LAS MATEMÁTICAS Y LAS ARTES LIBERALES

Javier PeraltaUniversidad Autónoma de Madrid

1. “PERLAS MATEMÁTICAS” EN LOS MEDIOS DE COMUNICACIÓN

1. 1. Glosa de Encarna Sánchez:

“Era cuarto y mitad de Margareth Thatcher, cuarto y mitad de Teresa de Calcuta, cuarto y mitad de Golda Meier, cuarto y mitad de Violeta Parra y cuarto y mitad de Indira Ghandi”.

1. 2. Diario de Navarra, sobre el cruce de dos carreteras en las afueras de Pamplona:

“Este cruce ya se está convirtiendo en un eje de gran importancia, y avisa realmente de lo que será el futuro. Iturrama y Sancho el fuerte discurren como paralelas convergentes hasta tocarse en ese cruce”.

2. Las artes liberales. “Nadie entre aquí que no sepa geometría” (Academia

de Platón)“Platón hechaua de su Academia a todos los que en Geometría no vinieran principiados” (Juan de Herrera)

. Artes liberales: - Trivium: gramática, retórica y lógica o dialéctica - Quadrivium: aritmética (“números en reposo”) geometría (“magnitudes en reposo”) música (“números en movimiento”) astronomía (“magnitudes en movimiento”)

Códice de Nicolás de Bolonia: “Las virtudes y las artes”

(Biblioteca Ambrosiana de Milán, 1355)

. Divina proporción (Luca Pacioli) Sección áurea (Leonardo da Vinci)

Sección divina (Kepler)

...61803,12

51ld

3. LAS PROPORCIONES MATEMÁTICAS EN EL ARTE

¿Se habla bien de las proporciones (porcentajes)?

“Estoy cobrando el 106 % menos que antes”3. 1. la razón áurea . Descubrimiento de los irracionales (Hipaso de Metaponto, pitagórico):

Espiral de Durero

...61803,1ab

El rectángulo áureo

a

b

El rectángulo áureo ha sido muy utilizado en la composición de obras de arte: cuadros, monumentos arquitectónicos y otros elementos artísticos.

- Está presente, por ejemplo, en los capiteles corintios, en la fachada del Partenón de la Acrópolis de Atenas, de la catedral de Nôtre Dame y, en general, en numerosos templos góticos y palacios renacentistas, e incluso en arquitectura moderna, como en el Palacio de Cristal (sede de las Naciones Unidas de Nueva York).

- Cuadros: La flagelación o El Bautismo de Cristo (Piero della Francesca), Retrato de Isabel de Este (Leonardo da Vinci), Las Meninas (Velázquez), Saturno devorando a sus hijos (Goya) …

- Escultura: monumentos de tumbas, máscaras griegas …

Fachada de la Universidad de Salamanca

(finales s. XV – c 1534)

Dalí: “Leda atómica” (1949) Antigua máscara de Hermes

3. 2. Números metálicos - La solución positiva de la ecuación x² - x – 1 = 0

es: x = - Números metálicos: solución positiva de la ecuación

x²-px–q=0 , para algunos valores enteros positivos de p y q

. p = q = 1⇒número de oro φ

. p = 2, q = 1 x²-2x–1 = 0 x = 1+ ⇒ ⇒ ≃ 2,41: número de plata

. p = 3, q = 1 x²-3x-1 = 0 ⇒ x = ⇒ ≃3,30 : número de bronce

2

2133

2

512

411

3.3. Rectángulos pitagóricos:

. Sus lados están en las proporciones

. Ejemplo: catedral de Milán (rectángulo pitagórico de proporción )

...,5,3,2

3

Corte transversal de la Catedral de Milán (estudio geométrico de César Cesariano, 1521)

“Esqueleto geométrico” de la ilustración anterior

Esquema simplificado: 3ba

3.4. Proporción cordobesa

22

1BA

. Arquitecto Rafael de la Hoz. . Está presente no sólo en Córdoba, como en la planta de su Mezquita, sino también en otros lugares: Arco del

Triunfo (París), Acueducto de Segovia …

≃1,307

Acueducto de Segovia

“El Capricho”, Comillas (Cantabria). Proyectado por Gaudí (1883)

3.5. Canon de belleza

Faraón Micerino y su esposa (c 2600 a. C.) Canon de Policleto (s. V a. C.)

