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Lattice Boltzmann Method for ow in porous media.Samuel Corre
avec Aziz Belmiloudi
IRMAR-INSA, Rennes.
4ieme école EGRIN, 25 Mai 2016.
Contexte général
Écoulements incompressibles en milieu poreux.
Eets gravitationnels négligés.
Application : rhéologie.
Système diérentiel : loi de Darcy et équation diérentielle detype convection-diusion. (existence & unicité : Feng X. 1995)
Question :
Peut-on construire une méthode de Boltzmann sur réseau généralepour de telles équations ?
1 Modèle mathématiqueDénition du problèmeSystème
2 Méthode de Boltzmann sur réseau (LBM)IntroductionDénition de la méthodeDéveloppement de Chapman-Enskog
3 LBM pour EDPs non-linéaires de type convection-diusionIntroductionChoix des fonctions f eqj , Fj et τAlgorithme
4 SimulationsDénition du problèmeRésultatsConclusion
1 Modèle mathématiqueDénition du problèmeSystème
2 Méthode de Boltzmann sur réseau (LBM)IntroductionDénition de la méthodeDéveloppement de Chapman-Enskog
3 LBM pour EDPs non-linéaires de type convection-diusionIntroductionChoix des fonctions f eqj , Fj et τAlgorithme
4 SimulationsDénition du problèmeRésultatsConclusion
1 Modèle mathématiqueDénition du problèmeSystème
2 Méthode de Boltzmann sur réseau (LBM)IntroductionDénition de la méthodeDéveloppement de Chapman-Enskog
3 LBM pour EDPs non-linéaires de type convection-diusionIntroductionChoix des fonctions f eqj , Fj et τAlgorithme
4 SimulationsDénition du problèmeRésultatsConclusion
1 Modèle mathématiqueDénition du problèmeSystème
2 Méthode de Boltzmann sur réseau (LBM)IntroductionDénition de la méthodeDéveloppement de Chapman-Enskog
3 LBM pour EDPs non-linéaires de type convection-diusionIntroductionChoix des fonctions f eqj , Fj et τAlgorithme
4 SimulationsDénition du problèmeRésultatsConclusion
Modèle mathématiqueMéthode de Boltzmann sur réseau (LBM)
LBM pour EDPs non-linéaires de type convection-diusionSimulations
Dénition du problèmeSystème
ρ : densité de uide.
U : vitesse de Darcy.
p : pression.
K : tenseur de conductivité hydraulique.
D : tenseur de dispersion.
φ : porosité.
µ : viscosité.
q+, q−,H : termes sources.
Domaine Ω ⊂ R2 : tranche du sous-sol de bord Γ.
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Modèle mathématiqueMéthode de Boltzmann sur réseau (LBM)
LBM pour EDPs non-linéaires de type convection-diusionSimulations
Dénition du problèmeSystème
Pour (x, t) ∈ Ω× (0,T ) :
div(U(x, t)) = q+(x)− q−(x),
U(x, t) = −K(x)
µ(ρ)∇p(x, t),
φ(x)∂
∂tρ(x, t)− div(D(x, t;U)∇ρ(x, t)) + div(ρ(x, t)U(x, t)) = H(ρ),
où H(ρ) = −q−(x)ρ(x, t) + q+ρ, et où les conditions initiales etaux bords sont :
ρ(x, 0) = ρ0(x), U(x, 0) = U0(x).
Pour x ∈ Γ :
U(x, t) · n = 0, D(x, t;U)∇ρ(x, t) · n = 0.
Et on respecte les conditions de compatibilité :∫Ω
p(x)dx = 0,
∫Ω
q+(x)dx =
∫Ω
q+(x)dx
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Modèle mathématiqueMéthode de Boltzmann sur réseau (LBM)
LBM pour EDPs non-linéaires de type convection-diusionSimulations
Dénition du problèmeSystème
Modélisation du tenseur D
Modèle statistique (Bear, 1961) pour modéliser les phénomènes dedispersion-diusion :
D(x,U) = (φ(x)Dm+φ(x)Dt |U(x)|)I+ φ(x)
|U(x)|(Dl−Dt)(Ui (x)Uj(x))1≤i,j≤d ,
où Dm est le coecient de dispersion moléculaire, Dl le coecientde dispersion longitudinal, et Dt le coecient de dispersiontransversal, tels que Dl ≥ Dt > 0 et Dm > 0.
