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Experiencias, propuestas y reflexiones para la clase de Matemática

365

2200 Las producciones matemáticas de estudiantes

universitarios al extender modelos lineales a contextos no lineales

1

Mónica Ester Villarreal

Cristina Beatriz Esteley

Humberto Raúl Alagia

��

Resumen

Con este trabajo presentamos un estudio realizado a partir de

producciones matemáticas escritas de alumnos universitarios en las que

está presente un fenómeno que denominamos extensión de modelos

lineales a contextos no lineales. Cuando hablamos de modelo lineales

nos referimos al modelo y=a.x+b, a las representaciones particulares de

proporcionalidad directa, o al esquema de la regla de tres simple. La

metodología de investigación es de tipo cualitativa. Se trata de un estu-

dio descriptivo en el que se analizaron los dos tipos de problemas que

los estudiantes resolvieron por extensión de modelos lineales, distintos

1 Este trabajo fue realizado con el apoyo de la Secretaría de Ciencia y Técnica de

la Universidad Nacional de Córdoba y la Agencia Córdoba Ciencia de la Provin-

cia de Córdoba, Argentina. La versión en portugués de este artículo fue publicado

originalmente en la Revista Brasilera BOLEMA (Boletim de Educação Matemá-

tica) editada por el Programa de Pósgraduação de Educação Matemática de la

Universidade Estadual Paulista. La referencia completa de la fuente original es:

Villarreal, M., Esteley, C. & Alagia, H. (2005) As produções matemáticas de

estudantes universitários ao estender modelos lineares a contextos não-lineares.

BOLEMA - Boletim de Educação Matemática. Año 18, n. 23, p. 23-40.

Capítulo 20 366

abordajes de los estudiantes en esas resoluciones, el texto de enseñanza

y los ambientes de aprendizajes en los que participan los alumnos. A

partir de este análisis, se constata la presencia y persistencia del fenó-

meno de extensión de modelos lineales a contextos no lineales, se reali-

zan algunas propuestas cuyas implementaciones podrían ayudar a la

superación del fenómeno.

Introducción

El trabajo que presentamos está relacionado con la comprensión

matemática de estudiantes universitarios de carreras no matemáticas,

centrándonos en la descripción y el análisis de un fenómeno que se pro-

duce entre estos estudiantes, al cual denominamos extensión de modelos

lineales a contextos no lineales o sobregeneralización de modelos linea-

les. Tal fenómeno da cuenta de la resolución de ciertas cuestiones ma-

temáticas que vinculan dos variables, empleando modelos lineales, aun-

que la situación planteada, desde la perspectiva del docente, sea obvia-

mente no lineal. De Bock, Verschaffel & Janssens (1998a) se refieren,

también, a este fenómeno indicando que para los estudiantes, el modelo

lineal tiene una aplicación universal que los lleva a tratar relaciones

numéricas como si fueran lineales. Cabe aclarar que la presencia de este

fenómeno no implica necesariamente que los estudiantes sean conscien-

tes de que están haciendo uso de modelos lineales en contextos no linea-

les. Al hablar de modelo lineal2, nos referimos en general a la represen-

tación algebraica y = a.x+b, a las representaciones particulares de pro-

porcionalidad directa, o al clásico esquema de regla de tres simple traba-

jado en Argentina desde la escuela primaria: si a 1x le corresponde 1y ,

entonces a 2x le corresponde 1122 /)( xyxy ⋅= .

En el ámbito de la investigación en Educación Matemática este

fenómeno ha sido estudiado con alumnos de la escuela elemental, cen-

trándose en la representación particular de proporcionalidad directa y es

conocido como "linear misconception", ilusión de proporcionalidad o

de linealidad e inclusive trampa de la proporcionalidad (Behr, Hare,

2 Usamos la expresión “modelo lineal” para referirnos tanto a la función de

proporcionalidad directa y = a.x como a la función afín y = a.x+b , pues esta es

la denominación que comúnmente se utiliza en la escuela secundaria o primer

año de la universidad en Argentina.


367

Post & Lesh, 1992). La propensión a sobregeneralizar el empleo de mo-

delos lineales más allá de su rango de aplicación está presente también

en el nivel medio. Los estudios de De Bock, Von Doorem, Verschaffel

& Janssens (2001) y De Bock, Verschaffel & Janssens (1998a, 1998b),

realizados con estudiantes secundarios (12 a 16 años), revelan una ten-

dencia fuerte y resistente al cambio, al aplicar modelos lineales para

resolver situaciones problemáticas que involucran longitud y área de

figuras planas semejantes. Estos autores realizaron un estudio basado en

la resolución de pruebas escritas que son analizadas a través de técnicas

estadísticas y también cualitativamente. En estas investigaciones han

prevalecido las explicaciones de la ocurrencia del fenómeno desde el

error como ignorancia del estudiante. Existen inclusive, trabajos en los

cuales sin que la "ilusión de la linealidad" sea el foco del estudio se

señala su presencia. Por ejemplo un artículo de Karrer & Magina (2000)

que presenta una secuencia de enseñanza para la introducción de loga-

ritmos señala que "houve uma tendência à utilização do pensamento

linear" (p. 18) y muestra varios episodios donde puede apreciarse esa

tendencia.