Canon de Vitrubio Marco Vitrubio Polión (“De

Architectura”, s. I a. C.): “Tres narices a lo largo tengan la misma longitud que un rostro, y que los dos semicírculos de las orejas, colocados juntos, sean iguales al círculo de la boca abierta, y que esto mismo suceda con las cejas si se unen. Que la longitud de la nariz sea igual a la del labio y a la de la oreja, y que los dos semicírculos de los ojos sean iguales que la abertura de la boca. Que la altura del cuerpo sea igual a la de ocho cabezas…”

rl

Leonardo da Vinci: “Hombre de Vitrubio” (Academia de Bellas Artes, Venecia)

El “modulor” de Le Corbusier

≃ Ф

≃ Ф

≃ Ф

...619,1ombligodelaltura

brehomdelaltura113183

...614,1cabezaaombligo.dist

ombligodelaltura70

113

...627,1sexualesórganosaltura

flexionada,manolaa.sex.órg.dist86

140

4. LA GEOMETRÍA QUE NACIÓ DEL ARTE

La relación entre Matemáticas y Pintura se hace patente también al observar en ciertas ocasiones sus evoluciones a lo largo de la historia. Nos fijaremos en uno de esos momentos: el nacimiento de la geometría proyectiva. Empecemos:

4.1. Progresos de la pintura al tratar de representar en un lienzo el mundo tridimensional: de los egipcios al Renacimiento Antiguo Egipto

“Papiro del libro de los muertos” (1570-600 a. C., Museo Egipcio, Turín)

Alta Edad Media (Hispania visigótica)

“La ciudad de Toledo y dos iglesias” (Hacia s.VI, Códice del monasterio de San Martín de Albelda, Navarra)

Al final de la Edad Media comienza ya un apreciable cambio

Giotto: “El festín de Herodes” (c 1320, Iglesia de Santa Cruz, Florencia)

“El Rey Enrique III de Inglaterra” (s. XIIIIlustración del libro “Vida de los Santos,

Albano y Anfíbalo”)

Ambrosio Lorenzetti: “Anunciación”(1344, Pinacoteca, Siena)

Paolo Ucello: “El milagro de la hostia

profanada” (1469)

4.2. La perspectiva Aunque en 1000 años la geometría apenas había evolucionado, del

Medievo al Renacimiento surge de nuevo al investigar los artistas las reglas de la perspectiva.

- Filippo Brunelleschi (1377-1446), arquitecto y escultor: iniciador-Leon Bautista Alberti (1404-1472). En Della pittura sienta las primeras

bases (el primer requisito para un pintor es “conocer la geometría”).- Piero della Francesca (1416-1492).Prospettiva pingendi. -Leonardo da Vinci (1452-1519). En Tratado de pintura advierte la

necesidad de una geometría óptica para representar la realidad de las cosas.. “La perspectiva es el freno y timón de la pintura. La pintura se basa en la perspectiva, que es un conocimiento perfecto de la función del ojo”..”Nadie que no sea matemático debe leer los principios de mi trabajo

… No hay certeza alguna allí donde no se pueda aplicar alguna de las ciencias matemáticas”.

- Alberto Durero (1471-1528). Recopila los conocimientos adquiridos en Italia sobre perspectiva y completa esos trabajos para fijar los principios del tratamiento científico de la perspectiva.

¿Cómo elaboran esos artistas las reglas de la perspectiva? Citemos a dos de ellos:

Alberti: da reglas para pintar lo que ve un ojo, aunque es consciente que vemos con los dos (visión binocular), lo que ayuda a mejorar el efecto tridimensional (se superponen dos imágenes y proporciona sensación de profundidad).

. Lienzo: pantalla de cristal (ventana interpuesta para interpretar la escena a retratar).

. Cada punto de la escena emite un rayo de luz que “entra” en el ojo. Todos los puntos: pirámide visual.

. El cuadro es la intersección de la pantalla con la pirámide visual.

. Proyección: colección de rayos de luz.

. Sección: Los puntos intersección de las líneas de proyección con la pantalla.

