Lancelotti Esercizi Analisi 2

8/20/2019 Lancelotti Esercizi Analisi 2

1/225

Sergio

Lancelottí

Esercizl-

di

Analisi Matematica

rI

CelE


2/225

i

Celid,

settenùre

2010

.

via Cialdini

26,

10138

Torino

tÉl. 0r1-44.14'774

i

www.celid.it/casaetlitrice

i

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riproduzione,

di

memorizzazione

e di

adùttatnento

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o

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e copìe

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risrvati'

ì

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e78-88-?661-9ol-4

i

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Segrate

(M[)

A

mio

papà,

per

tutti

t,

suoi, socrifi,ci

I


3/225

Indice

Prefazione

Massimi e

minimi

liberi

15

1

Alcuni richiami

teorici

.

.

.

15

1-1 Nozionierisultatiprincipali

-......15

1.2 Rjcerca

dei

punti

di

massimo e

di

minimo

locale

. . . .

16

2 Esercizi sui massimi

e minirni

liberi . .

18

2.1

Funzioni

di

due

variabili

.

.

.

.

18

2.2

F\rnzioni

di

tre

variabili

. . . .

19

3

Svolgimentodegìiesercizisuimassimieminimiliberi.

.

.

.

.

. . 20

3-1

Funzioni di due

variabiii

.

.

.

-

20

3.2

F\rnzioni di tre

variabili

. .

.

.

30

;

Massimi e

minimi

vincolati

4l

1

Alcuni richiami

teorici

. .i

41

1.1 Nozionierisuìtatiprincipaìi.

.

-..

\f

I.2

;

Rícerca dei

punti

di

massimo

e

di

minimo

vincolato

-

.

. 43

2 Esercizisuimassimieminìmivincolati

..... 47

2.I

I

I'unzioni

di

due

va,riabili

47

2.2 F\rnzioni

di tre

variabili

, . .

.

49

3 Svolgimento

degli

esercizi

sui

rnassimi e minimi

vincolati

. . .

. . 51

11

-

s

í1

3.1

F\rnzioni di due

variabili

3.2 F\rnzioni


4/225

Indice

Indice

Serie

numeriche

1

Alcuni richiami teorici

3

Svolgimento

degli

esercizi

sulle

successicini

di

funzioni

8 Serie

di

funzioni

1

Alcuni richiami

teorici

1.1

Serie

di

poterize

1.2

Serie di

layìor

.

1.3

Serie

di

Fourier

Esercizi sulle

serie

di funzioni

2.7 Esercizi sulle serie

di

potenze

2.2

Esercizi

sulle serie di fa,vlor

2.3

Esercizi sulle

serie

di

Fourier

Svolgimento degli

esercizi sulle

serie di

funzioni

3.1

Svolgimento

degli

esercizi

sulle

serie di

poterize

3.2

Svolgimento degli

esercìzi

sulle

serie

di

Taylor

3.3

Svolgimento degli esercizi

sulle serie di Fourier

Elenco

dei

Simboli

Forruule

utili

1.1 Derivate delle

funzioni

elementa.ri

tli una variabile

1.2 Regole

di derivaaione

per

funzioni di

una variabile

1.3 Regola

di

derivaaione

per

funzioni

composte

di

piìr

variabili

L.4

Integraaione

indefinita

per

funzioni

di

una

variabile

.

L-2

Inte$ali

tripli

Esercizi

sugli

integrali

multipli

2.1

Integrali

doppi

2.2

Integrali

tripli

. .

Svoigimento degli

esercizi

sugli

integraii

multipli

3.1

Integrali

doppi

.

3.2

Integrali

triPli

.

.

Integrali

curvilinei

e

di superficie

I

Alcuni

richiami

teorici

1.1

Brevi richiami

sulle curve

parametriche

1.2

Integrale

curvilineo

di

I specie

1.3 Integra.le

curvilineo di

ll specie

(o

integrale

di

ìinea)

1.4

Integrale

di

superficie

di

una

funzione

reale

1.5

Flusso

di

un campo

vettoriale

attra.velso

una superficie

1.6

Teoremi

di

Green, Stokes,

Gauss

Esercizi

sugli

integraii

curvilinei

e

di

superficie

2.L

Esercizi

sr-rgli

integrali

curviiinei

di

I

specie

2.2

Esercizi sugìi

integrali curvilinei

di II

specie

(o integrali

di

linea)

2.3 Esercizi sugli

integrali

di

superficie

di

una funzione

reale

'

2.4 Esercizi

sul

flusso

di

un

campo

vettoriale

attraverso

una superficie

2.5 Esercizi

sui

teoremi

di Green,

Stokes,

Gauss

Svolgimento

degli

esercizi

sugli

integrali curvilinei

e di

superficie

3.1

Svolgilnento

degii

esercizi

sugli

integrali

curvilinei

di

I

specie

'

3.2

Svolgimento

degli

esercizi

sugli

integrali

curvilinei

di

II

specie

(r

integrali

di

linea)

3.3 Svoigimento

degli esercizi

sugtì

integrali

di

superficie

di

una fun-

zione reale

3.4

Svolgimento

degli eser:cizi

sul

flusso

di

un campo

vettoriale

at-

traverso

una superficie

3.5

Svolgimento

degli

esercizi

sui

teoremi

dì

Green, $Lokes,

Gauss

'

105

108

1.2

Ricerca

dei

potenziali

di un campo

vettoriale

conservativo . . .

. 293

2 Esercizi

su campi

conservativi

e

potenziali

, .

.297

3

Svolgimento degli

esercizi

su

campi

conservativi

e

prrlenziali

. . .

-

.

. . 295

08

110

113

113

tóJ

327

321

1.1 Criteridiconvergenza .....323

Esercizisulleserienumeriche

.....327

Svolgimento

degli

esercizi

sulle

serie numeriche . . .

. .

333

7 Successioni

di

funzioni

1

Alcuni richiami

teorici

.

.

.

369

2 Esercizisullesuccessionidifunziorii

.......370

2

J

77

177

777

222

369

178

178

179

180

181

184

184

186

188

190

191

194

1.94

205

a'71

383

383

385

388

389

392

393

3S4

396

398

403

tlt

425

44L

447

447

448

448

449

244

266

A

i

j

1

I

Campi

vettoriali

conservativi

29f

1 Alcuni

richiami

teorici

' '

'

291

1.1

Nozionierisultatiprincipali """'291

B


5/225

Indice

10

1.5

LO

I.7

/ É1

.

452

Sviluppi

notevoli

di Mclaurin

Limiti notevoli

di successione

Altre formule

I

Prefazione

Le riforme degli ordinamenti didBttici

che

si sono

succedute a

partire

da"ll'anno accademi-

co

200G2001 hanno comportato

una modifica sostanziale

dei

programmi

di

quasi

tutti

gli

insegnamenti universitari

è

in rnodo

significativo

per quelli

dei corsi di Matematica.

In

particola::e,

neile facoltà ingegnerìstiche

si

è assistito ad una

contrazione deìl'im-

postazione

teorica

deí concetti matematici,

a vantaggio

delie loro applicazioni

prabiche.

In

questa

realtà è

piÌr

che mai

utile

poter

disporre

di

libri

ed eserciziari nei

quali

si

prediliga

I'aspetto tecnico

(calcolo)

a

quello

teorico.

Questo

libro

di esercizi

comprende

quasi

tutti

gli

aspetti

fondamentali

che

erano

pre-

senti

nel classico insegnamento di Analisi N{alematica

II, che

consisteva

sostanzia.lmente

neilo

studio

del calcolo differenziale e

integrale

per

funzioni

di piir

variabili,

compresi

gli

integrali

su curve

e

superfici,

lo studio

dei

campi

vettoriali

e

lo studio delle selie di

funzioni, tra

cui

quelle

di

potenze.

di Taylor

e di

Fourier"

.

Nella

parte

di

calcoio

differenziale

in

più

variabili si è

preferito

non inserire

esercizi

sugli argomenti

di

base

che sono

un'estensione

dei

concetti

e delle tecniche

di

calcolo

differeuiale in una variabile

(domini,

limiti,

derivate

parziali)

e

localizzare

I'attenzione

sugli

esercizi

di

ricerca dei

massimi

e

minimi liberi

e

vincolati,

nei

quali

i

metodi di

risoluzione

sono

tipici

del

calcolo

difierenziale

per

funzioni in

più

variabili.

lnoltre,

prima

degli

esercizi

sulle

serie di

funzioni,

un capitolo è

dedicato

alle serie numeriche-

Più

in

dettaglio, gli

esercizi

riguardano:

Capitoli

1:

massimi

e

minimi

locali

e assoluti

liberi

per

funzioni

di due

e

tre

variabili;

Capitoli 2:

massimi

e minimi

locali

e

assoluti vincolati

per

funzioni

di due

e tre

varia-

bili;

Capitolo

3:

integrali doppi e

tripli;

Capitolo

4:

integrali curviiinei e di

superficie;

Capitolo 5: campi

vettoriali

conservativi;

11


6/225

Prefazione

Capitolo

6:

serìe

nurneriche;

Capitolo

7:

successioni

di funzioni;

Capitolo

8:

serie di funzioni

(in

particolare

serie

di

potelue, tra cui

quelle

di Taylor,

e

serie di

Fourier).

Il

libro

contiene

318

esercizi,

tutti

svoìti.

