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PROCESSI ALEATORI

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PROCESSI ALEATORI

: VARIABILE ALEATORIA ASSOCIATA ALL’ ESPERIMENTO DOVE S=SPAZIO

DEGLI EVENTI E P =PROBABILITA’.

: E’ UNA FUNZIONE NUMERICA ASSOCIATA ALLE USCITE ELEMENTARI

DELL’ ESPERIMENTO .

UN PROCESSO ALEATORIO E’ UNA FAMIGLIA DI FUNZIONI DEL TEMPO, CIASCUNA

ASSOCIATA AD UNA REALIZZAZIONE

x

x

E S P,

zi

X zi

z X t zi i ,

t0

AD UN ISTANTE FISSATO ,IL PROCESSO ALEATORIO COINCIDE CON UNA VARIABILE ALEATORIA

t0 ,

,

,

2

1

nztx

ztx

ztx

t

t

t

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ESEMPIO : VARIABILE ALEATORIA, COSTANTE E’ UN PROCESSO ALEATORIO SE .

LE COSINUSOIDI SONO TUTTE IN FASE, MA CON AMPIEZZE CHE DIPENDONO DALLEUSCITE ELEMENTARI DELL’ ESPERIMENTO.

x x tcos , 0 0

x R

t

t

t

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ESEMPIO :

SEQUENZA DI 0 E 1 EQUIPROBABILI E INDIPENDENTI (EQUIVALENTI A USCITA

CONVERTITORE A/D).

PROCESSO BINARIO SORGENTE DI BIT A T sec SENZA MEMORIA

ESPERIMENTO ESEGUITO INFINITE VOLTE

X t zi,

ziINTERA SEQUENZA DI 0 E 1.

1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1

T

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ALTERNANZA DI 0 E 1 DIPENDENTE DA UNA DISTRIBUZIONE POISSONIANA.

SE SI MANTIENE COSTANTE LA DENSITA’ DEI PUNTI E SI RIPETE L’ ESPERIMENTO

OTTENGO FUNZIONI NEL TEMPO SIMILI CHE COSTITUISCONO UN PROCESSO

ALEATORIO.

1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1

T

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STATISTICHE DEL I ORDINE

SE SI CONSIDERA UN ISTANTE DI TEMPO “GENERICO” , ALLORA SI PUO’ DEFINIRE

LA FUNZIONE DI DISTRIBUZIONE DI PROBABLITA’ ;

DA CUI SI PUO’ RICAVARE LA RELATIVA DENSITA’ (OPERAZIONE DI DERIVATA).

IN PRATICA SI CONOSCETUTTA LA STATISTICA DEL I ORDINE (FUNZIONE DI

DISTRIBUZIONE E DENSITA’)

F X x t X tx t Pr

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STATISTICHE DEL II ORDINE

SE SI CONSIDERANO DUE ISTANTI GENERICI , , ALLORA SI PUO’ DEFINIRE :

CHE E’ LA FUNZIONE DI DISTRIBUZIONE CONGIUNTA TRA 2 V.A.

IN MODO ANALOGO SI POSSONO CALCOLARE LE STATISTICHE DI ORDINESUPERIORE A N=2 IN MODO DA CARATTERIZZARE COMPLETAMENTE ILPROCESSO ALEATORIO. IN PRATICA, CI SI FERMA ALLA STATISTICA DI II ORDINE,OSSIA AL CALCOLO DEI PARAMETRI CHE LA DEFINISCONO.

t1

Pr , ,x t X x t X t t1 1 2 2 1 2

F X Xx t x t1 1 2 2

1 2,

t2

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,

,

2121

212*

1

21*

2211

2

ttRtxtxE

ttRtxtxE

ttCtxtxtxtxE

ttxtxE

tx

x

x

x

VALORE MEDIO

VARIANZA

FUNZIONE DI COVARIANZA

FUNZIONE DI CORRELAZIONE

(PROC. COMPLESSI)

FUNZIONE DI CORRELAZIONE

(PROC. REALI)

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x t x t*2 2 SE I PROCESSI SONO COMPLESSI ALTRIMENTI x t*

2

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STAZIONRIETA’ DI UN PROCESSO ALETORIO

DEF : LE PROPRIETA’ STATISTICHE DEL PROCESSO SONO INVARIANTI ALLE

TRASLAZIONI TEMPORALI.

ALLORA, SE IL PROCESSO E’ STAZIONARIO :

STAZIONARIETA’ IN SENSO STRETTO (S.S.S.) : OGNI STATISTICA E’ INVARIANTE

ALLE TRASLAZIONI NEL TEMPO (DIPENDE SOLO DA ).

Pr , Pr ,x t X x t X x t t X x t t X1 1 2 2 1 1 2 2

t

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STAZIONARIETA’ IN SENSO LATO (S.S.L.) : SE LA STATISTICA DEL I E DEL II

ORDINE NON DIPENDONO DAL TEMPO t .

SI CONSIDERANO SOLO PROCESSI ALEATORI DEL TIPO S.S.L

SSL

x t x

R t t E x t x t R t t R t tx x x

1 2 1 2 2 1 2 1, con

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SI VERIFICHI SE IL PROCESSO , CON , V.A E’ S.S.L.

V.A. GENERICA.

V.A. CON DENSITA’ UNIFORME TRA E

E INDIPENDENTI TRA LORO

E’ IMPORTANTE L’ ORDINE DI (IN PARTICOLARE NEL CASO DI PROCESSI

COMPLESSI) :

a t cos 0 a a 0 2

t t1 2,

R t t E x t x t

R t t E x t y t

x

xy

1 2 2 1

2 1 1 2

,

,

*

*

AUTOCORRELAZIONE

CROSS-CORRELAZIONE (1)

ESEMPIO 1

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NEL CASO DI PROCESSI REALI, SCAMBIANDO LE VARIABILI SI HA :

CHE IN GENERE E’ DIVERSA DA (OSSIA NON E’ INVARIANTE RISPETTO ALLO

SCAMBIO DI V.A.).

NEL CASO DI PROCESSI COMPLESSI SI HA :

SE SI SCAMBIANO GLI ISTANTI TEMPORALI, SI OTTIENE :

R t t E y t x tyx 1 2 1 2,

Rxy

R t t E y t x tyx 1 2 1 2, *

R t t E y t x tyx 2 1 2 1, *

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MA POICHE’ QUESTA E’ COMPLESSA CONIUGATA DELLA (1) , ALLORA :

SE SI TIENE CONTO DEL SIGNIFICATO FISICO DI TALI FUNZIONI, ALLORA :

R t t R t txy yx1 2 2 1, ,*

R t t E x t

C t t E x t x t

x

x

,

,

2

2

POTENZA DEL PROCESSO

POTENZA MENO IL VALOR MEDIO AL QUADRATO2

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INOLTRE SI NOTI CHE :

• SEMPRE

• SE SONO 2 V.A. , ALLORA PER CARATTERIZZARLE E’ NECESSARIO

CONOSCERE :

• VALOR MEDIO

• VARIANZA

• COVARIANZA

R t tx , 0

x t x t1 2,

x t

var ,x t E x t x t R t t x tx

22 2

C t t E x t x t x t x t R t t x t x tx x1 2 1 1 2 2 1 2 1 2, ,

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SI DEFINISCE QUINDI IL COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE :

DOVE :

SI NOTI CHE, PER PROCESSI SSL, LA POTENZA DEL PROCESSO E’ COSTANTEMENTE

PERI AL VALORE , QUINDI :

x t x t

x

x x

R t t x t x t

R t t x t R t t x t1 2 2 2

1 2 1 2

1 1 1 2 2 2

,

, ,

R t t x tx 1 1 1

2

,

E ANALOGAMENTE PER x t2

Rx 0

x t x t

x

x

R x

R x1 2

2

20

x t1

1

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ESEMPIO 2 : PROCESSO TELEGRAFICO CASUALE

E’ LEGATO ALLA DISTRIBUZIONE POISSONIANA DEI PUNTI :

RICORDO CHE E’ IL NUMERO MEDIO DI PUNTI SULL’ INTERVALLO UNITARIO t

E’ UNA DENSITA’.

IN GENERALE :

Pr

!n t k e

t

kt

k

!