Este fenómeno también ha sido observado informalmente por

otros colegas en el ámbito de la enseñanza media o universitaria de di-

versos orígenes. En general, lo describen como persistente y la explica-

ción de su ocurrencia ha sido buscada desde el error como ignorancia

del que aprende.

Sin embargo, dadas la persistencia y presencia de la sobregene-

ralización de modelos lineales en diversos tipos de problema y contextos

en la enseñanza universitaria, consideramos necesario buscar explica-

ciones desde otras perspectivas. Analizar esta problemática consideran-

do el error como deficiencia, no aporta elementos que la expliquen o

permitan superarla. En este sentido, rescatamos la noción de error de

Brousseau (citado por Balacheff, 1984) que expresa:

Un error es no sólo consecuencia de ignorancia o de incertidumbre o

de un accidente. Un error podría ser la consecuencia de un conoci-

miento previo que tiene su propio interés, su propio éxito, pero que

aparece como falso bajo nuevas circunstancias, o más simplemente no

adaptado. Así en el análisis didáctico los errores no son entendidos

Capítulo 20 368

como meras fallas de los alumnos, sino más bien como síntomas de la

naturaleza de las concepciones que subyacen en sus actividades mate-

máticas. (p. 36)

Al considerar las concepciones que subyacen las actividades

matemáticas de los estudiantes, podemos destacar los trabajos de Con-

frey (1991a, 1994) y Confrey & Smith (1994), quienes a partir del análi-

sis de sus “experimentos de enseñanza” plantean, además, cuestiones

sobre el status epistemológico de ciertas construcciones matemáticas de

estudiantes. En este sentido, Confrey (1991a) argumenta que compren-

der las acciones de los estudiantes implica introducirse en su problemá-

tica y no presuponer que ella coincida con la del docente/investigador.

Las respuestas de los estudiantes que se desvían de la expectativa del

docente/investigador, pueden ser legítimas como perspectivas alternati-

vas o válidas y efectivas en otros contextos. Alentar al estudiante a mos-

trar sus puntos de vista implica una oportunidad para que el docen-

te/investigador vislumbre las perspectivas de los estudiantes y pueda

cuestionar las propias, examinándolas a la luz de las ideas de los estu-

diantes: "Mientras aprendemos a ser más y más conscientes de esta

relación dual, podemos llegar a ver como, frecuentemente, lo que es

rotulado como inadecuación del estudiante es realmente el resultado de

nuestra propia inflexibilidad para considerar perspectivas alternativas"

(Confrey, 1994).

Si bien Confrey no hace referencia explícita a la extensión de

modelos lineales a contextos no lineales, podemos encontrar pasajes de

sus experimentos de enseñanza donde ocurre este fenómeno al trabajar

con un estudiante universitario (Confrey, 1991b).

El tratamiento del fenómeno de extensión de la aplicabilidad de

modelos lineales a contextos no lineales en estudiantes universitarios no

es frecuente en la literatura. En este sentido, coincidimos con De Bock,

Verschaffel & Janssens (1998a) cuando indican que "el predominio de

la linealidad en el razonamiento de los estudiantes ha sido frecuente-

mente descripto e ilustrado con respecto a diferentes dominios de la

matemática en esta literatura, pero ha sido elicitada poca o ninguna

investigación empírica sistemática" (p. 65). Es por ello que los objetivos

generales de este trabajo son:


369

• Estudiar y documentar el fenómeno de la extensión de la apli-

cabilidad de modelos lineales a contextos no lineales a partir

de producciones escritas de alumnos universitarios.

• Interpretar el origen y persistencia del fenómeno en el contex-

to de enseñanza donde los datos fueron recogidos.

Realizar algunas sugerencias que podrían contribuir a superar la

problemática de la persistencia.

Metodología

La metodología de investigación propuesta, es de tipo cualitati-

va ya que procuramos la comprensión profunda de un fenómeno y no su

medición. El diseño metodológico fue emergente (Lincoln & Guba,

1985) ya que la decisión en la realización de algunas actividades fue

tomada en base a resultados de actividades anteriores o con el fin de

estudiar conjeturas que surgieron en el transcurso del trabajo. Se trata de

un estudio descriptivo basado en el análisis del texto de enseñanza con

los ambientes de aprendizaje que este genera, los problemas matemáti-

cos planteados y las producciones escritas de estudiantes.

Al analizar el texto de enseñanza nos referimos a las caracterís-

ticas de las clases teóricas o prácticas impartidas por los docentes y la

bibliografía empleada o sugerida en los cursos de Matemática que cursa-

ron los estudiantes de Agronomía.

