RESEARCH BASIC LEARNING (RBL)ANALISIS DAN SIMULASI PERSAMAAN SCHRODINGER PADA PARTIKEL BEBAS DALAM SUMUR POTENSIAL

MATA KULIAH FISIKA MODERN

oleh :

1. Anandiani Khairunnisa N.102120022. Dhika Rosari P.102120083. Muhammad Hisyam K.U102120124. Rayhan Makarim B.102120445. Muhammad Randika102120466. Jeremia B.102120587. Yakobus Geganaseta102120608. Chandra Winardhi W.10212076

JURUSAN FISIKAFAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMINSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG2013/2014

ABSTRAK

Persamaan Schrdinger merupakan persamaan gelombang yang menyatakan perilaku partikel pada tingkat energi mengikuti persamaan differensial untuk gelombang. Agar teori ini mudah dipahami, dibuat program simulasi persamaan Schrdinger menggunakan Mathlab. Hasil dari program simulasi dianalisis secara matematis untuk memperoleh hubungan antara variabel-variabel yang terkait.

BAB IPENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Dewasa ini, perkembangan Ilmu pengetahuan dan Teknologi (IPTEK) menuntut setiap orang untuk menciptakan inovasi-inovasi baru sehingga ilmu pengetahuan yang dipelajari dapat dikemas lebih menarik serta mempermudah pemahaman bagi yang ingin mempelajarinya. Salah satu teknologi yang saat ini mengalami perkembangan pesat dalam berbagai bidang ilmu dan khususnya pendidikan adalah pemakaian komputer. Komputer merupakan sebuah media yang dapat membantu dalam menganalisis gejala fisika yang terjadi di alam. Analisis ini dilakukan dengan menggunakan berbagai metode. Diantara beberapa metode, metode pendekatan komputasi memiliki kelebihan dibandingkan dengan metode yang lainnya.Permasalahan-permasalahan dalam bidang ilmu pengetahuan khususya fisika dapat digambarkan dalam bentuk persamaan matematika. Jika persamaan tersebut mempunyai bentuk yang sederhana maka persamaan dapat diselesaikan secara analitik. Tetapi, dalam kenyataannya masih terdapat masalah matematika yang bersifat kompleks sehingga dalam menyelesaikanya memerlukan banyak parameter dan varibel yang saling berkaitan satu dengan yang lain, sehingga diperlukan metode yang lebih mudah dan dapat menyelesaikan persoalan tersebut. Salah satu gejala fisika yang menarik untuk diamati atau dipelajari adalah perilaku gelombang dari sebuah pertikel. Perilaku gelombang tersebut dijelaskan oleh Schrodinger dalam analisis persamaan Schrodinger. Dalam penelitian ini akan dilakukan metode komputasi dengan menggunakan suatu program Matematika yakni Mathlab untuk memperoleh hasil yang benar dalam pemahaman fisis dari sistem yang dikaji. Dengan animasi dan visualisasi ini diharapkan mampu memberi gambaran yang jelas dan mendasar serta menimbulkan ketertarikan dan kemudahan dalam mempelajari persamaan Schrodinger pada khususnya dan Fisika pada umumnya.

1.2 Batasan Masalah1. Penerapan persamaan Schrdinger pada partikel bebas dan partikel bebas dalam Sumur potensial tak hingga tidak tergantung waktu.2. Bentuk simulasi persamaan Schrdinger ditampilkan dalam bentuk satu dimensi menggunakan Mathlab.

1.3 Tujuan1. Menganalis bentuk penyelesaian persamaan Schrodinger2. Mensimulasikan bentuk dari hasil persamaan Schrodinger pada pertikel bebas dalam sumur potensial dengan pendekatan komputasi3. Mengetahui bentuk visualisasi perilaku gelombang, tingkat energi dalam keadaan dasar dan keadaan tereksitasi

BAB IITINJAUAN PUSTAKA

2.1 Persamaan SchrdingerPersamaan Schrdinger merupakan fungsi gelombang yang digunakan untuk memberikan informarsi mengenai perilaku gelombang dari suatu partikel. Persamaan differensial akan menghasilkan pemecahan yang sesuai dengan fisika kuantum.

