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DEPARTAMENTO DE ELECTRICA Y ELECTRONICAAREA DE ELECTROMAGNETISMO Y OPTICA APLICADA

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UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS

DEPARTAMENTO DE ELECTRICA YELECTRONICA

LIBRO DE CONTENIDOS DE ELECTROMAGNETISMO ICONTENIDO DE LA MATERIA DE DESARROLLO Y ANALISIS

CRNL. EDWIN CHAVEZ MORILLO

SANGOLQUI, OCTUBRE 2015

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LIBRO DE TRABAJO DE ELECTROMAGNETISMO ISEMESTRE OCTUBRE 2015MARZO 2016

PRESENTACION GENERAL

Este es un libro denominado de contenidos para la materia ELECTROMAGNETISMOI, del rea de Electromagnetismo y Optica Aplicada del Departamento de Elctrica yElectrnica de la Universidad de las Fuerzas Armadas.

Fue diseado, para que sirva como gua de estudio; no obstante esta deba ser ademsobjetiva y responder a la necesidad de los estudiantes de comprender los conocimientos

sobre los campos elctrico y magntico y establecer su relacin con sistemas que seusan en la vida real

Por otro lado y con el fin de validar el mtodo que se aplica en este libro de trabajo,todos sus procesos fueron sujetos a prueba dentro del Diplomado Internacional porCompetencias del Instituto Tecnolgico de Monterrey, seguido por el autor (Febrero septiembre 2014).

El resultado positivo obtenido garantiza que el proceso de enseanza aprendizaje adesarrollar en el semestre octubre 2015 marzo 2016, sea de real beneficio para elestudiante.

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INSTRUCCIONES GENERALES

1. DISPOSICIONES ADMINISTRATIVAS

a. Toda clase es un taller, lo cual implica:1) La participacin activa y presencial de todos los estudiantes para desarrollar el

contenido del libro de trabajo.2) Que cada taller inicie con el registro de asistencia; lo que implica que el estudiante

que no asista autoriza al sistema de calificaciones de EMIO15F16 a ejecutar ladeduccin respectiva, independientemente del registro de falto en el sistema deregistro de asistencia de la ESPE.

3) No se autoriza la utilizacin de calculadora para resolver los ejercicios, exceptocuando la operacin matemtica lo justifique.

b. El tiempo mximo permitido para ingresar a clase es de diez (10) minutos a partir de la

hora oficial de inicio. Culminado el tiempo extra de ingreso, el estudiante se considerafalto.c. Excepto el Comandante de Curso, todos los estudiantes deben cumplir las funciones de

semanero, con el propsito de cumplir con funciones logsticas para el buen desarrollode las clases.

d. No obstante que el Reglamento de Estudiantes de la ESPE, no autoriza un examensupletorio, desde el punto de vista educativo internacional, en mi calidad de docente deesta asignatura lo autorizo al final del semestre para el estudiante que no cumpla con eltotal mnimo de cuarenta y dos (42), de acuerdo a las siguientes condiciones:

1) El examen es acumulativo.2) Versar exclusivamente sobre lo visto durante el semestre y registrado en el libro de

trabajo.

e. Es obligacin del estudiante utilizar el correo oficial de la ESPE y la plataforma virtual.No se utilizar ningn otro medio electrnico para la asignacin de tareas o para enviardisposiciones.

2. El libro de trabajo contiene:

a. Material grfico de calidad y texto esquematizado para asegurar la participacin activa

del estudiante.b. Preguntas de revisin de conocimiento, para ser desarrolladas en clase por los

estudiantes.c. Material de preparacin para las pruebas, registradas en el libro de trabajo y que sern

activadas a travs de la plataforma virtual de la ESPE.d. Ejemplos ilustrativos para ser desarrollados en clase.e. Ejercicios para ser resueltos en clase por el profesor.f. Ejercicios para ser resueltos por los estudiantes y evaluados por el profesor, mediante

pruebas intermedias.g. 2 talleres de ejercicios grupales.

h. Artculos aplicativos de los principios electromagnticos en la vida real.i. Ejercicios de fin de captulo.

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LTEM1O14M15j. Proyecto integrador:

1) Diseo y construccin de un tren con levitacin magntica.

3. Valoracin de cada unidad acadmica:

a. Puntos de mrito:1) Ejercicios para ser resueltos y evaluados en clase por el profesor.2) Pruebas intermedias en base de las preguntas de revisin de conocimiento y del

material de preparacin para las pruebas.3) Anlisis de artculos aplicativos desde los puntos de vista comercial, industrial y

militar.4) Ejercicios de fin de captulo.5) Puntos extras generados en los talleres, hasta un mximo de tres (3) puntos.

b. Puntos de demrito:

1) Inasistencias a clases.2) No presentarse a evaluaciones intermedias o parciales.3) No asistir a talleres grupales.

Sangolqu, 5 de septiembre del 2015

Crnl. Edwin Chvez Morillo.

DOCENTE ELECTROMAGNETISMO I

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CAPITULO 1

INTRODUCCIN AL ELECTROMAGNETISMO

OBJETIVOS

Explicar la razn por la cual se gener en forma muy tarda el desarrollo delelectromagnetismo, a travs de una breve resea histrica de los principalesdescubrimientos.

Presentar el espectro electromagntico. Explicar cmo el electromagnetismo es fundamental para comunicaciones

inalmbricas que es la tendencia actual y de futuro. Realizar una revisin de fasores. Realizar una revisin de nmeros complejos.

1. HISTORIA DEL ELECTROMAGNETISMO1

La Electricidad viene de la palabra griega elektroncuyo significado es "mbar".Es aceptado que el griego Thales de Mileto, observ el fenmeno por el cualfrotando un trozo de mbar, este atraa pequeos fragmentos de paja seca.

Desde mi punto de vista transcurri demasiado tiempo para que a finales del sigloXXVII empiece a ser tratado el electromagnetismo como ciencia. Entre otras

razones, est el contexto que a la ciencia se la daba en la edad media.No obstante; la electricidad no era del todo desconocida en la edad media. Porejemplo, era perfectamente conocida la accin devastadora de los rayos, pero se leatribua un carcter demonaco. Por otro lado, hay que considerar tambin la propianaturaleza humana opuesta al cambio; as, cuando Benjamn Franklin descubri einstal los pararrayos se formaron dos grupos, unos a favor y otros en contra. Fueluego de comprobarse que los rayos ocasionaron daos materiales y muertes paraque de manera unnime se le considere de utilidad y se reconozca el invento deFranklin.

Un artculo que demuestra este aserto y otros que demuestran otras particularidadesde cmo se desconoca la naturaleza del electromagnetismo, se lo puede extraerdesde la direccin:

http://www.librosmaravillosos.com/tresmileniosdeliman/capitulo04.html.

Se podra perfectamente seguir enumerando muchos pasajes de la evolucin delelectromagnetismo, pero creo que es conveniente establecer el criterio limitante deregistrar solamente los que tienen evidencia.

1Referencia http://www.forosdeelectronica.com/f36/resumen-general-historia-electromagnetismo-24275/
http://www.librosmaravillosos.com/tresmileniosdeliman/capitulo04.htmlhttp://www.librosmaravillosos.com/tresmileniosdeliman/capitulo04.htmlhttp://www.forosdeelectronica.com/f36/resumen-general-historia-electromagnetismo-24275/http://www.forosdeelectronica.com/f36/resumen-general-historia-electromagnetismo-24275/http://www.forosdeelectronica.com/f36/resumen-general-historia-electromagnetismo-24275/http://www.forosdeelectronica.com/f36/resumen-general-historia-electromagnetismo-24275/http://www.forosdeelectronica.com/f36/resumen-general-historia-electromagnetismo-24275/http://www.forosdeelectronica.com/f36/resumen-general-historia-electromagnetismo-24275/http://www.forosdeelectronica.com/f36/resumen-general-historia-electromagnetismo-24275/http://www.librosmaravillosos.com/tresmileniosdeliman/capitulo04.html

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LTEM1O14M15A continuacin se presentan los principales eventos histricos que tienen evidenciade conocimiento:

Fecha Persona Actividad Ilustracin625 y545AC.

Thales deMileto Los fenmenos magnticos fueron

conocidos por los antiguos griegos. Se diceque por primera vez se observaron en laciudad de "Magnesia" en Asia Menor, deah el trmino magnetismo. Se conoca queciertas piedras atraan el hierro y que lostrocitos de hierro atrados, atraan a su veza otros. Estas se denominaron imanesnaturales.El primer filsofo que estudi el fenmenodel magnetismo fue Tales de Mileto, quienvivi entre 625 a.C. y 545 a.C.

1752 BenjamnFranklin

Lleg a conocer profundamente laelectricidad esttica.En 1752 llev a cabo en Filadelfia sufamoso experimento con la cometa. Atuna cometa con esqueleto de metal a unhilo de seda, en cuyo extremo llevaba unallave tambin metlica. Hacindola volarun da de tormenta, confirm que la llavese cargaba de electricidad, demostrando asque las nubes estn cargadas deelectricidad y los rayos son descargaselctricas. Gracias a este experimento cresu ms famoso invento, el pararrayos. A

partir de ah, se instalaron por todo elEstado (haba ya 400 en 1782), llegando aEuropa en los aos 1760.

1785 CharlesAugustindeCoulomb

Ingeniero y fsico militar francs. Sumayor aportacin a la ciencia fue darforma a la fuerza de atraccin entre cargaselctricas estticas. As se inicia el hechode que al electromagnetismo se estudiecomo ciencia tcnica y se abandone elcriterio anterior de ser ciencia filosfica.