Los problemas analizados corresponden a:

• Evaluaciones parciales o globales realizadas por 300 estudian-

tes de Matemática de la Facultad de Ciencias Agropecuarias

(FCA) de la Universidad Nacional de Córdoba (UNC - Argen-

tina) y 53 estudiantes de Matemática I para Agronomía en la

Universidad de la Frontera (UFRO - Temuco – Chile) durante

el año 2001.

• Ejercicios específicamente diseñados para este estudio y que

fueron resueltos por grupos de estudiantes que eran alumnos

de la investigadora que es docente en la FCA durante los años

2001 y 2002.

Capítulo 20 370

Las producciones escritas son las resoluciones que los estudian-

tes dan a los problemas antes mencionados, y que muestran el fenómeno

que nos ocupa.

Los procedimientos utilizados para alcanzar los objetivos pro-

puestos son: la realización de un listado con ejemplos de producciones

escritas de los estudiantes que muestran la extensión de la aplicación de

modelos lineales en contextos no lineales, el análisis de los distintos

tipos de problemas presentados y soluciones encontradas, la descripción

del contexto de enseñanza relacionado con las funciones, en particular

con las funciones que describen modelos lineales, cuadráticos, exponen-

ciales y logarítmicos. También, desarrollamos algunos procedimientos

no previstos con anticipación en función de las conjeturas emergentes

durante el estudio.

El proceso de análisis seguido es de tipo inductivo/constructivo

(Lincoln & Guba, 1985) ya que no partimos de hipótesis previamente

establecidas, sino que, a partir de los datos recogidos se generan catego-

rías y conjeturas cuya validez es puesta a prueba en el transcurso del

trabajo.

El análisis de las producciones escritas de los estudiantes no se

realiza en términos de una valorización del tipo correcto/errado. Aunque

puedan indicarse concepciones que no son aceptadas como correctas por

los matemáticos, el énfasis está puesto en el proceso seguido por los

estudiantes sin pretender hacer comparaciones, sino intentando "escu-

char sus voces" (Confrey, 1991a, 1994). Así, nuestras perspectivas son

cuestionadas, creando la necesidad de modificarlas para conseguir, a

partir de una nueva perspectiva, una mejor comprensión, una nueva

interpretación de las concepciones de los estudiantes, manifestadas en

forma escrita.

Resultados y Análisis

Los resultados que aquí reportamos dan cuenta de lo que obser-

vamos acerca del texto de enseñanza y los ambientes de aprendizaje que

este genera en las clases de Matemática, los problemas planteados a los

estudiantes y sus producciones escritas al resolverlos.


371

Texto de enseñanza y ambientes de aprendizaje

Las clases de Matemática impartidas a los estudiantes cuyas

producciones son analizadas en este estudio siguen el modelo clásico

caracterizado por la secuencia: exposición - ejemplos - ejercicios (Ala-

gia, 1994). En la Facultad de Ciencias Agropecuarias de la Universidad

Nacional de Córdoba, el curso está dividido en clases teóricas y prácti-

cas. De acuerdo al análisis realizado por Alagia (1999) acerca de la es-

tructura de cursos universitarios de Matemática al referirse a la separa-

ción entre teoría y práctica indica:

El contrato es diferente en cada caso, en la teoría se utiliza el discurso

de la presentación de nociones y resultados matemáticos, mientras que

en la práctica se establece, aunque sea parcialmente, un contrato de

aprendizaje empirista. Al resolver problemas formalmente ligados al

discurso de la teoría se supone que hay un proceso de adquisición di-

recta de estrategias y destrezas matemáticas. Es comprobable empíri-

camente que los estudiantes perciben la diferencia, usualmente al no

vincular ambos aspectos como integrantes del mismo dominio de co-

nocimiento. (p.40)

Las clases teóricas se dictan semanalmente para una audiencia

aproximada de 400 alumnos que son divididos en dos grupos. En estas

clases, inicialmente el profesor presenta los conceptos centrales y algu-

nas técnicas y ejemplos de aplicación de las mismas. La secuencia de

contenidos sigue el orden que se describe a continuación: funciones

(definición, correspondencia, dominio, imagen, formas de representa-

ción, cortes con los ejes de coordenadas, crecimiento, composición,

inversa, transformaciones), estudio de funciones particulares: función

lineal, función cuadrática, función exponencial, función logarítmica,

funciones trigonométricas. En general se introduce el estudio de cada

una de ellas a través de un ejemplo de aplicación. En particular, el

ejemplo escogido para función lineal responde al modelo y= a.x. Poste-

riormente se extiende el modelo a su forma general y= a.x+b. Se hace

explícito que la forma y= a.x representa una proporcionalidad directa

con razón de proporcionalidad a. Sin embargo no se establecen relacio-

nes con el esquema de regla de tres simple aprendido en la escuela pri-

Capítulo 20 372

maria. Posteriormente se analiza el significado de los parámetros a y b

de la función.

Al estudiar funciones cuadráticas (y= a.x2+b.x+c) nuevamente

se parte de una situación problemática cuya solución requiere del uso de

este tipo de funciones y luego se construye su gráfico realizando un

análisis del efecto de cada parámetro para finalmente llegar a las fórmu-

las que permiten calcular, a partir de dichos parámetros, las coordenadas

del vértice y el valor de las raíces.

