1

Landasan Matematika Untuk Kriptografi

2

Pendahuluan Perlu latar belakang matematika

untuk memahami kriptografi.

Materi matematika yang utama untuk kriptografi adalah matematika diskrit.

3

Materi Matematika untuk Kriptografi:

1. Relasi dan Fungsi2. Teori Bilangan

- Integer dan sifat2 pembagian- Algoritma Euclidean- Aritmetika modulo- Bilangan prima

3. Kombinatorial4. Probabilitas dan Statistik

4

5. Kompleksitas algoritma6. Teori informasi7. Aljabar Abstrak (field, ring, group, Galois field)

No. 1 s/d 5 sudah dipelajari di kuliah Matematika Diskrit dan Probabilitas dan Statistik

Nomor 6 dan 7 Tidak akan diulang lagi di dalam kuliah ini

5

Teori Informasi Mendefinisikan jumlah informasi di dalam

pesan sebagai jumlah minimum bit yang dibutuhkan untuk mengkodekan pesan.

Contoh: - 1 bit untuk mengkodekan jenis kelamin- 3 bit untuk mengkodekan nama hari- 4 bit untuk mengkodekan 0 s/d 9

6

Entropy:ukuran yang menyatakan jumlah informasi di dalam pesan.

Biasanya dinyatakan dalam satuan bit. Entropi berguna untuk memperkirakan jumlah

bit rata-rata untuk mengkodekan elemen dari pesan.

Contoh: entropi untuk pesan yang menyatakan jenis kelamin = 1 bit, entropi untuk pesan yang menyatakan nama hari = 3 bit

7

Secara umum, entropi pesan dihitung dengan rumus:

X = pesanpi = peluang kemunculan simbol ke-i

n

iiii ppXH )(log)( 2

8

Contoh: pesan X = ‘AABBCBDB’ n = 4 (A, B, C, D) p(A) = 2/8, p(B) = 4/8 p(C) = 1/8, p(D) = 1/8

H(X) = – 2/8 log2(2/8) – 4/8 log2(4/8) – 1/8 log2(1/8) –

1/8 log2 (1/8) = 14/8 = 1,75

Berarti setiap simbol dikodekan sebanyak 1,75 bit

9

Entropi sistem kriptografi adalah ukuran ruang kunci, K.

Misal, sistem kriptografi dengan kunci 64-bit mempunyai entropi 64 bit.

Makin besar entropi, makin sulit memecahkan cipherteks.

10

Medan (Field) Medan adalah himpunan elemen dengan dua

jenis operasi, perkalian dan penjumlahan.

Sebuah medan disebut berhingga (finite field) jika himpunannya memiliki jumlah elemen yang berhingga.

11

Medan Berhingga Fp

Fp adalah adalah himpunan bilangan bulat {0, 1, 2, …, p – 1} dengan p prima dan operasi aritmetika sbb:1. Penjumlahan

Jika a, b Fp, maka a + b = r

r adalah sisa hasil pembagian a + b dengan p0 r p - 1

12

2. Perkalian

Jika a, b Fp, maka a b = s

s adalah sisa hasil pembagian a b dengan p0 s p - 1

13

Contoh: F23 mempunyai anggota

{0, 1, 2, …, 22}.

Contoh operasi aritmetika:12 + 20 = 9 (karena 32 mod 23 = 9)8 9 = 3 (karena 72 mod 23 = 3)

14

Medan Galois (Galois Field) Medan Galois adalah medan berhingga dengan

pn elemen, p adalah bilangan prima dan n 1. Notasi: GF(pn) Kasus paling sederhana: bila n = 1 GF(p)

dimana elemen-elemennya dinyatakan di dalam himpunan {0, 1, 2, …, p – 1} dan operasi penjumlahan dan perkalian dilakukan dalam modulus p.

15

GF(2):+ 0 1 0 1

0 0 1 0 0 0

1 1 0 1 0 1

GF(3):+ 0 1 2 0 1 2

0 0 1 2 0 0 0 0

1 1 2 0 1 0 1 2

2 2 0 1 2 0 2 1