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1 Modèle mathématiqueDénition du problèmeSystème
2 Méthode de Boltzmann sur réseau (LBM)IntroductionDénition de la méthodeDéveloppement de Chapman-Enskog
3 LBM pour EDPs non-linéaires de type convection-diusionIntroductionChoix des fonctions f eqj , Fj et τAlgorithme
4 SimulationsDénition du problèmeRésultatsConclusion
Modèle mathématiqueMéthode de Boltzmann sur réseau (LBM)
LBM pour EDPs non-linéaires de type convection-diusionSimulations
IntroductionDénition de la méthodeDéveloppement de Chapman-Enskog
Théorie :
Échelle mésoscopique : distributions particulaires.Deux étapes :
I Collisions particulaires. (locales en espace)I Transport. (selon chaque direction)
Lien entre la LBM et un écoulement en milieu poreux par ledéveloppement de Chapman-Enskog.
Histoire :
Equation de Boltzmann, 1872.
Automates de gaz sur réseau (LGA), 1950-1960.
Mécanique des uides, 1980-1990.
Généralisation, 2000 à maintenant.
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Modèle mathématiqueMéthode de Boltzmann sur réseau (LBM)
LBM pour EDPs non-linéaires de type convection-diusionSimulations
IntroductionDénition de la méthodeDéveloppement de Chapman-Enskog
Équation de Boltzmann
Soient (x, t) ∈ Ω× (0,T ) avec Ω ⊂ Rd , d = 2, 3 :
f (x, t; e) fonction de répartition selon la vélocité e.
Q(f ) Opérateur de collision.
F (x, t) Terme source.∂
∂tf (x, t; e) + e · ∇f (x, t; e)︸ ︷︷ ︸
Transport
= Q(f )︸ ︷︷ ︸Collision
+F (x, t).
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Modèle mathématiqueMéthode de Boltzmann sur réseau (LBM)
LBM pour EDPs non-linéaires de type convection-diusionSimulations
IntroductionDénition de la méthodeDéveloppement de Chapman-Enskog
Propriétés de la fonction de répartition
Recomposition de la densité ρ :
ρ(x, t) =
∫Ω
f (x, t; e)de.
Recomposition de la quantité de mouvement u :
ρ(x, t)u(x, t) =
∫Ω
ef (x, t; e)de.
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Modèle mathématiqueMéthode de Boltzmann sur réseau (LBM)
LBM pour EDPs non-linéaires de type convection-diusionSimulations
IntroductionDénition de la méthodeDéveloppement de Chapman-Enskog
Fonction d'équilibre
On note f eq(x, t; e) la fonction de répartition d'équilibre déniepar :
L'invariance par collision : Q(f eq(x, t; e)) = 0, ∀(x, t; e).Les moments conservés :
1∫Ω
f eq(x, t; e)de conservation de la masse.
2∫Ω
ef eq(x, t; e)de conservation de la quantité de mouvement.
3∫Ω
‖e‖22f eq(x, t; e)de conservation de l'énergie.
En particulier, pour tout t :∫Ω
f eq(x, t; e)de =
∫Ω
f (x, t; e)de.
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Modèle mathématiqueMéthode de Boltzmann sur réseau (LBM)
LBM pour EDPs non-linéaires de type convection-diusionSimulations
IntroductionDénition de la méthodeDéveloppement de Chapman-Enskog
Opérateur de collision
Conservation des moments : cet opérateur modie lesrépartitions, pas la quantité de matière.
Opérateur de collision de Bathmagar-Gross-Krook (BGK,1954) :
Q(f ) = −1τ
(f (x, t; e)− f eq(x, t; e)) ,
où τ est un taux de relaxation adimensionnel.
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Modèle mathématiqueMéthode de Boltzmann sur réseau (LBM)
LBM pour EDPs non-linéaires de type convection-diusionSimulations
IntroductionDénition de la méthodeDéveloppement de Chapman-Enskog
Discrétisation : généralités
∆x, ∆t pas de temps et d'espace, et : c = ∆x/∆t vitesse degrille.
DdQj : Modèle à j vélocités dans un domaine à d dimensions.
fj(x, t) fonction de répartition le long de la vélocité ej .
