Large N reduction on group manifolds

土屋麻人（静岡大） 　「弦理論研究会」＠立教大学　 2010 年 1 月 6 日川合光氏（京大 ) 、島崎信二氏（京大）との共同研究 arXiv:0912.1456, 1001.xxxx

Introduction Large N reduction の基本的主張 　 Eguchi-Kawai (’82) 　 ラージN ゲージ理論はそれを低次元に次元還元することによって得られる行列模型と等価 概念的に重要　　行列の自由度からの時空の出現 実用上 重要　 格子理論に代わるラージ N ゲージ理論の　　　　　　　　 非摂動的定式化　　特に超対称ゲージ理論 今までflat space-time で調べられてきた。　　 cf.) S3への拡張、特に N=4 SYM on RxS3の非摂動的定式化　 Ishii-Ishiki-Shimasaki-A.T. (’08) 曲がった時空への拡張は？　　　行列模型における曲がった時空の記述　 cf.)Hanada-Kawai-Kimura(’06)　　　flat space-time での実用上の問題点を解決 ここでは、群多様体および coset 空間上で成り立つことを示す。　　 通常 large N reduction は運動量空間で説明されるが、実空間で再考すること　　　　　 によりこの拡張が簡単になる。bi-local field theory　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

目次1. Introduction2. Bi-local field theory interpretation of

reduced model3. Large N reduction on group manifolds4. Large N reduction for N=4 SYM on RxS3

and the AdS/CFT duality5. Summary and outlook

Bi-local field theory interpretation of reduced model

Scalar phi^3 theory on Rd

: NxN エルミート行列Propagator

Planar (’t Hooft) limit

Action

Vertex

Scalar phi^3 theory on Rd (cont’d)Free energy at the two-loop level

suppressed

Non-planar

Planar

Large N reductionRule

Reduced model

: Rd 上の関数の空間に作用するエルミート演算子: 座標基底

Large N reduction (cont’d)

Rd 　上の関数の空間　

Familiar form

N 次元ベクトル空間運動量のカットオフ Λ を導入し、　　　　　とおく

: NxN エルミート行列

　　を対角化する基底をとる実空間の体積実空間は N 個の体積 のセルに分割

が一様に分布

Reduced model as a bi-local field theoryBi-local field theory

Change of variables

Perturbative expansion in real spacePropagator

両端は particle として伝搬する相対座標　　　　　は保存する両端は平行移動される

Vertex

Free energy at the two-loop level

Planar

Free energy at the two-loop level (cont’d)Non-planar

planar diagram に比べて 1/V2 で suppressされる

Correspondence b/w reduced model and original theory

Free energy の対応相関関数の対応

Limit in reduced model

reduced model は original theory の planar 極限を再現する

トーラスの体積 V が有限　　　　 1/V による suppression がない

Large N reduction on Torus Td

トーラス上の関数の空間　　　 n 次元ベクトル空間とおき、運動量のカットオフ　　　　　　　を導入

n 次元ベクトル空間と k 次元ベクトル空間のテンソル積空間を導入テンソル積空間の次元 : N=nkはテンソル積空間に作用

Reduced model での極限Non-planar diagram は 1/k2 以上で suppress されて、 reduced model は original theory の planar 極限を再現する

Large N reduction for gauge theory

Apply the rule to the field strength

Reduced model of YM theory

は　　の background と解釈される Background は０次元 massless 場によって不安定 quenching

SUSY と両立しない !

Gross-Kitazawa (’82)Bhanot-Heller-Neuberger (’82)

YM 理論の０次元への次元還元

Large N reduction on group manifolds

Notes on group manifoldsLie group

G: コンパクト連結リー群

: G 上の関数の空間の座標基底: G のリー環の基底

左移動右移動

G 上の関数　　　　　　に対して

Left and right translations

Notes on group manifolds (cont’d)

右不変キリングベクトルKilling vectors

左不変キリングベクトル

微分演算子として交換関係

左移動の生成子右移動の生成子

Notes on group manifolds (cont’d)

Invariant 1-forms右不変 1 形式左不変 1 形式

Maurer-Cartan equation

Right and left invariant metric

Haar measure

両側不変

両側不変体積

Notes on group manifolds (cont’d)