1801 CarlFriedrichGauss

Considerado el mejor matemtico delmundo; sus descubrimientos matemticostienen aplicacin ahora en forma

progresiva.Junto con el fsico Wilhelm Weberinvestigaron el electromagnetismo;construyeron un magnetmetro llegando adeterminar que el campo magntico estabaen el interior de la tierra e inventaron eltelgrafo.Faraday llam a la expresin matemticadel flujo elctrico como ley de Gauss.

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LTEM1O14M151820 Hans

ChristianOrsted

A travs de experimentacin HansChristian Oersted descubri la relacin queexiste entre electricidad yelectromagnetismo.Descubri el fenmeno en el cual un cable

por el que circula una corriente, modificala direccin de una brjula cercana, esdecir que en un circuito una corrientegenera un campo magntico y que por lotanto, ellos estaban relacionados. En sunombre se le ha asignado la unidad de lareluctancia magntica.

1820 Jean-BaptisteBiot y FlixSavart

Los cientficos franceses Jean Biot y FlixSavart dedujeron en 1820 una ecuacinque permite calcular la densidad de campomagntico B creado por un circuito de

forma cualesquiera recorrido por unacorriente de intensidad i.La ley de Biot-Savart sirve de base terica

para la definicin de los camposmagnticos.

1822 Andr-MarieAmpre

Ampre estudi los fenmenosrelacionados con la corrienteelectromagntica. Se interesa por losdescubrimientos de Volta (el de la pila).Observa de cerca los efectos de lacorriente elctrica sobre una aguja

imantada. Analiz la relacin que existeentre los fenmenos elctricos y losmagnticos y estableci la ley llamada laley de Ampere.

1825 WilliamSturgeon Fsico ingls, en 1825 enroll 18 espiras de

alambre conductor alrededor de una barrade hierro dulce, que dobl para que tuvierala forma de una herradura. Al conectar losextremos del cable a una batera, el hierrose magnetiz y pudo levantar un peso queera 20 veces mayor que el propio. Este fue

el primer electroimn, es decir, un imnaccionado por electricidad.

1830 JosephHenry El estadounidense Joseph Henry (1797-

1878) fue un fsico que investig elelectromagnetismo y sus aplicaciones enelectroimanes yrels.En forma simultneae independiente de Faraday, descubri lainduccin electromagntica y observ queun campo magntico variable puedeinducir una fuerza electromotriz en uncircuito cerrado. El experimento consisti

en desplazar un ente metlicoperpendicularmente a las lneas de fuerza
http://es.wikipedia.org/wiki/Joseph_Henryhttp://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Electroim%C3%A1nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Rel%C3%A9http://es.wikipedia.org/wiki/Inducci%C3%B3n_electromagn%C3%A9ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza_electromotrizhttp://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza_electromotrizhttp://es.wikipedia.org/wiki/Inducci%C3%B3n_electromagn%C3%A9ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Rel%C3%A9http://es.wikipedia.org/wiki/Electroim%C3%A1nhttp://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Joseph_Henry

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LTEM1O14M15magntica; esto produce una diferencia de

potencial entre sus extremos, llamadafuerza electromotriz inducida. En su honorse denomin Henry (smbolo H) a launidad de inductancia, castellanizadacomoHenrio.

1831 MichaelFaraday Tras el gran descubrimiento por Oersted en

1821, Faraday continu la investigacincon imanes. Fue uno de los primeros enconstruir un motor elctrico, que lllamaba "Rotacin electromagntica". Diezaos ms tarde, en 1831, Faraday comenza experimentar con xito la induccinelectromagntica, que es la mismatecnologa que se usa hoy en da. Tambinestudi las cargas estticas y suacumulacin en conductores; ms

especficamente, en placas metlicasparalelas; lo que hoy se conoce comocondensadores elctricos o capacitores. Ensu honor se le asign la unidad decapacidad elctrica (Faradio).

1866 JamesClerkMaxwell

Integr los distintos resultados obtenidos alo largo del tiempo y en formaindependiente por varios investigadores ylos condens hasta en trece (13)ecuaciones.Tambin estudi la teora cintica de los

gases.Introdujo el concepto de la corriente dedesplazamiento.Heaviside y Hertz las redujeron a lascuatro (4) que se utilizan hoy da.

1873 OliverHeaviside. Sus trabajos matemticos eran de gran

complejidad, siendo difciles decomprender aun por parte de matemticosavanzados. Estudi en profundidad la obrade James C. Maxwell sobre la teoraelectromagntica, llegando incluso asimplificar sus ecuaciones.En varios artculos publicados entre 1873 y1901 tanto en el TheElectriciancomoen laPhilosophical Magazine, Heavisidedesarroll la teora de la propagacinelectromagntica en cables, en la que

propona el aumento de la induccin pormedio de la insercin de bobinas con elobjeto de incrementar la distancia de

propagacin; la aplicacin fue en elsegundo cable submarino.En diciembre de 1901,GuglielmoMarconiconsigui, milagrosamente, queuna seal de radiotelegrafa atravesara elAtlntico.

Este hecho cre un gran desconcierto en lacomunidad cientfica, que asuma, sinexcepciones, que la propagacin de las
http://es.wikipedia.org/wiki/Potencial_el%C3%A9ctricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza_electromotrizhttp://es.wikipedia.org/wiki/Inductanciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Henriohttp://histel.com/z_histel/biografias.php?id_nombre=63http://histel.com/z_histel/biografias.php?id_nombre=63http://histel.com/z_histel/biografias.php?id_nombre=63http://histel.com/z_histel/biografias.php?id_nombre=63http://histel.com/z_histel/biografias.php?id_nombre=63http://histel.com/z_histel/biografias.php?id_nombre=63http://es.wikipedia.org/wiki/Henriohttp://es.wikipedia.org/wiki/Inductanciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza_electromotrizhttp://es.wikipedia.org/wiki/Potencial_el%C3%A9ctrico

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LTEM1O14M15ondas electromagnticas era en lnea rectaTanto Heaviside como el ingeniero

britnico, afincado en Estados Unidos,Arthur E. Kennelly, predijeron en 1902 laexistencia de una capa en la atmsfera,ionizada por la radiacin solar y que

permita que las seales se reflejasen en

ella volviendo a la superficie terrestre envez de perderse en el espacio.La existencia de esta capa, solo se pudodemostrar fehacientemente muchos aosdespus, pasndose a llamar capaKennelly Heaviside (actualmentedenominada capao regin E).Redujo a cuatro (4) las ecuaciones deMaxwell, versin que se utilizar hoy da.

1888 HenrichRudolfHertz

Hertz fue alumno de Gustav Kirchoff.Demostr por primera vez la existencia dela radiacin electromagntica al poderemitir seales y recibirlas a un metro dedistancia, confirmando lo dicho porMaxwell y Faraday.

Para complementar el punto de vista objetivo, en la Figura 1.1, se presenta uncuadro esquemtico de la historia del electromagnetismo y sus principales

protagonistas.

Figura 1.1. Esquema de actores principales en la historia del electromagnetismo2

ACTIVIDAD PRC 1.1PREGUNTAS DE REVISION DEL CONOCIMIENTO 1.1

2. RELACION DEL SER HUMANO Y LOS CAMPOS ELECTROMAGNETICOS2http://cmapspublic3.ihmc.us/rid=1040063379062_1260866364_7493/Historia%20y%20Principios.cmap
http://cmapspublic3.ihmc.us/rid=1040063379062_1260866364_7493/Historia%20y%20Principios.cmaphttp://cmapspublic3.ihmc.us/rid=1040063379062_1260866364_7493/Historia%20y%20Principios.cmaphttp://cmapspublic3.ihmc.us/rid=1040063379062_1260866364_7493/Historia%20y%20Principios.cmaphttp://cmapspublic3.ihmc.us/rid=1040063379062_1260866364_7493/Historia%20y%20Principios.cmap

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Desde el punto de vista interno del cuerpo humano, se puede decir que los seres humanos,somos entes electromagnticos, ya que las funciones motrices desde y hacia el cerebro sonactivadas en la forma de estmulos elctricos de pequesima magnitud que se generan oreciben para controlar movimientos de los msculos o detectar estmulos; en este contexto,el mejor ejemplo es el estmulo elctrico autnomo que genera los latidos del corazn y quenos permite vivir.

Desde el punto de vista externo, recibimos radiaciones electromagnticas desde unainmensa variedad de fuentes naturales o artificiales. Por lo tanto convivimos con los camposelectromagnticos; no obstante, porqu no los sentimos en nuestra vida diaria?

Desde el punto de vista de emisiones naturales, la gama de generadores naturales de ondaselectromagnticas es extensa: la luz del sol que es la onda electromagntica que crea la vidaen la tierra, existen adems las emisiones electrostticas que se producen en las nubes, haypresencia de radiadores de iones positivos3, los rayos csmicos4provienen de las galaxias.Ante la influencia de los generadores externos de ondas electromagnticas, el campo

magntico de la tierra provee un efecto protector. La gama de fenmenos mecnicos,trmicos, luminosos y qumicos que producen emisiones electromagnticas en el medioambiente que nos rodea es gigantesca.

Las emisiones artificiales se caracterizan por el uso de cualquier dispositivo creado por elser humano y que emplea energa para generar electrones, campos magnticos o camposelectromagnticos. Las aplicaciones van desde el mbito personal, del hogar, de la oficina,industrial, militar, acadmico, etc.

Cabe peguntarse aqu: Son los campos electromagnticos nocivos para la salud? Cules sonlos beneficios que se obtienen del uso o exposicin a las ondas electromagnticas?.