.Pr 121221 k

ttekttn

ktt

t

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E INDIPENDENTI SE GLI INTERVALLI NON SONO SOVRAPPOSTI.

SI DEFINISCE PROCESSO TELEGRAFICO CASUALE (PTC)

DOVE E’ IL NUMERO DI PUNTI NELL’ INTERVALLO (0,t).

n t t n t t1 2 3 4, ,

x tn t

n t

1

1

se e' pari

se e' dispari

n t

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PARTENDO DA t=0 OVE x(t)=1, POICHE’ n(t)=0 E’ PARI, SI HANNO COMMUTAZIONI

DA +1 A -1 E VICEVERSA OGNIQUALVOLTA E’ PRESENTE UN PUNTO.

SE MANTANGO LA STESSA DENSITA’ E RIPETO L’ ESPERIMENTO OTTENGO UNA

DIVERSA SEQUENZA.

IL LORO INSIEME FORMA IL PROCESSO ALEATORIO.

SI CALCOLI IL VALOR MEDIO :

E x t x t x t 1 1 1 1Pr Pr

-1

+1

t

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DOVE, ESSENDO EVENTI MUTUAMENTE ESCLUSIVI :

ANALOGAMENTE :

Pr Pr Pr Pr .....

! !.....

x t n t n t n t

e et

et

ee e

t t t

tt t

1 0 2 4

2 4

2

2 4

Pr Pr Pr ....

!....

x t n t n t

e tt

ee et t

t t

1 1 3

3 2

3

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QUINDI :

LA MEDIA E’ DIPENDENTE DAL TEMPO PROCESSO NON STAZIONARIO.

SI CALCOLI LA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE.

E x t e t 2

1,1Pr1,1Pr1-

1,1Pr1,1Pr1

,

2121

2121

2121

txtxtxtx

txtxtxtx

txtxEttRx

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QUINDI (LEGGE DI BAYES) :

DOVE

MENTRE LA PROBABILITA’ CONDIZIONATA IMPLICA UN NUMERO PARI DI

COMMUTAZIONI NELL’ INTERVALLO .

Pr x t ee et

t t

1 12

1

1 1

Pr , Pr Pr /x t x t x t x t x t1 2 1 2 11 1 1 1 1

t t2 1

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ANALOGAMENTE SI OTTIENE (RICORDANDO CHE : E ).

Pr ,x t x t

ee e

ee et

t tt t

t t t t

1 21 1

2 21

1 1

2 1

2 1 2 1

cosh xe ex x

2

2senh

xx eex

R t t e t t e t t

e t t e t t

xt t t

t t t

1 2 1 1 2 1

1 1 2 1

1 2 1

1 2 1

, cosh senh cosh

cosh senh senh

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ESSENDO FUNZIONE PARI SI HA

SE SI VUOLE RENDERE IL PROCESSO STAZIONARIO, ALLORA SI CONSIDERI :

e t t t t e

e

t t t t

2 1 2 1

2 1 2 12

2

cosh senh

R t tx 1 2,

R t t ex 1 22,

y t a x t

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DOVE CON UGUAL PROBABILITA’ ED INDIPENDENTEMANTE DA x(t) ALLORA :

POICHE’

IL VALOR MEDIO E’ ORA COSTANTE, MENTRE

DATO CHE

ORA IL PROCESSO E’ S.S.L.

OSS : SI NOTI CHE ORA NON ESISTE PIU’ IL VALORE PREVILEGIATO +1 NELL’ ORIGINE DEI TEMPI.

a 1

R t tx 1 2,

E y t E a E x t E a 0 0

E y t y t E ax t ax t E a R t t R t tx x1 2 1 22

1 2 1 2 , ,

E a 2 1

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ESEMPIO 3 : DISTRIBUZIONE POISSONIANA(PROCESSO TELEGRAFICO)

SI CONSIDERI LA DISTRIBUZIONE DI POISSON :

DOVE E’ LA DENSITA’, CIOE’ IL NUMERO MEDIO DI ATTRAVERSAMENTI PER LOZERO NELL’ UNITA’ DI TEMPO. LA PROBABILITA’ DI AVERE PUNTI IN E IN , CON E NON SONO SOVRAPPOSTI E INDIPENDENTI.

IL PROCESSO ALEATORIO SI OTTIENE FACENDO VARIARE UN SEGNALE TEMPORALE IN RELAZIONE A TALE DISTRIBUZIONE.

R

Pr

!k punti in t e

t

kt

k

k1 t1 k2

t2 t1 t2

n t n t 1 2

V0

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LA DISTRIBUZIONE DI POISSON E’ LEGATA A PROBLEMI FISICI COME I CONTEGGI

DELLE CHIAMATE TELEFONICHE, LE EMISSIONI RADIOATTIVE,CODE.

LA STATISTICA DI TALE PROCESSO x(t) E’ DATA DA :

DATO CHE PER PROCESSI REALI :

E x t

E x t x t R V ex

0

02 2

VALORE MEDIO

R R E x t x t V ex x 02 2

Rx

12

V02

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OSS : VA A ZERO TANTO PIU’ RAPIDAMENTE QUANTO E’ MAGGIORE, OSSIA

POCA “MAMORIA” SE GRANDE.

OSS : SE IL PROCESSO E’ REALE E SSL LA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE E’

PARI

SE IL PROCESSO E’ SSL ALLORA NON VARIA SE INCREMENTO

L’ ISTANTE t DI UNA QUANTITA’ ARBITRARIA c .

Rx

R E x t x t R E x t x tx x

Rx

R E x t c x t c

R E x t c x t R R

x

x x x

MA SE ALLORA :c

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PROPRIETA’ DEI PROCESSI S.S.L. REALI

DIM :

R R funzione pari

R R con

x x

x x

0 0

E x t x t sempre

E x t E x t R

E x t E x t R

R R

x

x

x x

2

2 2

2 2

0

2 0

0

0

c.v.d

MA

ALLORA

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• POTENZA DEL PROCESSO (attenzione alle unita’ di misurax(t) si può

vedere come tensione su una resistenza di 1ohm : potenza [watt]=[volt]2 /[ohm]).

LA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE ESPRIME IL LEGAME CHE C’E’ TRA 2

CAMPIONI (LEGAME DI COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE) . INFATTI, SE

ALLORA :

Rx 0

E x t x 0

x t x tx

x

R

Rx

00,

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QUESTA E’ LA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE NORMALIZZATA

INFATTI, DATE 2 V.A. x E y , IL COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE VALE:

ALLORA SE E SI HA CHE :

x t x t 1

xy

xy

x y

E x x y y

E x x E y y

2 2

x x t y x t

x t x t

E x t x x t x

E x t x

2

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OSSIA :

CHE SINTETIZZA LA RELAZIONE ESISTENTE TRA 2 CAMPIONI DEL SEGNALE NEL

CASO CHE , RAPPRESENTA LA MEMORIA DEL SEGNALE

NELL’ ULTIMO ESEMPIO, SI NOTI CHE LA MEMORIA SI PERDE DOPO CIRCA

QUINDI MAGGIORI LE COMMUTAZIONI NELL’ UNITA’ DI TEMPO ( ALTO) MINORE E’

LA MEMORIA DEL PROCESSO.

x t x tx

x

R x

R x

2

20

x 0 Rx 3 4

1

2

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ESEMPIO :PROCESSO TELEGRAFICO CASUALE

SI CONSIDERI UN PTC SIFFATTO :

TALE PROCESSO y(t) E’ IN RELAZIONE COL PRECEDENTE x(t) MEDIANTE:

ALLORA :

y t

x t

1

2

E y t

E x t

1

2

1

2

t

y(t)1

x t+1

-1

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INOLTRE :

IN GENERALE, SE SI HANNO 2 PROCESSI CON E

ALLORA E

R E y t y t E x t x t Ry x 1

41 1

1

4

1

4

x t x 0 y t x t c y c R t R t cy x 2

12

Ry

12

14

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ESEMPIO : PROCESSO ALETORIO COSINUSOIDALE

SI CONSIDERI :

IL PROCESSO E’ PERIODICO, INFATTI CONQUINDI :

E x t R E ax 01

22

0 cos

x t x t t t 0 00

2

E

a

tatx cos 0V.A. QUALUNQUE

V.A. CON DENSITA’ UNIFORMA TRA 0 E 2

t

t

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CIOE’ LA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE DI PROCESSI PERIODICI E’

PERIODICA DI PERIODO UGUALE A QUELLO DEL PROCESSO.