In

ogni capitolo

vi

è

un

elenco

di

esereizi,

per

i

quali viene

poi

fornito

uno

svoìgìmento.

In molti

capitoli,

in

particolare

in

quelli

sui

massimi

e minimi

vincolati,

sugli integrali

muitipli, curvilinei

e

di

superficie,

lo svolgimento

è

accompagnato

da

varie figure

che

mostrano

la

geometria del

problema e aiutano

a

comprendele

le tecniche

di

ovolgimento.

Complessivamente

sono

presenti

224 frglre-

Per

tutti

gli

esercizi

viene

riportata,

a

fianco dei

testo,

la soluzione'

Esempio

Esercizio.

Calcolare

i

seguenti

integrali

doppi

sugli

insiemi

specificati:

n:

{t",vl

elR2

:

o

.y.g',

a


7/225

Capitolo

1-

lVlassimi e

minimi

liberi

1. Alcuni

richiami

teorici

Di

seguito

vengono

elencati

alcuni

risultati

che

sono

rllllizzati

nello

svolgimento

deglì

esercizi

sui massimi e minimi

liberi.

Nel

seguito

considereremo

n

e

N,

n

>

2.

1.1 Nozioni e risultati

principali

(1.1)

Definizione

Siano

O

C

lR" non vuoto,

J

:

O

-

lR

una funzione

e

ae

€

O.

Diciamo

che

rs è

un

punto

d:i

mo"ssim.o

(risp.

minirno)

Iocale

per,f

se

esiste

un

intorno

f(zs)

di cs in lR.n

tale

che

vo

e

r(re)

ne :

f(*)

I

f(rù

(risp.

/(r)

)

"f(ao)).

Diciauro che

es è

un

punto

di massim.o

(risp.

mi,nímo)

ossoluto

per

f

se

Vr

e

o :

Í@)

<

f(xo)

(risp.

/(e)

ì

/("0)).

Evidentemente

un

punto

di

massimo

(risp.

minirno)

assoluto

è anche di massimo

(risp.

minimo)

locale.

(1-.2)

Teorema

(di

Weierstrass)

Siono O

g

IR"

un insierne cornpntto

(cioè

chiuso

e

limitato) twn

uuoto e

f

: Q

+

R

una

Janzione

continua.

Allom

Í

ammette

masgí,m,o

e

mini,mo

assoluto.

(1,3)

Definizione

SianoO

clRounapertononvuoto,.rs

e

Oe/: f,)

*lR.una

funzione.

f<


8/225

16

_

*

Capitt:Io7

Massimieninimiliberi

Diciamo

che

I

è

differertziubilc

in

r0 se

/

ammette

tutte

le derivate

parziali

in 16 e

si ha che

"rn

.f

(r)

-

l("0ì,

__V_J-(".I-(":'o) :

s,

xiro

ll"

-

,o

ll

lAf Af \

dorrc Vf(rn)

:(?@ù,...,# ("0)

)èit

gradientedì/inzse

llz-16ll

èlanorma

\dzt'

oxn

/

di

a

-

ro

in

lR.'.

In tal

caso

si chiama

d,ifferenzialc

d:i

f

in

ts

I'applicazione

lineare

d/(ro)

:

IRt

-

lR

definita

da

dJ@o)@):

V.f(co).c.

Talvolta

il differenziale

di

/

in

16

viene denotato

con

d"o/.

(1.4)

Definizione

SianoO

clR'unapertononvuoto,.t0 €

Qe/:

QtlR

una

funzione

differenZiabile

in 16.

Diciamo che

re

è un

punto

stazóonario

(a

critico)

Wr f

se d,f

(rs)

:0

(nel

serrso

di

applicazione

lineare nulla).

Evidentemente

questo implica, che

vJ(26)

:0

(nei

senso

di

vettore

nullo

di

R.").

(1.5)

Teorema

(di

Fermat)

Siano O

g R'

un aperto non

uuoto,

J

:

Q

-

ÌR una

funzione

e

zs

€

O- Suyporúamo

che uulgutn i seguenti

fatti:

a)

f

sia

d"iffercnziubile

in

rs;

b)

*s sia

un

punto

d'i

nnssinto

o di

trúnùrrc

locale

per

J.

Allora so

è

un

punto

stazionario

per

f.

L.2 Hicerca

dei

punti

di

massimo

e

di

minimo

locale

Siano

fl

C

lR'

un apetto

non

v1loto e

/

:

fl

-.

lR

una

funzione

di classe

C2. Per

il

Teorema

di

Fermat

(vedi Teorema.

(1.5))

i

punti di massimo

e

di

minimo

locale di

/

vanno cercati

fra

i

punti

stazionari

di

/.

sia

co

€

o

è un

punto

stazionario

per

/

e consideriamo

la matrice

Hessiana d,i

f

i.n

'1.

Alcuni richiami teorici

Poiché

/

è

di

claese

C2, risulta

che

'H1(rs)

è una malrice reale n

x

n

sirnmetrica.

Si

determinano

gli

autovalori

òi

715@s), cioè

i

valori

,\

€

llR soluzioni dell'equazione

det(11,(t:n\

-,\11

:0.

\

/."/

J

dove

I

è

la

matrice

identica

n

x

n

Valgono

i

seguenti fatti:

a)

se

tutti

gli

autor.alori diHl@t)

sono

positivi,

allora z6 è un

punto

di

minimo locale

pet

f;

ò) se

tutti

gli

autoralori

di Îly(r6) sono

negiltivi,

allora

rs

è un

punto

di massimo

iocale

per

/;

se'ì15(.no)

ha sia

autovalori

positivi

che

autorralori

negativi, allora

z6

non

è

né un

punto

di massimo

né un

punto

di

minimo locale

per

J.

In

questo

caso si dice che

xs

è

un

ltunto

di

sella

per

J.

Osservazione

Nelle

ipotesi

precedenti,

si

ha

che:

se

tutti

gli

autovalori

di'HS@s) sono

non negativi

e

ne

esiste almeno uno

nullo,

allora ca non è un

punto

di

massirno

Ìocaìe per

/

ma non

si

può

concludere

con

cerlezza che

sia

di minimo

locale

per

/.

Per studiare

la

nàtura

del

punto

zs

è

necessario ricorrere ad

altri

metodi

(ad

esempio la definizione);

se

tutti

gli

autovaìori di

111@s) sono

non

positivi

e

ne esiste

almeno uno

nullo,

allora

cs non

è un

punto

di

minimo

ìocale per

/

rna

non

si

può

concludere con

ceîtezza che

sia

di

massimo locale

per

/.

Per studiare la natura

del

punto

116

è

lecessario

ricorrere

ad

altri metodi

(ad

esempio

ìa

definizione).

(1.6)

i)

'[i]',,1)

It

p

'à

ii

ii)

(

{J,ao

-#hr^t

"#rk')l

Hí,o):l

""*tt""

U',^'

Ot*'

I

\ffir",1

fi{-o"it

ffi^oa

)


9/225

18

_

_

Capitolol

Massimieminimjliberi

2

Flsercizi

sui

massimi

e minimi

liberi

2.1

F\rnzioni

di

due

variabili

Esercizio.

Determinare

i

punti

di massimo

e

minimo

locali

e

assoluti

delle

seguenti

funziorii

di

due

variabili:

a)

f

(r,ù

:

,a

+

aa

-

Atg

[(-1,

-1)

,

(1, 1)

punti

di

minimo

assoiutoJ

Capitolo

7

Esercizi sui massimi e minimi

liberi

2.2

Funzioni

di tre

rariabili

Esercizio. Deberminare i

punti

di massimo

e

minimo

iocali

e assoluti delle

seguenti

funzioni di

tre va.riabili:

c)

Í@,Y)

:

r2s

-

s2

lnon

esistono

né

punti

di

massimo

né

punti

di minimoJ

b)

(,,tì

:

r:+t-

alog

(s

+

1)

f@,ù:"3+v3-\rv

f

@,s)

:

3r2

+

vYa

f(",y)

:2x4

+

y2

-

3a2y

[(t,

t)

n"nto

di

minimo locale]

[(1,

r)

l""to

di minimo

locaìe]

[{o,O)

n""to

di

rninirno

assoluto]

íq

ir

rs

s

F

iÍ

I

6

I

,ii

il

$

o.t

e)

f)

a)

f(r,y,z):1*

t t +*a,

ruz

b)

f

(r,s,z)

--

"(a2

+

,')

-

u"

c)

f(x,y,z)

:

12

*

A2

+

z2

*

2x

-

7

d))

J(r,y.z):

(,2

+u')"

+,'

^,y

|

(-1, -1,

*1)

punto di

massimo locale,

I

L

(1,

1,

1)

punto

di

minimo

locale

|

(lr,0,0),

con

r <

-{

sono

punti

di massimo iocale,

L

(",0,0),

con

rú >

]

sono

punti

di minimo locale

[{r,O,O)

punto

di

minimo

assoluto]

ù

Í(r,ù:

s"î2-Y2-o

[(-]'o)

punto

di

[(*'+,0)

"

(-+,-*,0)

punti di

minimo

assoluto]

e)

f

(z,y,z)

:

12

+2g2

+

z2

+

xy

-

rz

[tO,

o,

ol

punto

di

minimo

assoluto]

f)

i(r,y,z):

ro"'2+v2*"2

[non

esistono né

punti

di massimo né

punti

di

minimo]

ù

Í@,u,2):

[@,u,ù

tali che

z

:

,'

+

y2

-

16

punti

di

minimo

assolub]

h)

f(n,s,z):

tos

(s

-

2r2

-

3y2

-

422)

[io,

o, o)

punto

di

massimo assoìuto]

:\ ./_

-

.t _

l.

z .2\2

|

@,u'iu)

con ,t > 0

pmti

di

minimo

ìocale

oer /'

I

)

I\î'a1z):r\v--

z-)

L@,g,+ùcon

u


10/225

Capitolo

7 Massimi

e minimi

liberi

3 Svolgimento

degli

esercizi

sui

rnassimi

e

minimi

liberi

3.1 F\rnzioni

di

due

variabiìi

Esercizio,

a) La

funzione

Í@,g)

:

14

+

y4

-

4ry

è

di

classe

C*

su

IR2'

Quindi

i

punti

di

estremo

di

/

vanno cercati

fra

i

punti

stazionari, ossia

fra

i

punti

(r, y)

e

lR2 tali

che

V/(c,s)

:0.