Para contestar estas y otras preguntas, el libro contiene un conjunto de aplicacionestecnolgicas, de cuyo anlisis de desprender que nosotros y los campos electromagnticosestamos ntimamente relacionados.

3. EL ESPECTRO ELECTROMAGNETICO

CONCEPTO:

El espectro electromagntico, es una divisin convencional de las ondas electromagnticasen funcin de la frecuencia.

CARACTERISTICAS:

La luz visible es una referencia para magnificar la extensin del espectro electromagntico;as, la regin que el ojo humano reconoce es una muy pequea entre el infrarrojo yultravioleta, comparada con la extensin del espectro.

La Figura 1.2, muestra el rango visible del ojo humano y una progresin desde las ondas delongitud de onda muy grande, hasta las de orden muy pequeo de 10 -12m. La clasificacinen funcin de la frecuencia tiene correspondencia con la variacin de la longitud de onda,dada por la relacinf = c/.

3http://www.fengshui-chile.cl/contaminacion.html4http://es.wikipedia.org/wiki/Rayo_c%C3%B3smico
http://www.fengshui-chile.cl/contaminacion.htmlhttp://www.fengshui-chile.cl/contaminacion.htmlhttp://www.fengshui-chile.cl/contaminacion.htmlhttp://es.wikipedia.org/wiki/Rayo_c%C3%B3smicohttp://es.wikipedia.org/wiki/Rayo_c%C3%B3smicohttp://es.wikipedia.org/wiki/Rayo_c%C3%B3smicohttp://es.wikipedia.org/wiki/Rayo_c%C3%B3smicohttp://www.fengshui-chile.cl/contaminacion.html

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Figura 1.2 El espectro electromagntico5

En la Figura 1.3, se indica la relacin inversa entre la frecuencia y la longitud de onda; secompara adems con objetos fsicos para obtener una idea objetiva de sus magnitudes. Lasfrecuencias varan desde aquellas tan bajas en el orden de KHz para ondas de radio,mientras que en la escala superior muestra ondas de frecuencias tan elevadas de 1023Hz.

Figura 1.3 Relacin funcional del espectro electromagntico.6

Tambin, la Figura 1.3, ilustra algunas caractersticas adicionales de las ondaselectromagnticas, desde el mbito de comunicacin inter espacial.

5Tomado dehttp://www.google.com/imgres?imgurl=http://astronomos.net23.net/imagenes_voltaire/ondasemlongitudes2.jpg&imgrefurl=http://astronomos.net23.net/teorias/espectroelectromagnetico.html&usg=__shH_WwrWQrSaiCs23qCcYUZCMRo=&h=483&w=528&sz=25&hl=es&start=0&sig2=ose4BSRLLC3mtZOKSEN-aw&zoom=1&tbnid=q3dlMEtEYSvlKM:&tbnh=118&tbnw=129&ei=enduTdqkDorLtgeL8qWKDw&prev=/images%3Fq%3Despectro%2Belectromagnetismo%26um%3D1%26hl%3Des%26sa%3DG%26biw%3D918%26bih%3D50

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http://www.google.com/imgres?imgurl=http://astronomos.net23.net/imagenes_voltaire/ondasemlongitudes2.jpg&imgrefurl=http://astronomos.net23.net/teorias/espectroelectromagnetico.html&http://www.google.com/imgres?imgurl=http://astronomos.net23.net/imagenes_voltaire/ondasemlongitudes2.jpg&imgrefurl=http://astronomos.net23.net/teorias/espectroelectromagnetico.html&http://www.google.com/imgres?imgurl=http://astronomos.net23.net/imagenes_voltaire/ondasemlongitudes2.jpg&imgrefurl=http://astronomos.net23.net/teorias/espectroelectromagnetico.html&http://www.google.com/imgres?imgurl=http://astronomos.net23.net/imagenes_voltaire/ondasemlongitudes2.jpg&imgrefurl=http://astronomos.net23.net/teorias/espectroelectromagnetico.html&http://www.google.com/imgres?imgurl=http://astronomos.net23.net/imagenes_voltaire/ondasemlongitudes2.jpg&imgrefurl=http://astronomos.net23.net/teorias/espectroelectromagnetico.html&http://www.google.com/imgres?imgurl=http://astronomos.net23.net/imagenes_voltaire/ondasemlongitudes2.jpg&imgrefurl=http://astronomos.net23.net/teorias/espectroelectromagnetico.html&http://www.google.com/imgres?imgurl=http://astronomos.net23.net/imagenes_voltaire/ondasemlongitudes2.jpg&imgrefurl=http://astronomos.net23.net/teorias/espectroelectromagnetico.html&http://www.google.com/imgres?imgurl=http://astronomos.net23.net/imagenes_voltaire/ondasemlongitudes2.jpg&imgrefurl=http://astronomos.net23.net/teorias/espectroelectromagnetico.html&http://cnho.files.wordpress.com/2010/04/espectro-electromagnetico.pnghttp://cnho.files.wordpress.com/2010/04/espectro-electromagnetico.pnghttp://cnho.files.wordpress.com/2010/04/espectro-electromagnetico.pnghttp://cnho.files.wordpress.com/2010/04/espectro-electromagnetico.pnghttp://www.google.com/imgres?imgurl=http://astronomos.net23.net/imagenes_voltaire/ondasemlongitudes2.jpg&imgrefurl=http://astronomos.net23.net/teorias/espectroelectromagnetico.html&http://www.google.com/imgres?imgurl=http://astronomos.net23.net/imagenes_voltaire/ondasemlongitudes2.jpg&imgrefurl=http://astronomos.net23.net/teorias/espectroelectromagnetico.html&http://www.google.com/imgres?imgurl=http://astronomos.net23.net/imagenes_voltaire/ondasemlongitudes2.jpg&imgrefurl=http://astronomos.net23.net/teorias/espectroelectromagnetico.html&http://www.google.com/imgres?imgurl=http://astronomos.net23.net/imagenes_voltaire/ondasemlongitudes2.jpg&imgrefurl=http://astronomos.net23.net/teorias/espectroelectromagnetico.html&http://www.google.com/imgres?imgurl=http://astronomos.net23.net/imagenes_voltaire/ondasemlongitudes2.jpg&imgrefurl=http://astronomos.net23.net/teorias/espectroelectromagnetico.html&http://www.google.com/imgres?imgurl=http://astronomos.net23.net/imagenes_voltaire/ondasemlongitudes2.jpg&imgrefurl=http://astronomos.net23.net/teorias/espectroelectromagnetico.html&http://www.google.com/imgres?imgurl=http://astronomos.net23.net/imagenes_voltaire/ondasemlongitudes2.jpg&imgrefurl=http://astronomos.net23.net/teorias/espectroelectromagnetico.html&

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LTEM1O14M15COMUNICACIN INALMBRICA:

En comunicaciones inalmbricas la frecuencia empleada es alta, puesto que lacantidad de informacin que se intercambia es directamente proporcional a lafrecuencia. Esto se demuestra recordando por fsica, que la energa Ude un fotn es

directamente proporcional a la frecuencia

hfU (1.1)

donde hes la constante de Planck7; por lo que a muy altas frecuencias (por ejemplorayos x), la energa de la radiacin es de considerable magnitud y puede daar amateriales y personas. Las fibras pticas y sistemas de comunicacin de lnea devista se emplean a partir del orden de 109Hz.

Tambin en comunicacin inalmbrica, la atenuacin es un factor que se debe tomaren consideracin en el diseo de propagacin; as entre 1 y 100 GHz, existen

ventanas de relativamente baja atenuacin de la seal en la atmsfera. Algunasventanas de baja atenuacin son: < 18 GHz, 2640 GHz y 94 GHz.

Figura 1.4 Ventanas de comunicacin al espacio

Por otro lado para trasmitir o recibir seales, el tamao de antena esaproximadamente igual a la mitad de la longitud de onda: l /2, por lo cual laantena ser ms pequea conforme aumente la frecuencia de operacin del sistema.

ACTIVIDAD PRC1.2PREGUNTAS DE REVISION DEL CONOCIMIENTO 1.2

4. UNIDADES

El Sistema Internacional (SI) es el sistema estndar para literatura cientfica y sebasa en seis dimensiones fundamentales que se listan en la Tabla 1.1.

7h=6.63 x 10-34JS.

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LTEM1O14M15Tabla 1.1 Unidades fundamentales del sistema internacional

Dimensin Unidad SmboloLongitud Metro MMasa Kilogramo Kg

Tiempo Segundo SCorriente elctrica Amperio ATemperatura Kelvin KCantidad de substancia Mol mol

Para cantidades entre 10-24 y 1024, se usa un conjunto de prefijos en pasos de 103para denotar mltiplos y submltiplos. A continuacin en la Tabla 1.2, se presenta lanotacin de los prefijos de ingeniera.

Tabla 1.2 Prefijos de los mltiplos y submltiplos

Prefijo Abreviatura Valor

yotta Y 10 24

Zetta Z 10 21

Exa E 10 18

Peta P 10 15

Tera T 10 12

Giga G 10 9

mega M 10 6

Kilo K 10 3

hecto H 10 2

Deca Da 10 1

Sin prefijo Sin abreviatura 1

Deci D 10 -1

centi C 10 -2

Mili M 10 -3

micro 10 -6

Nano N 10 -9

Pico P 10 -12

femto F 10 -15

Atto A 10 -18

zepto Z 10 -21

yocto Y 10 -24

Para el estudio de electromagnetismo, se utilizan escalares y vectores. Porconvencin una magnitud escalar, como el voltaje Vse representar mediante letraitlica; un vector se representar con negrilla, por ejemplo Epara denotar el campo

elctrico; as por ejemplo para el campo elctrico se utilizar

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(1.2)Donde,Ees la magnitud de Ey

x su direccin.

