Upload
igor-m-farhan
View
454
Download
15
Embed Size (px)
Citation preview
7/23/2019 Laporan Penelitian Menghitung Percepatan
1/16
Laporan Penelitian
Menghitung Percepatan Gravitasi dengan Menggunakan
Bandul Matematis dengan Metode Kuadrat Terkecil
Laporan penelitian ini diajukan sebagai
tugas akhir Pengolahan Data
Oleh
Raden Muhammad Hadi
1106608
UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
ALAM
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
2012
7/23/2019 Laporan Penelitian Menghitung Percepatan
2/16
Abstrak
Oleh Raden Muhammad Hadi
Telah dilakukan eksperimen Menghitung Percepatan Gravitasi Menggunakan Bandul Matematisdengan Metode Kuadrat Terkecil yang dilaksanakan pada bulan November 2012 sampai dengan
Januari 2013. Tujuan dari percobaan ini adalah untuk mengamati ayunan bandul matematis,
menentukan periode sebagai variabel terikat, dan percepatan gravitasi bumi. Dari hasil
eksperimen diperoleh bahwa percepatan gravitasi bumi sebesar
atau (dalam 2 angka penting).
Kata kunci : Bandul matematis, metode kuadrat terkecil, gerak harmonis sederhana dan
percepatan gravitasi
7/23/2019 Laporan Penelitian Menghitung Percepatan
3/16
I. Pendahuluan
1.1Tujuan
1. Mengamati ayunan bandul matematis
2. Menentukan periode sebagai variabel terikat
3. Menentukan percepatan gravitasi bumi
1.2Landasan Teori
1.2.1 Percepatan Gravitasi
Percepatan gravitasi suatu obyek yang berada pada permukaan laut dikatakan
ekivalen dengan 1 g, yang didefinisikan memiliki nilai 9,80665 m/s2. Percepatan di
tempat lain seharusnya dikoreksi dari nilai ini sesuai dengan ketinggian dan juga
pengaruh benda-benda bermassa besar di sekitarnya. Umumnya digunakan nilai 9,81
m/s2untuk mudahnya.
Nilai percepatan gravitasi diperoleh dari perumusan umum gaya gravitasi antara dua
benda (obyek danbumi), yaitu
di mana
G adalahkonstanta gravitasi
M adalahmassa bumi
m dalah mass obyek
r adalah jarak antaratitik pusat massabumi dengan titik pusat massa obyek
Nilai g dapat diukur dengan berbagai metoda. Bentuk-bentuk paling sederhana
misalnya dengan menggunakan pegas atau bandul yang diketahui konstanta-
konstantanya. Dengan melakukan pengukuran dapat ditentukan nilai percepatan
gravitasi di suatu tempat, yang umumnya berbeda dengan tempat lain.
http://id.wikipedia.org/wiki/Permukaan_lauthttp://id.wikipedia.org/wiki/Gaya_gravitasihttp://id.wikipedia.org/wiki/Obyekhttp://id.wikipedia.org/wiki/Bumihttp://id.wikipedia.org/wiki/Konstanta_gravitasihttp://id.wikipedia.org/wiki/Massa_bumihttp://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Titik_pusat_massa&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Titik_pusat_massa&action=edit&redlink=1http://id.wikipedia.org/wiki/Massa_bumihttp://id.wikipedia.org/wiki/Konstanta_gravitasihttp://id.wikipedia.org/wiki/Bumihttp://id.wikipedia.org/wiki/Obyekhttp://id.wikipedia.org/wiki/Gaya_gravitasihttp://id.wikipedia.org/wiki/Permukaan_laut7/23/2019 Laporan Penelitian Menghitung Percepatan
4/16
Dalam bidang fisika bumi dikenal pula metoda gravitasi yaitu suatu metoda
pengukuran perbedaan percepatan gravitasi suatu tempat untuk memperkirakan
kandungan tanah yang berada di bawah titik pengukuran. Dengan cara ini dapat
diduga (bersama-sama dengan pemanfaatan metoda fisika bumi lainnya) struktur dan
juga unsur-unsur pembentuk lapisan tanah yang tersusun atas elemen yang memiliki
rapat massa yang berbeda-beda.