Si

ha che

Capitolo

7 Svolgirnento

degli esercizi

sui

massimi

e

rninimiliberi

_

21

e

passando

in coordinate

polari

nei

piano.

cioè

ponendo (",y):

(pcosr9'psint9)

con

p >

0 e

T9

e

IR,

si ol,tiene

^q

l.

a

'\

P-

[l

2cos'rÎsin'd)

-4p'cosrlsinrl

+2>

0

che

è una

disequaaione

di

secondo

grado

in

p2

in

cui

il

discrimina'rrte

è sempre

minore

o

uguale

a

zero-

Quindi

questa

disequazione

è

verificata

per

ogni

p

e t9'

Ne

segue che

/(c, u)

>

2

per

ogni

(c, g)

e

IR2.

-2

t.,2

b) La funzione

l@,ù

:

dom(/)

:{t*,u)e

lR2:

v>-1}

che è un

insieme

aperto.

Quindi

i

punti

di estremo

di

I

vanno

cercati

fra

i

punti

staaionari, ossia

fra i

punti

(2,

g)

€

dom

(J)

tali che

V/(c,

v)

:

0.

Si

ha

che

o,ù:4rz

-

4a,

ot

?JO,yl:4ys

-- 4r.

oa

Quindi

(Arr-

u:o

yf(r,s):s

r.=>

tnru_n

_o

I

prrnti

stazionari

di

/

sono

(0,0),

(1,

1),

(-1,

*1).

Per

stabilire

se sono di massimo.

di

rninimo

o

di sella, calcoliamo

la

matrice

Hessiana

di

/

in

questi punti.

Si

ha che

A2 r

A2f

A2i

,

i-4@,ù

-

12',,

ifrt".u):72u2,

ffi(,'o):

-o

Quindi

ìa matdce Flessiana

di

/

in

(r,9) è

't..,(r.u\

-

(t2*

-4

\

r\*, /

\_+

t2a2/

sihache

/

(r

-4\

rr(o,o):(

-4

o

).

Gli

autovalori

di

?ly(0,0)

sono À1.2

:

t4'

Quindi

(0,0)

è un

punto

di sella

per

/'

Inoltre,

si

ha

che

'ttrl,r)--HrGr,

,)

-

(]1

,:)

Gli autovalori

dí11r0,r)

e'117(r,-

l) sono

Àr,z

:8,

16.

Quindí

(t' r)

e

(-

1'

-t)

sono

punti di minimo

locale

per

/.

In realtà

questi

due

punti

sono

di

minimo

assoluto

per

/.

Infatti, si ha che

/(1'

1)

=

/(*1,

-1)

:

-2

e si

osserva che

f

(r,ù

2

-2

per

ogni

(r,

v)

e

ìR2.

Infatti,

Í@,y)2-2

+:+

f(r,ù-r2>0

0.

Quindi

(1,1)

è

un

punto

di

minimo locale

per

/,

Osserviamo

che

(1,

1)

non è di

rninimo

assoìuto. Infatti,

t'+

f

(",v)

-

liq,-

[v

-

4Ìog

(s

+

1)]

:

-m'

tì(-

r,

'


11/225

Capitolo

1

Massimi

e

minimi

liberi

La funaione

f

(*,y)

:

,'a

-

g2

è

di classe C- su

1R.2,

Quindi

i pr:nti

di

estremo

di

/

vanno

cercati

fra i

punti

stazionari,

ossia fra

i

punti

(",

g)

e

lR2

tali

che

V

f @,Y)

=

0.

Si ha che

Quindi

(

2ru:0

V/(z'Y)

:o


12/225

24

Caoitolo

1

Massimi e

minimi liberi

Osservia.mo

che

(1,

1)

non

è

di minimo assoluto.

Infatti,

lia

J(2,

y)

:

lim

13

-

-oo.

"::t

'+-F

e)

La frmzione

f(r,ù

:

3r2

+5y4

è

di classe

C-

su IR2.

Quindi

i

punti

di estremo

di

/

vanno cercati

fra i

punti

staaionari,

ossia

fra i

punti (",ù

e lR.2 tali che

Y

Í@,Y)

=

o'

si ha che

0f

af

5[@,ù:a,,

fra,ù:20a3-

Quindi

t6r:o

V/(r,s)=0

è

{::

[

2oY3

:

o'

L'unico

punto

stazionario

di

/

è

(0,0).

Per

stabilire

se

è

di massimo,

di minimo o

di sella, caìcoliamo

la matrice Hessiana

di

/

in

questo punto.

Si ha che

A2r A2f

^

Úf.

"

;

r-

".r

-

6,

";4G,ù--60a',

#(",9):

O

6;t\&,cr

-

qJ-

u:îu.g

Quindi

la matrice

Hessiana di

/

in

(z,y)

è

$i

ha che

/6 0 \

ltr@,u):

lo

uor,/

'H.g,o)=

(3

3)

f)

i

ii

il

Gli

autovalori

di 7ll(0,0) sono,\y,2

=

0,6.

Ne

segue

che

certamente

(0,0)

non è

un

punto

di massimo

locale.

Osserviamo

che

per

ogni

(u.

g)

€

IR2 risul|a

Í\r,ù

>-

0

:

/(0,0).

Quindi

(0,0)

è un

punto di

minimo

assoluto

per

/.

La funzione

f(",ù:2î4+a2

-3*y

è

di classe

C- su

1R.2.

Quindi

i

punti

di

estremo

di

/

vanno cercati

fi'a

i

punti

stazionari,

ossia

fra

i

pun|i (z,y)

€

IR2

tali

che V/(c,

g)

:

0. Si ha che

af

,

af

ft@,ù:8r3

-

6xy,

fia.o:2a

-3r2.

Quindi

fgo3-6r5g:o

vf(r,s)=o

0.

OE

(r,ù

è

l2b2

-

6y

-6r

\

tt.

\

-oe

2l

Risolvendo la disequazione

grafica

mente,

risulta

che

in

un qualunque

intorno di

(0,0)

esistono sia

punti

(r,9) in

cui

/(z,y)

(

0 sia

punti

(c,g)

in oti

f

(r,y) >

0. Ne segue

che

(0,0)

è

un

punto

di

sella

per

/.

/(z'vl

<

o

9)

r,v) >

o

La

firnzione

Í@,ù:

e-"-a"-n è

di

classe C-

su

IR2.

Quindi

i

punti

di estremo

di

J

vanno

cercati

fra

i

punti

stazionari,

ossia

fra i

punti

(",ù

e

lR?

tali che

v

î(r,a):

0.

Si

ha che

Aî a r Af.

ffi@,ul

=

-(2r

*

t)

e-r,-u2-c, '/rtr,ù :

-2,

"-x2- 2-r.

Quindi

{ Qt+

l\e

"-v'-'--o

Í@,s)

:

o ++

\

_'2s

"_,"'_u,_,

:

s.

L'unico

punto

staaionario

di

/

è

(-

à,0)

Per stabifire se è di massimo, di minimo

o

di sella, calcoliamo la

matrice

Hessiana

di

/

in

questo punto.

Si ha che

A2Í

,\

--s2

uz-x

ò2f

,^^.,

ijeA,o:(+"t

t

4x,1

",

gnzr-,vt:(+'sz

2)

e-'2-u2-',

f@,a)>0


13/225

Capitolo

I

Massirni

e

minimi liberi

"{ o,ol

:2Y(2x

*

r) P-tz-v2-x

'

0xdy''"'

La

marrice

Hessiana

di

/

in

(

à,0)

è

''

(-*,,

:

(-';*

-f"* )

Gli

aulovalori

ai ar

(-1,0)

sono 11.2

:

-zei

<

0.

Quindi

(-},0;

u

un

punl,o

di massimo

locale

per

/.

Osserviamo

che

per

ogni

(r,y)

€

lR2

risulta

Í(r,y)

S

1

:

/

l-;,0).

Quindi

/ r

^\

-

(

à.0)

è

un

punto

di

massimo

assolulo

per

/.

/r)

La

funzione

f

(r,a)

-

{4

,L2a'

è

continua

su

dom

(/)

:

{


14/225

ii,1

:

lji:,

'1':'

i

.'

i,,ri

ii:

L

'

i.'i'

l: r

:l],:'

Caoitolo

7 Massimi e minimi

libeli

Consideriamo

il

punto

(0, y6)

con

Uo

€

IR.