QUINDI :MEMORIA PERIODICA COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE PERIODICO ”MEMORIA STRUTTURALE”

t0

Rx 1

22E a

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RUMORE BIANCO

E’ UN PARTICOLARE PROCESSO ALEATORIO DOVE :

CHE NEL CASO STAZIONARIO DIVENTA :

• LA CORRELAZIONE TRA 2 CAMPIONI IN E E’ SEMPRE 0 (CAMPIONI SCORRELATI SE )

R t t q t t t q tx 1 2 1 2 1 1 0, ,

R c cx , 0

t1 t2t t1 2

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• NON E’ POSSIBILE STABILIRE CON CERTEZZA LA POTENZA DEL PROCESSO ( )

• SE ALLORA TALE PROCESSO SI CHIAMA RUMORE BIANCO

• UN PROCESSO SI DICE NORMALE O GAUSSIANO SE I SUOI CAMPIONI

PRESI AD ISTANTI ARBITRARI, SONO V.A. CONGIUNTAMENTE GAUSSIANE.

Rx 0

E x t 0

x t x t x tn1 2, , ....,

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PROCESSO BINARIO SEMICASUALE

SI CONSIDERI UN PROCESSO BINARIO SIFFATTO :• LE COMMUTAZIONI AVVENGONO A INTERVALLI FISSI DI LUNGHEZZA

T.• I DUE VALORI SONO ASSUNTI CON UGUAL PROBABILITA’.• L’ ORIGINE DEI TEMPI COINCIDE CON UNA COMMUTAZIONE (PER

TUTTE LE REALIZZAZIONI).• IL PROCESSO E’ SENZA MEMORIA (OSSIA COMMUTAZIONI

INDIPENDENTI TRA LORO).

V0

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ESEMPIO : LANCIO RIPETUTO DELLA MONETA (+V0=TESTA, -V0=CROCE).

V0

V0

V0

V0

T

t

t

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SE SI CONSIDERA UN PROCESSO x(t) SIFFATTO, ALLORA :

E LA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE

SI CONSIDERI E DIVIDIAMO IN DUE CASI :

1) INTERVALLI DI COMMUTAZIONE DIVERSI INDIPENDENTI

E x t 0

R t t E x t x tx 1 2 1 2,

t t2 1

t t T2 1

R t t E x t x t E x t E x tx 1 2 1 2 1 2 0,

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2)

SI SCELGA E

(NEL CASO COMPLETAMENTE ARBITRARIO, SARA’ SEMPRE POSSIBILE

SCRIVERE )

QUINDI DISTA DA E DI CONSEGUENZA PUO’ TROVARSI NELLO

STESSO INTERVALLO DI COMMUTAZIONE OPPURE IN QUELLO SUCCESSIVO.

t t T2 1

t T t t1 2 10 ,

t KT t1 1*

t1*

t2 t1 t2

0 T 2T 3T t

t1 t1

t2 t2

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• SE E SONO NELLO STESSO INTERVALLO, ALLORA :

• SE E SONO IN INTERVALLI ADIACENTI, ALLORA :

ALLORA LA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE NON DIPENDE DA , MA

ANCHE DALLA POSIZIONE DI PROCESSO NON STAZIONARIO.

t1 t2

t1 t2

E x t x t V1 2 02

E x t x t1 2 0

t t2 1t1

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ESEMPIO : PROCESSO BINARIO CASUALEPROCESSO BINARIO SIMILE A QUELLO PSEUDOCASUALE :• CADENZA FISSA T.• 2 VALORI EQUIPROBABILI• FASE CASUALE, CIOE’ LA DISTANZA DEL PIU’ VICINO ISTANTE DI

COMMUTAZIONE DALL’ ORIGINE DEI TEMPI E’ ALEATORIA (CON DENSITA’

UNIFORME). • ASSENZA DI MEMORIA TRA INTERVALLI SUCCESSIVI

V0

V0

V0

V0

T

t

tt

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DATA L’ IPOTESI DI PROCESSO S.S.L., SI CALCOLI IL VALOR MEDIO E LA FUNZIONE

DI AUTOCORRELAZIONE.

OSSIA SI DEVONO MEDIARE I VALORI CHE IL PROCESSO ASSUME IN TUTTE LE

REALIZZAZIONI PER UN ISTANTE GENERICO.

• FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE

x E x t MEDIA DI INSIEME

x E x p xi ii 1

2

0 DATA L’ EQUIPROBABILITA’ DI V0

R E x t x tx

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IL PRODOTTO PUO’ VALERE OPPURE , ALLORA

MA SE E APPARTENGONO ALLO STESSO INTERVALLO, ALLORA IL

PRODOTTO VALE

SE E NON APPARTENGONO ALLO STESSO INTERVALLO, ALLORA SI

DEVONO CONSIDERARE LE POSSIBILITA’ CONDIZIONALI (NOTARE CHE GLI

IMPULSI SONO TRA LORO INDIPENDENTI).

x t x t V02 V0

2

R V V V Vx Pr Pr02

02

02

02

t t V0

2

t t

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SI RICORDA CHE :

DOVE :

E

QUINDI :

P A P B P A Bi ii /

B Sii

B Bi j 0

R t t t stesso ervallo E x t x t stesso ervallo

t t t diversi ervalli E x t x t diversi ervalli

x

Pr , int / int

Pr , int / int

S

B

B

B

B

A

i

1

2

3

S

Bi

B1

B2

B3A

….. …..

…..

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SI SUPPONGA :

ALLORA E INTERVALLI DIVERSI

IN QUANTO

T t t Rx 0

Pr , int

Pr , int

t t stesso ervallo

t t diversi ervallo

E x t x t

0

1

0

E

PERCHE’ LA PROBABILITA’ DI AVERE O E’ PARI A 1/2 .V0

2 V02

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EQUIVALE A TENER FISSA L’ ORIGINE E SCEGLIERE A CASO t NELL’ INTERVALLO

T (CASUALITA’ DELL’ ORIGINE).

ALLORA E STESSO INTERVALLO SE t E’ NEL SOTTOINTERVALLO

T-t t

T

Pr Pr int

Pr int

t in T t t stesso ervalloT

T

t t diversi ervalloT

,

,

////////////T

T

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MA :

E x t x t stesso ervallo V

E x t x t diversi ervalli

RT

Tx

/ int

/ int

02

0

( CON UGUAL PROBABILITA’)V02

Rx V0

2

T T

T

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QUINDI :

SI RICORDI CHE, PER UN PROCESSO A VALOR MEDIO NULLO, IL COEFFICIENTE DI

CORRELAZIONE TRA DUE CAMPIONI VALE :

OSSIA SI PUO’ FARE PREVISIONE SUL CAMPIONE CORRENTE A PARTIRE DA UNO

NOTO SE IL CORRENTE DISTA MENO DI T DAL CAMPIONE NOTO.

RT

TV se T

altrovex

02

0

x t x tx

x

R

R 0

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AD ESEMPIO, LA STIMA LINEARE:

QUINDI SE x E y SONO DUE CAMPIONI DELLO STESSO SEGNALE ( ).

CHE E’ LA STIMA A MINIMO ERRORE QUADRATICO MEDIO (EQM).

y yy

xxy

x y

x t x t xx t x t

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ESEMPIO : PROCESSO BINARIO CASUALE CONDIZIONATO

SI CONSIDERI UN PROCESSO SIFFATTO :• PROCESSO BINARI CASUALE CON CONDIZIONAMENTO DEL VALORE CORRENTE

SU QUELLO SUCCESSIVO.

CONSEGUENZA : LA MEMORIA DEL PROCESSO CAMBIA DIVERSA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE.SI SUPPONGA :

IN QUESTO CASO CONVIENE SCINDERE IL PROBLEMA, OSSIA CONSIDERANDO VALORI DI VIA VIA CRESCENTI.