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Modèle mathématiqueMéthode de Boltzmann sur réseau (LBM)
LBM pour EDPs non-linéaires de type convection-diusionSimulations
IntroductionDénition de la méthodeDéveloppement de Chapman-Enskog
Discrétisation : modèle D2Q9
Les poids wj et les vélocités ej respectent :
8∑j=0
wj = 1 ;8∑
j=0
ej =
(00
).
On choisit ej les vélocités :
e0 =
(00
); e1,...,4 = c
((±10
),
(0±1
)); e5,...,8 =
√2c
(±1±1
).
Et wj les poids associés à chaque vélocité ej :
w0 =49
; w1,...,4 =19
; w5,...,8 =136.
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Modèle mathématiqueMéthode de Boltzmann sur réseau (LBM)
LBM pour EDPs non-linéaires de type convection-diusionSimulations
IntroductionDénition de la méthodeDéveloppement de Chapman-Enskog
De l'équation de Boltzmann à la LBM : résumé.
Équation de Boltzmann :
∂
∂tf + e · ∇f = Q(f ) + F .
1 Approximation de Q(f ) par l'opérateur BGK.2 Discrétisation en temps, espace, et selon chaque vélocité ej .3 Intégration selon la méthode des caractéristiques.
Équation de Boltzmann sur réseau :
fj(x + ej∆t, t + ∆t) = fj(x, t)− 1τ
(fj(x, t)− f eqj (x, t)
)+ ∆tFj(x, t) +
∆t2
2∂
∂tFj(x, t) +O(∆t3).
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Modèle mathématiqueMéthode de Boltzmann sur réseau (LBM)
LBM pour EDPs non-linéaires de type convection-diusionSimulations
IntroductionDénition de la méthodeDéveloppement de Chapman-Enskog
Equation de Boltzmann sur réseau : deux étapes distinctes
Phase de collision pour chaque point x :
f colj (x, t + ∆t) = fj(x, t)− 1τ
(fj(x, t)− f eqj (x, t)
)+ ∆tFj(x, t) +
∆t2
2∂
∂tFj(x, t).
Phase de transport selon chaque vélocité ej :
fj(x + ej∆t, t + ∆t) = f colj (x, t + ∆t).
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Modèle mathématiqueMéthode de Boltzmann sur réseau (LBM)
LBM pour EDPs non-linéaires de type convection-diusionSimulations
IntroductionDénition de la méthodeDéveloppement de Chapman-Enskog
But :
Équivalence entre la résolution de l'équation de Boltzmann sur réseauet la résolution de l'EDP non-linéaire à résoudre→ Déterminer f eqj , Fj et τ .
Principe de l'ansatz :
Séparation des fonctions de répartition et des opérateurs selon deséchelles de perturbation dénies par le nombre de Knudsen ε ' ∆t.
Mise en oeuvre :
Faire coïncider l'équation de Boltzmann sur réseau avec le dévelop-pement de Taylor des fonctions de répartition.
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Modèle mathématiqueMéthode de Boltzmann sur réseau (LBM)
LBM pour EDPs non-linéaires de type convection-diusionSimulations
IntroductionDénition de la méthodeDéveloppement de Chapman-Enskog
Equation de Boltzmann sur réseau et développement deTaylor
Développement de Taylor :
fj(x + ej∆t, t + ∆t) = fj(x, t) +∞∑k=1
∆tk
k!
(∂
∂t+ ej∇
)k
fj(x, t).
D'où l'égalité :
∞∑k=1
∆tk
k!
(∂
∂t+ ej∇
)k
fj(x, t) =− 1τ
(fj(x, t)− f eqj )
+ ∆tFj(x, t) +∆t2
2∂
∂tFj(x, t).
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Modèle mathématiqueMéthode de Boltzmann sur réseau (LBM)
LBM pour EDPs non-linéaires de type convection-diusionSimulations
IntroductionDénition de la méthodeDéveloppement de Chapman-Enskog
Développement
Trois étapes :Séparation selon ε des fonctions et opérateurs diérentiels :
I φ = φeq + εφ(1) + ε2φ(2) + . . .I ∂
∂x = ε ∂∂x1
+ ε2 ∂∂x2
+ . . .
Sommation selon j .
Choix des fonctions f eqj , Fj et du taux de relaxation τ pourcoïncider avec l'EDP non-linéaire à résoudre.