Durero ilustra en estas obras el principio de proyección y sección

“El dibujante de un hombre sentado” “El dibujante del laúd” (el artista señala el punto en el que el rayo (con esa técnica ha dibujado la sección. de luz que proviene de la escena corta el cristal) Al girar la pantalla, la presenta)

Puede haber muchas representaciones gráficas de una misma escena, pues la sección depende de: 1) dónde se sitúa el artista, 2) dónde se coloca la pantalla. Un cuadrado puede convertirse, por ejemplo, en distintos cuadriláteros irregulares (las baldosas cuadradas del suelo no se dibujan cuadradas).

En general:. No mantiene su forma y dimensiones (como en un movimiento). Las líneas paralelas se representan convergentes en un punto (no como

los artistas medievales)

4.3. La geometría proyectiva - Aunque en una proyección cambian muchas propiedades de las

figuras, los matemáticos se preguntaron: ¿qué propiedades permanecen?

-La búsqueda de las propiedades comunes a todas las secciones de la misma proyección y a las secciones de dos proyecciones distintas ⇒origen de la geometría proyectiva.

Propiedades de esta nueva geometría: . A diferencia de la geometría euclídea, la noción de distancia queda

desvanecida y, por tanto, las propiedades métricas y medidas angulares.

. No hay distinción entre rectas paralelas y secantes: todas se cortan, en un punto ordinario o en un punto del infinito ⇒punto de fuga, recta del infinito (formada por los puntos del infinito)

. Sólo se conservan alineaciones e intersecciones (no paralelismo ni distancias)

. Una línea recta sigue siendo recta (no curva). . Triángulo ⇒ triángulo, cuadrilátero ⇒ cuadrilátero …

El primer geómetra proyectivo fue el arquitecto e ingeniero Girard Desargues (1591-1661), tratando de ayudar a los artistas. En su Brouillon aparece su resultado

principal: Teorema de Desargues.Establece una propiedad común a dos secciones de la misma proyección deun triángulo desde el punto de vista 0(“son perspectivas desde 0”) : cadapar de lados correspondientes de losdos triángulos se encuentran en unpunto, y estos tres puntos están sobreuna recta.

- Las innovaciones de Desargues y sus discípulos, principalmente Pascal y De la Hire, sin embargo no fueron apreciadas por sus colegas. A Desargues le tomaron por loco (de hecho, empleaba una extraña nomenclatura: tronco, ramas, nudos, guirnalda …), y la geometría proyectiva quedó arrinconada.

- Se perdieron los trabajos de Desargues y Pascal, pero una copia manuscrita del Brouillon hecha por De la Hire fue encontrada por Chasles (s. XIX). Así renació la geometría proyectiva, aunque hubo que volver a reconstruirla (Monge, Carnot, Poncelet, Steiner, Chasles …)

4.4. La geometría descriptiva. Los problemas de los artistas habían quedado resueltos en el s. XVI por

la perspectiva, pero no sucedía lo mismo con las representaciones gráficas industriales y de construcciones necesarias para el desarrollo científico de finales del s. XVIII.

. Monge estableció las bases de esta nueva geometría: la geometría descriptiva; basada en: 1) las propiedades de la geometría proyectiva (gracias a la pequeña difusión de Pascal y La Hire), 2) las propiedades del espacio euclídeo.

. Así pues: dibujo artístico perspectiva geometría proyectiva.⇒ ⇒ dibujo técnico geometría descriptiva⇒

. En la geometría descriptiva de Monge o sistemadiédrico, un punto se representa mediante dosproyecciones (ortogonales) sobre dos planos: vertical y horizontal, cuya intersección es la línea de tierra.

. Como es sabido, hay 5 sistemas de representación: perspectiva caballera, perspectiva axonométrica, perspectiva diédrica planos acotados y perspectiva central o cónica.

4.5. El manierismo. Medio siglo después del triunfo de la perspectiva, hubo una virulenta reacción

al intento de matematización del arte: el manierismo.. “De tal forma que estas reglas y términos matemáticos no son ni pueden ser

buenos para trabajar con ellos. Ya que, en lugar de aumentar el espíritu y la vivacidad del arte práctico, le quitaría todo, porque el intelecto se envilecería, el juicio se apagaría, y quitaría al arte toda la gracia, todo el espíritu y el sabor … Diré que estas reglas matemáticas deben reservarse para las ciencias especulativas, como la geometría, astronomía, aritmética … Pero nosotros, profesores de Dibujo, para imitar a la Naturaleza no tenemos necesidad de otras reglas que las que ella misma dicta” (Zuccari).