En este libro se usar la representacin fasorial para resolver problemas concantidades electromagnticas que varan senoidalmente con el tiempo, para lo cualse utilizar el smbolo (~) sobre la letra de una cantidad fasorial, por ejemplo E

~es el

campo elctrico fasorial, correspondiente al vector instantneo de campo elctricoE(t).

ACTIVIDAD APT1.1APLICACIN TECNOLGICA APT1.1(LED)

5. REVISION DE ONDAS SINUSOIDALES

ACTIVIDAD SIM1.1SIMULACION DE ONDA SINUSOIDAL

ACTIVIDAD SIM1.2SIMULACION DE ONDAS VIAJERAS

6. REVISION DE FASORES

Antes de realizar la revisin de los conceptos de fasores, cabe preguntarse:

Porque es til el empleo de fasores? Es decir porque es la herramienta matemticaapropiada para estudiar las ondas en el dominio de la frecuencia antes que en eltiempo?

En primer lugar una expresin con dependencia temporal, tiene sentido cuando lavariable tiempo tiene un cierto valor; es decir, vale slo para ese instante y no paraotro. Esta es la razn por la cual las expresiones en funcin del tiempo sedenominan instantneas. Por lo tanto para describir el comportamiento de unaonda electromagntica, debera representarse en cada instante de tiempo que sea deinters.

En segundo lugar cuando es necesario realizar diferenciaciones o integraciones escomplejo trabajar directamente con las expresiones instantneas. En este aspecto estedioso trabajar y combinar funciones seno y coseno que resultan cuando sediferencia o integra.

La alternativa es utilizar la notacin fasorial que entre otras ventajas permite que lasexpresiones instantneas se conviertan en una ecuacin lineal sin funcionessinusoidales. Se desprende, que la notacin fasorial simplifica las operaciones y es

por lo tanto el mtodo de solucin adecuado.

Una vez obtenida la solucin como voltaje o corriente la conversin del dominiofasorial al de tiempo provee la solucin buscada.

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En caso de que la entrada sea otra cualquier funcin peridica, esa funcin seexpande a serie de Fourier de componentes sinusoidales y se aplica el anlisisfasorial a cada componente en forma separada. Luego por el principio desuperposicin, la suma de todas las soluciones individuales da la solucin total.

Si la funcin de entrada es una funcin no peridica, como un solo pulso,igualmente se transforma a serie de Fourier y se aplica al anlisis fasorial indicado.

a. EXPLICACION DEL METODO FASORIAL:

PASO 1: Adoptar al coseno como referencia.PASO 2: Convertir a las variables dependientes del tiempo en fasores.PASO 3: Reescribir la ecuacin diferencial / integral en forma fasorial.PASO 4: Resolver la ecuacin en el dominio fasorial.PASO 5: Encontrar las funciones instantneas.

1) ANALISIS DEL PROCEDIMIENTO:

Sea el circuito RC de la Figura 1.4 al cual se aplicar el procedimiento:

Figura 1.4 CircuitoRC

Dado la expresin de voltaje:

vs(t) = Vosen (t+0) (1.3)

Por Kirchhoff la ecuacin de voltaje de la malla es:

(1.4)La solucin en clase obviamente se la har utilizando el dominio fasorial;sin dejar pasar por alto que el estudiante que desee encontrar i(t), esdecir la corriente en el dominio del tiempo lo haga y as pueda establecerdiferencias a favor de la tcnica fasorial. Estoy seguro que en adelante,adoptar el dominio fasorial y solamente aplicar la conversin final aldominio del tiempo.

PASO 1:

La idea es establecer una referencia para todos los voltajes y corrientes

variantes en el tiempo. De este modo, la funcin de entrada se debe expresarcomo una funcin coseno. Por lo tanto, (1.2) se transforma en

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PASO 2:

Aplicar la relacin entre una funcin instantnea y una fasorial que estdada por:

* + (1.6)donde es el fasor de A(x,y,z;t) y el signo (~) sobre la letra indicaque es un fasor.

Por lo tanto (1.5) queda como:

[ ] (1.7)

En (1.7), es el componente fasorial independiente del tiempo y contieneinformacin de amplitud y fase, esto es:

(1.8)Respecto a la corriente i(t):

*+ (1.9)En este punto, debera obtenerse diferenciando (1.3); sin embargo,como se haba explicado no se aplicarn derivadas ni integrales en funcindel tiempo. En lugar de ello, se estudiarn dos propiedades de fasores que seaplicarn inmediatamente:

Derivada de una funcin en el tiempo:

[ ] [][] (1.10)

CONCLUSION PARCIAL:

Integral de una funcin en el tiempo:

() (1.11)

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CONCLUSION PARCIAL:

PASO 3:

Utilizando las propiedades encontradas, la ecuacin de voltaje original de(1.4) queda como

() (1.12)La operacin desde el punto de vista de parte real conduce a:

{ }

(1.13a)

Si se habra tomado como referencia una funcin seno en vez de coseno, elresultado habra sido el siguiente:

(1.13b)

Desde la igualdad a cero se deduce que:

(Ecuacin en dominio fasorial equivalente a la (1.4)) (1.14)

OBSERVACION:

El factor exponencial se anul porque estaba en todos los trminos.

PASO 4:

Se despejaIdesde (1.14):

(1.15)Convirtiendo el lado derecho a la forma I0e

j, con el reemplazo previo de(1.8), se tiene:

= =

= (1.16)

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OBSERVACIONES:

Primera:

Segunda:

PASO 5:

Para encontrar i(t) se aplica (1.9), es decir se multiplica el fasor dado por(1.16) por ejty luego se obtiene la parte real:

= *+= =

CONCLUSIONES PARCIALES:

Se convirtieron todas las cantidades variantes en el tiempo al dominio

fasorial y se encontr .Luego se regreso al dominio del tiempo para obtener i(t).

Para tener una mejor referencia de los dominios de algunas funciones deutilidad se presenta la tabla siguiente:

Tabla 1.3 Funciones comunes en los dominios del tiempo y la frecuencia

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LTEM1O14M15Ejmeplo 1.1 Para el circuito RL de la Figura 1.5 y utilizando la notacin fasorialencontrar la corriente y el voltaje en funcin del tiempo. El valor de la fuente es .

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LTEM1O14M15Ejemplo 1.2 Escribir la expresin fasorial de Is para las siguientes funciones decorriente. a) ; b)

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ACTIVIDAD PRC1.3PREGUNTAS DE REVISION DEL CONOCIMIENTO 1.3

ACTIVIDAD APT1.2APLICACIN TECNOLOGICA APT1.2(CELDAS SOLARES).

7. LA NATURALEZA DEL ELECTROMAGNETISMO

La interaccin electromagntica es una de las cuatro interacciones fundamentales dela naturaleza; as, el universo fsico est gobernado por:

La fuerza nuclear, la ms fuerte de las cuatro, pero su rango es limitado asistemassub microscpicos, tales como el ncleo.

La dbil fuerza de interaccin, cuya magnitud es solamente de 10-4que lafuerza nuclear. Su rol primario es en las interacciones que ocurren en ciertas

partculas elementales radioactivas. La fuerza electromagntica, que existe entre todas las partculas con carga.

Es la fuerza dominante en sistemas microscpicos, tales como tomos ymolculas y su magnitud es del orden de 10-2que la fuerza nuclear.

Lafuerza gravitacional, la cual es la ms dbil de todas las cuatro fuerzas,con una magnitud de 10-41que la fuerza nuclear. Sin embargo, es la fuerzadominante en sistemas macroscpicos, tales como el sistema solar.

El electromagnetismo constituye, por tanto, uno de los pilares de la Fsica y sobre lse elabor inicialmente la Teora de la Relatividad.

Su descripcin se complet en la segunda mitad del siglo XIX y se resume hoy enlas ecuaciones de Maxwell, a partir de las cuales se estableci la existencia de lasondas electromagnticas, las emisiones calorficas, las radiaciones ultravioletas y lanaturaleza de los fenmenos luminosos.

Las aplicaciones prcticas que se han originado en el electromagnetismo han tenidosu desarrollo en su mayor parte durante el siglo XX y su rango es amplio eimportante: mecanismos para el hogar, la computadora y perifricos, facilidades

para el transporte, energa elctrica, comunicaciones electrnicas u pticas,detectores, aplicaciones industriales, militares, exploracin espacial, etc.

Este libro desarrolla los fundamentos del electromagnetismo a un nivel adecuadopara los estudiantes del Departamento de Elctrica y Electrnica, con numerososejemplos derivados de la experiencia acumulada por su autor en su vida profesional

previa y a lo largo de varios lustros de docencia en la Universidad de las FuerzasArmadas.

8. COMUNICACIN INALAMBRICA

Adems del servici telefnico bsico, el usuario de un telfono celular tiene accesoa Internet, e-mail, GPS8y PDA9y juegos.

8GPS: Global Positioning System9PDA: Personal Digital Assistant

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Para efectivizar los millones de transacciones diarias en las comunicacionescelulares, el nmero de canales de frecuencia es limitado. La forma como un sistemacelular puede manejar todas las transacciones es dividir una ciudad en mltiples

pequeas secciones o celdasdispuestas como una malla hexagonal, cada una servida

por su propia torre. Cada celda como tiene seis celdas que la rodean, puede utilizarsiete canales de frecuencia disponibles. Puesto que la potencia de transmisin yrecepcin no es lo suficientemente fuerte para comunicarse con una torre a dosceldas de distancia, celdas no adyacentes pueden usar canales con la mismafrecuencia.