El tratamiento de las funciones exponenciales se inicia con la

construcción de una función exponencial particular que modeliza una

dada situación. Se define la expresión que corresponde a este tipo de

funciones realizando restricciones sobre su base. Para ello se recuerda

cómo se calculan las potencias ax, comenzando con exponentes natura-

les, para luego extenderse a exponentes enteros no positivos y raciona-

les, explicando esta extensión a partir de la conservación de las propie-

dades de las potencias. A partir de este análisis se deduce que la base de

las funciones exponenciales y= ax debe ser positiva y distinta de uno, se

indican dominio e imagen de estas funciones y se construyen gráficos

con bases mayores o menores que uno. Este tratamiento tradicional de

expresiones y funciones exponenciales ha sido también relatado por

Confrey (1991b, p. 125-126) al describir la presentación de ese conteni-

do en textos de Precálculo de uso frecuente en universidades, coinciden-

te con la descripción antes presentada.

La función logarítmica se introduce como operación y función

inversa de la exponencial que permitirá "despejar" incógnitas que están

en el exponente de alguna expresión. Al generar los gráficos de las fun-

ciones logarítmicas se emplea el recurso gráfico que permite generar

funciones inversas. Finalmente se proporcionan las propiedades del

logaritmo, asociadas a las propiedades de las potencias.

En todos estos casos al realizar los gráficos de algunas funcio-

nes (por ejemplo y= x2, y=2

x o y= (1/2)

x) se emplea como recurso auxi-

liar una tabla con algunos valores particulares, aunque en ningún caso se

realiza un estudio de diferencias, más allá de lo gráfico.

Cabe notar que el texto de enseñanza sigue en general la estruc-

tura clásica de un curso de Precálculo, si bien es importante señalar que


373

para introducir los contenidos, se presentan, como medio para motivar,

problemas de aplicación a las Ciencias Agropecuarias. No obstante ello,

luego se retorna a un tratamiento clásico con predominio del manejo

algebraico.

Además de las clases teóricas masivas, se desarrollan también

las llamadas clases prácticas, organizadas en torno al trabajo de los es-

tudiantes quienes resuelven, en grupo o individualmente, ejercicios y

problemas que han sido preparados para cada una de las unidades que

constituyen el programa y que forman parte de la "Guía de Ejercicios y

Problemas". El total de estudiantes es separado en diez grupos de

aproximadamente cincuenta alumnos. Cada uno de estos grupos está a

cargo de un profesor y ninguno de ellos es quien dicta las clases teóri-

cas. Cada docente a cargo de las clases prácticas, responde las preguntas

de los estudiantes procurando que se establezcan relaciones entre la

teoría y la práctica. Para cada uno de los temas se proponen ejercicios de

cálculo, problemas de aplicación y ejercicios que demandan justificar la

verdad o falsedad de ciertas afirmaciones matemáticas. Los ejercicios de

cálculo tienen como objetivo afianzar el manejo de ciertas técnicas y

fórmulas y adquirir habilidad en el uso de la calculadora. Los problemas

de aplicación procuran mostrar el uso de la Matemática en la resolución

de situaciones del ámbito agronómico. Los ejercicios que demandan

justificaciones pretenden afianzar el uso de los conceptos matemáticos y

desarrollar la capacidad de elaborar justificaciones que validen o refuten

una proposición.

Por otro lado, las clases de Matemática I en la UFRO estaban dis-

tribuidas en tres clases semanales para un único grupo de cincuenta y tres

estudiantes. Dichas clases estaban a cargo de un único docente y se traba-

jaban simultáneamente aspectos teóricos y prácticos de los contenidos

seleccionados. La secuencia de contenidos y tipos de ejercicios y proble-

mas es equivalente al descripto anteriormente para las clases en la UNC.

Esta forma de trabajo, estructurada en clases teóricas y prácticas

responde a una educación matemática tradicional que puede encuadrarse

en lo que Skovsmose (2000) denomina el paradigma del ejercicio, don-

de la preocupación central está puesta sobre los contenidos a ser ense-

ñados y aprendidos para resolver los ejercicios formulados. La premisa

Capítulo 20 374

central del paradigma del ejercicio es la existencia de una única respues-

ta para cada ejercicio. De acuerdo a la clasificación realizada por este

autor, podríamos decir que los ambientes de aprendizaje generados tanto

en las clases teóricas como prácticas están dominados por la presencia

de ejercicios y problemas presentados en contextos de Matemática pura

o de semi-realidades definidas por el propio problema. Los problemas

que analizaremos en la próxima sección son un ejemplo de ello.

Los problemas

En relación con los problemas que resolvieron los estudiantes,

observamos la presencia de dos tipos:

Ejemplos de este tipo de problema son:

Problema 1: Después del primer mes de vida, el crecimiento de

una cierta especie de árbol responde a la ecuación:

7)(log.12)( 3 += tth [h en cm y t en meses]

a) ¿Cuánto medirá el árbol a los 4 meses?

b) ¿Cuánto tiempo deberá transcurrir para que el árbol alcance la

altura de 1 m?