Vediamo se

esiste

un

intorno di

(0,

96)

tale che

per

ogni

(r,9) in

questo

intorno

risulti

/(r,9)

<

"f(0'C0)

(risp'

/(z.y)

>

f(0,y0)).

Se nessuna

di

queste

situazioni

si rcalízza, allora

(0,96)

è un

punto

di

sella

per

/.

Si ha che

Í@,Y)2Í0,a0)

"f("0,0)

sia

punti

(r,0) con

l(4,0)

5

"f(r0,0).

Ne segue

che i

punti

(os,0)

con

lrol

<

f non

sono

né di massimo

né

di

minirno

per

/.

Scambiando

il ruolo

di r

ey si

conclude che anche

i

punti

(0,96)

con

3ts

€

IR non

sono né di massimo

né di minimo

per

/.


15/225

30

Capitolo

1

Massimi

e

minimi liberi

.'

3.2

Funzioni

di tre

variabili

Esercizio.

a)

La

funzione

l@,a,ò::-I+L

+*arè

di

classe

C-

su

dour(/):{(r,u,ò€R3: r

10,

u*0,

z+0}

che

è

aperto.

Quindi

i

punti

di estremo

di

/

vanno

cercati fra

i

punti

stazionari,

ossia

fra

i

punti (r. g,

z)

e

dom

(/)

tali che V/(r,9,2)

:0.

Si

ha

che

af.

1

af.

I af,

,

I

fi(r,u'z)

-

,,

+

a".

*\t,u,z)

:

--2

+

î2,

Az\r,v,z)

:

---,

+:Îa'

Quindi

[-i*"=o

f@,y,2):6

++

),

*-f,*,,=o

la'

ll

l-7

i"Y=6'

lpuntistazionaridi/sono(1,1,1)e(-1,-1,-1).

Perstabiliresesonodimassimo,

di

minimo o di selìa,

calcolia.rno

la

matrice Hessiana

di

/

in

questi

punti-

Si

ha

che

azf.

2

02r.

2 A2Í, 2

6rz\r.a,z):

F. apt*,u,rl-

f

.

ar2@,4'z)=

A.

a2r à2r Azf

ffi("'r'")

:

',

ffiU'u'z)

:

u'

à;6,@'a''l

:

"'

Quindi

la

matrice

l{essiana di

f

in (o,

g,

z)

è

l*

z

Y\

x1@,y,4:1,

#

"

I

\y

*

hl

Si ha

che

(" t\

'tl|\r,t,t)=1,

,

rl

\r

L

2/

Gli autoralori

di77y(I,7,1)

sono

À1,2,3

:

1,4.

Quindi

(1, 1, 1)

è un

punto

di minimo

locale

per

/.

Inoltre,

si ha che

î,f(-r,-7,

":

(:i

jrj)

Capitolo

1 Svolgimento degli esercizi

sui

massimj e

minimilibeú

GIi auiovalori

di7ly(I,-1,-1)

sono 11,2,3

=

-t,-4.

Quindi

(-1,-1,-1)

è un

punto

di massimo

locale

per

/.

Osserviamo

che

non

esistono

estremí assoluti. Infatti,

tim

fh.u.z\:

tiut

(r+z+11

-*-.

= = -' " . z_-*m\ Z);_*o

b)

La furuione

Í(r,y,r)

:

,

(yt

+

,'\

-

yz

è

di

cla-sse

C* su IR3-

Quindi

i

punti

di

estremo di

J

vanno

cer"ati fra i

puoti

ut*iorrr.i,

ossia

fra

i

punti

(c,9,

z)

e

IRa

tali

dre VJ(c,

g,

z)

:

0. Si

ha che

0f.

. , ,

0f.

*(r,a,z):g'+

z',

*(x,u,z):2xa

-

z,

Quindi

ff{,,u,ò

-2sz

-

u

(u2+22:o

t"

'-

Vf(r,a'z):o +-+

lzta-z:0

\2t'z-ts:X'

I

punti

staaionari

di

/

sono

(r,0,0),

con

t

€

IR..

Per

stabilire

se sorìo

di

massimo,

di minimo

o

di

sella, calcoliamo

[a matrice Hessiarra

di

/

in

questi punti.

Si ha

che

à2f A2f Azf

:ufr@,u,,)

=0,

àp@,u,"):2",

ip@,a'")

:2x,

A2r

^2f

à2f

ffi(x,a,"):za.

ffi@,a,,)

=2,,

ffi(",r,"):

-t.

Quindi

la

matrice

Hessiana di

f

in

(r,y,

z) è

sihache

(o

o o\

Î11(r,0,0):10

2r ll.

\o

-1

z,)

Gli

autovalori di

111@,0,0)

sono

À1,2,3

:

0,2n

* 1'

Si

ha

che

"


16/225

Capitolo I

Massr'mi

e

minimi

liberi

Quindi

se

-l

-à

"y:

--2.

Perbanto

si ha

r


17/225

34

Capitolo

1

Massimi

e

minimi

liberi

I

punti

stazionari di

f

sono

(0,0,0),

(

"A,*,0)

"

(-*,-*,0)

Per stabilire

se sono

di

massimo,

di

minimo o

di sèlla,

calcoliamo

la

matrice Hessiana

di

/

in

questi

punti.

Si

ha

che

a2t a2î

a2r

Yfit",u,ò

-

1212

+

4y2.

"ujrt",o,z)

-

L2s2

+

4r2.

|[email protected],ò:2.

Azf à2f

n2f

ffiA.o,z)

-

Bq

-

L,

**(x,u,z)

=

o.

j; u"k,u,z)

-0

Quindi

la

matrice

Hessiana

di

/

in (c,

y,

z)

è

sihache

(o

-1

o\

fi/(0,0,0):[-r o ol

\0

0

2/

Gli

autovalori di

TlJ(0,0,0)

sono )1,2,3

:2,

*1.

Quindi

(0,0.0)

è un punto

di sella

(

r2r2

+

4y2 8ry

-

L

0\

uttr,a,ù-l

lry-L I2y2r4î2 0f

\

0 0

2/

12

0

0\

-:4.0ì

:lo

2

ol.

4

/

\oot/

Quindi

(f,f,o)

"

(-

per

/.

Inoltre

,r,(t.4,ol:

î1,(-ú.

'\4',4

/

',\ 4

Gli

autoraìori di

7új(0,0,0) sono.\1,2,3: t

sono

puntì

di

minimo locale

per

l.

Inrealtàquestipuntisonocliminimoassolutoper/-

Infatti,

sihache

f

(*,*,0)

*

f

(-*,-*,0)

:

-+

e

per

ogni

(u,y,z)

eiRi

risulta

f

(r,a,

r)

>

.-S.

n r"tti,

t(*,s,")

r-

-*

-L


18/225

j

Caoitolo

1

lt[resimi e

minimi líberi

Si ha

che

x2

+

2y2

+

z2

+

ny

-

rz

)

a2

+

y2

+

z2

*

*g

-

rz

:

passando in

coordinate

cilindriche

nello

spaaio,

cioè

ponendo

@,a,r):

(psin$,pcos19,z),

p

>

0, r9,z

€

ìR,

si ottiene

:

p2

+

z2

*

p2

ax

r9 sin ri

--

pz

cos

rJ

-

p2

+

z2

+

|02

sin

(2tg)

-

pz

cos )

>

essendo sin(2d)

)

--1

e

cosr9

(

1

1^

-

1.. t^ |

^

2

,e2

|

z'

plrl

2

)p'

r

,"'

-

ol4:

,b

-

lzl)'

>

o.

Ne

segue

che

(0,0,0)

è

un

punto

di

minimo

assolutr:

per

/.

/)

La

funzione

Í@,a,ù:sy"a2+u2*22

ò di

classe C- su

iR3.

Quindi

i

punti

di

estremo

di

/

r,anno

cerca,ti

fra i

punti

stazionari,

ossia

fra i

punti (z,p,z)

e

R3

tali

che Y

f(r,g,z):

0. Si

ha che

Af

-2\

or2+y2-"2

ÒÍ

,-

",

,, : .

(l

.,7o,2\ oz2+y2-22

fr@,u,r):alL+2*

)- '

0a\-,r,2)

-

&\rîzc

/ú

,

ffA,o,

rl

:

*2:Lazeo2+Y2-22

Quindi

Yf(x,s,z):0


19/225

Capitolo

1

Massimi

e

minimi

liberi

che

è

aperto.

Quindi

i

punti

di estremo di

/

in

dom

(/)

vanno

cercati

fra i

punti

stazionari, ossia

fra

i

punti

(2.

9.

z)

e dom

(/)

tali

che

V/(c,

g,

z)

:

0.

Si ha

che

oÍ,^

^. -,

4x

al

,..

, ,

6a

d;\r.s,z): fpiAF

+AF=s,

Ay\t,y,z):

2"t

*gB

pqiz

_s,

fft",a,a:rF

#+n-

Quindi

llrlil

-.-..*4'

-

n

2î2

+3u2

+422

_g

-

"

6a

-*,

-n

rc2

-t

BA2

l4z2

_g

-

"

8z

__n

2x2+3y2+422

_.9-"'

L'unico

punto

stazionario

di

/

è

dom(/)

si ha che

(0,0,0).

Osserviamo che

per

ogni (z,y,z)

e

2x2-t3g2+422

>

0

.+

f(r,y,r):

tog

(O

-2rz

--sy2

-

lz2)

<

logg:

l(0,0,0).

