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Le bipotentiel Mécanique du contact Plasticité des sols

Le bipotentiel Mécanique du contact Plasticité des sols

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Page 1: Le bipotentiel Mécanique du contact Plasticité des sols

Le bipotentiel

Mécanique du contact

Plasticité des sols

Page 2: Le bipotentiel Mécanique du contact Plasticité des sols

loi de sous-normalité implicite

),( p

pp b

contraintehydrostatique

contrainte déviatoriqueskd

1

ms

c

K

K

p

p

angle de frottement

angle de dilatance

cohésion

LE MODELE DE DRUCKER-PRAGER NON ASSOCIE ...

surface d’écoulement

... ADMET UN BIPOTENTIEL

pmd

pm

K

p

K

pp

ec

sk

ec

b

tan)tan(tan

tan

)(

)(),(

critère de plasticité 0tan1

)( cssk

f md

terme de couplage

fonction indicatrice(puit de potentiel)

condition cinématique pd

pm eke tan

K

0

terme de sommet

Page 3: Le bipotentiel Mécanique du contact Plasticité des sols

METHODE DE NEWTON MODIFIEE

compatibilité:

équilibre: 0 ext

Tr FdF B

Ux )(B

loi de comportement:

0),(

br

dA

C

Théorème des fonctions implicites :

Matrice tangente locale:

rrt

r

D

1

0

bct DDIb

Ib

D 12

21

)(

matricehessienne

matrice decouplage

symétrique

définiepositiveMatrice de rigidité structurale :

dDK b

Tb BB

de Saxcé & Berga (1994)

Page 4: Le bipotentiel Mécanique du contact Plasticité des sols

de Saxcé & Berga (1994)

20Mécanisme de ruine ( )

Loi associée ( ) Loi non associée( )20 10

Page 5: Le bipotentiel Mécanique du contact Plasticité des sols

BIFONCTIONNELLE B

dufdupdup

dpub

dubuB

ddd

c

p

10

2

)(

))(,(

)),((),(

bipotentieldu matériau

bipotentielde contact

potentiel desactions extérieures

Page 6: Le bipotentiel Mécanique du contact Plasticité des sols

INEGALITEFONDAMENTALEDU BIPOTENTIEL

+PRINCIPE DES PUISSANCES

VIRTUELLES

. .u C A

. .S A B u( , ) 0

Pour les solutions du problème aux limites. :

B u( , ) 0

BIFONCTIONNELLE B

Page 7: Le bipotentiel Mécanique du contact Plasticité des sols

PRINCIPES VARIATIONNELS COUPLES

Approche cinématique

. ., ( , ) ( , ) 0u C A B u B u

Inf B u( , ) . .u C A

Approche statique

S A B u B u. ., ( , ) ( , ) 0

Inf B u( , ) S A. .

Page 8: Le bipotentiel Mécanique du contact Plasticité des sols

Analyse Limite étendue

Hypothèses:facteur de

charge

déplacement

l

charge

limite

0dd ff

1. loi de normalité implicite

0dd pp

2. chargement proportionnel :

Approche de Mandel

Théorèmes de bornes couplés

principe en vitesses dualité

0),(),( uBuBInf . .u C A

principe en contraintes

),( uBInf ..AS

dub

dub

ps

pl

)),((

)),((

condition de normalisation : 11

00 dupduf dd

de Saxcé & Bousshine (1995)

lp

k dub )),((

Page 9: Le bipotentiel Mécanique du contact Plasticité des sols

De Saxcé & Hjiaj (1999)charge limite d’une

fondation

contrainte équivalente

2/4/

2/4/

Page 10: Le bipotentiel Mécanique du contact Plasticité des sols

Le bipotentiel

Mécanique du contact

Plasticité des sols

L’écrouissage non linéaire

Page 11: Le bipotentiel Mécanique du contact Plasticité des sols

loi d’écoulementgénéralisée , b

LA REGLE D’ECROUISSAGE CINEMATIQUE NON LINEAIRE ...surface limite

contrainte s

seuil courant R

surface de charge

back-stress X

p

X C

traction 11

11p

déformationplastique

stabilized cycle

X

R Ycontraintelimite Y

X

Armstrong & Frederick (1966), Chaboche & Lemaitre (1988)

... ADMET UN BIPOTENTIEL

p

p

R

X

*

0

2

( , ) ,

,

3

2

( )

K

p

K

p

eq

b X R

p

Xp

X

Xp

X

critère de plasticité eq X R 0

terme de couplage

déformation plastiqueisotrope

cinématiqueécrouissage

contrainteseuil courant

back stress

fonction indicatrice(puit de potentiel)

écrouissage isotrope p eqp

K

0écrouissagecinématique

p X

Xp

3

2

Page 12: Le bipotentiel Mécanique du contact Plasticité des sols

erreur en loi de comportement de Saxcé & Hjiaj (1999)

. .u C A

. .S A B u( , ) 0bifonctionnelle

Page 13: Le bipotentiel Mécanique du contact Plasticité des sols

Chargement proportionnel: Analyse limite

Chargement variable répété: Adaptation plastique

P P 0

P0

charge 1

charge 2domaine de charge

domaine de charge de référence

a

Ruine incrémentaleRochet

a

Fatigue plastiqueAccommodation

Charge d’adaptation a

Adaptationplastique

charge

déplacement

charge

déplacement

charge

déplacement

Page 14: Le bipotentiel Mécanique du contact Plasticité des sols

chargemorte

X

/ 1 2 / 1 2

histoire de charge

chargecyclique

tractionconstante 11

2

3 12p

11p

p

cisaillementalterné

3 12

Quel est le maximum del’amplitude du cycle

en adaptation plastique?

EPROUVETTE SOUS TRACTIONCONSTANTE & TORSION CYCLIQUE

ALTERNEE

rochet entraction

Page 15: Le bipotentiel Mécanique du contact Plasticité des sols

De Saxcé, Bouby, Tritsch (2003)

déformationsplanes

2

1Y

0 contraintes

planesLemaitre,

Chaboche (1988)

2

21 (1 )Y

( )MPa

( )MPa

rochet

domaineélastique

domained’adaptation

plastique

Page 16: Le bipotentiel Mécanique du contact Plasticité des sols

AUTRES BIPOTENTIELS

Cam-clay (de Saxcé, 1995)

Endommagement plastique ductile de Lemaitre (Bodovillé, 1999)

Lois coaxiales (Vallée et al., 1997)

CONCLUSIONS : le bipotentiel

- est une méthode constructive pour concevoir de nouveaux algorithmes

- est un outil théorique

- fournit une extension naturelle du calcul des variations

QUESTIONS OUVERTES

- unicité du bipotentiel

- existence du bipotentiel