オイラー角S3 の isometry

右不変キリングベクトル

右不変 1 形式

両側不変計量

Example: SU(2)=S3

Haar 測度S3 の半径2

Scalar phi^3 theory on GScalar phi^3 theory on G

GxG 対称性をもつPropagator

: NxN エルミート行列、各要素は G 上の関数

Vertex

Large N reduction on GRule

: テンソル積空間に作用するエルミート演算子

G 上の関数の空間と k 次元ベクトル空間のテンソル積空間を考える

Reduced model

省略

Reduced model as a bi-local field theoryBi-local field theory

Change of variables

: G 上の bi-local kxk matrix field

Haar 測度は不変

Perturbative expansionPropagator

Haar measure のもとでのデルタ関数

flat space のときと、同じ構造をもつ

Large N reduction は G 上で成り立つ

摂動展開は flat space のときと、並行に進む

UV regularizationG 上の関数の空間は G の正則表現の表現空間と同一視される

Peter-Weyl の定理 r は G の既約表現をラベル

: r 表現での　　の表現行列

UV カットオフ　　の導入し、　　　　　　　　　　　　を定義　　　　　　　　　　　　r の和を　 に制限 GxG 対称性を保つ

: r 表現の次元

Correspondence b/w reduced model and original theory

: NxN エルミート行列

Free energy の対応相関関数の対応に対して

GxG 対称性をもつ

極限

パラメータ

作用

G 上の関数の空間～ n 次元ベクトル空間全体の行列のサイズセルの体積

reduced model は original theory の planar 極限を再現する

Example: G=SU(2)=S3

極限SO(4)=SU(2)xSU(2) を保つ正則化

Another background for S3

SU(2) を保つ正則化極限

Ishii-Ishiki-Shimasaki-A.T. (’08)

S3~S2 上の S1束: S2 上の運動量カットオフ: S1 上の運動量カットオフ

Gauge theories on group manifoldsゲージ場 1 形式を展開し、 Maurer-Cartan equation を使う

YM action

Reduced model

background を吸収YM action の次元還元

Ishii-Ishiki-Shimasaki-A.T. (’08)

　　　　　　は古典解

Gauge theories on group manifolds (cont’d)

ゲージ対称性

ゲージ対称性と SUSY と GxG 対称性を保つ正則化

G が半単純なら理論は massive 、摂動展開の全次数で background は安定他の古典解への tunneling は　　　　　で suppress されるquenching などの remedy必要なし。ただ、 background の周りで展開するだけ

随伴表現の物質場に対しても同じ吸収次元還元

Chern-Simons-like theories on group manifolds

Poincare双対性よりを調整して

ゲージ対称性

Reduced model の周りで展開

Chern-Simons-like theories on group manifolds (cont’d)

G=SU(2) の場合、 S3 上の pure Chern-Simons theoryになる をとったとき、分配関数や unknot Wilson loop の期待値の planar limit を再現することを陽に示せる。Ishiki-Shimasaki-A.T. (’09)

Large N reduction on coset spaces

H: G の部分リー群

H G/H

G/H 上の理論を得るための拘束条件または

ゲージ場についても同様

Reduced model の変形

例　　 S4=SO(5)/SO(4) 上のゲージ理論 体積∞極限で R4 上の理論？

Large N reduction for N=4 SYM on RxS3 and the AdS/CFT duality

N=4 SYM on RxS3

conformal mapping により、 N=4 SYM on R4 に等価10 次元の notationで

Reduced model

plane wave matrix model (Berenstein-Maldacena-Nastase (’02)) の形

時間方向は連続

SU(2|4) 対称性　（ 16 supercharges ）

PSU(2,2|4) 対称性　（ 32 supercharges ）

Background

ゲージ対称性と SU(2)xSU(2|4) を保つ正則化 保っている SUSY の数最大

ゲージ対称性と SU(2|4) を保つ正則化 保っている SUSY の数最大

Testing AdS/CFT duality: Wilson loopsLocally BPS Wilson loop in N=4 SYM

Corresponding Wilson loop in the reduced model

Cλ が大きいとき重力側で

AdS5 の境界

Maldacena (’98)

S は極小局面の面積

　　は　　または　　の周りで展開

Testing AdS/CFT duality: Wilson loops (cont’d)

R4

large

重力側の予言と一致

R4 でファインマンゲージ +planar ladder近似 Localization Pestun (‘07)

Reduced model で R4 におけるファインマンゲージに相当するゲージをとり、 planar ladder近似を適用すると上の結果を再現する Ishiki-Shimasaki-A.T.

Circular Wilson loop ( globally half-BPS)

Rectangular Wilson loop (non-BPS)

R4 W-boson potential

λ が大きいとき重力側からの予言 λ が小さいときゲージ理論での結果 reduced model で再現

Erickson et. al.(’00)

数値シミュレーションで再現→ AdS/CFT の非自明な検証

Honda-Ishiki-Nishimura-A.T.

Testing AdS/CFT duality: chiral primary operators

Chiral primary operator

traceless symmetric

reduced model では

対応

例えば 4 点 non-extremal を数値シミュレーションで求めることにより、 AdS/CFT の非自明な検証ができる

Honda-Ishiki-Kim-Nishimura-A.T.

Summary and outlook

　　まとめ• 群多様体上で large N reduction が成立することを示した。• coset 空間上の理論を得るための、 reduced model の変形を与えた。広い意味で coset 空間上でも large N

reduction は成立• 群多様体上および coset 空間上の Chern-Simons-like

theory を構成し、その reduced model を与えた。• N=4 SYM on RxS3 の large N reduction を用いて、 AdS/CFT 対応の検証を提案した。 展望• 非コンパクトの場合• 一般の多様体　• N=4 SYM の数値シミュレーション、解析的手法の開発　　　　　　　　　 Honda-Ishiki-Kim-Nishimura-A.T. 　• 重力、弦理論