,h 2 4h

− − + = 2

l l

n Znak minus u jednačini (i) je u slučajevima kada teme parabole leži između oslonaca kao što je na slici 2 prikazano, dok znak plus treba uzeti za one slučajeve kada teme leži na istoj strani od oba oslonca.

( )2

2 1 22q hH f f f . ih 2

= − ±

l

Ako su oslonci na istom nivou 1 2f f f , a b ,2

= = = =l

pa iz (g) sledi:

( )

2

2qq2f , H . j

2H 8f

= ⇒ =

ll

Kriterijum za paraboličnu lančanicu je f ≤ l / 5

U većini praktičnih problema su poznati podaci: raspon l, strele f1 i f2, kao i intenzitet raspodeljenog opterećenja q, tako da primenom jednačina (i) ili (j) može da se odredi horizontalna sila H, posle čega može da se odredi bilo koja od ostalih veličina izražena preko H.

B A

A

M 0 V q 02

qV2

ll l

l

= → − =

⇒ =

∑

C A A

A

M 0 V H f q 02 2 4

qH8f

2

l l l

l

= → − ⋅ − =

⇒ =

∑

Kod pliće lančanice (f malo) horizontalna sila je veća, a ako je strela velika horizontalna sila je mala.

Ravnoteža unutrašnjih sila kod lančanice:

A B

A B

H HH H H

== =

U bilo kom preseku lančanice mora biti:

2 2 2 2A A A B B B

A

S H V , S H V ,HS .

cos

= + = +

=α

Oslonci A i B nisu na istoj visini. Ravnoteža unutrašnjih sila mora da postoji kod lančanice:

( )A B

2

A

B A

V q V q b

q 2qH ,8f 8f

H H H

2

a

al

= ⋅ = ⋅

′= =

= =

Uže je opterećeno jednoliko kontinualno duž celog luka lančanice

Lančanica opterećena samo svojom sopstvenom težinom

( ) Qq q s const qL

= = =

Ako kabl slobodno visi u polju teže i na njega deluje samo njegova sopstvena težina, ravnomerno raspoređena po dužini jednačina lančanice postaje:

dy Q dy qs, Q q sdx H dx H

= = ⇒ =

gde je q težina kabla po jedinici njegove dužine, a s je dužina luka CD.

Kriterijum za ovu lančanicu je f ≥ l / 5.

n Jednačina krive ravnoteže koju zauzima kabl ili lanac slobodno obešen i izložen dejstvu samo svoje sopstvene težine glasi:

− to je u stvari obična lančanica sa vertikalnom osom.Sila zatezanja u ovakvoj lančanici je:

Kao i kod paraboličnog kabla, minimalno zatezanje se javlja u najnižoj tački C, gde je S=H, a zatežuća sila se povećava sa približavanjem krajevima kabla, dostižući svoj maksimum na samim osloncima, ili ako oni nisu na isto nivou onda na višem od njih.

( )H qxy cosh 1 . nq H

= −

2 2 qxS H Q H cosh .H

= + = S H qy. (o)= +

n Izrazi za zatežuću silu glase:

n Da bi se dobila vrednost H, koristi se sada jednačina (n), prvo za deo AC, a zatim za deo BC lančanice, dobijajući tako jednačine:

a 1 b 2S H qf i S H qf . (p)= + = +

( )1 2H qa H qbf cosh 1 , f cosh 1 . qq H q H

= − = −

( )1 2qf qfH Ha cosh 1 , b cosh 1 . rq H q H

= + = +

Sabiranjem ovih dveju jednačina i imajući u vidu da je a+b=l, dobija se:

( )1 2qf qfq arccosh 1 arccosh 1 . sH H H

= + + +

l

n Zadatak 1 Lančanica je glavni nosač mosta na slici, raspona L=100m (dve paralelne lančanice nose okačenu konstrukciju mosta). Lančanice su na oba kraja vezane za betonske prizmatične blokove dimenzija a x b x h=10 x 10 x 30m. Zapreminska težina blokova je γ=25kN/m3, pri čemu blokovi slobodno ležena horizontalnoj hrapavoj podlozi sa koeficijentom trenja µ=0.10. Ako se lančanica posmatra kao plitka (parabolična), i ako je ravnomerno opterećenje po projekciji luka jedne lančanice q=20kN/m, dok je maksimalni ugib (strela) lančanice jednak f=10m, odrediti reakcije veza između oslonaca i lančanice, kao i koeficijente sigurnosti protiv klizanja i protiv preturanja oslonačkih blokova.

Kako se lančanica posmatra u skladu sa paraboličnom teorijom i kako je zadata strela lančanice, reakcije veza mogu da se odrede iz uslova ravnoteže jedne polovine lančanice:

A

A

A

2 2

1Y 0 V qL 0,2

1 1V qL 20 100 1000kN2 2

1 LM 0 H f qL 02 4

q L 1 100H 2500kN.8f 8 10

= → − =

⇒ = = ⋅ ⋅ =

= → ⋅ − ⋅ =

⇒ = = =

∑

∑

Znači, lančanice deluju na oslonačke blokove silama VA i H.

Kako su za svaki oslonački blok vezane po dve lančanice, to se ili dobijene reakcije udvoje, ili se posmatra uticaj jedne lančanice na polovinu težine bloka. Dakle, težina oslonačkog bloka je:

1 1G b h 10 10 30 25 37500 kN.2 2

a= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ γ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

Normalna komponenta reakcije podloge posmatranog bloka (odnosno polovine bloka) je:

A AY 0 N G V 0 N G V 37500 1000 38500kN,= → − − = ⇒ = + = + =∑

Dok je granična sila trenja jednaka:

grT N 0.1 38500 3850kN.= µ ⋅ = ⋅ =

Imajući u vidu jedinu horizontalnu silu koja deluje na blok, vidi se da je koeficijent sigurnosti protiv klizanja bloka jednak:

grk

T 3850 1.54 1.0H 2500

γ = = = ⟩

Moment preturanja bloka oko prednje ivice je jednak

pretM H h 2500 30 75000kNm= ⋅ = ⋅ =

dok je moment stabilnosti bloka:

stabM G 37500 5 187500 kNma= ⋅ = ⋅ =

Prema tome, koeficijent sigurnosti protiv preturanja bloka je:

stabp

pret

M 187500 2.5 1.0M 75000

γ = = = ⟩