1.2.2 Bandul Matematis
Bandul matematis adalah sebuah bandul dengan panjangLdan massa mdan membuat
GHS dengan sudut kecil (
7/23/2019 Laporan Penelitian Menghitung Percepatan
5/16
Jika sebuah benda kecil dan berat kita gantungkan pada sebuah tali penggantung
(ringan dan tidak mulur) dan berayun dengan sudut simpangan kecil maka susunan
ini disebut bandul matematis. Periode dari bandul matematis dapat ditentukan dengan
rumus
Dimana : T = periode ayunan (detik)
L = panjang tali (cm)
g = percepatan gravitasi bumi (cm/dt2)
1.2.3 Periode
Periode (T) adalah waktu untuk satu siklus lengkap pada suatu osilasi, gerak
gelombang atau proses berulang teratur yang lain. Merupakan kebalikan dari
frekwensi dan dihubungkan dengan frekwensi angular:
Dimana merupakan kecepatan sudut.
1.2.4 Gerak Harmonik Sederhana
Gerak harmonik sederhana didefinisikan sebagai sembarang gerak yang grafiknya
merupakan gelombang sinus. Contoh, bandul sederhana atau sumber bunyi dan
berbagai gerak yang dapat digolongkan gerak gelombang sederhana. Gerak harmonik
sederhana dapat diamati, jika sistem bergerak dari titik pusat, yang disebabkan oleh
gaya yang sebanding dengan perpindahan dari posisinya ini. Persamaan dari gerak
untuk berbagai sistem dapat dituliskan sebagai berikut:
7/23/2019 Laporan Penelitian Menghitung Percepatan
6/16
Dimana adalah suatu konstanta. Selama gerak tak terjadi perubahan energi kinetik
dan potensial, jumlah kedua energi itu tetap (bila tak ada redaman).
Periode (T) dinyatakan oleh:
Dimana f adalah frekwensi dan sebagai pulsatans.
1.2.5
Metode Kuadrat Terkecil
Metode kuadrat terkecil, yang lebih dikenal dengan nama Least-Squares Method,
adalah salah satu metode pendekatan yang paling penting dalam dunia keteknikan
untuk regresi ataupun pembentukan persamaan dari titik-titik data diskretnya (dalam
pemodelan), dan analisis kesalahan pengukuran (dalam validasi model).
Metode kuadrat terkecil termasuk dalam keluarga metode-metode pendekatan
kesalahan terdistribusi (distributed error approximation methods), berdasarkan
karakteristik kerjanya yang melakukan pengurangan kesalahan menyeluruh (global
error) yang terukur berdasarkan interval pendekatan keseluruhan (whole
approximation interval) sesuai denganorder pendekatan yang meningkat. Metode ini
berbeda denganmetode-metode asimptotis, khususnya yang dikembangkan melalui
pendekatan melalui deret Taylor, karena metode asimptotis memiliki karakteristik
kerja yang memperkecil sesatan pada beberapa titik tertentu, sesuai dengan order
pendekatan yang meningkat.
1.2.5.1 Proyeksi Ortogonal Dipandang Sebagai Aproksimasi
JikaPadalah sebuah titik di dalam ruang berdimensi 3 biasa dan Wadalah
sebuah bidang yang melewati titik asal ruang tersebut, maka titik Qpada
W yang jaraknya terdekat dengan P dapat diperoleh dengan
7/23/2019 Laporan Penelitian Menghitung Percepatan
7/16
memproyeksikan P secara tegak lurus terhadap W. Sehingga, jika u =
panjang OP, jarak antaraPdan W diberikan oleh
||u projwu||(6)
Dengan kata lain, di antara semua vektor wpada W, vektor w = projw u
meminimalkan jarak ||u w||
Untuk setiap vektor wpada W yang bukan projWu.
1.2.5.2 Menentukan Garis Lurus Terbaik y = mx + n dengan Metode
Kuadrat Terkecil
Dengan metode kuadrat terkecil, kita tidak perlu menggambarkan grafik,
melainkan hanya menghitung m, n, m, dan n dari data-data xi dan yi
yang diperoleh dari percobaan.