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Modèle mathématiqueMéthode de Boltzmann sur réseau (LBM)
LBM pour EDPs non-linéaires de type convection-diusionSimulations
IntroductionDénition de la méthodeDéveloppement de Chapman-Enskog
Développement
En pratique, on associe à chaque vélocité ej les fonctions :
P0j =
1
τ
(f
(0)j − f eqj
),
P1j =
(∂
∂t+ ej · ∇
)f eqj +
1
τf
(1)j −∆tF
(1)j ,
Pn>1j =
1
τf
(n)j −∆tF
(n)j +
∑k+l=n
D l,nj f kj
−∑k+l=n
(∆t l
2l!
(∂
∂tl+ ej · ∇l
)F
(k)j
);
où D l,nj =
∑nk=0
n!k!(n−k)!
(∂n−k
∂tn−kl
+ (ej · ∇l)k
).
On détermine enn f eqj , Fj et τ en résolvant :
N∑n=0
εn8∑
j=0
Pnj +O(εN+1) = 0. (1)
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1 Modèle mathématiqueDénition du problèmeSystème
2 Méthode de Boltzmann sur réseau (LBM)IntroductionDénition de la méthodeDéveloppement de Chapman-Enskog
3 LBM pour EDPs non-linéaires de type convection-diusionIntroductionChoix des fonctions f eqj , Fj et τAlgorithme
4 SimulationsDénition du problèmeRésultatsConclusion
Modèle mathématiqueMéthode de Boltzmann sur réseau (LBM)
LBM pour EDPs non-linéaires de type convection-diusionSimulations
IntroductionChoix des fonctions f
eqj , Fj et τ
Algorithme
But : construire une LBM pour résoudre ∀(x, t) ∈ Ω× (0,T ) :
∂
∂tρ−∇ · (αD(ρ)∇ρ)) +∇B(ρ) = F (ρ),
où α est le coecient de diusion et D et B sont des tenseurs non-linéaires et diérentiables par rapport à ρ.
Dans notre cas :
αD(ρ) = Dφ .
B(ρ) = ρUφ .
F (ρ) = H(ρ)φ .
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Modèle mathématiqueMéthode de Boltzmann sur réseau (LBM)
LBM pour EDPs non-linéaires de type convection-diusionSimulations
IntroductionChoix des fonctions f
eqj , Fj et τ
Algorithme
Choix des fonctions d'équilibre.
A l'aide du développement de Chapman-Enskog nous dénissonspour j = 0 . . . 8 :
f eqj (x, t) = wj
(ρ(x, t) +
ej ·B(ρ(x,t))3c2
+(C(ρ)−3c2ρ(x,t)I):(ejej−3c2I)
6c4
).
Avec :C (ρ) = C0(ρ) + 3c2D(ρ),
et C0(ρ) un tenseur déni par :
(C0)αβ =
∫B ′α(ρ)B ′β(ρ)dρ
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Modèle mathématiqueMéthode de Boltzmann sur réseau (LBM)
LBM pour EDPs non-linéaires de type convection-diusionSimulations
IntroductionChoix des fonctions f
eqj , Fj et τ
Algorithme
Choix des fonctions Fj et de τ
A l'aide du développement de Chapman-Enskog nous dénissonspour j = 0 . . . 8 :
Fj(x, t) = wjF (x, t)
(1 + λ
ej · B′(ρ(x, t))
3c2
).
Avec :
λ = 1− 12τ,
et
τ =α
3∆tc2+
12
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Modèle mathématiqueMéthode de Boltzmann sur réseau (LBM)
LBM pour EDPs non-linéaires de type convection-diusionSimulations
IntroductionChoix des fonctions f
eqj , Fj et τ
Algorithme
Initialisation ∀x, à t = 0 de : ρ, U, F .Boucle sur le temps t :
1 Calcul de f eqj (x, t) et Fj(x, t).2 Collision :
f colj (x, t) =τ − 1τ
fj(x, t)−1τf eqj (x, t)+∆tFj(x, t)+∆t2/2Fj(x, t).
3 Transport :
fj(x + ei∆t, t + ∆t) = f colj (x, t).
4 Calcul des répartitions aux bords et de ρ(x, t + ∆t).5 Recomposition des grandeurs macroscopiques.6 t = t + ∆t, revenir à 1 jusqu'à t = T .