Ne segue che

(0,0.0)

è un

punto

di

massimo assoluo per

/.

i)

La funzione

f

(r,y,z):

*(r'-

r')' a

ai classe

C* su

lR3.

quindi

i

punri

di

estremo

di

/

vanno

cercati

fra i

punti

staaionari, ossia

fra i

punti

(r,

g,

z)

e

IR3 tali

cheYf(a.y,z)

=

0. Si hache

Af,

, /t rr2

AL

fr@,

a,

,)

:

(u"

-

,")"

,

#f",

u.

z)

--

ary

(y2

,')

,

Y

f

(x,y,z)

:0

0

==+

f(t;,y,2)>0,

u

0

.==+

(",y,+y)

punti

di minimo ìocale

per

f,

r <

0

...+

\r,a,*ù

punti

di massimo locale

per

/.

Invece

(0, y,

4gr) sono

punti

di

selìa

per

/.

Infatti,

f

(0,A,

*A)

:

0 e in ogni

intorno

di

ciascuno

di

questi

punti

esistono

sia

punti

(r,y,z)

con

o

)

0, quindi

in

cui

Í@,U,

")

) 0, sia

puni,i

(2,

g,

z) con o

<

0,

quindi

in cui

/(r,

g.

z)

<

0.

J)

Lafirnzione

f

(r,A,r)

=lr

-yl+lA

-

"l*

xgz

ècontinuasu

lR.3

manon è differen-

ziabile nei punti

(r,o,z)

e

@,U,p)

can

r1 /,2

€

IR. In

tutti

gli

altri

punti

/

è di

classe C-.

Quindi

i

punti

di

estremo

di

/

vanno

cercati

fra i

punti

(rl,r,z)

e

(u,g,g)

con

r,ytz € 1R

e i

punti

stazionari, ossia fra i

punt\

(r,y,z)

non del

tipo (x,r,z)

e

(r, y,

g)

ta.l\ che V

f

(r. y,

z)

-

Q.

Consideriamo il

purrto

(r:6,rs,zo). In

ogni intorno

di

(16.z6,zs)

esistono punti

(rs,ro,z)

sia

con z

{

zs che z

}

29,

Si ha che

z

<

zo :::+

f(rs,rs.

z)

-,

lro

-

"ol

-t

r$z

<

lno

-

zol

*

r$zo

:

f(xo,xs,

zs),

z

)

zs

.è

f(rs,xn,

z)

:

lro

-

zsl

+

rfiz

>

lro

-

rol

*

:12oz6

:

f(xs,.cs,

zs).

Quindi

il

punto

(16,16,26)

non

è

né

di

massimo né

di

minimo

per

/.

Analogo

ragionamento

con medesima conclusione

per

il punto

("0, go,

yo).

Inoltre,

per

ogni

(r,

y,

z)

con x

t'

y

oppure

y

I

z si ha

Òf,^",

_r. lr*y"

sen>y

Ar\r,4,",

:

\_,

*r,

se

î

<

s,

(t"

seî>y>zoppureî


20/225

40

Capitolo

1 N[assimi e minimi

bbeù

Quindi

la

matrice Hessiana

di

f

in

(\/1,-*,A)

a

1 0\

o'l

|

0/

/0

l

lr

I

\I

Gli

autovalori

aiU/(rt,-*,{ù

sono À1,2,3

:

*1,2.

Quindi

(/t,

-+,{ù

è un

punto

di sella

per

/.

117(0,0,0)

:

,:l

i

il

,.1

,:i:,

Capitolo

2

Massimi e minimi

vincolati

1 Alcuni

richiami teorici

Di seguito vengono

elencati alcuni

risultati che sono utilizzati

nello svolgimento

degli

e.sercizi

sui

massÌmi

e

minirni vincoiati.

Nel seguito

considereremo

n

€

N,

ri

)

2.

1.1 Nozioni e

risultati

principali

(f.1)

Definizione

Siano

Q

c

lR'non

vuoto,

M

c

A

non

vuoto,

/

: O

*

R

uria

funzioneerseM.

Diciamo che ro

è

un

punto

d,i nmsshno

(risp.

mititno)

locale

aincolato

per

f

su M

se

Í0

è un

punto

di

massimo

(risp.

minimo)

locale

per

/

ristretta

a M.

Quindl

ao è un

punto

di massimo

(risp.

minimo)

locale

vincolato

per

/

su

M

se

esiste un

intorno /(as)

di

zs

in

lR.'

tale

che

yrer(rs)nM

:

/(z)l/(oo)

(risp.

/(o)2/(ao)).

Diciamo

che

rs è un

punto

d,i massinto

(risp.

n'ú,nhno)

assoluto lincolato

per

f

su

M

*

co è un

punto

di massimo

(risp.

minimo)

assoluto

per

/

ristretta

a M.

Quindi

ro

è un

punto

di

massimo

(risp. minimo)

assoluto

vincolato per

/

su

M

se

Yr

e

M,

l@)


21/225

Iii

I

t:1:

n,

Capitolo

2

lv[assimi

e

minimi

assoluúj vinco]ati

(1.2)

Definizione

Sia

M

q

lR'

non

vuobo,

Diciamo

che M è

una

uarietà

d'i dimensione

'n

*

L in

ìR'

se

per

ogni

rs

€

M

esistono un

intorno aperto

U di c6

in

lR'e una

funzione

g:(J

+

JR.

di classe

Cl tali

che

Vs(26)

l0

e

MtU={neU: g(z):0}.

In altri

termini,

,4.1 è

una

varietà

di

dirrensione

n

-

I

in

IR' se

per

ogni ze

€

/vf si

ha

che

in un

intorno di

re i

punti

di

M

sono

gli

zeri

di una

funzione

.g

di classe

Cl

il

cui

gradiente non si annulla

in

29.

Esempi

di

r-arietà di climensìone

n

*

I in IR'

sono

i

grafici

di

funzioni di classe Ci

definite

su

aperti

di

IR'*l.

Le

circonferenze.

le ellissi,

le

íperboli,

le

parabole

sono

varietà di dimensione 1 in

IR?. Le superfici

di

rotazione

quaìi

paraboloidi,

ellissoidi,

sfere, iperboÌoidi,

sonr:

varietà

di dimensioue

2

in

lR.3-

Invece,

i coni

e i semicr:ni,

non

sono

varietà

di

dimensione

2 in

R3.

(1.3)

Definizione

Siano

Q

c

lR"

un

aperto non vuoto,

f

:

Q

'

lR una

lirnzione

differenziabile.

M

c

f)

unavarietà.didìmensionen-1inIR.'ero

Q

hI Confbrrnemenle

alla

definizione

t1i

varietàr,

siano

[/ un intorno

aperto

di zs

in

IR'

e

g :

U

-

IR

una

funzione di

cìasse Cl

tali che Yg(xs)

l0

e

Mntl:{r€U:

s("):0}.

Dicíamo

che

î0

È un

punto

stazi,onario

(o

cri'ti'co)

uincolato

per

f

su

jff

se esiste À6

e IR,

tale

che

V/(r6)

:

ÀsV9(r6).

(1.4)

Teorema

(dei moltiplicatori

di

Lagrange)

Siano

fl

g

R'

un

aperto

non

tuoto,

f

;

Q

*lR

unafunzione differenzi'nbi.Ie,

M

(l

unauarietà d,i

ditnensionen

7

ín ll{' e ro e

Ì[. Confornemente

alla

defini.zione

d'i oarietà, siano

U

un intorno

aperto

di n0 irLIR*

e

g

: U

*

lR una

funzione

d,i

classe C

talí

cheYg(:ro)

f

0

e

MnU:{reU:

g(z)

:0}.

Srt7ltoninmrt

che. ro

sía

un

punto

d,i

m.assim.o

o d'i,

m,i,nimo locale

uincolato

per

J

su

I\{.

Allora

rs

è un

punto

stozionari,o

uincolato

per

f

su M.

In parti'colare,

esfsfe ,\s

€

]R

tule che

ri

,lr,

: t,

'iii

ilr'

lli,

.l,.,',

l;iil,

V/(r6)

:.\sVe(rs)

,p(r):

f(r,g(r))

7. Alcuni richiami

teorici

I.2

Ricerca

dei

punti

cli

massinro

e di

minimo

vincolato

Ci

sono

vari

metodi

per

determinare

i

pu.nti

di

ma^ssimo

e di minimo

locale vincola-

to.

Molti

di

questi

metodi

si

basano

sul

Tborema dei

moltiplicatori

di

Lagrange

(vedi

'I'eorema

(1.4)).

In

questa sezione

presenfiamo.tre

metodi:

il

metodo

d,ei

m,olt.i,ltliratori

di

Lagrange,

il

metodo

di

"ridu.zione",

il metodo

delle

curue di

liuello.

Metodo

dei

rnoltiplicatori di Lagrarrge

Siano

O

g

IR'

un aperto

non vuoto,

"f

: fl

*

6

una

funzione

diflerenziabile,

M

C

Q

l'insieme

I'f

:{re

U:

g(c):0},

doveUcOèun apertononvuotoeg:

[/+ lQ

rrna funzione di

classe

Cl

tale che Vg(")

*

0

per

ogni :x

e

U.

In

particolare

ily'

è una

varietà

di dimensione

n

-

1

in lR'.