Pr / . Pr / . V V V V0 0 0 00 8 0 8

ISTANTE CORRENTE ISTANTE PRECEDENTE

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10CASO :

ANALOGAMENTE AL CASO PRECEDENTE

INFATTI :

0 T

Pr , int ; / int

Pr , int ; / int

t t stesso ervalloT

TE x t x t stesso ervallo V

t t diversi ervalliT

E x t x t diversi ervalli

02

0

x(t) x(t+) x(t) x(t+) PROBABILITA’

0.5x0,8=0.4

0.5x0.2=0.1

0.5x0.2=0.1

0.5x0,8=0.4

V0

V0

V0

V0

V0

V0

V0

V0

V02

V02

V02

V02

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Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.53

ALLORA :

QUINDI :

ORA PER =T , IL COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE NON E’ NULLO, QUINDI E’

POSSIBILE FARE PREVISIONE

E x t x t ervalli adiacenti

V V V V V

/ int

. . . . .

0 4 01 01 0 4 0 602

02

02

02

02

RT

TV

TV Tx

0

2020 6 0.

Rx

V02

0 6 02. V

T

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20CASO :

ORA t E t+ POSSONO APPARTENERE A INTERVALLI ADIACENTI OPPURE NON ADIACENTI.

INTERVALLI ADIACENTI t IN 2T- (\\\\\\\\)INTERVALLI NON ADIACENTI t IN -T (||||||)

T T 2

\\\\\\\\\\\\ ||||||||||

2T

T2T

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ALLORA :

DOVE :

E

R t t ervalli adiacenti E x t x t ervalli adiacenti

t t ervalli non adiacenti E x t x t ervalli non adiacenti

x

Pr , int / int

Pr , int / int

Pr , int

/ int .

t t ervalli adiacentiT

T

E x t x t ervalli adiacenti V

2

0 6 02

Pr , intt t ervalli non adiacenti

T T

T

T

T

2

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SI RICAVA

CON UN GRAFO :

AD ESEMPIO, SE ALLORA LA PROBABILITA’ CHE E’

0.8x0,8+0.2x0.2=0.68 E CHE

E ANALOGAMENTE PER .

E x t x t ervalli non adiacenti int

x t VV

V

V

VV

V

0

0

0

0

0

0

0

0.8

0.2

0.8

0.8

0.2

0.2

x t V 0 x t V 0

x t V 0

V0

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COSI’ ALL’ AUMENTARE DI ,LA MEMORIA DIMINUISCE.

QUINDI :

E x t x t

V V V V V

/

. . . . .

intervalli non adiacenti

1

20 68 0 32 0 32 0 68 0 360

202

02

02

02

Rx

V02

-2T -T T 2T

60%36%

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OSS. : SI NOTI CHE LA CONDIZIONE

OSSIA UNA MEMORIA CHE IMPONE PIU’ PROBABILI CAMBI DI SEGNI,

SI OTTERRA’

P V V P V V 0 0 0 0 0 2/ / .

T

2T

3T

Rx

V02

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ESEMPIO : PROCESSO MULTILIVELLO CASUALE

SI CONSIDERI UN PROCESSO SIFFATTO :

OSSIA :• UNA SERIE DI IMPULSI RETTANGOLARI DI DURATA T.• AMPIEZZA MULTIPLA DI V E SIMMETRICA RISPETTO ALLO ZERO MEDIA

NULLA.• LIVELLI EQUIPROBABILI E INDIPENDENTI TRA INTERVALLI SUCCESSIVI• N=2M LIVELLI.

x t K V K M , ,2,...., 1

V

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FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE :

MA (COME NEL CASO DI PROCESSI CASUALI SENZA MEMORIA)

R E x t x t

P t t E x t x t

P t t E x t x t

x

, /

, /

stesso intervallo stesso intervallo

intervalli diversi intervalli diversi

E x t x t

P t tT

T

E x t x tM

K VK

M

/

,

/

intervalli diversi

stesso intervallo

stesso intervallo

0

1 2 2

1

POICHE’ INTERVALLI EQUIPROBABILI

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POICHE’ :

CON PROBABILITA’ 1/M.

SI NOTI CHE LA MEDIA RAPPRESENTA ANCHE LA POTENZA DEL SEGNALE,

QUINDI :

x t x t K V 2 2 SEMPRE

E x t2

RT

T MK V Tx

K

M

1 2 2

1

Rx

-T +T

1 2 2

1MK V

K

M

NEL CASO DI DUE PROCESSI E SI PUO’ CALCOLARE LA FUNZIONE DI

CROSS-CORRELAZIONE CHE ESPRIME LA DIPENDENZA TRA I DUE PROCESSI.

x t y t

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Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.62

ESEMPIO : PROCESSO ALEATORIO COMPLESSO

QUESTO PROCESSO E’ UNA ASTRAZIONE CHE SERVE PER RAPPRESENTARE

PROCESSI REALI .

• V.A. AVENTI MEDIA NULLA

• MEDIA DEL PROCESSO

x t a eii

j ti

ai

E a i

E a a E a

i

i j i i

0

0 2 2

,

E SCORRELATE E VARIANZA

x t E x t 0

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Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.63

• FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE :

E’ SSL.

R t t E x t x t

E a e a e

E a a e

R t t e R t t

x

ij t

kj t

ii

i kki

x ij t t

xi

i k

j it j k t

i

1 2 1 2

1 22

2 1

1 2

1 2

1 2

,

, ,

*

*

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Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.64

PROCESSI ALEATORI E STAZIONARI

• LA CONOSCENZA DI E E’ SUFFICIENTE PER TROVARE• IL PROBLEMA E’ ANALOGO AL CASO DELLA DEFINIZIONE DI UNA V.A. y DATA

LA V.A. x E LA RELAZIONE • SI TRATTERANNO SOLO SISTEMI LTI . CARATTERIZZATI DALLA RISPOSTA

ALL’ IMPULSO O ANALOGAMENTE

x t

y t

h t

H

y t

h t

y g x

H

h t

x t

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Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.65

ESEMPIO DI SISTEMI NON LTI :

y

x

a

a

x

y

QUADRATORE

g x ax a 2 0 ,

HARD LIMITER

g xa x

a x

per

per

0

0

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Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.66

SE E’ NOTO E STAZIONARIO, ALLORA SI CONOSCE IL VALORE MEDIO

E LA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE ,

QUINDI IL VALOR MEDIO DI E’:

x t x Rx

y t

E y t E x h t d x h t d

x h t dt xH y

=

0

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Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.67

LA FUNZIONE DI CROSS-CORRELAZIONE :

LA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE :

R E x t y t E x t h x t d

E x t x t h d R h d R h R

xy

x x xy

R E x h t d y t h t E x y t d

h t R t d

y

xy

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Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.68

SE SI EFFETTUA IL CAMBIO DI VARIABILE ALLORA :t d d

2* fHfSfHfHfSfSRhhR

hRdRhR

dRhR

XXYyx

xyxyy

xyy

CON UN ULTERIORE CAMBIO d d

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Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.69

ESEMPIO (FUNZIONE DI CROSS-CORRELAZIONE)SE SI HA UN SISTEMA LTI CON SCONOSCIUTA, ALLORA PONENDO IN INGRESSO

UN RUMORE BIANCO CON

h t R cx

h t

H

x t CORRELATORE

y t

x t

Rxy

E CON LO SCHEMA DI FIGURA OTTENGO :

OSSIA LA RISPOSTA ALL’ IMPULSO DEL SISTEMA (A MENO DI UNA COSTANTE)

R R h c h c hxy x

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Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.70

ESEMPIO (FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE)SI CONSIDERI UN INTEGRATORE IDEALE (PASSA-BASSO), CON IN INGRESSO UN

RUMORE BIANCO :

h t

H

y t x t

RUMORE BIANCO

1 t Rx

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Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.71

h t

t

h t

t

T0

T0

Ry

T0 T0

a T20

a

a

DOVE : R h hy

SI OSSERVI CHE :

R a T a d h d

E y t y t R

y

T

y

0

0

20

2 2

0

0

E’ L’ ENERGIA DELLA RISPOSTA ALL’ IMPULSO DEL FILTRO

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Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.72

SPETTRO DI DENSITA’ DI POTENZA DI

UN PROCESSO ALETAORIO

LO SPETTRO DI DENSITA’ DI POTENZA E’ DEFINITO COME L’INTEGRALE DI FOURIER

DELLA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE.

