Langage logique Langage ensembliste-Alg¨bre de .C- Connecteurs logiques : C-1 : Valeur de v©rit©

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    Langage logique Langage ensembliste-Algbre de Boole Graphes

    BTS SIO2 Septembre 2013 Plan du cours :

    Partie I : Langage logique

    1) QCM DE LOGIQUE

    2)-A- Enonc, proposition et valeur de vrit

    A-1 : Enonc :

    A-2 Proposition et valeur de vrit

    B- Un prdicat

    C- Connecteurs logiques :

    C-1 : Valeur de vrit.

    C-2 : Ngation :

    C-3 : Conjonction

    C-4 : Disjonction :

    C-5 : Implication :

    C6 : Equivalence :

    D : Calcul des prdicats

    D-1 : Prdicat :

    D-2 : Quantificateur universel

    D-3 : Quantificateur existentiel :

    D-4 : Ordre des quantificateurs :

    D-5 : Ngation dune proposition quantifie :

    E : Ensembles et logique

    E-1 : Prdicats et parties dun ensemble :

    E-2 : Propositions et parties dun ensemble

  • 2

    Partie II : Langage ensembliste

    A- Cardinal dun ensemble fini

    B- Parties dun ensemble

    B1 : Ensemble des parties dun ensemble :

    B2 : Complmentaire dune partie dun ensemble :

    B3 : Oprations sur les parties dun ensemble :

    C : Produit cartsien :

    D : Application dun ensemble dans un autre ensemble :

    D1 : Dfinitions et notations :

    D2 : Image dune partie. Image rciproque :

    D3 : Applications injectives, surjectives et bijectives :

    D4 : Cardinalits dune application :

    D5 : Composition dapplications :

    EXERCICES : Partie A

    EXERCICES DE LOGIQUES Parie B

  • 3

    Partie I : Langage logique

    1) QCM DE LOGIQUE correction

    Q1) Traduire l'aide d'un connecteur : (x, y) distinct de (0, 0)

    1) x diffrent de 0 et y diffrent de 0

    2) x et y sont deux rels non nuls.

    3) x diffrent de 0 ou y distinct de 0

    Q2) Traduire l'affirmation: a et b ont la mme valeur absolue

    1) a = b

    2) a = - b

    3) a = b ou a = - b

    Q3) Traduire la ngation de : x < 2 et x > - 1

    1) x > 2 et x < - 1

    2) x >2 ou x < - 1

    3) x 2 ou x - 1

    Q4) Donner la ngation de x >= 5

    1) x < - 5

    2) x > 5

    3) x < 5

    Q5) Donner la ngation de : x 3 ou x > 1

    1) x 3 ou x < 1

    2) x >3 et x 1

    3) x 3 ou x 1

    Q6) Donner la contrapose de : p implique q , p et q tant deux propositions.

    1) (Non p) ou q

    2) (Non q) implique (Non p)

  • 4

    3) q implique p

    Q1) x diffrent de 0 ou y distinct de 0

    Q2) a = b ou a = - b

    Q3) x 2 ou x - 1

    Q4) x < 5

    Q5) x >3 et x 1

    Q6) ( Non q ) implique ( Non p)

    2)-A- Enonc, proposition et valeur de vrit

    A-1 : Enonc :

    A-2 Proposition et valeur de vrit

    (d) 7 > 0 est une proposition. Elle est vraie.

    (e) 11 < 0 est une proposition. Elle est fausse.

    Contre-exemple " Les entiers pairs sont plus utiles que les entiers impairs ".

  • 5

    Ce n'est pas une proposition car on ne sait pas si c'est vrai ou faux.

    Conclusion :

    Une proposition mathmatique est une : Affirmation mathmatique dont on peut dire sans ambigut si elle est vraie ou fausse."

    B- Un prdicat (ou proprit) est dfini (e) sur un ensemble appel rfrentiel.

    "Affirmation faisant intervenir une variable x dcrivant un ensemble qui, ds que l'on fixe la variable x, devient une proposition."

    Exemple : 5 x - 3 < 0 o x dcrit l'ensemble des rels.

    C'est un prdicat que l'on peut noter p(x) avec x dans IR .

    Ds que x est connu, on peut dire si l'ingalit est vraie ou si elle est fausse.

    C- Connecteurs logiques :

    C-1 : Valeur de vrit. 1 est attribue une proposition vraie.

    0 est attribue une proposition fausse.

    Exemple : Elles sont utilises l'occasion d'un tableau de vrit. La proposition 7 < - 1

    est fausse. Sa valeur de vrit est 0.

    C-2 : Ngation :

    Conclusion : le NON. Not P est un connecteur mis devant une proposition p.

    7 < -1

    0

  • 6

    NON p est une proposition qui est : vraie si p est fausse, fausse si p est vraie

    P P 0 1

    1 0

    Exemple: La ngation de " 4 < 5 " est "4 5 "Le tableau suivant traduit la situation.