Problema 2: En un experimento biológico se determinó que la

población de una cierta especie de microorganismos está dada por la

fórmula:

8000.360.2)( 2++−= xxxN

donde )(xN es el número de microorganismos después de x días.

a) ¿Cuántos microorganismos habrá después de 10 días?

b) ¿En qué tiempo la población alcanza su máximo?

c) ¿Cuál es el máximo número de microorganismos que alcanza

la población?

(I) Problemas en los que se brinda en forma explícita un modelo no

lineal a través de una expresión algebraica (funciones cuadráticas,

exponenciales o logarítmicas).


375

d) ¿En cuántos días la población desaparece?

e) ¿Después de cuántos días el número de microorganismos en la

población llega a 21000?

f) De acuerdo al contexto del problema, ¿para qué valores de x

tiene sentido considerar esta función?

g) Realice el gráfico de la función, teniendo en cuenta los datos

obtenidos en los ítems anteriores.

Ejemplos de este tipo de problemas son:

Problema 3: Indique si la siguiente afirmación es verdadera o

falsa y justifique su respuesta. Un insecto que pesa al nacer 30 gr. au-

menta su peso mensualmente un 20 %. Entonces el peso, al cabo de dos

meses es de 43,2 gr.

Problema 4: Si una planta mide al comenzar un experimento, 30

cm y aumenta el 50 % de su altura mensualmente, ¿cuánto medirá al

cabo de 3 meses?

El porcentaje de estudiantes que realizan extensiones de mode-

los lineales en problemas de tipo (I) es de aproximadamente un 10%.

Cabe señalar que en enunciados de problemas como el 1, el orden de los

incisos podría estar influenciando la estrategia de resolución ya que con

datos obtenidos previamente con facilidad (el cálculo de h(4) en el ítem

a) se consigue una estructura de "tres datos conocidos y un cuarto por

encontrar", lo cual podría estar induciendo al planteo del esquema de la

regla de tres simple mostrado en la Introducción. Esta conjetura se estu-

dió, presentando en exámenes del 2002 problemas similares al 1 en los

que se invirtió el orden de los incisos. En esta oportunidad sólo en el 2,3

% del total de alumnos examinados (427) se pudo determinar la presen-

cia del fenómeno de extensión, resultado inferior al del 2001.

(II) Problemas que representan una situación no lineal en los cuales no

se presenta de forma explícita una expresión algebraica que la describa.

Capítulo 20 376

El porcentaje de estudiantes que realizan extensiones de mode-

los lineales en problemas de tipo (II) es de aproximadamente un 50%,

en todos los grupos analizados. Con respecto a este tipo de problemas se

puede conjeturar que la existencia de diferentes interpretaciones podría

estar asociada con la claridad en la redacción de los enunciados. Por

ejemplo, en el Problema 4 puede no estar claro si el incremento del 50%

en la altura de la planta debe calcularse, en cada mes, sobre la altura que

la planta tiene al iniciar ese mes o si el porcentaje de crecimiento del

50% debe calcularse siempre sobre la altura inicial de la planta.En el

primer caso el modelo subyacente es exponencial y es el esperado por

el docente. Una posible solución sería:

1er. mes: cm4530

100

5030 =+

2do

mes: cm5,6745100

5045 =+

3er mes : cm25,1015,67

100

505,67 =+

En el segundo caso, el modelo subyacente es lineal y la planta

crecería constantemente 15 cm por mes y así, al cabo de tres meses su

altura sería de 30 cm + 15 cm/mes. 3 meses = 75 cm.

Para indagar si las diferentes interpretaciones del enunciado del

problema están asociadas con una posible falta de claridad en su enun-

ciado, en el año 2002 realizamos una reformulación del mismo, que

entendemos podría mostrar más claramente la presencia de un modelo

exponencial, según lo pretendido originalmente por el docente. Traba-

jamos con 85 estudiantes de los cuales un grupo de 42 de ellos resolvió

el Problema 4 con el enunciado original y otro grupo, formado por 43

estudiantes, trabajó con el enunciado modificado: Si una planta mide al

comenzar un experimento 30 cm y cada mes su altura aumenta un 50 %

de la altura del mes anterior, ¿cuánto medirá al cabo de 3 meses? En

esta oportunidad encontramos que en el primer grupo el 61,9 % resolvió

el problema manifestando el uso de un modelo lineal mientras que este

porcentaje bajó al 46,5 % en el segundo grupo.


377

Si ahora analizamos en detalle los contextos de los problemas

podemos señalar, como se indicó en la sección anterior, que se refieren a

semi-realidades. Por ejemplo, un insecto no puede pesar al nacer 30 gr

(ver Problema 3), tampoco puede aumentar su peso exponencialmente.