E PERMETTE DI CONOSCERE LA DISTRIBUZIONE DELLA POTENZA DEL PROCESSO

IN FREQUENZA.

ANALOGAMENTE, LA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE

S R e dx xj

R S e dx xj

1

2

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Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.73

POICHE’ LA POTENZA DEL SEGNALE EQUIVALE A :

L’ INTEGRALE DI HA SIGNIFICATO DI POTENZA (DOVRA’ ESSERE QUINDI

SEMPRE POSITIVA ) .

INOLTRE, E’ SEMPRE REALE E PARI POICHE’ E’ PARI E REALE.

DATO IL SIGNIFICATO DI SPETTRO DI DENSITA’ DI POTENZA SI HA CHE :

E x t R S dx x2 0

1

2

Sx

S x Rx

21

21

2

2 potenza di tra e 1

S d x tx S x

2 2 1 1

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Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.74

SI CONSIDERI PERCIO’ IL PROCESSO E LO SI FACCIA PASSARE IN UN

BANCO DI FILTRI PASSA-BANDA IDEALI IN MODO DA COPRIRE TUTTO LO SPETTRO

DELLE FREQUENZE.

x t

x t

H1

H2

Hn

y t1

y t2

y tn

4 2 2 4

1

H H1 H2 H3

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Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.75

PERTANTO L’ N-ESIMO FILTRO SARA’ DISPOSTO

ALLORA LE USCITE RAPPRESENTANO LA SCOMPOSIZIONE DEL

PROCESSO IN FREQUENZA.

QUINDI DATO CHE :

Hn

2 1n 2 1n 1 2

1

y t y tn1 , ....,

y t x tnn

S S HY X nn n 2

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Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.76

SI CALCOLI LA POTENZA DI TRA E ,OVVERO E

ALLORA DATO CHE

IN FREQUENZA RISULTA

x t 1 2 1 2 3 n 2 2 1n

S S dx yn n

1

22

S S H H S Hy x x * 2

( IMPORTANTE )

R R h hy x

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Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.77

QUINDI DALLA (2) SI HA :

OSSIA LA PORZIONE DI POTENZA DEL SEGNALE ASSOCIATA ALLA BANDA

CONSIDERATA.

S H S d S dy x xn

n

n

1

22

1

22

2 3

2 1

1

2

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Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.78

ALTRA DIMOSTRAZIONE :PER DEFINIZIONE DI SPETTRO DI DENSITA’ DI POTENZA , L’ INTEGRALE DI

SU UN DOMINIO LIMITATO DEVE FORNIRE LA POTENZA RELATIVA A QUEL

DOMINIO. INFATTI SE CONSIDERIAMO UNA BANDA COMPRESA TRA E ,

ALLORA SI DEVE VERIFICARE CHE :

SI CONSIDERI ALLORA :

S x S x

1 2

1

2

1

22

1

1

2

S d S dx x

POTENZA DI TRA E

E E

x t 1

2

1 2

x t H 1 2

x tf CON

1 2 1

2

H

1

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Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.79

SARA’ UN PROCESSO COSTITUITO DALLE COMPONENTI DI

COMPRESE TRA E

ALLORA PER DEFINIZIONE

MA DATO CHE

ALLORA

x tf x t 1 2

Potenza x t E x t S df f x f

2 1

2

S

Sx

x

f

1

01 21

per

altrove

E X S d S df x x2 1

2

1

22

1

1

2

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Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.80

QUINDI UN PROCESSO ALEATORIO SI PUO’ CARATTERIZZARE EQUIVALENTEMENTE

COME :

IN OGNI CASO, E RAPPRESENTANO LA MEMORIA DEL PROCESSO.

x

Rx x

S x

Rx S x

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Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.81

ESEMPIO : PROCESSO TELEGRAFICO CASUALE

R ex 2

12

Rx

12

OSSIA QUANDO SI DIMEZZA E, ESSENDO , IL COEFF. DI

CORRELAZIONE E’ RIDOTTO DEL 50%.

LA TRASFORMATA DI FOURIER DI E’ :

1

2Rx x 0

Rx

S x

2 22= FUNZIONE DI

CAUCHY

Sx

2 2

MAX

0.5 MAX

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Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.82

RAGGIUNGE LA META’ DEL SUO VALORE MAX QUANDOSI VEDE CHE 2 FORNISCE ANCHE UN PARAMETRO DELLA LARGHEZZA IN FREQUENZA (OSSIA DELLA MEMORIA ) ELEVATO POCA MEMORIA NEL TEMPO E BANDA GRANDE ( AUTOCORRELAZIONEIMPULSIVA ) PRINCIPIO DI INDETERMINAZIONE .

• FORNISCE INFORMAZIONI SULLE POSSIBILITA’ DI UN SEGNALE DI PASSARE SU UN CANALE.

• SI CONSIDERI UN CANALE CON BANDA PASSANTE 02 MHz SUL QUALE SI VUOLE TRASMETTERE UN SEGNALE BINARIO CASUALE CON INTERVALLO =1 sec.

S x 2

S x

V

V

0

0

1 sec

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Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.83

LA FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE E’ (SE I DUE LIVELLI SONO EQUIPROBABILIE IL PROCESSO E’ SENZA MEMORIA) :

SI PUO’ CALCOLARE LA IL TRIANGOLO PUO’ ESSERE RICAVATO DALLA CONVOLUZIONE DI 2 RETTANGOLI :

CHE IN FREQUENZA VALE :

Rx

V02

T T

S Rx x

T

2 T2

T

T

TTsinc

Tsen

2

22

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Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.84

ALLORA E’ IL PRODOTTO DI 2 SINC, CIOE’ :

ORA E’ POSSIBILE CONFRONTARE LA CARATTERISTICA DEL CANALE CONLO SPETTRO DEL SEGNALE.SI VEDE CHE PER IL CANALE :

MENTRE IL LOBO PRINCIPALE DEL PROCESSO E’ TALE CHE :

QUINDI LA BANDA UTILE DEL FILTRO COMPRENDE OLTRE AL LOBO CENTRALEANCHE I PRIMI LOBI LATERALI.

S x

sincT

2

2

S x

Hc

2T

4T

Hc

c 2 2 10 4 106 6 radsec

x T

22 106 rad

sec

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Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.85

ESEMPIO : CANALE CON RUMORE

I CANALI REALI PRESENTANO ANCHE IL PROBLEMA DEL RUMORE OLTRE CHEDELLA LIMITAZIONE IN BANDA.

ALLORA SI VUOLE SAPERE SE UN SEGNALE PUO’ PASSARE ATTRAVERSO IL CANALE E SE VIENE AFFETTO DAL RUMORE INTRINSECO AL CANALE STESSO.• LA PRIMA VERIFICA E’ ANALOGA AL CASO PRECEDENTE.• PER LA SECONDA, SI DEVE STABILIRE SE LO SPETTRO DI DENSITA’ DI POTENZA DEL RUMORE E’ SUFFIC. PIU’ BASSO DI QUELLO DEL SEGNALE.

CANALE L.T.I.

x t n t

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Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.86

• IN CASO CONTRARIO, OVVERO SE SONO CONFRONTABILI, SI DEVE SPOSTARE

IN BANDA IL SEGNALE IN MODO DA TROVARE ALL’ INTERNO DELLA BANDA DEL

CANALE, UNA ZONA DOVE IL RUMORE HA DENSITA’ BASSA.• SI CONSIDERI UN SEGNALE AVENTE PARI A :

• CANALE AVENTE BANDA UTILE PARI A 10 MHz

x t S x

S fx

f0.5 2 MHz

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Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.87

• RUMORE COMPRESO IN BANDA 0.55 MHz AVENTE AMPIEZZA CONFRONTABILE CON QUELLA DEL SEGNALE.