Untuk percobaan berulang N kali yang memberikan sekumpulan data xi
danyidapat kita nyatakan
Teorema Aproksimasiasi Terbaik
Jika W adalah sebuah subruang berdimensi terhingga dari ruang
hasilkali dalam V, dan jika uadalah sebuah vektor pada V, maka projW u
adalah aproksimasi terbaik bagi upada W, dalam pengertian bahwa
||u projwu|| < ||u w|| (7)
7/23/2019 Laporan Penelitian Menghitung Percepatan
8/16
Sydihitung dengan persamaan (12), yaitu
Perhatikan penyebut Persamaan (8) sampai (11) persis sama jadi cukup
dihitung 1 kali saja.
7/23/2019 Laporan Penelitian Menghitung Percepatan
9/16
II. Metode
2.1Waktu & Tempat
Rentang waktu penelitian : November, 2012Januari, 2012
Waktu : - (Tidak tentu)
Tempat : Rumah
2.2Alat & Bahan
1. Paku 3 buah
2. Busur
3. Beban plastik
4. Benang
5. Kayu
6. Meteran tukang jahit 150 cm
7. Stopwatch
2.3Cara Kerja
Mengatur peralatan bandul matematis agar stabil atau kokoh, benang diposisikan tepat di
tengah busur (di sudut 90), mengukur panjang benang. Bandul disimpangkan dari pusat
sejauh 10 dari keadaan semula dan bandul dilepaskan agar berosilasi kemudian mencatat
waktu untuk beberapa kali osilasi. Percobaan diulangi dengan panjang benang yang
berbeda.
Perlu diketahui bahwa dalam mencari nilai percepatan gravitasi dapat menggunakan
penurunan rumus dari persamaan (2) dengan cara pelurusan persamaan
dengan memilih peubah tak bebas dan peubah bebas yang tertentu. Misalkan kita
kuadratkan dahulu kedua ruas dalam persamaan (2) hingga menjadi
7/23/2019 Laporan Penelitian Menghitung Percepatan
10/16
Supaya grafik berupa garis lurus, kita ambil sebagaiydanLsebagaix, dan
kemiringan
Karena percobaan berulang, maka untuk menghitung gharus menggunakan persamaan
(14), yaitu
dimana m, nbilangan bulat, pecahan, positif maupun negatif.
Untuk maka
Jadi g akan dihitung dengan persamaan (13) dan dengan Persamaan (15). Untukmencari nilai-nilai tersebut, haruslah sebelumnya menghitung m dan smdengan metode
kuadrat terkecil.
7/23/2019 Laporan Penelitian Menghitung Percepatan
11/16
III. HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1Hasil Percobaan
Hasil yang diperoleh dari percobaan bandul matematis
Diperoleh dari percobaan Yang dihitung
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)
Jumlah
Percobaan
(i)(meter)
Waktu/10
getaran
(sekon)(sekon)
1 1,07 21,04 2,104 4,426816 4,736693 1,14 19,596
2 0,92 19,88 1,988 3,952144 3,635972 0,85 15,619
3 0,83 18,66 1,866 3,481956 2,890023 0,69 12,124
4 0,73 17,46 1,746 3,048516 2,225417 0,53 9,2934
5 0,60 17,03 1,703 2,900209 1,740125 0,36 8,4112
6 0,51 14,72 1,472 2,166784 1,10506 0,26 4,6949
7 0,39 13,09 1,309 1,713481 0,668258 0,15 2,9360
8 0,25 10,78 1,078 1,162084 0,290521 0,06 1,3504
Jumlah 5,30 132,66 13,27 22,85 17,29 4,05 74,03
Maksimal 1,07 21,04 2,10 4,43 4,74 1,14 19,60Minimal 0,25 10,78 1,08 1,16 0,29 0,06 1,35
Standar
Deviasi 0,276857364 3,492124814 0,349212 1,118005 1,528981 0,370706 6,3201
Tabel 1. Hasil percobaan bandul matematis
7/23/2019 Laporan Penelitian Menghitung Percepatan
12/16
Gambar 2. Grafik T2terhadapLpada percobaan bandul matematis berbentuk garis lurus.
Adapun perhitungan didasarkan pada tabel diatas.