Si un telfono celular necesita de componentes electrnicos como: parlante, batera,seccin de RF, convertidores A/D y D/A, microprocesador, PDS, memoria, interfasecon el usuario, micrfono y antena, la operacin fsica de todos esos componenteselectrnicos es gobernada por las leyes del electromagnetismo:

Las ondas se propagan en el espacio y travs de materiales. Las ondas son radiadas y recibidas por antenas. Las ondas se propagan en lneas de transmisin tales como cables coaxiales. Un eficiente manejo de la seal requiere de acoplamiento de impedancias de

las lneas de transmisin. Componentes de RF, de las antenas son diseados utilizando ingeniera de

microondas. Ruido e interferencia entre componentes electrnicos afectan al desempeo

del sistema.

Otros sistemas de comunicacin inalmbrica son DBS10

, GPS para navegacin yRFID11.

9. REVISION DE NMEROS COMPLEJOS

Previo a la siguiente clase, es necesario ejecutar la actividad registrada comoRNC1.1. El tiempo que tome hacerla queda a cargo del estudiante.

ACTIVIDAD RNC1.1REVISION DE NUMEROS COMPLEJOS RNC1.1

10DBS: Direct Broadcast Satellite11RFID: Radio Frequency Identification

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Ejemplo 1.3 Dados dos nmeros complejosA=5-j4 y B=3+j5, calcular: (a) AyBenforma polar. (b)AB, (c)AB*, (d)A/By (e) .

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ACTIVIDAD EPI1.1EJERCICIO 1.1






ACTIVIDAD EPI1.7

EJERCICIO 1.7


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CAPITULO 3

ANALISIS VECTORIAL

OBJETIVOS

Comprender el anlisis vectorial relacionado con electromagnetismo. Realizar la revisin de los sistemas de coordenadas tridimensionales. Analizar las transformaciones entre sistemas de coordenadas. Analizar el gradiente de un campo escalar. Analizar la divergencia de un campo vectorial. Analizar el rotacional de un campo vectorial. Estudiar el operador Laplaciano.

1. LEYES BASICAS DEL ALGEBRA VECTORIAL.

A pesar de ser conocida la definicin de un vector, por precisin he adoptado ladefinicin dada en Wikipedia: Enfsica,un vector(tambin llamado vector euclidianoo vector geomtrico) es una magnitud fsica definida por un punto del espacio donde semide dicha magnitud, adems de unmdulo(olongitud), su direccin (uorientacin)y susentido (que distingue el origen del extremo).

En este contexto, un vector especifica la magnitud y direccin de una cantidad. As,por ejemplo la rapidez de un objeto es un escalar, mientras que su velocidad es un

vector.Para especificar un vector en el espacio tridimensional se usarn los sistemas decoordenadas rectangulares, cilndricas y esfricas, debindose indicar que el sistemade coordenadas que se adopte para analizar un problema electromagnticoespecfico depender de la geometra del problema que se vaya a analizar.

Por notacin, se comienza indicando que un vector tiene una magnitud A = A y una direccin

especificada por un vector unitario

a . As

A =

La unidad vectorial

a tiene una magnitud de unidad (

a ) y su direccin est dada por:

= A/a. VECTOR SUMA Y RESTA

La suma de dos vectores Ay Bes un vector Cque es su resultante geomtrica,como se indica en la Figura 3.1a, es decir

C= A+ B (3.1a)
http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_f%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_f%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_f%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_(vector)http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_(vector)http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_(vector)http://es.wikipedia.org/wiki/Norma_vectorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Norma_vectorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Norma_vectorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Orientaci%C3%B3n_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Orientaci%C3%B3n_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Orientaci%C3%B3n_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Orientaci%C3%B3n_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Norma_vectorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_(vector)http://es.wikipedia.org/wiki/Magnitud_f%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica

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Figura 3.1a Suma de vectores

Si Ay Bestn dados en coordenadas rectangulares:

C= A+ B

= (

xAx+

yAy+

zAz) + (

xBx+

yBy+

zBz)

=

x (Ax+Bx) +

y (Ay+By) +

z(Az+Bz) (3.1b)

Grficamente, el vector suma se obtiene por la regla del paralelogramo, como seindica en la Figura 3.1b.

Figura 3.1b Regla del paralelogramo C = A+B

La resta del vector Acon el vector Bes equivalente a la suma de Aal negativode B. As la regla de paralelogramo aplicado para este caso se muestra en la

Figura 3.2:

Figura 3.2 El vector resta D=A-B

A

b

a

b

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d= A- B (3.1c)

Desde la figura 3.1b, se comprueba que para la suma de vectores se cumple la

ley conmutativa:

A+B = B+A (3.2)

Tambin se cumple la ley asociativa para la suma de tres o ms vectores. LaFigura 3.3, permite demostrar que:

Figura 3.3 Ley asociativa de la suma de vectores

(A+B)+C = A+(B+C) (3.3)

Qu significado se asignara a la diferencia de dos vectores Ay B? Se define alvectorB, tal que se mantiene la siguiente relacin

B- B = 0 (3.4)

El vectorB, debera entonces corresponder a un desplazamiento que anula aldesplazamiento B. El vectorBpor lo tanto tiene la misma magnitud de B, perosu direccin es opuesta.

Conforme la diferencia de los vectores Ay B, se define ahora la suma de AyBcomo:

A- B = A+ (- B) (3.5)

b. VECTORES UNITARIOS, BASE Y COMPONENTES

El producto de un escalar por un vector a, es otro vector A, esto es

A a (3.6)Se entiende (3.6) como un vector cuya magnitud A es igual al producto de lasmagnitudes del escalar y del vector y cuya direccin es la misma que la de a uopuesta, segn sea el valor de positivo o negativo.

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En funcin de esta definicin, la multiplicacin de vectores con escalares siguela ley conmutativa

a= a (3.7)La ley distributiva tambin se cumple, esto es:

( + ) a = a + a (a+ b) = a+ b (3.8)

Si en particular aes un vector en la direccin de A, pero de magnitud 1, entonces

A=Aa (3.9)

Una vez establecida la naturaleza del vector unitario, se adoptar que a .Un vector cuya magnitud es igual a 1 se llamar un vector unitario.

En la Figura 3.4, se muestra una representacin grfica del vector Aconforme loindicado en (3.9).

Figura 3.4 El vector A= A, tiene una magnitud A = A y unidad vectorial a= A/ASea ahora un vector unitario s como se indica en la Figura 3.5 y un vectorarbitrario A que forma con s un ngulo . Entonces se designa como elcomponente de Acon respecto al vector s a la longitud de la proyeccin de A sobre lalnea del vector unitario; esto es la cantidadAsdada por

Figura 3.5 El componente deAsde Aen la direccin s.

(3.10)

Este componenteAses un escalar.

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Vectores de direccin y magnitud arbitrarias pueden describirse por suscomponentes referidos a un sistema de coordenadas. Los sistemas ms utilizadosson cartesianos, cilndricos y esfricos.

En el sistema de coordenadas cartesianas que se muestra en la Figura 3.6(a), las

direcciones de coordenadas x, y y z se denotan por los vectores unitariosortogonales

x ,

y y

z , llamados vectores base. El vector A, en la Figura 3.6(b)puede ser representado en funcin de los vectores base como

(3.11)

donde Ax, Ay y Az son los componentes de A en las direcciones

x ,

y y

z ,respectivamente.

(a) Vectores base

(b) Componentes de A

Figura 3.6. (a) Vectores base. (b) Sistema de coordenadas cartesianas

Aplicando el teorema de Pitgoras, se obtiene:

(3.12)

Puesto queAes un escalar no negativo, solamente aplica el valor positivo de la raz.

Desde (3.9), el vector unitario

a es:

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(3.13)

c. VECTORES POSICION Y DISTANCIA

En un sistema dado de coordenadas, el vector posicin de un punto P en elespacio es el vector desde el origen aP. Los puntosP1yP2en la Figura 3.7 en elsistema Cartesiano estn localizados en (x1,y1,z1) y (x2,y2,z2) respectivamente.

Figura 3.7. Vector de posicin

Sus vectores posicin son

(3.14a)

(3.14b)

donde el punto O es el origen. El vector distanciadesdeP1a P2por geometraanaltica est dada por

(3.15)

y la distancia dentre P1yP2 es igual a la magnitud de R12:

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(3.16)

Ntese que el primer subndice de R12 denota la localizacin de la cola delvector R12y el segundo subndice denota la localizacin de su cabeza, como seindica en la Figura 3.7.

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Ejemplo 3.1

Si A= 10

x -4

y + 6

zy B= 2

x +

y , hallar: (a) La componente de Aa lo largo de

y ,

(b) La magnitud de 3AB, (c) Un vector unitario a lo largo de A+ 2B.

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Ejemplo 3.2

Los puntosP y Qse localizan en (0,2,4) y (-3,1,5,). Calcular (a) El vector de posicinP.(b) El vector de distancia dePa Q. (c) La distancia entrePy Q. (d) Un vector paraleloaPQde magnitud 10.

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Ejemplo 3.3 Un ro corre al sureste a 10 km/h y una lancha flota y una lancha flota en lcon la proa hacia la direccin de desplazamiento. Una persona camina en la cubierta a 2km/h en una direccin a la derecha y perpendicular a la del movimiento de la lancha.Encuentre la velocidad de la persona con respecto a la tierra.

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ACTIVIDAD EPI3.1Ejercicio 3.1



d. MULTIPLICACION DE VECTORES

Existen tres tipos de productos en clculo vectorial. Simple, escalar (o punto) yvectorial (o cruz).