• ESISTE UNA BANDA UTILE TRA 5 E 10 MHz ( SENZA RUMORE ).• SI EFFETTUA UNA MODULAZIONE CON FREQUENZA DI PORTANTE 7.5 MHz DEL

TIPO :

50 7.5 MHz 10 MHz

Hc

f

x t t DSBcos . sec 0 062 7 5 10 rad

Page 89: Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11 PROCESSI ALEATORI

Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.88

• ALLORA SI AVRA’ IN FREQUENZA :

• LA TRASMISSIONE AVVIENE SENZA PROBLEMI DI RUMORE.• NECESSITA’ DI UN DEMODULATORE CHE RIPORTI IN BANDA BASE.

5 7.5

S fxm

f MHz

H fc

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Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.89

ERGODICITA’

• PROCESSO ALEATORIO INSIEME DI REALIZZAZIONI• STATISTICA DEL PROCESSO RICHIEDE MEDIE D’ INSIEME• ERGODICITA’ E’ UNA PARTICOLARE PROPRIETA’ DEI PROCESSI CHE

PERMETTE DI APPROSSIMARE LE MEDIE D’ INSIEME SENZA CALCOLARLE DIRETTAMENTE, MA LAVORANDO SU UNA SOLA REALIZZAZIONE CIASCUNA REALIZZAZIONE CONTIENE TUTTA L’ INFORMAZIONE RIGUARDO IL PROCESSO (OVVERO TUTTA LA STORIA).

MEDIA D’ INSIEME MEDIA TEMPORALE

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Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.90

ESEMPI :

1)

PERCHE’ SE TAGLIO CON FINESTRE NEL TEMPO UNA REALIZZAZIONE QUALSIASI

NON SI CAPISCANO LE V.A. (SONO COSTANTI ENTRO UNA REALIZZAZIONE)

2) PROCESSO BINARIO CASUALE (ERGODICO)

• SI PARLERA’ DI PROCESSI ERGODICI NELLA MEDIA E NELL’ AUTOCORRELAZIONE

x t a t a cos , , 0 v.a.

a,

NON ERGODICO

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Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.91

STIMA DI

DOVE :• E’ UNA REALIZZAZIONE GENERICA DEL PROCESSO

• E’ UNA V.A. , QUINDI SI PUO’ VALUTARE MEDIANTE LA MEDIA E LA VARIANZA (STIMA NON POLARIZZATA E ASINTOTICAMENTE STABILE)

VERIFICA (NON POLARIZZAZIONE) :

E x t

xT

x t dtT

T

1

2

x t

x

E x x E xT

E x t dt xT

T

1

2PROCESSO STAZIONARIO

xx

P x

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Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.92

VERIFICA (STABILITA’) :

QUINDI, PONENDO E NELLE IPOTESI DI PROCESSO STAZIONARIO SI PUO’

NOTARE CHE LUNGO TALE RETTA LA FUNZIONE INTEGRANDA E’ COSTANTE.

x

T

T

T

T

T

T

T

T

E x x E x ET

x x d d

TE x x d d

2 2 2 22

2

1

4

1

4

T

T

T T

Page 94: Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11 PROCESSI ALEATORI

Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.93

INOLTRE, DATO CHE SIA CHE VARIANO DA -T A +T -2T +2T.

INCREMENTANDO DI UN TRATTO d , OSSIA -=d E CALCOLANDO L’ AREA

DELLA STRISCIA RISULTANTE, SI PUO’ TRASFORMARE L’ INTEGRALE DOPPIO IN

SEMPLICE.

QUINDI L’ AREA DELLA STRISCIA VALE E

T

T

2T

d

d

2T d

E xT

T R dT T

R dxT

T

xT

T

22

2

2

2

21

42

1

21

2

Page 95: Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11 PROCESSI ALEATORI

Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.94

PERCIO’

RICORDANDO CHE

E NEL CASO

ALLORA ASSUME VALORE MASSIMO PER =0 FINO AD ANNULLARSI.

QUINDI SE SI HA UN PROCESSO CON FUNZ. DI AUTOCORRELAZIONE LIMITATA,

OSSIA

xT

T

xT TR d x2

2

221

21

2

x xR x2 2

x Rx x 0 2

12

T

limT

xT

T

TR d

1

20

2

2

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Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.95

E’ GARANTITO CHE

COSI’ SI E’ DIMOSTRATO CHE UN PROCESSO ERGODICO NELLA MEDIA

OVVERO LA STIMA DELLA MEDIA CONVERGE ALLA MEDIA VERA QUANDO T CRESCE.

x T

2 0

lim limT T

T

T

xT

x t dt x

1

2

Page 97: Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11 PROCESSI ALEATORI

Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.96

STIMA DI

PROCESSI ERGODICI NELL’ AUTOCORRELAZIONE

• E’ NECESSARIO CONOSCERE UNA REALIZZAZIONE DI CHE DURI ALMENO 2T+ .

• SICCOME L’ INTERVALLO DI OSSERVAZIONE E’ T , SI PREFERISCE RIDEFINIRE TALE STIMA COME :

Rx

x t

lim limT

xT

T

T

xRT

x t x t dt R

1

2

RT

x t x t dtx

T

1

0

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Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.97

TALE STIMA E’ NON POLARIZZATA, INFATTI :

TALE STIMA VALE PER E SI PONE PER(NON SI CONOSCE IL PROCESSO AL DI FUORI DI T). POLARIZZAZIONEPOICHE’ FORZO IL VALORE PER . I VALORI MIGLIORI LI OTTENGO PER PICCOLI.SI DIMOSTRA CHE LA STIMA E’ POCO STABILE AL CRESCERE DI .

E R ET

x t x t dtT

E x t x t dt

TR dt R

x

T T

x

T

x

1 1

1

0 0

0

0 T Rx 0 T

Rx 0 T

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Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.98

STIMA INDIRETTA DI

SI OSSERVA CHE

DOVE E’ PARI AL PRODOTTO DI REALE PER UNA FINESTRA

TEMPORALE UNITARIA DI DURATA 2T. QUINDI :

S x

S R e d R e dx xj

xT

Tj

E S E R e d R e dx xT

Tj

xT

Tj

E S ST

Tx x sen

,

Rx Rx

COSTANTE

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Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.99

CHE IMPLICA UNA PERDITA DI RISOLUZIONE . COSI’ SE SI VUOLE AVERE UNA

RISOLUZIONE IN FREQ. PARI A , ALLORA :

2

T DOVE E’ LA LARGHEZZA DEL LOBO PRINCIPALE DEL SINC.

2T

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Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.100

STIMA DIRETTA DI

SI DEVE VERIFICARE LA STABILITA’ ASINTOTICA E LA NON POLARIZZAZIONE.

S x

T

dtetxST

tjx

1ˆ2

0

E S E x e x e d d

R e d d

xj j

TT

x

TTj

00

00

Page 102: Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11 PROCESSI ALEATORI

Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.101

SI DIMOSTRA IN MANIERA ANALOGA AL CASO PRECEDENTE CHE

QUESTO EQUIVALE A CONSIDERARE

(COME PER STIMA INDIRETTA) IN QUESTO CASO, SI DEVE EFFETTUARE LA

TRASFORMATA DI FOURIER DEL

PRODOTTO TRA E UN TRIANGOLO SIFFATTO

E S T R e d TxT

T

xj

0PER

R Tx 0 SI INTRODUCE POLARIZZAZIONE PER PER T

Rx

T T

T

E S S

T

Tx x

sen

2

2

2

Page 103: Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11 PROCESSI ALEATORI

Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.102

QUESTA VOLTA IL LOBO PRINCIPALE HA LARGHEZZA (FINESTRA DELL’

INTEGRALE DI FOURIER E’ QUI ’ [ 0,T ], ANZICHE’ [ -T,T ] COME PER LA STIMA

INDIRETTA.

PERDITA DI RISOLUZIONE MAGGIORE DI QUELLA DELLA STIMA INDIRETTA:

• SEBBENE PIU’ COMODA, LA STIMA DIRETTA NON E’ ASINTOTICAMENTE

STABILE . BENSI’ RESTA DELLO STESSO ORDINE DI , CIOE’ LA

DEVIAZIONE STANDARD DELLO STESSO ORDINE DI IN INTERVALLO

DELL’ ORDINE DEL 100% DEL VALORE VERO.

