Laplace, Fourier och resten – varför alla dessa transformer? · 2002. 11. 3. · 1 2002-10-30 Signaler & System Uppsala universitet 1 Föreläsning 3-5 Laplace, Fourier och resten

1

2002-10-30 Signaler & SystemUppsala universitet

1

Föreläsning 3-5

Laplace, Fourier och resten – varför alla dessa transformer?

Vi har sett hur ett LTI-system kan ges en komplett beskrivning av dess impulssvar. Genom att falta insignalen med impulssvaret erhålls systemets utsignal. Vi noterade också i förra avsnittet att vi i princip kan välja en annan basfunktion än impulsen för att representera in/ut-sambandet. Detta är grunden till transformmetoderna.

2


2

Föreläsning 3-5

Bakgrund till transformer i kontinuerlig tid

• Idé 1: Representera in- och utsignaler till LTI-system i samma basfunktion– Förenklad analys!

• Idé 2: Representera signaler i frekvensdomänen, dvs med frekvens i stället för tid som oberoende variabel.– Mer kraftfull analys!

Båda idéerna förverkligas med Fourieranalys!

Hittills har vi representerat alla signaler i ”tidsdomänen”, dvs med tid som oberoende variabel. För omkring 200 år sedan började man fråga sig om det inte fanns andra former att skriva signalerna på som kunde förenkla analysen och kanske i viss mån beskriva signalen i ett annat perspektiv, ett perspektiv där signalers (eller systems) egenskaper tydligt framträdde utan att behöva lösa krångliga differentialekvationer.

I problem relaterade till vågrörelser och värmeledning härleddes så kallade transformbaserade metoder. Leonard Euler och den franske baronenJoseph Fourier gjorde här banbrytande insatser, vars resultat i dag används i nästan alla ingenjörsämnen och naturvetenskaper.

Två idéer som verkar intressanta är följande:

1. Kan vi skriva in- och utsignaler som en linjärkombination av samma basfunktion? Då skulle vi få in- och utsignaler på samma form, vilket rimligen underlättar den fortsatta analysen.

2. Kan vi skriva signalerna med frekvens som oberoende variabel? I så fall kan vi tolka signalers egenskaper i termer av frekvensinnehåll.

Som vi visade under förra föreläsningen så hade komplexa exponentialfunktioner den första egenskapen. Detta visas på tavlan. Vi går också igenom vilka signaler som kan skrivas som en linjärkombination av exponentialfunktioner och vi noterar att det finns tre varianter på denna idé: Fourierserien, Fouriertransformen och Laplacetransformen.

3


3

Föreläsning 3-5

Basfunktioner för LTI-system• Skriv insignalen som en linjärkombination

av basfunktioner (kernels)

4


4

Föreläsning 3-5

Egenfunktioner för LTI-system• Vi vill nu hitta en uppsättning

basfunktioner som producerar som utsignal skalade versioner av samma basfunktioner , dvs

• Då får vi in- och utsignalen på samma form:

Funktioner med dessa egenskaper kallas egenfunktioner.

5


5

Föreläsning 3-5

Egenfunktioner för LTI-system• Men basfunktionen hade ju

denna egenskap!• Komplexa exponentialfunktioner är alltså

egenfunktioner till LTI-system• Sinusfunktioner går att skriva på

exponentialform!

Eftersom en sinus kan skrivas i termer av exponentialfunktioner får vi både ett enkelt in/ut-samband och en fysikalisk tolkning som säger hur systemet påverkar frekvens- och fasegenskaperna hos insignalen.

6


6

Föreläsning 3-5

Fourierserien• Alla periodiska signaler kan skrivas som

en summa av harmoniska signaler• Denna representation kallas för Fourier-

serien• Fourierserien säger att reella periodiska

signaler kan skrivas som en summa av skalade reella sinusar

En mer formell beskrivning av Fourierserien ges på tavlan där ovanstående punkter visas och exemplifieras. Vi diskuterar också konvergensvillkor.

7


7

Föreläsning 3-5

Fouriertransformen• Fourierserien fungerar bara för periodiska

signaler• Aperiodiska signaler kan sägas ha en

period som går mot oändligheten vilket ger infinitesimala (kontinuerliga) frekvenser

• Vi får då en integralrepresentation i stället för en serie

• Denna kallas för Fouriertransformen

Övergången från Fourierserien till Fouriertransformen för aperiodiska signaler gås igenom på tavlan.

8


8

Föreläsning 3-5

Viktiga begrepp• Amplitud- och fasspektrum• Faltning i tidsdomän motsvaras av

multiplikation i frekvensdomän• Samplingsteoremet

Begreppen gås igenom på tavlan.