2.2 Persamaan Schrdinger Bebas waktu

Aplikasi persamaan Schrdinger dalam banyak hal akan berkaitan dengan energi potensial, yaitu besaran yang merupakan fungsi posisi dan tidak bergantung waktu. Perhatian kita berada pada kemungkinan elektron berada dalam selang waktu yang cukup panjang. Jadi, terdapat faktor waktu yang dipisahkan dari fungsi gelombang. Kita tinjau persamaan Schrdinger kasus 1 dimensi dengan menuliskan terlebih dulu fungsi gelombang untuk partikel bebas sebagai berikut.

= e-(i/h)(Et-Px) .................................................................................... (2.1)

+ (E-U) = 0 .................................................................. (2.2)

atau

- + U = E ................................................................. (2.3) Inilah persamaan Schrdinger satu dimensi yang bebas-waktu. Untuk tiga dimensi persamaan itu menjadi : 2 + [ E U(x,y,z) ] = 0 ................................................ (2.4)

Perlu kita sadari bahwa adanya persamaan Schrdinger bebas-waktu bukan berarti bahwa elektron atau partikel yang kita pelajari adalah partikel bebas-waktu. Partikel tersebut memiliki kecepatan gerak, sedangkan kecepatan adalah turunan terhadap waktu dan posisi.Mencari solusi persamaan Schrdinger adalah untuk memperoleh fungsi gelombang yang selanjutnya digunakan untuk melihat bagaimana perilaku atau keadaan elektron. Hubungan antara momentum p dan energi E adalah :

p = = ........................................................................................ (2.5)

E = = hf ...................................................................................... (2.6)

2.3 Fungsi Gelombang

Persamaan Schrdinger adalah persamaan diferensial parsial dengan adalah fungsi gelombang, dengan pengertian bahwa

* dx dy dz

Adalah probabilitas keberadaan elektron pada waktu tertentu dengan volume dx, dy, dz di sekitar titik (x,y,z), * adalah konjugat dari . Jadi persamaan Schrdinger tidak menentukan posisi elektron melainkan memberikan probabilitas bahwa ia akan ditemukan di sekitar posisi tertentu. Kita juga tidak mengatakan secara pasti bagaimana elektron bergerak sebagai fungsi waktu karena posisi dan momentum elektron dibatasi oleh prinsip ketidakpastian Heisenberg.Solusi dari persamaan Schrdinger merupakan fungsi gelombang (x) mempunyai arti fisis sebagai berikut. Elektron sebagai suatu yang nyata harus ada di suatu tempat. Oleh karena itu fungsi gelombang (untuk satu dimensi) harus memenuhi = 1 Fungsi gelombang (x), harus kontinyu sebab jika terjadi ketidak-kontinyuan hal itu dapat ditafsirkan sebagai rusaknya elektron, suatu hal yang tidak dapat diterima. Turunan fungsi gelombang terhadap posisi, juga harus kontinyu. Kita telah melihat bahwa turunan fungsi gelombang terhadap posisi terkait dengan momentum elektron sebagai gelombang. Oleh karena itu, persyaratan ini dapat diartikan sebagai persyaratan kekontinyuan momentum. Fungsi gelombang harus bernilai tunggal dan terbatas. Jika tidak, berarti ada lebih dari satu kemungkinan keberadaan elektron. Fungsi gelombang tidak boleh sama dengan nol disemua posisi, sebab kemungkinan elektron harus nyata, meskipun nilainya sangat kecil.

2.4 Probabilitas dan Normalisasi

Fungsi gelombang (x) menyatakan suatu gelombang yang memiliki panjang gelombang dan bergerak dengan kecepatan fase yang jelas. Nilai mutlak dari fungsi gelombang ini memberikan probabilitas untuk menemukan partikelnya pada suatu titik tertentu. Sehingga |(x)|2dx memberikan probabilitas untuk menemukan partikel dalam selang dx di x, disebut dengan rapat probabilitas P(x).