Per

il'feorema

dei

moltiplìcatori di

Lagrange,

i

pu.nti

cli massirrro e

di

mininro

locale

vincolato

per

/

su

,41

v-anno

cercati

fra, i

punti

staaionari

vincoÌati

per

/

su

À1,

cioè

fra

i

punti

o

e

lì1

tali che

V/(z)

:

ÀVg(r),

per qualche

À

e

1R.

In alternativa.

si

può

considerare

la

funzione L:

U

x

lR.

, IR,

delta

Lagro,nE.an.n,

definita da

L(r.s):

f(x)

-

),s(z).

Si cerca,no i

punti

stazionari

liberi

di

/1,

cioè

i

punti

(r,,\)

tali che

V,C(z,.\)

-

0

(in

qusjto

caso

si intende il

gradiente

nelle n

*

1 v-ariabili

(2,))).

Se

(r6.Àe)

è un

punto

stazionario libero

di

X,

allora î0

è

un

punto

stazionario

vincolato

per

/

su

.&1-

Metodo

di

('riduzionett

Sianof) R.'unapertononvuoto,/:0+lRunafirnzionedifferenziabile,rl'1

cflil

grafico

di

una funzione

di

classe

Cr

in

n

-

1

r'ariabili,

cioè

M

:

{(*,u)

€

lR' : r

eU,

y

:

g(r')},

dove t/

e

lR'

r

è un aperto

non

vuoto

e

g :

LI

+

R,

è

una

funzione di

cÌasse Cr.

In

particola.re

M è una

varietà

di

dimensiole

n

-

1 in lR'.

Per determinare

i

punti

di

massimo e

cli minimo

vincolato per

/

su M

consideriamo

la

funzione di

rl

-

1 variabili

a

: U

+

jR

definita da

43


22/225

44

9"p pl:3_

l -ygl

e

minimi

xssolttti

vinco.latj

e

cerchiamo

i

punti

di

massimo e di

minimo

di

g.

I

punli

di

massimo

(risp.

di minimo)

vincolato

per

/

su

M

sono

i punti

(:r,y) lali

che

z

è di

massimo

(risp. di

minimo)

per

9

e

y: g(x).

Q$qr_v,aelore

Questo

metodo

è talvolta

denominato

di

"riduzione",

perché permette

dì

lndagare

i

punti

di estremo

riducendo il numero delle

variabili,

da n

a n

-

l.

In

alcuni casi

questo

procedimenlo

di

riduzione

delle

variabili si

può

anche

ottenere

mediante opportune

parametrizzazioni

dei vincoli.

Metodo

delle

curve di

livello

Per semplicità

descriviamo

questti

metodo

solo

per

n

:

2, anche se

vaìe

per

ogni rr'

a

2.

Sìano

fl

C

lR2 un

aperto non vuoto,

/

: O

-

lR una funzione

difierenziabile,

M

G

Q

l'insienre M:

{(",a)

eU:

g(x,y):0},

doveU

c

Oèunapertónonvuotoe

g

:

(J

-lR

è

una

funzione di

classe

Cr tale

che

VS@,y)

I

0

per

ogni

(r,g)

€

[/.

In

particolare

&l

è una

varietà

di

dilnensiune I

in R2.

Per ìl'I'eorema

dei moltiplicatori

di

Lagrange, i

punti

di massimo

e

di

rninimo

locale

vincolato

per

/

su

,14

vanno

cercati

lia

i punti

staaionari

vinr:olati

per

J

su M.

cioè fra

i

pnnti (z,y)

e

M

tali che V/(z,g)

:

'\Vg(z,y),

per quaìche

À

e

R.

Quìndi

in

questi

punti

risulta

che

V/

è

parallelo

a

Vg.

Per

ogni c €

lR consideriamo I'insieme

O":

{(",s)

eU

:

J@,y)

:

c}.

Supponiamo

che

per qualche

c e lR. si

abbia

0"

I

A

e

che

per

ogni

(r,y)

e Q"

risulti

Y

f(",g) I

0.

In tal

caso

l'insierne 0" è detto curua d,i

liuello d,i

f

reultiua a

c.

In

queste

ipotesi si ha che

per

ogni

(2, g)

€

O"

il

vettore V

Í

@,A)

è ortogonale

alla

retta

tangente a ll"

in

(x,a).

Poiché

Vg(r.y)

è ortogonale

alla retta tangente a ,4.4 in

(r,g).

si

ha

che

Vi@,ù

è

parallelo

aVg(n,y)


23/225

t,:

t:

a

Capitolo

2

Massimi

e

minimi assoluti vincolati

i)

se

V/(cs) applicato

in

rs

punta

verso I'esterno

di

O,

allora cp è un

punto

di massimo

locale

per

/

su

O;

ii)

se

V/(r6) applicato in rs

punta

verso

I'interno

di

O,

allora

Í0

non

è

né

un

punto

di

mas$imo

né

un

punto

di

minimo locale

per

/

su

f)-

Se ro

€

óO è

un

punto

di

minimo locale

per

"f

su 0ft,

si ha

che:

ii,i)

seY

f

(xs)

applicato in 16

punta

verso

I'interno

di fl,

allora

a6

è

un

punto

di minirno

locale

per

/

su O;

iu) se

V/(re)

applicato

in cs

punta verso

l'esterno

di f),

allora

ro non

è

né

un

punto

di

massimo né un

punto

di

minimo locale

per

/

su

f).

;lir

il t:l

i .1

2- Ilsercizi

sui massimi

e minimi vincolati

2 Esercizi

sui massimi

e

minimi

vincolati

2.1

Funzioni

di due

variabili

Esercizio-

Determinare i

punti

di massimo

e minimo

locali

e assoluti

delle

seguenti

funzioni di

due

variabili

sugli insiemi specificati:

a)

f(r,y):n*u,

u

:

{@,ù€lR2:

:r2

+y2

:r}

(+,*)

punto

di

massirno

assoluto,

I

(-*,-+)

punto

di

minimo

assoluto

l

b)

Í(r,s):

rp+ar+u'

*r,

ta

:

{@,u)€tR2:

zz

+y2

:s}

c)

f(r,y)

:

,2

+

y'

a,r

:

{(c,

v)

e

R2

d')

J@'Y):

s11,

e)

Í@,y):ro+yn

-a(r2

+a2),

M:

{tr,v)

€iR2:

a2+yr


24/225

ii

:1,

'

$

Capi :do

2.

Massimi

e

minimi assoluti

vincolati

g)

Í(r,y):Jrz+4y2

-6r-12,

nr:

{@,ù

€1R2,

12

+y'-a.0}

|

(*2'0)

Punto

di

massimo

assoluto,

|

(1,0) punto

di

minimo

assoluto

h)

f(a,v):sw-

u

:{@,ù€lR2:

12-l


25/225

50

--

C 'pitolo2

Mlassimieminimiassoluti

ù

J@,y,2)

:

(t+r')"-'",

u

:

{(r,a,z)€1R.3,

z2

+

114

-2a2'l-"2


26/225

I

;t

1

;i

,'i

:

:

Capitolo 2

Massimi

e minimi

assoluúj

vincolati

si

ha

che

(*,*)

è

il

punto

di massimo

assoluto


27/225

i.ii'

illi

:lii'r:

ilil,

che

è

aperto

in

quanto

unione di

due aperti.

Inoltre

è

anche

limitato-

Infatti,

se

non lo fosse, allora esisterebbero

in

M

punti (t, g)

con

lcl

o

lyl

arbitrariamente

grande. lr{a

se

(o,y)

e

M,

aJlora

*" +a"

--

1--rg.

Quindi

lcl

olyl

*r1oo

-r=:+

,2+y"-4.*

+ x:y+

ooconrg--(r2+y2).

Ne

segue che deve essere

gf

-

*c,

cioè

-r2 -

r

-

-2a2

per

lzl

* foo:

assurdo.

In

modo

del

tutto

equimlente,

si

osserya

che

la

curva

""

-f

g'I

ry

-

I

:

0 è

l'equaziorre di un'ellisse reale.

Infatti,

la matrice associata al

polinomio

S@,y)

:

a2

+

y2

+-

ng

-

I e la

matrice dei

termini

di

secondo

grado

del

polinomio

g

sono

rispel,tivamente

lr

à

o\

/1

":l+

1

'),

,:(i

Ì)

\o

o

-r/

\2

Si ha

che clerA:

l,

trla;

:2

e detB:

-i

+

0. Essendo det,A

>

0

e

rr(A)

.

detB < 0,

si

ha

che

la

conica

S@,y)

:0

è un'ellisse

reale.

Figura

2.4:

L'insieme M.

Quindi

per

il Teorema di Weierstra.ss

/

ammette

massímo e minimo

su M. Essendo

/

di

classe

C*

e

M

una varietà

di

dimensione

t

in

lR2,

i

punti

di

estremo

su

M

vanno

ce,rcati

fra

i

punti

stazionari

vincolati. Procediamo

con il metodo

dei

moltiplicabori

di

Lagrange.

Cerchiamo i

punii

(z,y)

e

M

tali

che

V/(2,3r)

-

ÀYg(r,y)

per qualche

À

e

IR. Si ha che

(Af.

-óo.

1*o,a):^a;\î,a)

(y:À(2xFa) (ue_\_ztx

Jat An


28/225

Òo

Canitolo

2

Mxsími

e

minimí

assoluÚi

vincolati

di

/

in

questi punti.