9


9

Föreläsning 3-5

Viktiga begrepp• Frekvenssvar• Bodeplott• Fouriertransformering av linjära diferential-

ekvationer med konstanta koefficienter

10


10

Föreläsning 3-5

Frekvenssvar för LTI-system• Utsignalen till ett LTI-system ges av in-

signalen faltad med systemets impulssvar:y(t) = h(t) * x(t)

• Eftersom faltning i tidsdomän motsvaras av multiplikation i frekvensdomän fås:

Y(jω) = H(jω)X(jω)• H(jω) kallas för systemets frekvenssvar

11


11

Föreläsning 3-5

Frekvenssvarets betydelse• Om vi använder en komplex sinus som

insignal

så fås den transformerade utsignalen

vilket i tidsdomänen blir

12


12

Föreläsning 3-5

Frekvenssvarets betydelse• Eftersom H(jω0) är en komplex konstant så

är alltså utsignalen en sinus med samma frekvens som insignalen men med ändrad amplitud och fas

Ett LTI-system påverkar alltså varje frekvens-komponent i insignalen enbart på två sätt:

• Amplitudskalning

• Fasvridning

13


13

Föreläsning 3-5

Frekvenssvarets betydelse• Märk också att utsignalens amplitud-

spektrum ges av

eller i log-form

och dess fasspektrum av

14


14

Föreläsning 3-5

Bodeplott• Bodeplott = plott av

både amplitud- och fasspektrum

• Man använder oftast log-skala på frekvensaxeln och dB-skala för amplitudspektrat Bodeplott av en biografhögtalare

Amplitudspekrat beräknas oftast som 20log(|Y(jω)|/|X(jω)|), varför man egentligen borde säga effektspektrum. En fördel med dB-formen är att man då (pga logaritmeringen) kan addera ihop insignalens amplitudspektrum med LTI-systemets för att få utsignalens amplitudspektrum.

15


15

Föreläsning 3-5

Ex. Frekvenssvar för tidsskift• Tidsskift-operationen utgör ett enkelt LTI-

system beskrivet avimpulssvar:frekvenssvar:

• Utsignalen blir

Amplitudspektrum:Fasgång:

Observera att lutningen på faskurvan är lika med tidsfördröjningen. Denna observation kan generaliseras till godtyckliga LTI-system: Derivatan av fasgången (deriverad m.a.p frekvensvariabeln) är lika med fördröjningen som systemet bidrar till. Derivatan kallas därför grupplöptid. Plottar man systemets grupplöptid som funktion av frekvens ser man alltså hur mycket olika frekvenskomponenter fördröjs av systemet.

Således innebär en linjär fasgång (en kurva med konstant lutning) att systemet fördröjer alla frekvenskomponenter lika mycket. Hur inverkar då en olinjär fasgång på t ex ljudkvaliteten i en högtalare – eller på blidskärpan i en kamera?

16


16

Föreläsning 3-5

Grupplöptid• Grupplöptiden fås genom att derivera

fasgången m.a.p frekvensvariabeln• Den säger hur mycket varje frekvens-

komponent fördröjs av systemet

En linjär fasgång innebär således en konstant grupplöptid och att alla frekvenskomponenter fördröjs lika mycket

17


17

Föreläsning 3-5

Samplingsteoremet• Kan vi sampla en signal utan att någon

information förloras?• Ja, om samplingsfrekvensen är minst

dubbelt så hög som signalens bandbredd• Annars tolkas höga frekvenser som låga

frekvenser (vikningsdistorsion, aliasing)

18


18

Föreläsning 3-5

Samplingsteoremet• Om den ursprungliga signalen inte

uppfyller kriteriet måste den först lågpassfiltreras (vikningsfilter / anti-aliasing filter)

• Rekonstruktion av den kontinuerliga signalen sker genom lågpassfiltrering

• Samplingsteoremet kallas ofta Nyquist-kriteriet och halva samplingsfrekvensen för Nyquist-frekvensen

19


19

Föreläsning 3-5

Linjära differentialekvationer• De flesta kontinuerliga LTI-system kan

skrivas som en linjär differentialekvation:

• Överföringsfunktionen för ett sådant system ges av

Härledningen av överföringsfunktionen (som följer direkt från Fouriertransformen för en derivata) ges på tavlan.

20


20

Föreläsning 3-5

Exempel• Ett allmänt första ordningens system

har således frekvenssvaret

21


21

Föreläsning 3-5

ExempelUndersök följande fall:1.2.3.4.Vilken funktion fyller de olika fallen?

Vi undersöker exemplen på tavlan och bestämmer deras frekvensgång. I samband med detta belyser vi begreppen dekad- och oktavdämpning, gränsfrekvens, passband och stoppband.