P(x) dx = |(x)|2 dx .......................................................................... (2.7)

Probabilitas untuk menemukan partikel antara x1 dan x2 adalah jumlah semua probabilitas P(x)dx dalam selang antara x1 dan x 2 adalah sebagai berikut:

= ............................................................ (2.8)

Dari aturan ini, maka probabilitas untuk menemukan partikel disuatu titik sepanjang sumbu x, adalah 100 persen, sehingga berlaku :

= 1 ............................................................................. (2.9)Persamaan (2.9) dikenal dengan persamaan normalisasi. Persamaan ini membantu kita dalam menentukan konstanta normalisasi. Jika proses normalisasi dilakukan secara tepat, maka persamaan (2.9) akan selalu menghasilkan suatu probabilitas yang terletak antara 0 dan 1. Setiap pemecahan persamaan Schrdinger yang menghasilkan nilai tak hingga, harus dhilangkan, karena tidak pernah terdapat probabilitas tak hingga untuk menemukan partikel pada titik manapun. Sebagai contoh, jika dari persamaan differensial menghasilkan (x) = Aekx + Be-kx bagi seluruh daerah x > 0, maka syaratnya adalah konstanta A = 0 agar pemecahannya mempunyai makna fisika. Sebaliknya, jika fungsi gelombang tersebut berlaku untuk x < 0 , maka syaratnya B = 0.

2.5 Penerapan Persamaan Schrdinger

Persamaan Schrdinger dapat diterapkan dalam berbagai masalah fisika. Dalam hal ini, persamaan Schrdinger akan memberikan hasil berupa fungsi gelombang yang menjelaskan informasi mengenai perilaku gelombang dari partikel.

2.5.1 Pada Partikel BebasPartikel bebas adalah sebuah partikel yang bergerak tanpa dipengaruhi gaya apapun dalam suatu ruang, sehingga partikel tersebut menempuh lintasan lurus dengan kelajuan konstan. Hal ini mengakibatkan energi potensial partikel adalah 0.Partikel bebas dalam mekanika klasik, bergerak dengan momentum konstan P, yang mengakibatkan energi totalnya menjadi konstan. Tetapi partikel bebas dalam mekanika kuantum dapat dipecahkan dengan persamaan Schrdinger-tidak bergantung waktu.

- + V (x) = E (x) ........................................................ (2.10)

Partikel bebas, V = 0. Persamaannya menjadi :

- = E (x) ........................................................................ (2.11)

Atau

+ (x) = 0 ..................................................................... (2.12)

Ingat bahwa :k2 = atau E = ........................................................................... (2.13)

Dengan demikian diperoleh :

= - k2 ................................................................................. (2.14)

Persamaan (2.14) adalah persamaan differensial biasa orde 2 dengan k2 adalah bilangan positif. Maka solusi dari persaman differensial diatas adalah :

= A sin kx + B cos kx .................................................................... (2.15)Pemecahan ini tidak memberikan batasan pada nilai k, sehingga partikel memiliki semua nilai. Atau dalam istilah kuantum berarti energinya tidak terkuantisasi.

2.5.2 Partikel dalam Sumur Potensial

Sumur potensial adalah daerah yang tidak mendapat pengaruh potensial. Hal ini berarti bahwa partikel selama berada dalam sumur potensial merupakan partikel bebas. Kita katakan bahwa partikel terjebak di sumur potensial, dengan ketinggian dinding sumur menuju tak hingga, atau kita katakan sumur potensial sangat dalam.

IIIIII

231

x = 0 x= a

Gambar 2.1 Partikel dalam sumur potensial daerah II

U(x) = 0,0 x LU(x) = ~,x < 0 dan x > L

Pada sumur potensial yang dalam, daereah I dan III adalah daerah dimana kemungkinan keberadaan elektron bisa dianggap nol, 1(x) = 0 dan 2(x) = 0. Sedangkan pada daerah II, kita dapat memberi spesifikasi pada gerak partikel dengan mengatakan bahwa gerak itu terbatas pada gerak sepanjang sumbu x antara x = 0 dan x = a. Sebuah partikel tidak akan kehilangan energinya jika bertumbukan dengan dinding, energi totalnya tetap konstan. Sehingga energi potensial menjadi tak hingga di kedua sisi sumur dan konstan di dalam sumur, dapat dikatakan U = 0 di dalam sumur. Karena partikel tidak bisa memiliki energi tak hingga, maka partikel tidak mungkin ditemukan di luar sumur. Oleh karena itu, = 0 untuk 0 x L. Maka yang perlu dicari adalah nilai di dalam sumur, yaitu antara x = 0 dan x = a. Persamaan Schrdinge bebas waktu adalah :