1) Producto simple

Es la multiplicacin de un escalar por un vector. El producto del vector A=

A por un escalar k resulta en un vector B cuya magnitud es kA y cuyadireccin es la misma que la de A. Esto es,(3.17)

2) Producto escalar o punto

El producto escalar dedos vectores Ay Bdenotado por ABy pronunciadoA punto B, se define geomtricamente como el producto de la magnitud deuno de los vectores y la proyeccin del otro vector sobre el primero oviceversa. As:

(3.18)

Figura 3.8 El ngulo es aquel entre Ay B. Es positivo si es agudo (a) ynegativo si es obtuso (b).

donde ABes el ngulo entre Ay Bcomo muestra la Figura 3.8. El productoescalar de dos vectores produce un escalar cuya magnitud es menor que oigual al producto de las magnitudes de los dos vectores y cuyo signo es

positivo si 0 < AB< 900y negativo si 900 < AB< 180

0.

Cuando AB= 900, los dos vectores son ortogonales, por lo que el producto

punto de dos vectores ortogonales es cero.

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La cantidadA cosABes el componente de Aa lo largo de By es igual a laproyeccin del vector A a lo largo de la direccin del vector B ysimilarmenteB cosABes el componente de Ba lo largo de A.

Si A =(Ax,Ay,Az) y B = (Bx,By,Bz), entonces

(3.19)

Puesto que los vectores base

x ,

y y

zson ortogonales entre s, se cumple

(3.20a)

(3.20b)

Con lo establecido en (3.20), (3.19) se transforma en

(3.21)

PROPIEDADES:

El producto punto obedece las propiedades conmutativa y distributiva de lamultiplicacin, que se expresa como

(3.22a)

(3.22b)El producto punto de un vector consigo mismo da

(3.23)

MAGNITUD:

Si el vector Aest definido en un sistema de coordenadas dado, su magnitudApuede determinarse desde

(3.24)

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Tambin, si los vectores Ay Bse especifican en un sistema de coordenadasdado, entonces el ngulo ms pequeo entre ellos ABpuede determinarsedesde

(3.25)

3) Producto vectorial o cruz

El producto vectorial o cruzde dos vectores Ay Bdenotado por ABypronunciado AcruzB, es un vector definido como

(3.26)

AB

es el ngulo entre Ay B

n es un vector unitario normal al plano quecontiene Ay B. El significado fsico del producto cruz es el de ser igual alrea del paralelogramo definido por los dos vectores, como se ilustra en la

Figura 3.9(a) y su direccin se especifica por

n de acuerdo con la ley de lamano derechacomo indica la Figura 3.9(b).

(a) Producto cruz

(b) Regla de la mano derecha

Figura 3.9 El producto cruz Ax Bapunta en la direccin la cual es perpendicular alplano que contiene Ay By est definido por la regla de la mano derecha

El producto cruz es anti conmutativo, lo que significa que

(3.27)

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Esta propiedad puede verificarse rotando los dedos de la mano derecha desdeBa Aa travs del ngulo AB. Otras propiedades incluyen

(3.28a)

(3.28b)

Desde la definicin de producto cruz dado por (3.26) resulta fcil verificar

que los vectores base

x ,

y y

z del sistema de coordenadas rectangularesobedecen las siguientes relaciones cclicas de la mano derecha

(3.29)Ntese que el orden cclico (xyzxyz) se mantiene. Tambin se cumple

(3.30)

Si A = (Ax, Ay, Az) y B = (Bx, By,Bz), entonces desde (3.29) y (3.30)conducen a

(3.31)

La forma cclica del resultado dado por (3.31), permite expresar el productocruz en la forma de un determinante:

(3.32)

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Ejemplo 3.4 Dados los vectores A= 3

x + 4

y +

z y B= 2

y - 5

z , encuentre el

ngulo entre Ay B.

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Ejemplo 3.5 Vectores y ngulos

En coordenadas cartesianas, el vector Ase dirige desde el origen al punto P1(2,3,3) y elvector Bse dirige desdeP1al puntoP2(1,-2,2). Encontrar

(a)El vector A, su magnitudAy su vector unitario

n .(b)El ngulo que forma Acon el ejey.(c)El vector B.(d)El ngulo entre Ay B.(e)La distancia perpendicular desde el origen al vector B.

Figura 3.10 Geometra del ejemplo 3.4.

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e. TRIPLES PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAL

Cuando se multiplican tres vectores no todas las combinaciones de productospunto y cruz tienen significados reales. Por ejemplo el producto

No tiene sentido porque B Cda un escalar y el producto cruz del vector Aconun escalar no est definido bajo las reglas del algebra vectorial.

1) Triple producto escalar

Un triple producto escalar obedece el siguiente orden cclico:

(3.33)

Las igualdades se mantienen conforme el orden cclico (ABCABC) sepreserve. El triple producto escalar de vectores A =(Ax,Ay,Az),B = (Bx,By,Bz) y C = (Cx, Cy,Cz) puede ser escrito en la forma de un determinante:

(3.34)

La validez de las ecuaciones (3.33) y (3.34) puede verificarse expandiendoA, By C y realizando las respectivas multiplicaciones.

2) Triple producto vectorial

Es el producto cruz de un vector con el producto cruz de otros dos

(3.35)

y es tambin un vector. No obedece en general la ley asociativa, Esto es:

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(3.36)

lo cual significa que es importante especificar cual producto cruz de realizaprimero. Expandiendo los vectores A, B y C en forma de componentes,puede demostrarse que

(3.37)

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Ejemplo 3.6

Tres cantidades de campo estn dadas por

P = 2

x -

z

Q = 2

x -

y + 2

z

R = 2

x - 3

y +

z Determine

(a) (P+Q) (P-Q)(b) QRP(c) P(QR)(d) sen QR(e) P

(C

R)

(f) Un vector unitario perpendicular Qy R.(g) El componente de Pa lo largo de Q.

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Ejemplo 3.7. Triple producto vectorial

Dado A=

x -

y +

z2, B=

y +

z y C= -

x 2 +

z3, encontrar (Ax B) x Cy comprelocon Ax (Bx C).

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Ejemplo 3.8 Obtenga la frmula de coseno: a2 = b2+ c2- 2bccos A y la frmula de

los senos:

, mediante el producto punto y el producto cruz,

respectivamente.

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Ejemplo 3.9 Demuestre que los puntosP1= (5, 2, -4) yP2= (1,1,2) yP3= (-3,0,8) seubican en una lnea recta. Determine la distancia ms corta entre esa lnea y el puntoP4

(3,-1,0).

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ACTIVIDAD PRC3.1

PREGUNTAS DE REVISION DE CONOCIMIENTO

ACTIVIDAD PIUA1PRUEBA INTERMEDIA UNIDAD ACADEMICA 1

Evaluacin intermedia de la Primera Unidad Acadmica:

1. Preguntas del contenido de la materia: 20 a 50.

TALLER GRUPAL DE EJERCICIOS

Taller presencial de resolucin de ejercicios asignados en cada seccin.

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2. SISTEMAS DE COORDENADAS ORTOGONALES

Las cantidades fsicas en electromagnetismo son en general funciones del espacio yel tiempo. Los sistemas de coordenadas tridimensionales permiten especificar demanera nica un punto en el espacio o la direccin de una cantidad vectorial y

pueden ser ortogonales o no.

Un sistema de coordenadas ortogonal es aquel cuyas coordenadas son mutuamenteperpendiculares y los ms utilizados para nuestros fines son

El sistema de coordenadas rectangulares. El sistema de coordenadas cilndricas. El sistema de coordenadas esfricas.

El sistema que se escoja depende del que se ajuste mejor a la geometra delproblema que se desea analizar.

a. Coordenadas rectangulares.

Las relaciones vectoriales se resumen en la Tabla 3.1.12

Tabla 3.1. Resumen de relaciones vectoriales

La longitud diferencial dles un vector definido como se indica en la Figura 3.11.

(3.38)

12Tomado de Mathematical Tables, Schaum colection.

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Donde dlx = dx es una longitud diferencial a lo largo de y similaresdefiniciones aplican a dly=dy y dlz=dz.

Figura 3.11 Longitud diferencial, rea y volumen en coordenadas Cartesianas

Un diferencial de rea ds es una cantidad vectorial con una magnitud dsigual alproducto de dos longitudes diferenciales (por ejemplo como dly y dlz) y sudireccin se denota por un vector unitario a lo largo de la tercera direccin (porejemplo ). As para un diferencial de rea en los planosyz, x z y xy:

(3.39a)

(3.39b)

(3.39c)

Un diferencial de volumen es igual al producto de los tres diferenciales delongitud:

(3.40)

b. Coordenadas cilndricas

Ese sistema es til para resolver problemas con simetra cilndrica, tal comocuando se desea analizar un cable que lleva corriente o las caractersticas de

propagacin en un cable coaxial.

En un sistema de coordenadas cilndricas, la localizacin de un punto en elespacio es nicamente determinado por:

r o distancia radial en el planoxy, con dominio 0 r < .es el ngulo de rumbo (azimut) medido desde el eje positivo x, con dominio 0 < 2.zes igual a zdel sistema de coordenadas rectangulares, con dominio - < z < .

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Para ilustrar la ubicacin espacial de un puntoP(r1, 1, z1) como se indica en laFigura 3.12; se considera a este localizado en la interseccin de tres superficies.Estas son las superficies: cilndrica definida por el lugar geomtrico r = r1, elmedio plano vertical definido por = 1y el plano horizontalz = z1.