Si ha

che

A2t

A2f

^

A2f

fll,ul:

r2r2

*

16,

#,",0r:r2v2

-

16,

íì*A,ol

-

o.

Quindi

la

matrice

llessiana

di

/

ìn (4,

g)

è

11r@,v\

-

(12",

-16

"o

\

'':\ o

r2y2

IG)

Ne

segue

che

(-16

n \

?lt(0,0)

:

(,

;"

".rU

)

*

(0,0)

è un

punto

di

massimo

locaJe

per

f

st

M;

/-16 0\

1t@,].2):

(

,;" a)

==+

(0,

f2) sono

punti

di sella

per

f

st

M;

?rr(*2,0)

:

(3;

-ir)

+

(t2,0)

sono

punti

di sella

per

J

srr lf;

/\, n \

?lf(+2,*2)

:

(;

ir)

*

(+2,:t2)

sono

punti

di

rninirno

locale

per

/

su

tl'l'

Iì

massimo

locale

è

f(0,0)

=

0 e

ii

minimo locale

è

i(*2,*2):

-lZ.

Cerchiamo

ora

i

punti

di

estremo

sul

bordo

di

M,

ossia

in

ou

:

{@,ù€

IRz'

12

+uz

=s}.

Essendo

/

di

classe

C*

e òM una

varietà

di

dímensione

I

in

iR2,

i

punii

di

estremo

su

0M

vanno cercati

fra i

punti

staziona.ri

vincolati.

Procediamo

con

il

metodo

dei

moltiplicatori

di

Lagrange.

Posto

S@,ù

:

î2

+

a2

-

9, cerchiamo

i

punti

(r, g)

e

0

M talí

che Y

f

(r, y)

:

ÀV9(2,

9)

per qualclte À

e

R.

Si

ha

che

{2r(2r2-8-)):0

I

F+

1r,

(ru'

8

-

.\)

:

0

lx2+a2:9.

I

punti

stazionari

vincolati di

/

su 0M

sono

(0,:13),

(*3,0)

,

(+tE,{fi)

Essendo

/(0,+3):

/(+3,0)

=

e

>

0

=

/(0,0)'

fTo,r:

tafi@,u)

[M:r

-

t6x:D'

l?ufro,r,

:

>,,fir.,u)


29/225

aò

Cafitolo

2 Massimi

e

minimi

assoluúi vincolati

Quindi

l'unico

punto

stazionario

di

/

in

int(X{)

è

(l,O).

n".

stabilire se è di

massimo,

di

minimo o di

sella,

calcoliamo

la matriee

Hessiana

di

f

in

questo

punto-

Si ha che

a2Í,

a2l,

ò2r

"fi(r.ù:

+,

|[email protected]):

z,

ffi("'rt

:o

Quindi

ìa matrice

}lessiana di

/

in

(à,0) è

^.

/1

^\

/4

0\

nî

\4'"): \o

z/

Ne

segue ctre

(f,O)

è

un

punto

di

minimo

locale

per

f

sv.M

e

il minimo locale è

i (à,0)

:

-à-

Cerchiamo

ora

ì

punti

di

estremo sui

bordo

di M, ossia

in

au

:

{@,ù€lRz

: c2

+

a'

:

r}.

Per ogni

(x,y)

e

òM si

hache

A2

:

L-'r'2-

Posto

I

:

fpta'

si ha che

9:

[-1,1]

-

IR

è

definta

da

e@)

: f\x,y\t)) :

12

- r

+

1.

I

punti

di

estremo

di

J

su dJI4

sono i

punti

(o,y(a))

con

e di

estremo

per g.

Essendo

g

di

classe C* sull'intervallo

chiuso

e

limitato

l-1,11,

i suoi

punti

di

estremo

vanno

cercati

tra

i

punti

stazionari

e

gli

estremi

dell'intervallo

[-i,1].

Si

ba

cÀe

9'

(r)

:

2x

-'

7.

Quindi

tpl(r)

:

0 se

e solo

se

z

=

|

e

9'

@)

> 0

se e

solo

se

$

<

r

<

1. Ne segue

che

o

:

|

è

un

punto

di minimo

per

tp.

Inoltre

r

:

*1 sono

punti

rii massimo locale

per

g.

Piìr

precisamente,

essendo

ee1):3

e

9(1)

:

1,

si ha

che r:

-1

è un

punto

di

massimo assoluto

per

rp,

mentre

o

:

1

è un

punto

di massimo

locale

per

9.

Quindi

(*,+4)

sono

punti

di minimo asooluto

per

/

su

0M,

(-1,0)

è

un

punto

di massimo

assoluto

per

/

su

AM

e

Q,{))

è

un

punto

di massimo

locale

per

f

stt

0M. Essendo

r1,l

"€\

3 I

-/l,ol

t\r,*.2

):4'_8:/\4.-/

si ha

che

(*,

o,) e

I

punto

di

rrinimo

assoluto

per

/

su

M,

mentre

(-'1,0)

è

il

punto

di massimo

assoÌuto

per

/

su M.

Osserviamo

che i

punti

(+,*4)

non sono

di

minimo locale

per

f

su M. Infatti,

il

gradiente

di

/

in

questi

punti

è

vr( ,.+fl

-

fu,*y's)

\'2 2 I

\

/

s)

Capitolo

2

Svolgimento

deg)i esercizi sui massimi

e minimj

vincolati

che

punta

verso I'esterno

di

.M.

La funzione

i@,ù:3r2

+

4y2

-6t

-

12

è di

classe

C*

su

lRz- L'insieme

M:

{(r,

ul

e

IR2

'

c2

1

y2

-

4l

0}

è

compatto.

Quindi

per

il

Teorema

di Weierstrass

f

ammette massimo

e minimo su

M.

Figura

2.7:

L'insieme

M.

Cerchiano

inizialmente

i

punti

di estremo ínterni

a ,41, oss.ia in

int{M)

:

{@,ù

e

tR2

,

12

+

v,

<

4} .

Essendo

/

di classe

C-,

i

punti

di estremo

in int(M)

vanno

cercà,ti fra i

punti

stazionari,

ossia

fra

i

puntí

(r,g)

e

int(M)

tali che

V

f(x,A)

:

0. Si ha

che

al,

^

aÍ,

,

6;tr,s)

-

6c

-

6,

*\x,ù

:8u.

Quindi

I'unico

punto

staaionario di

/

in int(M)

è

(1,0).

Per

stabilire

se

è

di

massimo,

di minimo

o

di

sella,

calcoliamo la matrice

Hessiana

di

f

in

cluesto

purrto.

Si ha

che

azf. a2f.

azf

j*(x.ù

:

a,

àoz@,ù

:

a,

à,ào{",0)

:

u.

Quindi

la

matrice Hessiana

di

/

in

(1,0)

è

/6 0\

?r/(1,0)

:

(\ò

;)

Ne segue che

(1,0)

è un

punto

di

minirrro locale

per

f

su

M

e il

minimo

locale

è

/(r,0):

-15.


30/225

60

Capitolo

2

Massimi'

9l - j-14 tiy-4^ti

Cerchiamo

ora

i

punti

di

estremo

sul bordo

di M,

ossia

in

au:{@,ù€lR2:

12

+a'*4\

Per

ogni

(n, y)

e

0M

si

ha

che

y2

:

4- 12'

Posto

I

=

flou,si

ha

che

g

:

|

2'Zl

-'

lR è

definta

da

e@)

:

f @,y(r)) --

-n2

*-6r

*

4.

I

punti di estremo

di

/

su ÓM

sono

i

punti

(r,g(z)) con

r di

estremo

per

9'

Essendo

g


31/225

62

Caoitolo

2 MassimÎ

e

rninimi

assoluti vincolati

Figura

2.9:

Gli

insiemi

lr e lz.

I

punti

di

estremo

di

/

su

11 sono

i

punti

(r.

3)

con

r di estremo

per

pl- Ilssendo

pr

strettamente

crescente

inl-2,21,

si

ha

che

r:

-2

è un

punto

di

minimo

assoluto

per gi

e

z:2 è

un

punto

di massimo assoluto

per,p1.

Quindi

(-2,3)

è

un

punto

di minimo

assoluto

per

/

su

f1,

(2,

3)

è

un punto

di

massimo assoluto per

/

su

f

1

'

Consideriamo

ora 12. Per

ogni

(r,y)

€

f2

si ha che

g::r2

-"

1'

Posto

92:

ÍF2,

si

ha che

92:

[-2,2]

+

R

è

defilta da

Pz@)

*

i@,a@D:

Pr3-''

I

punti

di estremo

di

/

su

12

sono

i

punti

(z,y(z)) con

z di estremo

per

92.

Essendo

0

per r e

l-2,

#)

"

"

e

(f,zl

Ne

segue che s:

-S

t r:2 sono

punii

di

massimo

locaìe

per

p2,

fi:

-2

e

r: f

*o.ro

punti

di

minimo locale

per

92-

Ne

segue

che

i

punti

(-

4,

-J)

"

12,

s) sono di

massimo

locale

per

/

su 12,

(-2,

3)

e

(+,-3)

sono

di

minimo

locale

per

f

su

f2-

Quindi

il

punto

(2,3)

è

di

massimo

locale

per

/

ristretta

a0M

:

f1 U12

e

il

punto (-2'3)

è

di

minimo

locale

per

f

ristretta

a 0M

:

f1 U

12.