Si bien ese modelo puede ser válido en un corto período de su vida esto

no está informado en el enunciado del problema. Observemos, también,

que el modelo para el crecimiento en altura de un árbol, propuesto en el

Problema 1, tampoco resulta realista ya que, según el mismo, el árbol

demoraría 415 años aproximadamente para llegar a medir 1 m, que sería

la respuesta esperada para el ítem b), lo que se constituye en una res-

puesta absurda en términos biológicos.

Según Skovsmose (2000) resolver ejercicios con referencia a

una semi-realidad está basado en los siguientes principios:

Una semi-realidad está totalmente descripta por el texto del ejercicio;

ninguna otra inforormación es relevante para la resolución del ejerci-

cio... el único propósito de presentar el ejercicio es resolverlo. (p. 76)

Los aspectos señalados por este autor se reconocen en los pro-

blemas antes mostrados ya que el propósito de los mismos no es estudiar

modelos de crecimiento de un insecto o un árbol sino resolver un ejerci-

cio. De esta forma el alumno no puede efectivamente contrastar sus

respuestas con la realidad biológica ya que las respuestas a estos pro-

blemas solamente tienen sentido en el contexto de la clase de Matemáti-

ca para la semi-realidad planteada en el problema.

Las producciones de los estudiantes

Presentamos a continuación algunos ejemplos de resoluciones

en los diferentes problemas que dan cuenta de la presencia del fenóme-

no de extensión.

Capítulo 20 378

La resolución que se presenta a continuación corresponde a un

examen en el que la función considerada para el crecimiento del árbol

En el ítem a) del Problema 1, un alumno

calcula, erróneamente, h(4), que era el

valor pedido en este caso, efectuan-

do ( ) 43 ⋅log en lugar de 43log . Poste-

riormente divide el resultado (29,9 cm)

por 4 para obtener el crecimiento men-

sual de la planta (7,47 cm).

Para resolver el ítem b),

inicialmente plantea la

ecuación

7)(log.121 3 += tm .

Notar que debería haber

igualado a 100, ya que la

altura está dada en cm.

Realiza una manipulación

algebraica con error

( 8)(log.120 3 += t ), pero

luego abandona este abor-

daje y se inclina por el

planteo de proporciones

utilizando el valor de cre-

cimiento mensual (7,47

cm.) que obtuviera en el

ítem a), y concluyendo que

"a los 13,3 meses [el árbol]

alcanza una altura de 1

metro".


379

en el Problema 1 fue 70log.8)( 2 += tth y en el ítem a) se pedía la altu-

ra del árbol a los 6 meses. Veamos la producción escrita de una alumna.

Entre las resoluciones del Problema 2, podemos destacar las si-

guientes:

-Un estudiante, resuelve correctamente el ítem b) obteniendo

como respuesta 90 días. Al resolver el ítem c), en el cual debe calcular

N(90), comete un error de cálculo y obtiene como respuesta 40220, en

lugar de 24200 microorganismos, que es la respuesta correcta. Al resol-

ver el ítem e), que pregunta en cuántos días el número de microorga-

nismos en la población llega a 21000, encontramos la siguiente resolu-

ción:

En el ítem a) comete un

error al calcular 6log2

como 6log/2log en vez

de hacer 2log/6log

Posteriormente plantea y

resuelve correctamente la

ecuación

70log.8100 2 += x , que

permite obtener una res-

puesta correcta al ítem b),

pero finalmente decide

tacharla y hacer una regla

de tres, utilizando el valor

h(6)=73,09 cm, que obtuvo

en el ítem a).

Capítulo 20 380

-Otro alumno, obtiene 12000 como respuesta al ítem a), que so-

licita la cantidad de microorganismos después de 10 días. Para resolver

el ítem e) hace uso de esa información como vemos en su resolución:

El alumno plantea inicial-

mente la ecuación

8000360221000 2++−= xx ,

pero al intentar resolverla y

no lo conseguirlo decide

utilizar las respuestas obteni-

das en ítems anteriores

( 40220)90( =N organismos)

para plantear la regla de tres

simple que se observa al final

de la resolución escrita del

alumno.

Primero indica que si en 10

días hay 12000 microorga-

nismos, entonces habrá

1200 por día. Posterior-

mente calcula la diferencia

entre 21000 y 12000, obte-

niendo 9000 microorga-

nismos. Al dividir 9000 por

1200, obtiene la cantidad

de días en que aparecerán

9000 microorganismos y

sabiendo que en 10 días

hay 12000, concluye que

en 17,5 días habrá 21000


381

Con relación al Problema 3 la respuesta esperada por los docen-

tes es que la afirmación es verdadera suponiendo que el porcentaje de

aumento del peso del insecto en cada mes se calcula sobre el peso del

mes anterior.

Destacamos que este tipo de problema no demanda la creación

de una función para su resolución. Sin embargo, algunos estudiantes

generan una función (lineal). Esto podría estar relacionado con la nece-

sidad de producir una explicación o justificación para la resolución del

ejercicio desde los contenidos del curso de Matemática que están reali-

zando. El modelo lineal que generan los estudiantes es baxy += ,

donde y estaría representando el peso del insecto y x el tiempo en meses

o días. Así, el valor de la pendiente sería 6 gr./mes o 0,2 gr./día, respec-

tivamente. El valor de b es 30 gr. en los dos casos. A continuación mos-

tramos un ejemplo de resolución con este abordaje.