Figura 3.12 Sistema de coordenadas cilndricas

Los vectores base

r,

y

z son mutuamente perpendiculares con:

rapuntando desde el origen a lo largo de r.

apuntando en una direccin tangencial a la superficie del cilindro.

y

zapuntando a lo largo de la vertical.

A diferencia del sistema de coordenadas rectangulares, en el cual los vectoresbase son independientes de la localizacin del punto P, en el sistema de

coordenadas cilndrico y son funciones de .Los vectores base unitarios obedecen las siguientes relaciones cclicas de la

mano derecha:

(3.41)

y como todos los vectores unitarios

r

r=

=

z

z= 1 y

rr =

=

zz = 0

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En coordenadas cilndricas, un vector se expresa como

(3.42)

donde Ar,A yAzson los componentes cilndricos de A. La magnitud de Aseobtiene aplicando (3.24):

(3.43)

El vector posicin

mostrado en la Figura 3.12, tiene componentes solamente

a lo largo de r yz. Es decir

(3.44)

La dependencia de R1 sobre es implcita a travs de la dependencia de sobre . Entonces cuando se usa la (3.44) para denotar la posicin del punto

P(r1, 1, z1) es necesario especificar que est en .En relacin a la Figura 3.13:

(3.45)

Figura 3.13 Areas diferenciales en coordenadas cilndricas

La Figura 3.13, muestra que la longitud diferencial a largo de es r d y noslo d . La longitud diferencial dl en coordenadas cilndricas est dada por

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(3.46)

Como fue establecido previamente para el sistema de coordenadas rectangulares,el producto de cualquier par de longitudes diferenciales es igual a la magnitud de

un vector diferencial de superficie con un vector normal de superficie apuntandoa lo largo de la direccin de la tercera coordenada. As,

(3.47a)

(3.47b)

(3,47c)

El diferencial de volumen es el producto de los tres diferenciales de longitud

(3.48)

Las propiedades precedentes del sistema de coordenadas cilndrico se resumenen la Tabla 3.1.

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Ejemplo 3.10 Distancia vectorial en coordenadas cilndricas

Encontrar una expresin en coordenadas cilndricas para el vector unitario del vector Aque se muestra en la Figura 3.14.

Figura 3.14. Geometra del ejemplo 3.10

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Ejemplo 3.11. Area cilndrica

Encuentre el rea de una superficie cilndrica descrita por r= 5, 300 600y 0 z 3, como se indica en la Figura 3.15.

Figura 3.15 Superficie cilndrica del ejemplo 3.11

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ACTIVIDAD SIM3.1SIMULACION PUNTOS Y VECTORES

c. Coordenadas esfricas

En el sistema de coordenadas esfricas, la localizacin de un punto en el espacioest nicamente especificado por las variables R, y como se indica en laFigura 3.16.

Figura 3.16 Localizacin del punto P en coordenadas cilndricas

R llamada tambin distancia describe una esfera de radio R centrada en elorigen. El ngulo se mide desde el eje positivo z y describe una superficiecnica con su vrtice en el origen y el ngulo es el mismo que el decoordenadas cilndricas.

Los dominios son:

0 R < ,0 < ,0 < 2

Los vectores base

R ,

y

obedecen las siguientes relaciones cclicas de manoderecha:

(3.49)

Por lo tanto un vector con componentesAR,AyA se escribe como

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(3.50)

y su magnitud est dada por

(3.451)

El vector posicin del puntoP(R1, 1y 1) es simplemente

(3.52)

Recordando que

R es implcitamente dependiente sobre 1y 1.

Como se muestra en la Figura 3.17, las longitudes diferenciales a lo largo de

R ,

y

son

(3.53)

Figura 3.17 Vectores diferenciales en coordenadas esfricas

Entonces, las expresiones para el vector diferencial de longitud dl, el vectordiferencial de superficie dsy el diferencial de volumen son

(3.54a)

(3.54b)

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(3.54c)

(3.54d)

(3.54e)

Estas relaciones se resumen en la Tabla 3.1.

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Ejemplo 3.12 Area superficial en coordenadas esfricas

Encontrar el rea de la franja esfrica mostrada en la Figura 3.18, de una esfera de radio3 cm.

Figura 3.18 Franja esfrica del ejemplo 3.12.

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Ejemplo 3.13 Carga en una esfera

Una esfera de radio 2 cm contiene una densidad volumtrica de carga vdada por v= 4cos2 (C/m3). Encontrar la carga total contenida en la esfera.

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ACTIVIDAD APT3.1GPS

3. TRANSFORMACIONES ENTRE SISTEMAS DE COORDENADAS

La posicin de un punto en el espacio es invariante con respecto al sistema decoordenadas que se escoja; lo que vara es la descripcin en cada sistema. Lo mismoes verdad para vectores. As, en esta seccin se obtendr las relaciones entre lasvariables de los sistemas rectangular, cilndrico y esfrico, para transformar vectoresexpresados en uno de los tres sistemas en vectores expresados en cualquiera de losotros dos.

a. Transformaciones rectangulares a cilndricas

Figura 3.19 Interrelaciones entre coordenadas Cartesianas y Cilndricas

El punto P en la Figura 3.19, tiene coordenadas rectangulares (x,y,z) ycoordenadas cilndricas (r,,z). Los dos sistemas comparten la coordenada zylas relaciones entre los otros dos pares de coordenadas pueden obtenerse desdela geometra indicada. Ellas son

(3.55)

y las relaciones inversas son

(3.56)

Figura 3.20 Interrelaciones entre vectores base cartesianos y cilndricos

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Siguiendo, con la ayuda de la Figura 3.20, que muestra las direcciones de los

vectores unitarios

x ,

y ,

zy

en el plano x y; se pueden obtener lasrelaciones:

(3.57a)

(3.57b)

Para expresar

ren trminos de

x y

y , se escribe

rcomo

(3.58)

donde ay bson coeficientes de transformacin desconocidos.

El producto punto

r

x da

(3.59)

La comparacin de (3.59) y (3.57a) conduce a la conclusin de que a = cos .

Similarmente, la aplicacin del producto punto

r

y a (3.58) da b=sen .

Entonces

(3.60a)

La repeticin del procedimiento para

da

(3.60b)

La tercera base vectorial

z es la misma en los sistemas coordenados., por que

queda igual. Resolviendo (3.60a) y (3.60b) simultneamente para

x y

y , dacomo resultado las relaciones inversas siguientes:

(3,61a)

(3.61b)

Las relaciones dadas por (3.60a) a (3.61b) no son solamente tiles para

transformar los vectores base (

x ,

y ) en (

r,

) y viceversa, ellas pueden

usarse para transformar los componentes de un vector expresado en cualquiersistema coordenado en sus correspondientes componentes expresados en el otro

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sistema. Por ejemplo un vector A =

xAx +

yAy +

zAz en coordenadas

cartesianas puede ser transformado en A=

rAr+

A +

zAzen coordenadascilndricas aplicando (3.60a) y (3.60b). Esto es

(3.62a)

(3.62b)

y en contrario

(3.63a)

(3.63b)

Las relaciones de transformacin se resumen en la tabla 3.2.13

Tabla 3.2:Relaciones de transformacin de coordenadas

13Tomado de Mathematical tables, Schaum colection.

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Ejemplo 3.14. Transformaciones cartesianas a cilndricas

Dado el punto P1(3, -4, 3) y el vector A =

x 2 -

y 3 +

z4, definido en coordenadasrectangulares, expreseP1 y Aen coordenadas cilndricas y evale AenP1.

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b. Transformaciones rectangulares a esfricas

Figura 3.21. Interrelaciones entre (x,y,z)y (R, , )Utilizando la Figura 3.21, se obtienen las siguientes relaciones entre

coordenadas rectangulares y esfricas:

(3.64a)

(3.64b)

(3.64c)

y las relaciones inversas

(3.65a)

(3.65b)

(3.65c)

El vector unitario

R descansa en el plano

zr , por lo cual, puede expresarse

como una combinacin lineal de

r y

zcomo sigue:

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(3.66)

donde a y b son coeficientes de transformacin. Puesto que

r y

z sonmutuamente perpendiculares,

(3.67a)

(3.67b)

Desde la Figura 3.21, el ngulo entre

R y

r es el complemento de y aquel

entre

R y

zes . Entonces a =

R

r = sen y b =

R

z = cos . Luego de

insertar estas expresiones para ay ben (3.66) y reemplazando

r con (3.64a), setiene

(3.68a)

Procedimiento similar se sigue para obtener la expresin para

:

(3.68b)

y la expresin para

est dada por (3.64b) como

(3.68c)

Resolviendo simultneamente las ecuaciones (3.68a) hasta (3.68c) se obtienen

las expresiones para (

x ,

y ,

z ) y (

R ,

,

) :

(3.69a)

(3.69b)

(3.69c)

CONCLUSION PARCIAL

Las ecuaciones (3.68a) a (3.69c) pueden tambin usarse para transformar (Ax,Ay, Az) del vector A en sus componentes esfricos (AR ,A , A ) y viceversa,

reemplazando (

x,

y,

z ,

R ,

,

) con (Ax , Ay , Az, AR , A , A )respectivamente.

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Ejemplo 3.15. Transformacin rectangular a esfrica

Expresar el vector A=

x (x +y)-

y (y-x) +

zz, en coordenadas esfricas.

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Ejemplo 3.16

Dados el punto P(-2, 6, 3) y el vector A = , exprese P y A encoordenadas cilndricas y esfricas. Evale A en P en los sistemas cartesiano,cilndrico y esfrico.

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Ejemplo 3.17

Exprese el vector en coordenadas cartesianas y cilndricas.Halle B(-3,4,0) y B(5,/2,-2).