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1 Modèle mathématiqueDénition du problèmeSystème
2 Méthode de Boltzmann sur réseau (LBM)IntroductionDénition de la méthodeDéveloppement de Chapman-Enskog
3 LBM pour EDPs non-linéaires de type convection-diusionIntroductionChoix des fonctions f eqj , Fj et τAlgorithme
4 SimulationsDénition du problèmeRésultatsConclusion
Modèle mathématiqueMéthode de Boltzmann sur réseau (LBM)
LBM pour EDPs non-linéaires de type convection-diusionSimulations
Dénition du problèmeRésultatsConclusion
Considérons :
Ω = [−500, 500]× [−500, 500], T = 0.2, ∆t = O(∆x2), avecune porosité et une viscosité constantes : φ(x) = 1,µ(ρ) = 0.01. L'opérateur D dépend des constantes : Dm = 1Dt = 0.5 Dl = 5.
Choix de la pression p et du tenseur de conductivitéhydraulique K :
p(x) = cos(xπ/500) cos(−yπ/500), K (x) =
5 si x < 0,
1 sinon.
On en déduit la vélocité U :
U(x) =πK (x)
5
(sin(xπ/500) cos(−yπ/500)− cos(xπ/500) sin(−yπ/500)
).
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Dénition du problèmeRésultatsConclusion
−500
0
500
−500
0
500−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
xy
U1(x)
−500
0
500
−500
0
500−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
xy
U2(x)
On choisit le terme source F (ρ) tel que la solution de notresystème soit :
ρsol(x, t) = tK (x)
((x3
3× 5002− x
)1
500+
(y3
3× 5002− y
)1
500
)
Remarque : Cette solution n'est
pas réaliste (∃x ∈ Ω tq :ρ(x) ≤ 0),
mais l'existence et l'unicité de la
solution sont préservées.−500
0500
−500
0
500
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
xy
ρ(x,0.2)
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LBM pour EDPs non-linéaires de type convection-diusionSimulations
Dénition du problèmeRésultatsConclusion
−8 −7.5 −7 −6.5 −6 −5.5 −5 −4.5−8
−7.5
−7
−6.5
−6
−5.5
−5
−4.5
Log2(∆x)
Log2(E
rr)
Errρ = 1
Niter
T∑t=0
‖ρ(t)−ρsol (t)‖2L2
Ω
‖ρsol (t)‖2L2
Ω
∆x Errρ
1/25 0.0351
1/50 0.01551/75 0.01131/100 0.00811/150 0.00571/200 0.0045
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Dénition du problèmeRésultatsConclusion
A l'aide du développement de Chapman-Enskog, nous pouvonsconstruire des méthodes de Boltzmann sur réseau adaptées à deséquations diérentielles non-linéaires de type convection-diusion,et en particulier simuler des écoulements en milieux poreux.
Trois points peuvent facilement améliorer les performances :1 Adapter le maillage eux discontinuités connues.2 Paralléliser les phases de collision et de transport.3 Adapter le traitement des bords à chaque type de problème.
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Références
[1 ] S. Corre, A. Belmiloudi. Coupled Lattice Boltzmann Modeling ofBidomain type models in Cardiac Electrophysiology. In EditedBook : Mathematical and Computational Approaches in AdvancingModern Science and Engineering, (eds. J. Bélair, I. Frigaard, H.Kunze, R., Melnik, J. Spiteri), Springer-Verlag, 13 pages, 2016.
[2 ] S. Corre, A. Belmiloudi. Mathematical modeling and latticeBoltzmann simulation method for Bidomain type models in cardiacelectrophysiology with time-varying delays. Article en préparation.
[3 ] Belmiloudi A., Stabilization, regulation and robust control of
uncertain processes and parameters in porous medium systems with
applications, In Edited Book : Focus on Porous Media Research,Mechanical Engineering Theory and Applications Series (ed. C.Zhao), Chapter 6, Nova Science Publishers, New York, 165-228,2013.
[4 ] Feng X. On existence and uniqueness results for a coupled system
modeling miscible displacement in porous media., J. Math. Anal.Appl. 194 (1995) 3, pp. 883-910.
[5 ] Shi B., Guo Z. Lattice Boltzmann model for nonlinear
convection-diusion equations, Phys. Rev. E 79, 016701, 2009.