    4 5 4 5

    1 0

    C-3 : Conjonction :

    Conclusion : Le ET est un connecteur mis entre deux propositions p, q.

    Remarque : il est indispensable de retenir que la conjonction de deux propositions ne peut tre vraie que si les deux propositions le sont.

    p ET q est une proposition qui n'est vraie que si p est vraie et q est vraie, en mme temps. Le tableau traduit ce fait.

    P q P et q

    0 0 0

    0 1 0

    1 0 0

    1 1 1

    Exemple : On considre les propositions: " 6 est pair " , " - 5 < - 3 "

    Le tableau ci dessous donne la valeur de vrit de la proposition:

    (6 est pair) ET (- 5 < - 3)

    6 est pair -5 -3 (6 est pair) et (-5 -3)

    1 1 1

  • 7

    C-4 : Disjonction :

    Conclusion : Le OU est un connecteur mis entre deux propositions p, q. p OU q est une proposition qui n'est fausse que si p et q sont fausses, en mme temps. Le tableau traduit ce fait.

    P q P ou q

    0 0 0

    0 1 1

    1 0 1

    1 1 1

    Exemple : 6 est impair , - 5 < - 3 Le tableau donne la valeur de vrit de la proposition: (6 est impair) OU (- 5 < - 3)

    6 est impair -5 -3 (6 est impair) OU (- 5 < -3 )

    0 1 1

    Remarque :

    3. W (ou exclusif). C'est un connecteur mis entre deux propositions p, q.

    p W q est une proposition qui n'est vraie que quand soit p est vraie et q fausse,

    soit p fausse et q vraie. Le tableau traduit ce fait.

    P q P W q

    0 0 0

    0 1 1

    1 0 1

    1 1 0

    Exemple: On considre les propositions: 6 est pair " , " - 5 < - 3 "

    Le tableau donne la valeur de vrit de la proposition: (6 est pair) W (- 5 < - 3)

  • 8

    6 est impair -5 -3 (6 est impair) W (- 5 < -3 )

    1 1 0

    C-5 : Implication :

    Conclusion : Le => (Implique) est un connecteur mis entre deux propositions p, q. p implique q est une proposition qui n'est fausse que quand p est vraie et fausse. Le tableau traduit ce fait.

    P q P q

    0 0 1

    0 1 1

    1 0 0

    1 1 1

    Retenir que le vrai ne peut entraner le faux ( 3me ligne ) !

    Exemple 1: On considre les propositions: 6 est impair " , " - 5 < - 3 " Le tableau donne la valeur de vrit de la proposition: (6 est impair) => (- 5 < - 3)

    ATTENTION:

    TOUTE PROPOSITION FAUSSE IMPLIQUE NIMPORTE QUELLE PROPOSITION VRAIE OU FAUSSE

    Exemple 2 : On considre les propositions: 6 est impair , - 5 > - 3

    Le tableau donne la valeur de vrit de la proposition:(6 est impair) => (- 5> - 3)

    6 est impair -5 -3 (6 est impair) (- 5 -3 )

    0 0 1

    6 est impair -5 -3 (6 est impair) (- 5 < -3 )

    0 1 1

  • 9

    C6 : Equivalence :

    Conclusion : Le (Equivalent ) est un connecteur mis entre deux propositions p, q. p q est une proposition qui n'est vraie que si soit p et q sont toutes les deux vraies soit p et q sont toutes les deux fausses. Le tableau traduit ce fait.

    Exemple: On considre les propositions:" 6 est impair " , " - 5> - 3 " Le tableau donne la valeur de vrit de la proposition: ( 6 est impair ) ( - 5 > - 3 )

    6 est impair -5 -3 (6 est impair) (- 5 -3 )

    0 0 1

    P q P q

    0 0 1

    0 1 0

    1 0 0

    1 1 1

  • 10

    D : Calcul des prdicats

    D-1 : Prdicat :

    D-2 : Quantificateur universel

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    D-3 : Quantificateur existentiel :

    D-4 : Ordre des quantificateurs :

    D-5 : Ngation dune proposition quantifie :

  • 12

    Conclusion :

    QUANTIFICATEUR; QUELQUE SOIT not signifie Pour tout ..

    QUANTIFICATEUR" Il EXISTE AU MOINS UN ..." not signifie "Il existe au moins un

    .... "

    Exemple : x dans IR , x2 + 1 > 0 .Signifie : Pour tout rel x on a x2 + 1 > 0 .

    Exemple : x dans IR , x + 1 > 0.Signifie : Il existe au moins un rel x tel que x+1 > 0.

    Exemple: y dans IR x dans IR, y = 2 x + 1 signifie: Pour tout rel y il existe au moins un

    rel x tel que y = 2 x + 1

    ATTENTION : On ne peut pas permuter LES QUANTIFICATEURS;