. “Sólo el artista es autor de las reglas y únicamente existen verdaderas reglas en la misma medida y número que verdaderos artistas” (Giordano Bruno).

. “… el arte de la pintura no toma sus principios de las ciencias matemáticas, ni tiene necesidad de aprender leyes o procedimientos para su arte … si alguien quisiera dedicarse a considerar y conocer todas las cosas a través de la especulación teórico-matemática, y obrar con respecto a ésta, además de un aburrimiento insoportable, sería una inútil pérdida de tiempo … Porque el pensamiento no sólo ha de ser claro, sino libre, y su espíritu, abierto, y no limitado por una dependencia mecánica de tales reglas” (Zuccari).

5. LA MÚSICA

5.1. Conexiones entre matemáticas y música- Ya fueron establecidas hace mucho:

. Arquitas (discípulo de Pitágoras y amigo de Platón) afirmaba que eran hermanas..”La música es un ejercicio de aritmética secreta” (Leibniz).. “La geometría es una música inmóvil” (Goethe)..”La música es un arte terriblemente euclidiano” (Alejo Carpentier).

- Analogías en cuanto a su posible aprendizaje y dominio precoces. Ejemplo: Gauss y Mozart.

5.2. Una de tales relaciones: el sistema temperado de afinación musical. La altura del sonido producido por una cuerda vibrante (frecuencia) está en razón inversa a su longitud. Por ejemplo, al reducir la longitud a la mitad, la frecuencia (número de oscilaciones) será el doble; aunque el sonido será de las mismas características, pero más agudo: está en una octava superior.

Experimento con una guitarra

- Notas de las cuerdas al aire, de 6ª a 1ª: Mi, La, Re, Sol, Si, Mi (Mi de la 6ª y Mi de la 1ª están en diferentes octavas).

- Estudio de la 1ª cuerda:

. Entre cada dos notas consecutivas hay un tono, salvo entre Mi-Fa y Si-Do que hay un semitono.

. Al avanzar en cada traste se aumenta un semitono.

. Medimos las distancias del puente del mástil y de cada uno de los 12 primeros trastes al puente de la caja, y los cocientes de distancias entre dos trastes consecutivos.

. Los cocientes son prácticamente iguales. Podemos considerar que lo son, debido a las imprecisiones de medida, y tomar como valor común a su media aritmética:

c = 1,059463581 …

. ¿Tiene algún significado c?

Se observa que: ...059463094,1212

. Recordemos que, por ejemplo: 2, 6, 18, 54, …: progresión geométrica, razón 3…

3,555,58

5,580,62

0,628,65

nnt12 2

12 21

razón

. Si a Do se le asigna frecuencia 1(en realidad es 261,63 Hz), se tiene la tabla. . Sistema de afinación temperado. Valores de las notas: ; 0 ≤ n ≤ 11 . Otros sistemas de afinación. . Béla Bartók (1881-1945), Iannis Xenakis (1922-2001).

12 2

. Análogamente: 65,8; 62,0; 58,5; 55,3; … es una progresión

geométrica pues:

Luego las frecuencias forman también una progresión geomé- trica de razón

nnt12 2

6. EPÍLOGO- En la ponencia he tratado de probar que las matemáticas tienen

importantes conexiones con el arte, pero no todos piensan así: . J. Poncela: “La comedia perfecta ha de carecer de tesis en absoluto, y en arte no se debe intentar demostrar nada. Eso queda para el álgebra o para otra materia igualmente siniestra”.. T. Cassini (s. XVII) arremete contra “el arte diabólico de las matemáticas … y contra los matemáticos, instigadores de herejías, que deberían haber sido expulsados de cualquier estado cristiano”.

- Con la esperanza de que no se me expulse, doy por terminada esta charla; que a lo mejor ha sido construida sin el orden y seriedad adecuados. El marqués de Santillana acaso dijera que les he querido presentar un discurso “syn ningund orden, regla nin cuento”, de esos “de que las gentes de baxa e servil condiçion se alegran”.Lejos de mí tamaña desconsideración, pues sólo he pretendido que fuera algo distendida, y no mirar a la ciencia príncipe con todo su rigor y formalismo; aunque no sé si lo habré conseguido.En cualquier caso, muchas gracias por su atención.