22


22

Föreläsning 3-5

Filter• Filter = system som är

konstruerat för visst ändamål

• Enkla typer av filter är lågpass, högpass, bandpass och band-stopp (notchfilter)

• Ideala filter kräver oändliga impulssvar

LP

HP

BP

BS

Exempel på ideala filter

Genom att inverstransformera det ideala filtrets frekvenssvar fås dess impulssvar. Eftersom de ideala filtren består av skalade och skiftade rektangelfunktioner så blir motsvarande impulssvar i form av sinc-funktionen som ju har oändlig utbredning. Detta betyder att ideala filter är icke-kausala och har oändliga impulssvar.

23


23

Föreläsning 3-5

Laplacetransformen• Komplexa exponentialfunktioner

är egenfunktioner till LTI-system• Om argumentet är rent imaginärt s=jω så

fås Fouriertransformen• Låter vi s anta godtyckliga komplexa

värden så fås Laplacetransformen

Genom att låta s anta godtyckliga komplexa värden så får vi en transform som kan representera en större klass av signaler. Däremot har överföringsfunktionen H(s) inte längre en naturlig fysikalisk tolkning som frekvenssvaret H(jω). I bland kallas s för komplex frekvens.

Vi går igenom Laplacetransformen på tavlan och visar hur Laplacetransformen alltid kan tolkas som en fouriertransform av den ursprungliga signalen multiplicerad med en faktor exp(-σt). Vi förklarar begreppen nollställen och poler och visar hur pol-nollställediagram kan användas för att snabbt bestämma systemets ungefärliga amplitud- och fasspektrum.

24


24

Föreläsning 3-5

Poler och nollställen• Man kan ofta skriva en Laplace-transform

som en kvot mellan två polynom:

där B(s) och A(s) är polynom av ordning M respektive N.

• De M rötterna till B(s) kallas nollställen• De N rötterna till A(s) kallas poler

25


25

Föreläsning 3-5

Differentialekvationer – igen!

• Ett system på formen

har Laplace-transformen

Resultatet är analogt till motsvarande fall för Fouriertransformering.

26


26

Föreläsning 3-5

Poler och nollställen• Vid en pol blir H(s) oändlig och vid ett

nollställe blir H(s) noll• Om en pol befinner sig på jω-axeln i s-

planet så blir förstäkningen oändlig vid den frekvensen, dvs systemet blir instabilt.

• På motsvarande sätt ger ett nollställe på jω-axeln total utsläckning av den frekvenskomponenten.

27


27

Föreläsning 3-5

Poler och nollställen• Faktoriserar vi H(s) fås

• Amplitudsvaret blir då

• Varje term i produkten kan ses som en vektor i s-planet

×α

jω

σ

Ett system bestående av en pol vid s= α beskrivet i s-planet

ω0|H(jω0)|

φ(jω0) = arg(H(jω0))

28


28

Föreläsning 3-5

Stabilitetsvillkor• Ett kontinuerligt kausalt LTI-system är

stabilt om alla dess poler ligger i det vänstra halvplanet.

×

jω

σ

×

×

Vi går igenom stabilitetsvillkoret på tavlan och ägnar övrig tid åt filtrering, vidare tolkningar av pol/nollställe-diagram samt systemkonstruktion.

29


29

Föreläsning 3-5

Butterworthfilter• Ett N:e ordningens Butterworthfilter har

amplitudsvaret

Med andra ord är

DC-förstärkningen är 0 dB. Förstärkningen vid gränsfrekvensen är –3dB (definitionsmässigt). Asymptotiskt är förstärkningen 20Nlog(ωb) –20Nlog(ω) dB, dvs –20N dB per dekad, eller - 6dB per oktav.

30


30

Föreläsning 3-5

Butterworthfilter• Butterworthfiltrets poler ligger till vänster

om jω-axeln jämnt ustpridda på en halvcirkel med radie ωb och centrum i origo

• Butterworthfiltret har minst rippel av alla filter

Filtrets egenskaper gås igenom närmare på tavlan.

31


31

Föreläsning 3-5

Chebyshev-filter• Om man flyttar polerna i ett Butterworth-

filter in mot jω-axeln så att de hamnar på en ellips i stället för en cirkel fås ett Chebyshev-filter– Snabbare övergång från passband till

spärrband– Mer rippel (Chebyshev typ I: rippel i

passband, typ II: rippel i spärrband)

32


32

Föreläsning 3-5

Besselfilter• Målet är maximalt linjär fasgång• Priset är en långsammare övergång från

passband till spärrband

Documents

Laplace, Fourier och resten – varför alla dessa transformer? · 2002. 11. 3. · 1 2002-10-30 Signaler & System Uppsala universitet 1 Föreläsning 3-5 Laplace, Fourier och resten