Una vez obtenido este modelo lineal el alumno no concluye na-

da acerca de la validez de la afirmación presentada en el enunciado del

problema.

Por otro lado, hay alumnos que no buscan un modelo general si-

no que simplemente trabajan con una regla de tres simple suponiendo

que el aumento de peso es constantemente de 6 gr. (20% de 30 gr.) en

cada mes y así la afirmación del enunciado sería falsa. Presentamos aquí

una de las resoluciones encontradas:

Primeramente el estudiante

calcula, utilizando una fórmula

conocida, la pendiente de la

recta que pasa por los puntos (0,

30) y (30, 36), donde x estaría

representando número de días e

y peso del insecto en gr. Obtiene

así 0,2. Determina el valor de b

como 30 y escribe la ecuación

302,0 += xy .

Capítulo 20 382

Finalmente, otros estudiantes optaron por concatenar dos reglas

de tres o plantear sucesivas proporciones, de tal modo que el peso au-

mentado era recalculado en base al último peso obtenido. Mostramos

algunas de las resoluciones encontradas:

Cabe destacar que si bien las dos resoluciones permiten arribar a la

misma solución, la segunda brinda elementos para llegar, de modo recursi-

vo, al modelo esperado, en caso que se solicitara una generalización.

Notamos que el recurso del esquema de la "regla de tres simple"

es aplicado para resolver tanto problemas de tipo (I) como (II). Además

en el grupo chileno aparece con más frecuencia el planteo de proporcio-

nes del tipo 1

1

2

2

y

x

y

x= , mientras que en el grupo argentino es muy fuerte

la presencia del esquema de la "regla de tres simple" adquirido en la

escuela primaria.

El alumno calcula el 20% de

30 gr. y obtiene 6 gr. como

respuesta. Indica que para 2

meses corresponden 12 gr. y

concluye que la afirmación es

“falsa ya que en dos meses

sólo aumenta 12 gr. más del

peso inicial. (42 gr.)”


383

Respecto a las producciones de los alumnos, los resultados que

presentamos no son definitivos, sino que se constituyen en conjeturas

que requieren de estudios más profundos. Algunas conclusiones preli-

minares se presentan a continuación. Las producciones analizadas son

casos de sobregeneralización del modelo lineal, pero es necesario notar

que existen diferencias en la elección de la representación simbólica del

modelo, esto es, funcional, de relación de proporcionalidad directa o el

esquema de regla de tres. Esta diferencia que se manifiesta en la nota-

ción podría estar informando acerca de diferencias conceptuales. En tal

sentido cabe señalar que aquellos estudiantes que utilizan el esquema de

la regla de tres simple podrían no ser conscientes de la relación de pro-

porcionalidad directa que ésta involucra y, en consecuencia, de la fun-

ción lineal subyacente, y= a.x. Del mismo modo, el planteo de propor-

ciones no asegura que los estudiantes sean conscientes de la existencia

de una proporcionalidad directa, ni de la función lineal antes menciona-

da. En relación a estas cuestiones se hace necesario un estudio más pro-

fundo del proceso seguido por los estudiantes a través de entrevistas

personales.

Conclusiones

Presentamos a continuación una discusión de algunos de los re-

sultados e intentamos establecer conexiones y contrastes con la literatu-

ra estudiada para finalmente dejar planteadas algunas conjeturas que

consideramos merecen ser estudiadas. Conjeturas éstas que tienen que

ver tanto con la enseñanza como con el aprendizaje.

Al analizar el texto de enseñanza y los ambientes de aprendizaje

donde están inmersos los estudiantes participantes de nuestro estudio

notamos la ausencia parcial o total de ciertos objetos matemáticos o el

establecimiento de relaciones entre algunos conceptos, cuya presencia

explícita, como objetos de enseñanza, podría resultar beneficiosa para

superar la sobregeneralización del uso de modelos lineales.

Primeramente nos referiremos al empleo de tablas como medio

con potencialidad para el análisis de funciones. Notamos que si bien las

tablas están presentes como un recurso para enseñar no lo están como un

objeto de enseñanza en sí mismo, siendo a lo sumo mencionadas como

una forma de representación de pares ordenados de una relación. Con

Capítulo 20 384

esto queremos decir que las tablas son utilizadas como un conjunto de

pares ordenados que una vez representados en el sistema de coordenadas

cartesianas contribuirán a la obtención del gráfico de la función que se

pretende trazar. Una vez introducidas las herramientas del Cálculo Dife-

rencial que nos permiten determinar los puntos extremos de una fun-

ción, el cálculo de límites o el estudio de continuidad, no sólo que no se

vuelve a ellas sino que además se desvaloriza su empleo frente a las

nuevas herramientas, sin discutir las posibilidades que una tabla brinda

como instrumento que contribuye a la comprensión de los patrones de

comportamiento de ciertas funciones. En este sentido, cabe señalar que,

por ejemplo, los estudios de Confrey (1991a, 1991b) y Confrey & Smith

(1995) contienen propuestas que apuntan a un tratamiento nuevo de las

funciones exponenciales, dándole un status diferente al empleo de las

tablas.