4T

S Tx

2 0 (SENZA DIMOSTRAZIONE)

4

T

Sx

2 S x2

S Sx x 2

* FISSATO

*

T4

Page 104: Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11 PROCESSI ALEATORI

Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.102.1

RIMEDIO : CALCOLO DELLA STIMA SU N INTERVALLI DI LUNGHEZZA T/N.

IN TAL MODO, LA STIMA VIENE CALCOLATA COME MEDIA DELLE STIME PARZIALI

E LA RELATIVA VARIANZA SI RIDUCE DI UN FATTORE 1/N. ( SI RIDUCE DI )

,

SS

Nx

x ii

N

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Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.103

• LA RISOLUZIONE PERO’ E’ PEGGIORATA DI UN FATTORE N.• IL LOBO PRINCIPALE DIVENTA

NOTE :

1) SE HO REALIZZAZIONI MOLTO LUNGHE, DIVIDO IL PROCESSO IN FINESTRE (COMPATIBILMENTE CON LA RISOLUZIONE) E SU OGNI SEGMENTO CALCOLO LA CON LA STIMA DIRETTA. OTTENGO BUONA STABILITA’ SE MEDIO I VARI RISULTATI.

2) SE TROVO UNA CON UN SALTO (IMPULSO) NELL’ ORIGINE

4 4 T T

N

S x

S x x 0

Page 106: Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11 PROCESSI ALEATORI

Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.104

STIME DISCRETE DI E

SEGNALI DETERMINISTICI CAMPIONATI

RICOSTRUZIONE :

R Sx x

Tcx

x

, BANDA DEL SEGNALE x(t) IN .

x t x nT

Tt nT

Tt nT

cn

cc

cc

sen

x x Tc

2Tc

Page 107: Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11 PROCESSI ALEATORI

Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.105

UN PROCESSO ALEATORIO E’ A BANDA LIMITATA SE LA SUA DENSITA’ SPETTRALEDI POTENZA E’ A BANDA LIMITATA.

IN REALTA’, E’ LA FUNZIONE DETERMINISTICA CHE E’ A BANDA LIMITATA,QUINDI CAMPIONABILE E RICOSTRUIBILE PERFETTAMENTE.PER CONTRO, SI POSSONO RICOSTRUIRE SOLO STIME DI REALIZZAZIONI DEL

SEGNALE ORIGINARIO x(t).

S x

x x

S x

Rx

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Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.106

SI DIMOSTRA CHE TALE STIMA CONVERGE IN MEDIA QUADRATICA AL PROCESSO

ORIGINALE NEL SENSO DELLE PROBABILITA’ (PUO’ DIFFERIRE IN ALCUNI CASI

CHE HANNO PERO’ PROBAB. =0). L’ ERRORE DELLA STIMA HA POTENZA NULLA.

LA BANDA DI , SI PUO’ STIMARE SPERIMENTALMENTE PRIMA DI STIAMARE

sen

,x t x nTT

t nT

Tt nT

Tcn

cc

cc

cx

CON BANDA DI

E x t x t 20

S x x

HPA MISURATORE DI POTENZA STIMA DI x

HPA

c

S x x

S x

x t PxPx PA,ES. Px

MISURATORE DI POTENZA

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Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.107

STIMA DISCRETA INDIRETTA

ANALOGA AL CASO CONTINUO CON

QUINDI, LO SPETTRO STIMATO:

DOVE

R mTN m T

x nT x n m Tx cc

cn

N m

c

1

0

1

t nT mT T NTc c c , ,

S K R mT ex x cm

NjmT Kc

0

1TRASFORMATA DISCRETA

DI FOURIER

2 2 NT Tc

CHE RISULTA ESSERE LA RISOLUZIONE

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Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.108

STIMA DISCRETA DIRETTA

• L’ INTERVALLO T E’ STATO DIVISO IN SOTTINTERVALLI DI DURATA

• TALE STIMA E’ EFFETTUATA PER CIASCUN SOTTINTERVALLO LUNGO

IL PASSO DI DISCRETIZZAZIONE VALE

E SICCOME , LA RISOLUZIONE RISULTA ESSERE PEGGIORE DELLA PRECEDENTE.

TN To c

N To c

N To c

2

0

N Tc

N N0

STIMA: S K x n ex

jN

Kn

n

N

2

0

12

0

0

Page 111: Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11 PROCESSI ALEATORI

Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.109

FILTRO DI WIENER

• SI CONSIDERI DI AVERE UN SEGNALE SOMMATO AD UN RUMORE :

CON s(t) E n(t) SEGNALI ALEATORI SSL NOTI STATISTICAMENTE, OSSIA E NOTE.

• SI SUPPONGA INOLTRE E E INDIPENDENTI. ALLORA

• SI VUOLE TROVARE UN FILTRO TALE CHE SI OTTENGA IN USCITA UNA STIMA DEL SEGNALE.

x t s t n t

R Rs n

s n s t n t 0

R E s t n t E s t E n tsn 0

h t x t s t n t y t s t

(E’ NATO COME PB. DI STIMA ANTICIPATA: .NOI SEMPLIFICHIAMO IN STIMA IN TEMPO REALE).

s t t 0

Page 112: Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11 PROCESSI ALEATORI

Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.110

• COME CRITERIO DI BONTA’ DELLA STIMA SI ADOTTA IL MINIMO ERRORE

QUADRATICO MEDIO (MEQM).• SI RICORDA CHE DATO UN INSIEME DI V.A E SI VUOLE STIMARE

UNA V.A y IN MODO LINEARE, ALLORA

CRITERIO DI ORTOGONALITA’ , OVVERO

x xn1, ...,

y y x x a x cn i ii

, ....,1

E y y x E y yi i 02

MINIMO

2ˆ.min tstsE

Page 113: Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11 PROCESSI ALEATORI

Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.111

NEL CASO IN OGGETTO

DOVE

E s t s t x t z z 0 0

x t s t n t

x t z RAPPRESENTANO TUTTI I VALORI DELL’ OSSERVAZIONE DA - ALL’ ISTANTE PRESENTE t (CAUSALITA’).

s t x t h t x h t d

E s t x h t d x t z z

t

t

0 0

MA

(CAUSALE)

x(t-z) INFINITE xi

Page 114: Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11 PROCESSI ALEATORI

Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.112

CONSIDERIAMO I SINGOLI PRODOTTI E SCAMBIANDO GLI OPERATORI DI MEDIA E

INTEGRALE, SI OTTIENE

DA CUI

E PONENDO ALLORA

E s t x t z E x x t z h t d zt

0

E s t x t z R t z h t d zx

t

0

t d d

R t z h t d R z h d

R z h d R z h z

x

t

x

x x

0

0

Page 115: Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11 PROCESSI ALEATORI

Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.113

PERTANTO

MA

ALLORA DALLA (1) :

E s t x t z R z h z zx 1 0 EQUAZIONE DI WIENER

E s t x t z E s t s t z n t z R z R z R zs sn s

R z R z h zs x z > 0, EQUAZIONE DI WIENER-HOPF

=0

Page 116: Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11 PROCESSI ALEATORI

Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.114

• E’ POSSIBILE EFFETTUARE STIME ANTICIPATE O CON PREVISIONE (z>t, t>0)

• OPPURE STIME RITARDATE (z> -t).

SI TRATTERANNO SOLO FILTRI NON CAUSALI (z QUALUNQUE) (V. DOPO)

x t t

tt p

x t t

tt p

USO x(t-z) (-,t- t ]

PER STIMARE s(t)

USO x(t-z) (-,t+ t]

t

Page 117: Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11 PROCESSI ALEATORI

Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.115

h t

t

• SI CONSIDERI UN FILTRO NON CAUSALE:

UN FILTRO COSI’ UTILIZZA VALORI DELL’ INGRESSO CHE DEVE ANCORA

OSSERVARE

h t

x t y t

t

ESEMPIO : FILTRO NON CAUSALE

Page 118: Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11 PROCESSI ALEATORI

Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.115.1

SE INVECE CONSIDERO * - < z < +

ALLORA SI PUO’ TRASFORMARE CON FOURIER L’ EQUAZIONE DI WIENER

E POICHE’ I PROCESSI SONO INDIPENDENTI DA CUI

S S Hs x

R z R z R z S S Sx s n x s n

HS

S Ss

s n

FILTRO DI

WIENER

* RITARDO INFINITO

Page 119: Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11 PROCESSI ALEATORI

Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.116

DATO CHE H() E’ FORMATO DAL RAPPORTO DI FUNZIONI REALI E PARI, SARA’

ANCH’ ESSO REALE E PARI. ANTITRASFORMATO FORNIRA’ UNA h(t) REALE E

PARI (OSSIA NON CAUSALE).