- n = E n ..................................................................... (2.16)

dengan = -k2,dimana k = ............................................. (2.17)

Sesuai dengan persamaan gelombang pada (2.15), maka : = A sin kx + B cos kx

= A sin 0 + B cos 0 0 = 0 + B B = 0

= A sin ka + B cos ka 0 = A sin ka k =

Sesuai dengan persamaan (2.17), maka :k = = ....................................................................... (2.18)

didapatkan energi partikel mempunyai harga tertentu yang terkuantisasi.

En = ............................................................................. (2.19)

Fungsi gelombang sebuah partikel didalam sumur yang berenergi En ialah

= A sin x .............................................................. (2.20)

Pemecahan bagi (x) belum lengkap, karena belum ditentukan konstanta normalisasi yaitu nilai A. Untuk menentukannya, ditinjau kembali persyaratan normalisasi.

Px1,x2 =

1= 1= A2

Untuk n=1(keadaan ground state)

1= A2

1= A2

1= A2 [ - sin ]

1= A2 [ - sin - - sin ]

1= A2 [ - sin 1= A2 A=

Dengan demikian, Pemecahan lengkap bagi fungsi gelombang untuk 0 x L adalah :

= sin x ,n = 1,2,3,.. ........................................... (2.21)

Gambar 2. 2 Tingkat energi dalam sumur secara konstan

aaa

Gambar 2.3 Probabilitas keberadaan electron dalam sumur potensial

Perlu diperhatikan bahwa makin besar a, maka perbedaan nilai tingkat-tingkat energy akan semakin kecil, sehingga untuk a yang sangat lebar, tingkat energy semakin rapat sehingga mendekati kontinyu.

BAB IIIPENGOLAHAN DATA

3.1 Koding dengan Matlab

BAB IVINTERPRETASI FISIS

4.1 Analisis Persamaan Schrodinger dalam Sumur Potensial Tak Hingga

Persamaan Schrdinger tak bergantung waktu memiliki solusi yang beragam sampai tak hingga untuk n = 1 sampai n = ~. Grafik solusi persamaan Schrdinger tak bergantung waktu untuk beberapa nilai n pertama adalah sebagai berikut.

Gambar 4.1 Grafik Solusi Persamaan Schrodinger

Gelombang ini terlihat seperti gelombang berdiri pada tali yang terbentang dengan panjang a. 1 memiliki tingkat energi yang paling rendah, dinamakan dengan keadaan dasar (groundstate), sedangkan yang lainnya disebut keadaan tereksitasi dengan tingkat energi yang meningkat sebanding nilai n2. Masing-masing keadaan secara berturut-turut memiliki simpul pada sumbu x yang jumlahnya n+1. Pada 1 terdapat 0 simpul, pada 2 terdapat 1 simpul, dan seterusnya. Dengan demikian maka diskritisasi energi elektron terjadi secara wajar melalui pemecahan persamaan SchdingerSeperti yang telah dijelaskan pada bab II bahwa makin besar a, maka perbedaan nilai tingkat-tingkat energy akan semakin kecil, sehingga untuk a yang sangat lebar, tingkat energy semakin rapat sehingga mendekati kontinyu dapat dibuktikan sebagai berikut :

Untuk a = 1 = 21 = 411 = 31 = Untul L=10 = 21 = 411 = 0.031 =

4.2 Hasil Simulasi Persamaan Schrodinger dalam sumur potensial

DAFTAR PUSTAKA

http://repository.usu.ac.id/bitstream/123456789/29984/4/Chapter%20II.pdf, diakses 26 April 2014

Beiser. A. 1995. Concepts of Modern Physics - 6th Ed. McGraw-Hill : New York.

Krane. K,. 1992. Fisika Modern. Universitas Indonesia : Jakarta.