Un segundo aspecto que consideramos importante sería generar

en las clases teóricas o prácticas una discusión acerca de aquellos fenó-

menos que pueden ser mejor descriptos con modelos lineales y diferen-

ciarlos de aquellos que no pueden serlo, analizando semejanzas y dife-

rencias, más allá de las evidentes disparidades gráficas o algebraicas

entre funciones.

Por otro lado, señalamos la necesidad de mostrar las relaciones

entre la estructura de la regla de tres que los alumnos aprendieron en la

escuela primaria (y que continúan usando intensivamente) con las ex-

presiones algebraicas y los gráficos que representan proporcionalidad

directa vistas en el curso de Matemática, explorando que alcances y

limitaciones tiene esta estructura.

Por último cabe destacar la necesidad de controlar cuidadosa-

mente la selección y el enunciado de problemas e intentar mirar esos

problemas desde la perspectiva del estudiante que los resolverá, sin pre-

suponer que sus estrategias y abordajes coincidirán necesariamente con

las del docente que los plantea.

Creemos que el presente trabajo contiene evidencia empírica

que marca la presencia y persistencia del fenómeno de extensiones de

modelos lineales a contextos no lineales al resolver diversos problemas

y en países diferentes pero con textos de enseñanza similares. A partir

de lo anteriormente señalado con respecto a la enseñanza, conjeturamos


385

que: a) el empleo de tablas como instrumento para analizar diversidad

de patrones de comportamiento, b) reflexionar sobre la existencia de

mundos lineales y no lineales y analizar semejanzas y diferencias, c) establecer y analizar relaciones entre la regla de tres aprendida en la

escuela primaria y las diversas representaciones de las relaciones de

proporcionalidad directa, serían acciones que contribuirían a la supera-

ción del fenómeno de sobregeneralización de modelos lineales. Consi-

deramos que estas conjeturas merecen ser estudiadas en el futuro tanto

desde la perspectiva del aprendizaje como de la enseñanza, debido a la

escasa producción de investigación relacionada con este fenómeno de

sobregeneralización de modelos lineales en el nivel universitario. Sin

embargo, desarrollar las acciones indicadas arriba, dentro de una estruc-

tura curricular que se enmarca en el paradigma del ejercicio, puede pa-

sar a ser de carácter informativo o anecdótico, sin producir modificacio-

nes relevantes. Las clases teóricas y prácticas de las cuales participaron

los estudiantes involucrados en este estudio generan, como ya lo indicá-

ramos anteriormente, ambientes de aprendizaje compatibles con el para-

digma del ejercicio en los cuales los estudiantes resuelven ejercicios o

problemas con referencias a la Matemática pura o a semi-realidades.

Skovsmose (2000) contrapone el paradigma del ejercicio a abordajes

investigativos que promueven procesos de exploración que este autor

asocia con el trabajo con proyectos. Para promover este tipo de activi-

dad es necesaria la creación de “escenarios para investigación”, esto es,

ambientes que den soporte al trabajo investigativo. Tales escenarios se

constituyen en ambientes de aprendizaje cuando invitan a los estudian-

tes a formular preguntas y buscar explicaciones y ellos asumen la res-

ponsabilidad en los procesos de exploración y explicación. Considera-

mos que sería deseable, tal como lo indica Skovsmose (2000), movernos

entre diferentes ambientes de aprendizajes tanto dentro de un contexto

de ejercicios como de escenarios para investigación transitando desde

referencias a la Matemática pura hacia referencias a la realidad. Sin

embargo, el pasaje hacia ambientes de aprendizaje investigativos impli-

ca cambios estructurales en lo curricular u organizativo que resultan

difíciles en la tradición de nuestra educación matemática universitaria y

donde no parece haber lugar, tiempo, ni cantidad suficiente de docentes

para el desarrollo de actividades investigativas. ¿Qué hacer en este con-

texto? Consideramos que una posibilidad sería caminar, aún dentro del

Capítulo 20 386

paradigma del ejercicio, cuya superación parece difícil en el contexto en

el que trabajamos, hacia ambientes de aprendizaje con referencias a la

realidad en donde el peso de un insecto no sea absurdo o el crecimiento

de una planta no sea exponencial; donde haya espacio para discutir la

pertinencia de los modelos planteados contrastándolos con la realidad

que pretende modelizar y donde, como profesores, seamos flexibles para

considerar las perspectivas alternativas de los alumnos.

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Capítulo 20 388

Documents

Las producciones matemáticas de estudiantes …unvm.galeon.com/Cap20.pdf · 366 Capítulo 20 abordajes de los estudiantes en esas resoluciones, el texto de enseñanza y los ambientes