ESEMPIO :

ALLORA

SK

S N

s

n

2 2

0

PROCESSO TELEGRAFICO CASUALE

RUMORE BIANCO

H K

KN

2 2

2 2 0

2 2 SIMILE ALLO SPETTRO DEL SEGNALE s(t).

SI PUO’ RENDERE IL FILTRO DI WIENER CAUSALE IMPONENDO UN RITARDO t0 E

CONSIDERANDO TALE ISTANTE COME ORIGINE (STIMA CON RITARDO).

R Nn 0

Page 120: Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11 PROCESSI ALEATORI

Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.116.1

h t

tt0

h(t) E’ NON CAUSALE PERO’, ESSENDO h(t) 0 PER t<t0 POSSO RENDERLO CAUSALE INTRODUCENDO UN RITARDO t0 E TRONCANDO h(t) PER t<t0 .

QUINDI: STIMA CON RITARDO t0

h t'

tt0

h t t' 0

x t s t y t t= 0

t t0 t t 0

ASPETTO L’ ISTANTE t+ t0 PER FARE LA STIMA USANDO I VALORI DA x(t) A

x(t+ t0) CHE RISPETTO A t, SONO VALORI “FUTURI”

s t

Page 121: Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11 PROCESSI ALEATORI

Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.116.2

LO STESSO TIPO DI PROBLEMA SI PUO’ AFFRONTARE NEL DISCRETO:

QUESTO PROBLEMA SI PUO’ RISOLVERE ANCHE CON IL FILTRO DI KALMAN (PIU’

VELOCE PERCHE’ DI TIPO RICORSIVO).

x k s k n k

y k s k

E’ LA STIMA (MEQM) CHE SI VUOLE

Page 122: Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11 PROCESSI ALEATORI

Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.117

FILTRO A MASSIMO S/N

• SI VUOL RILEVARE UN SEGNALE IMPULSIVO IMMERSO NEL RUMORE.• AMPIEZZA DEL SEGNALE E POSIZIONE SCONOSCIUTI.

NOTA : IL FILTRO DI WIENER CERCA DI AVERE UN SEGNALE VICINO A ,

CIOE’ NE VUOLE SALVARE LA “FORMA”. IN QUESTO CASO VOGLIO (S/N) MAX.

• MODELLO :

s t s t

H f

G fn

x tr y tD

G fn DENSITA’ SPETTRALE DI POTENZA DEL RUMORE

S/N= SIGNAL to NOISE RATIO= SNRRAPPORTO AMPIEZZE

RAPPORTO POTENZE

Page 123: Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11 PROCESSI ALEATORI

Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.118

COSI’ :

x t A p t t p t

A tr r

r

0

0

,

,

t

y tD A n AD 0

t0 t td0

IMPULSO

NON NOTI

y t x t n t h t y tx t h t

n t h t

t

D r Dr

d

EVENTUALE RITARDO

INTRODOTO DALLA h(t)

COMPON. SEGNALE

COMPON. RUMORE

Page 124: Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11 PROCESSI ALEATORI

Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.119

DATE QUESTE IPOTESI, IL SEGNALE IN FREQUENZA VALE

CHE HA ENERGIA PARI A

QUINDI PER RILEVARE L’ IMPULSO, IL FILTRO H(f) DEVE MINIMIZZARE IL RUMORE

IN CORRISPONEDENZA DI UN ISTANTE , MASSIMIZZANDO L’ ENERGIA

DELL’ IMPULSO IN:

x tr

X f A P f e P f p tr rj t 0 DOVE

E X f df A P f df A p tR R r r

22

22 En.di

t t td 0

X f H f Y fr D COMPONENTE SEGNALE DI

Page 125: Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11 PROCESSI ALEATORI

Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.120

• SI VUOLE DETERMINARE IL PICCO A DEL SEGNALE ALL’ ISTANTE

IN TERMINI DI H(f) E P(f).

t t td 0

A H f X f A H f P f e dfr t t t rj t

d

d1

0

SE E{n(t)}=0 max max maxS

N

A

D N D

Pot.SegnalePot.Rumore

2

2

n t y tD D COMP.RUMORE DI

Page 126: Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11 PROCESSI ALEATORI

Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.121

E ASSUMENDO IL RUMORE A MEDIA NULLA, INDIPEND. DAL SEGNALE, SI HA :

INFATTI

DOVE

n nDH f G f df2

2

n N

j t

t

ND D DS f e df S f df2

0

S f H f G fN nD

2

n t y tD D COMP.RUMORE DI

Page 127: Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11 PROCESSI ALEATORI

Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.122

• SI VUOLE MASSIMIZZARE IL RAPPORTO TRA LA POTENZA (L’ AMPIEZZA AL

QUADRATO) DI PICCO A2 E LA VARIANZA DEL RUMORE, OVVERO

DOVE H(f) E’ INCOGNITO (NON CONOSCO INOLTRE E

nD

2

S

N

AA

H f P f e df

H f G f dfD MAX nMAX

r

j t

nD

d

2

2

2

2

potenza di picco delsegnale ( )potenza del rumore

t = td

A tr d

Page 128: Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11 PROCESSI ALEATORI

Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.123

SI APPLICA LA DISUGUAGLIANZA DI SCHWARTZ :

IN QUESTO CASO, QUINDI

V f W f df

V f df

W f dfV f

W f

*

2

2

2

FUNZIONI ARBITRARIE

V f H f G f

W fA P f e

G f

A H f P f e

V f

n

rj t

n

rj td d

*

Page 129: Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11 PROCESSI ALEATORI

Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.124

E SI OTTIENE IL VALORE MASSIMO QUANDO V(f) E’ PROPORZIONALE A W(f) .QUINDI, SE

SI AVRA’

V f

KW fAr

AA

P f

G fdf

n MAX

rn

2

2

2

(MAX DELLA DISEGUAGLIANZA DI SCHWARTZ)

Page 130: Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11 PROCESSI ALEATORI

Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.125

IN TAL MODO :

DOVE K E’ UNA COSTANTE ARBITRARIA

• ESSENDO PROPORZIONALE A E INVERSAMENTE

PROPORZIONALE A , IL FILTRO ENFATIZZA LE FREQUENZE DOVE IL

SEGNALE E’ ALTO E DE-ENFATIZZA LE FREQUENZE DOVE LO SPETTRO DEL

RUMORE E’ ALTO.

V fK

AW f

K

AA

P f e

G fH f G f

H f KP f e

G f

r rr

j t

n

n

OPT

j t

n

d

d

*

*

H fOPT P f G fn

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Laurea Ing EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 11.126

• NEL CASO DI RUMORE BIANCO :

E LA RISPOSTA ALL’ IMPULSO DIVENTA :

• IL NOME MATCHED FILTER (O FILTRO ADATTATO) PROVIENE PROPRIO DA CHE HA LA FORMA DELL’ IMPULSO ROVESCIATO E RITERDATO DI (VEDI TEORIA DELLA DECISIONE).

• PUO’ SUCCEDERE CHE IL FILTRO ADATTATO POSSA RISULTARE NON CAUSALE E QUINDI NON REALIZZABILE (EVENTUALMENTE, REALIZZABILE CON INTRODUZIONE DI RITARDO).

S

N

A AP f df

E

MAX n MAX

r R

2 222 2

h tK

P f eK

p t tOPTj t

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1 2 2

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P f R p t pari

h tOPT td

G fn

2

G fn

2

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ES. SEGNALE SINUSOIDALE IN RUMORE

ORIG. CAUSALE STAZIONARIO

ERGODICO.

DOMANDA : STIMA DI DA UNA REGISTRAZIONE DI y(t).

y t x t n t a t n t

A

n t

cos

,

0

0

INCOGNITE (COSTANTI)

V.A. UNIF. DISTRIB. IN [0,2] (“ORIG. CAUSALE”)

GAUSSIANO, BIANCO, ADDITIVO (INDIP. SEGNALE)

0