Essendo

/(-2,s)=e-6, te,s)=e6.

r( f.-?\="e*

"('/5

2\

-3'î

"1

r

\

r

'-5/

=€e'-':

'\;'-5):"

""''

si

ha

clre

(2,3)

è il

punto

di

massimo

assoìuto

per

/

su

M

e (-2,3)

è

il

punto

di

minimo assoluto

per

/

su

M,

ill

:'

1,,.

il,i.

l:[,.

:lr;:ii

iiiì

Ì:iÌ

'I

l:

tlii:

d,11

=frLlllz

Capitolo

2

Svolgimento

degli esercizi

sui

rnassr'mi e mjnjmi vihcolati

Osserviamo

che il

punio

(-f,-3)

è di massimo locale

per

f

su M'

Infatti, iI

gradiente

di

f

in

questo punto

è

vf

("ú

2\

/

2

z.a

f"a*)

\-t'

5i:

\-5"'

/

che

punta

verso

l'esterno

di

ill.

Irrcltre

il

punto

(f

,

-

3)

è

di

minimo

locale per

/

su M. Infatti,

iì

gradiente

di

/

in

questo punto

è

v/

f4'-?)

=

(

?

"-zn,f="-e*)

\3'3)

\3-

'3-

l

che

punta verso l'interno dí

lM-

i) La tunzione

f

@,y)

:

ulxl

-

2a2

è

continua.

L'insieme

u

:

{@,ù€

R2' 12

+u2

<

a,

s

>-al

è chiuso

e limitato.

Quindi

per

iì

Teorema

di

\A/eierstrass

/

ammette

massimo e

minimo

su

M.

Figura

2.10:

L'insieme M.

Cerchiamo

irrizialmente

i

punti

di

massimo

e minimo di

/

in int(,Ll), dove

int(M)

:{(",u)

elR2,

"2

+a2

<

4,

y

>

o}.

Si

ha che

per

ogni

@,y)

e

int(M)

(

2r ser


32/225

Ne

segue

che

/

non

Ìra

punti

di

massimo

e

di

minimo

in int(M).

Cerchiamo

i

punti

di

massìmo

e minimo

di

/

su

óM.

Osserviamo

che

0M non è una

varietà di

dimensione 1 in

lR?,

infatti

in

ogni

intorno

di

ciascuno dei

punti

(+f,0)

I'insieme

0M

non è

l'insieme

desìi

zeri di una

funzione di

classe

Ci'

Osserviamo

che

AM

:

fr U

lz, dove

Figura

2.11:

Gli

insiemi

fr

e

fz.

Cerchiamo

separatamente i

punti

di estremo di

/

su

fr e

lz.

Consideriamo

inizialmente

f1.

Per

ogni

(o, y)

e

f1

si ha

che

g

:

J4i7,

con

-2

(

c

(

2.

Posto

Pr

:

"fp,

si ha

che

tp1

:

[-2,21

-

]R è definita

da

p,

(r)

:

Í

@,

y("))

:

f

(r,'/

4;)

:

slrl

-

z

(a

-

"'z)

:

nlrl

-

8

+

2n2.

I

punti

di estremo

di

/

su

fr

sono i

punti

(",'A -:F) taìi

che

c

è di

estremo

per

.p1.

Perogni-2(co},

rr:{(",s)e

IR2:

-2

1s12,

v:0}.

Consideriamo ora

f2. Per ogni

(r,9)

€

fz

si ha

che y:0,

con

-2

(

r

(

2.

Posto

gz

:

f1z

si

ha

che

92

:

l-2,21

+

llR è

definita

da

sz@)

:

Í@,y(")): /(2,0)

:

alrl.

I

punti

di

estremo

di

/

su

lz

sono

i

punti

(r,0)

tali

che

o

è

di

estremo

per

922.

Si ha

che

p2

è cîescente

in

[-2, 2].

Quindi

r : -2

è

un punto

di

minimo per

rp2

e

r

:

2 à

un un

punto

di

massimo

per

rpr.

Di

conseguenz& il

punto

( 2,

0) è

di

minimo

per

,f1r,

mentre

il

punto (2'0) è di

massimo

per

"f1r'r.

In

conclusione

il

punto

(-2,0)

non

è né

di

massimo

né

di

minimo

per

/

su

M;

il

punto

(0,2)

è di minimo

per

/

su

M e il

punto (2,0)

è

di

niassimo

per

f

su

M.

l)

Latunzione

f

(",y):

zlog(1

*y)

è di classe

C- su

dom(/):

{(c,s)

€

IR2:

y;

-1).

L'insienre

rr

-

{@,ùrl}t2,

12

+a2

o,

yì

o}

è

contenut'o

in

dom

(/)

ed

è

chiuso

e

lirnitato-

Quindi

per

il'Ieorema

di Weierstrass

J

arnmette

massimo

e

mìnimo su

.4'{.

Osserviamo che

per

ogni

(r,y)

e fuI

si

ha

che

Í@,a)

>

0.

Figura

2'12:

L'insieme

M.

Cerchiamo inizialmente

i

punti

di

massimo

e

minimo di

/

in

inf(M),

dove

i,nt(M)--{(",v)

e

ll{2,

"2

+yn0,

y>0}.

Si ha

che

per

ogni

(r,y)

e

int{M)

0,ùl=I]rUfzuI'a

o,rl=

roe(1+

y),

OT

ol

, ,

f

-lic.Itl

y"''

l+A


33/225

::

Caoitolo

2 Ma'ssimi

e minimi assoiuti

vincolati

Quindi

V/(c,

y)

:

(0,0)

+=+

(r,a)

:

@'0)

/.

i'nt(M)'

Ne segue

che

J

non ha punti

di

massimo e

di minimo

in int(M).

Cerchiamo

i

punli

di

massimo e minimo

di

/

su 6^&/.

Osserviamo

che óM

non

è

una varietà

di

dimensione

I

in

1R.2,

infatti

in

ogni

intorno

di

ciascu.no

dei punti

(0,0), (1,0)

e

(0,

1) I'insìeme

ÓM

non

è

l'insieme

degli zeri di una

funzione di classe

Cl.

Osserviamo che ?IV:

l.'r U

lz

LJ

13,

dove

l]r

:

{(t,s)

ellt2

:

00,

v>o},

ru

:

{(",y)

€lR2

: e:0,

o


34/225

i

lrn 9laLi

Cerchiamo

inizialmente

i

punti

di

massimo

e

rninirno

di

f

'n

int(M), dove

int(M)

=

{(r,ù

eIR.z,

lel

+

lyl

<

ii.

Si ha

che

per

ogni

(r,g)

e

int(.M)

l.i

Quindi

ff@,a):2,,

v/(r,y):

(o,o)

0

:

/(0,

0),

si

ha

che

(0,

0)

è il

punto

di minimo

assoluto

per

/

su

,Lf.

Osserviamo che

i

punti

(*1,*à)

non

sono

di

ninirno locale

per

/

su

,4,f.

Infatti,

it

grarlie'te di

/

in

questi

punti

è

V/

(*1,"1)

:

(+1,

+l)

che

punta

verso I'esterno

di r1,1.

n)

La

funzione

l(",y):

t2

-

y2

è

di

classe C-

su

lR2

L'insierne

u

=

{@,ùe

IR2:

(lrl-. r)2+(lvl-

1)'> 1,

l"ls

r,

lvlr

1}

è chiuso e

limitato.

Quindi

per il

l'eorema

di

weìerstrass

/

amrnette

ntassimo

e

minimo

su

&1.


35/225

Caoitolo

2

Massimi

e

minimi aNoluti

vincolati

Cerchiamo

inizialmente

i

punti

di

massimo

e

minimo

di

/

in

irzú(M),

dove

int(M):

{(r,u)

elR.2:

(lrl- 1)2+

(lsl-

1)'<

1,

lzl<

r,

lyl<

r}

Si ha. che

per

ogni

(n,y)

e

int(M)

:_L(* ,,\

*

e-

oî

ufio,,t:

-',

Quindi

vf(c,s):

(o,o)

2,

0<

u

11

-

",'2\

{2n:D,(x-t)


36/225

è chiuso

e

limitato.

Quindi

per

iì l'eorema

di

Wèierstrass

/

ammette massimo

e

minimo su M.

Figura 2.L8:

L'insieme

M.

Cerchiamo

inizialmente

i

punti

di

nìassimo

e minimo

di

/

in

ínf

(M)'

dove

int(M)

:{{",u)

e lR2, lr2

+

(y

+r)2

>

2,

0 <

u.

t

-

r'}.

Si

ha

che

per

ogni

(x,g)

e int(lvI)

6Í,

.

1

-\r' ):

;--:-'

or t+9

af,

,

l*c

5o\n' )=-G+;P

Quindi

V/(c,y)

I

(0,0)

per

ogni

(r,A)

€

int(M).

Ne

segue

che

/

non ha

punti

di

massimo

e di minimo

in intlM).

Cerc.hiamo

i

punti

di massimo

e minimo

di

/

su dM.

Osserviarno che EM uon è una

varietà di dimensione

1 in

lR2, infatti

in

ogni

intorno

di ciascuno

dei

punti (*1,0)

I'insieme

0M non è I'insieme

degli

zeri

di una

funzione

di

classe Cl.

Osserviamo

che 0fuÍ

:

fr

U

la,

dove

r,

:

{(r,s)

e

lRz

:

3,

:

|

-

12,

-1

<

n

S 1},

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Lancelotti Esercizi Analisi 2