Dari kolom (1) diperoleh = 8
Dari kolom (2) diperoleh = 5,30
Dari kolom (5) diperoleh = 22,85
Dari kolom (6) diperoleh = 17,29
Dari kolom (7) diperoleh = 4,05
Dari kolom (8) diperoleh = 74,03
Berdasarkan nilai yang didapat, akan dihitung terlebih dahulu penyebut dari persamaan
(8) dan (9) yang persis sama, yaitu
Dari persamaan (8) diperoleh
Dari persamaan (12) diperoleh
y = 4.012x + 0.198
R = 0.987
0
1
2
3
4
5
0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20
AxisTit
le
Axis Title
T
i
= y
i
Ti^2 = Yi
Linear (Ti^2 = Yi)
7/23/2019 Laporan Penelitian Menghitung Percepatan
13/16
Dari persamaan (10) diperoleh
Sekarang akan dihitunggdengan persamaan (13) dan dengan persamaan (15)
Berdasarkan aturan pada pengukuran berulang ketidakpastian relatif sekitar 10% berhak
atas 2 angka penting.
Jadi,
3.2Pembahasan
Sebuah bandul dengan panjang L dan massa m dan membuat GHS dengan sudut kecil
(
7/23/2019 Laporan Penelitian Menghitung Percepatan
14/16
karena bandul bergerak dari suatu posisi ke posisi lain lalu kembali dalam posisi semula
dalam satu siklus lengkap yang disebut periode. Periode inilah yang dibutuhkan untuk
mencari nilai percepatan gravitasi berdasarkan persamaan .
Dalam percobaan ini teramati adanya gerak osilasi dari bandul ketika diberi simpangan
pada bandul tersebut. Osilasi ini dipengaruhi oleh besar simpangan yang diberikan pada
bandul. Semakin besar simpangannya semakin besar pula jarak osilasinya dan begitu juga
sebaliknya. Hal ini juga dipengaruhi oleh panjang benang yang menahan pembeban pada
bandul. Semakin panjang benangnya maka semakin besar pula jarak osilasinya dan begitu
juga sebaliknya.
Dengan dikuranginya panjang benang yang menahan pembeban dalam setiap percobaan
pada bandul maka nilai periodenya pun semakin kecil. Hal ini berarti periode berbanding
lurus dengan panjang benang.
Dari hasil pengolahan data menggunakan MS-Excel, diperoleh bahwa percepatan
gravitasi bumi sebesar atau
(dalam 2 angka penting), sedangkan berdasarkan hasil literatur adalah 9,80665 m/s2atau
sekitar 9,81 m/s2.
7/23/2019 Laporan Penelitian Menghitung Percepatan
15/16
IV. KESIMPULAN DAN SARAN
4.1Kesimpulan
Dari eksperimen yang telah dilakukan, teramati adanya pengaruh pengurangan panjang
benang penahan beban terhadap osilasi. Pengurangan pada panjang tali menyebabkan
berubahnya nilai periode bandul yang berbanding lurus dengan panjang tali. Dari
percobaan diperoleh bahwa percepatan gravitasi bumi sebesar
atau .
4.2Saran
Agar diperoleh nilai pendekatan yang lebih baik, maka penulis memberikan saran:
1. Sertakan elemen (menggunakan variabel) yang lebih lengkap;
2. Menggunakan alat eksperimen yang jauh lebih canggih atau memiliki ketelitian lebih
tinggi;
3. Lakukan penelitian dalam situasi yang benar-benar ideal;
4. Dilengkapi dengan simulasi komputer.
7/23/2019 Laporan Penelitian Menghitung Percepatan
16/16
Daftar Pustaka
Dasar, T. L. (2009). Bab I Teori Ketidakpastian. In T. L. Dasar, Teori Ketakpastian(pp. 1-10).
Bandung.
Fornasini, P. (2008). The Uncertainty in Physical Measurements: An Introduction to DataAnalysis in the Physics Laboratory.New York: Springer.
Kanginan, M. (2002).Fisika SMU Jilid 1A.Cimahi: Penerbit Erlangga.
Percepatan Gravitasi. (n.d.). Diperoleh pada 12 2012, dari Wikipedia:
http://id.wikipedia.org/wiki/percepatan_gravitasi
Permana, S. (2010).Laporan Praktikum Eksperimen Fisika II Analisis Bandul Fisis.
Tipler. (1998).Fisika: Untuk Sains dan Teknik.Jakarta: Penerbit Erlangga.