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ACTIVIDAS PRC3.2

PREGUNTAS DE REVISION DEL CONOCIMIENTO

P3.8 Por qu se usa ms de un sistema de coordenadas?

P3.9 Porqu los vectores base (

x,

y,

z ) son independientes de la localizacin de un

punto, pero

ry

no lo son?

P3.10 Que son las relaciones cclicas para los vectores base en (a) Coordenadasrectangulares, (b) Coordenadas cilndricas y (c) Coordenadas esfricas?

P3.11 Cmo se relaciona la posicin vectorial de un punto en coordenadas cilndricascon la posicin en coordenadas esfricas?

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e. GRADIENTE DE UN CAMPO ESCALAR

Hechos:

Normalmente la variacin de una cantidad escalar T con respecto a una solavariable, por ejemplo z, se describe mediante dT/dz. Sin embargo; si T estambin una funcin de x y yen un sistema de coordenadas rectangulares, latasa de cambio espacial es ms difcil de describir porque ahora se debe tratar no

solamente con tres variables separadas, sino que se debe tratarlas como unarreglo unificado.

El cambio diferencial en Ta lo largo dex, y yzpuede describirse en trminos delas derivadas parciales de Tcon respecto a las tres variables coordenadas, perono es inmediatamente obvio, porque existe variacin espacial en las magnitudesy direcciones.

En clculo vectorial se usan tres operadores fundamentales para describir lasvariaciones espaciales diferenciales de escalares y vectores: gradiente,divergencia y rotacional.

Anlisis:

Figura 3.22. Vector distancia diferencial entre los puntosP1yP2.

Si T1 (x, y, z) es la temperatura en el punto P1 (x, y, z) en alguna regin en elespacio y T2(x+dx, y+dy, z+dz) es la temperatura en un punto cercanoP2, comomuestra la Figura 3.22, entonces las distancias diferenciales dx, dy y dzson loscomponentes de la distancia vectorial dl. Esto es

(3.73)

Desde clculo diferencial, el diferencial de temperatura dT=T2T1 est dado por

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(3.74)

y puesto que por definicin dx=

x dl, dy=

y dl y dz=

z dl , (3.74) puede re

escribirse como

(3.75)

El vector dentro de los corchetes en (3.75) define el cambio de temperatura dTcorrespondiente a un cambio vectorial en posicin dl. Este vector se llama gradientede

To en corto grad Ty es usualmente escrito simblicamente como T . Es decir

(3.76)

y (3.71) puede expresarse como

(3.77)

El smbolo se llama operador nabla uoperador gradiente y se define como

(3.78)

Nota:

Mientras el operador gr adiente no ti ene signi f icado fsico por s mismo, si l otiene una vez que opera sobre un escalar y el resultado es un vector cuyamagnitud es igual a la mxima tasa de cambio de la cantidad fsica por unidad dedistancia y cuya di reccin es a lo largo de la direccin de mximo incremento.

Con dl=

a ldl, donde

a l es el vector unitario de dl, la derivada direccional de Ta lo

largo de la direccin a l est dada por

(3.79)

Si Tes una funcin de las variables coordenadas de un sistema de coordenadas, sepuede calcular la diferencia (T2-T1) donde T1y T2son los valores de T en los puntosP1yP2respectivamente, integrando los dos miembros de (3.77). Es decir,

(3.80)

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Ejemplo 3.18. Derivada direccional

Encontrar la derivada direccional de T=x2+y2z a lo largo de la direccin 232

zyx y evaluarla en (1,-1,2).

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f. Operador gradiente en coordenadas cilndricas y esfricas

(3.77) fue deducida en coordenadas rectangulares y debera tener validez total encualquier sistema coordenado. Para aplicar el operador gradiente a una cantidadescalar expresada en coordenadas cilndricas o esfricas, se necesita expresiones

para en esos sistemas.

Para convertir (3.76) en coordenadas cilndricas (r, , z) se comienza con

(3.81)

Desde clculo diferencial

(3.82)

Puesto quezes ortogonal ax, el ltimo trmino es igual a cero porque 0

x

z .

Usando las relaciones de coordenadas dadas por (3.81), se puede demostrar que

(3.79a)

(3.79b)

Entonces

(3.80)

Esta expresin puede usarse para reemplazar el coeficiente de

x en (3.76) y

siguiendo un procedimiento similar se puede obtener una expresin paray

T

en trminos de r y . Si adems se usan las relaciones senrx

cos y cos

senry (desde (3.61a) y (3.61b)), la ecuacin (3.76) es

(3.85)

y entonces el operador gradiente en coordenadas cilndricas puede definirsecomo

(3.86)

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Un procedimiento similar definir el gradiente en coordenadas esfricas:

(3.87)

g. Propiedades del operador gradiente

Para dos cualesquiera funciones escalares U y V, se aplican las siguientesrelaciones:

(3.88a)

(3.88b)

(3.88c)

El gradiente de un vector no tiene significado bajo las reglas de clculovectorial.

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Ejemplo 3.19

Halle el gradiente de los siguientes campos escalares:(a) V = e-zsen 2x coshy(b) U = r2z cos 2

(c) W = 10 r sen2

cos

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Ejemplo 3.20. Clculo del gradiente

Encontrar el gradiente de cada uno de las siguientes funciones escalares y luegoevaluarlas en el punto dado.(a) V1 = 24V0 cos(y/3)sen(2z/3) en (3,2,1) en coordenada rectangulares.

(b) V2= V0e-2r

sen3 en (1, /2, 3) en coordenadas cilndricas.(c) V3= V0(a/R) cos2 en (2a, 0, ) en coordenadas esfricas.

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Ejemplo 3.21

Dado W=x2y2+xyz, calcular Wy la derivada direccional dWdl en la direccinen (2,-1,0).

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Ejemplo 3.22

Determinar el ngulo en que la lneax+y=2zinterseca la elipsoidex

2

+y

2

+2z

2

=10.

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ACTIVIDAD SIM 3.2GRADIENTE

4. DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL

Un campo vectorial de forma grfica generalmente se representa mediante lneas decampocomose indica en la Figura 3.23. Las flechas salientes indican la direccindel campo en el punto donde es dibujado el campo y la longitud de la lnea da unaidea de la magnitud del campo.

An cuando el vector campo elctrico realmente no se mueve, se siente su presenciacomo un flujo desplazndose a travs del espacio, denominado lneas de flujo.En el

borde de una superficie, la densidad de fl uj o se define como la cantidad de flujo

saliente que cruza una unidad superficial ds:

(3.89)

Donde

n es saliente y es el vector unitario relacionado con ds. El fl ujo total quecruza una superficie cerrada S, tal como la superficie que contiene a una esferaimaginaria representada en la Figura 3.23, es

(3.90)

Figura 3.20. Lneas de flujo del campo elctrico E debido a una carga positiva q

Superficie

esfricaimaginaria

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Figura 3.24 Lneas de flujo del campo elctrico Edebido a una carga positiva q.

Considrese ahora el caso de un cubo cuyos ejes estn alineados con los ejes decoordenadas rectangulares como indica la Figura 3.24; la longitud de las aristas sonx, y, z. Un vector Eexiste dentro del cubo y se desea determinar el flujo de Ea

travs de toda la superficie S.

Figura 3.25 Lneas de flujo de un campo elctrico E

Puesto que el cubo tiene seis caras, se necesita sumar el flujo que atraviesa todasellas.

Sea el campo elctrico

(3.91)

El rea marcada de cara 1 en la Figura 3-25 es x yy su vector unitario

xn1 .Entonces, el flujo salienteF1a travs de la cara 1 es

(3.92)

dondeEx(1)es el valor deExen el centro de la cara 1, pero es representativo de todala cara por ser un rea diferencial.

Figura 3.21. Lneas de flujo deun campo elctrico E pasando a travs

deun cubo diferencial devolumen

v=xyvz

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Similarmente, el flujo saliente de la cara 2 es:

(3.93)

Donde Ex(2) es el valor de Ex en el centro de la cara 2. Sobre una separacindiferencial x, Ex(2) es relacionado conEx(1) por

(3.94)

donde se ha ignorado trminos superiores a (x)2. Sustituyendo (3.94) en (3.93) da

(3.95)

La suma de los flujos salientes de las caras 1 y 2 se obtiene sumando (3.92) y (3.95),

(3.96a)

El mismo procedimiento aplicado a los otros pares de caras da

(3.96b)

(3.96c)

La suma de los flujosF1a F6da el flujo total a travs de la superficie Sdel cubo:

(3.97)

Donde v =xyzy divEes una funcin llamada divergencia de Ey se define en

coordenadas cartesianas como

(3.98)

Si el volumen tiende a cero, se define la divergencia de E en un punto como elflujo saliente por unidad de volumen sobre una superficie incremental cerrada. As,desde (3.97) se tiene

(3.99)

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donde S encierra la superficie elemental v. Se emplea en la generalidad de loscasos

(3.100)

para un vector en coordenadas rectangulares.

Desde la definicin de la divergencia de E dada por (3.99), E tiene divergenciapositiva si el flujo neto saliente de la superficie S es positivo, lo cual se explicacomo si el volumen vcontiene una fuentede flujo. Si la divergencia es negativa,v puede ser vista como un pozoporque el flujo neto es entrante a v. Para uncampo uniforme, la misma cantidad que entra es la que sale, por lo cual sudivergencia es cero y el campo se dice es sin divergencia.

La divergencia es un operador diferencial, opera solamente con vectores y su

resultado es un escalar. Las expresiones para divergencia en sistemas cilndrico yesfrico se pueden solicitar

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