Le calcul de Malliavin pour les nuls - les …file=30831,filename=expose.pdf · Victor Ng Le calcul de Malliavin pour les nuls. Mouvement brownien Calcul de Malliavin Culture générale

Mouvement brownienCalcul de Malliavin

Culture générale : Application au calcul des "grecques"

Bonjour !

Victor Ng Le calcul de Malliavin pour les nuls



Le calcul de Malliavin pour les nuls

Victor Ng

Équipe de Statistiques et ProbabilitésUniversité Paul Sabatier, Toulouse III

Séminaire étudiant du 28 octobre 2009




Introduction

Paul MalliavinVictor Ng Le calcul de Malliavin pour les nuls



Plan de l’exposé

1 Mouvement brownienEspaces de probabilités filtrésMouvement brownien

2 Calcul de MalliavinDérivée de MalliavinIntégrale de SkorokhodPropriétés

3 Culture générale : Application au calcul des "grecques"Produits dérivés"Grecques" : Différences finies versus Malliavin




Espaces de probabilités filtrésMouvement brownien

Plan de l’exposé








Arrêt sur image

Une trajectoire du mouvement brownien





Histoire du mouvement brownien

1827 : Robert Brown, botaniste, observe au microscope unmouvement aléatoire de particules à l’intérieur de grainsde pollen.1900 : Louis Bachelier, mathématicien, utilise lemouvement brownien comme modèle du fluctuation ducours des actions en bourse.1905 : Albert Einstein, physicien, met en équation lemouvement brownien.Années 1930 : Norbert Wiener, Andreï Kolmogorov et PaulLévy fondent la théorie moderne du mouvement brownien.























Plan de l’exposé








Axiomes des probabilités

Andreï Kolmogorov (1903-1987)






On modélise le hasard par un espace (Ω,F , P) avecΩ un ensemble qui reflète au mieux les résultats possiblesdu phénomène aléatoire.F une tribu sur Ω, i.e. une ensemble de parties de Ωpermettant de considèrer tous les événements possiblesdu fait de sa stabilité par certaines opérations.P une mesure de probabilité sur Ω qui donne un nombreentre 0 et 1 à un événement selon que celui-ci ait deschances ou non de se réaliser.

















Processus stochastiques

L’évolution au cours du temps d’un phénomène est donnéepar une fonction X : t ∈ T 7−→ X (t) ∈ E , avec E un certainespace mesurable, i.e. muni d’une tribu E .On modélise le hasard en disant que la fonction X est unefonction de deux variables :

X : (ω, t) ∈ Ω× T 7−→ X (ω, t) ∈ E

On commence par demander que pour tout t ∈ T ,l’application X (., t) soit une fonction mesurable, i.e. l’imageréciproque de tout élément de la tribu d’arrivée E soit unélément de la tribu de départ F .On utilise également le terme de "variable aléatoire" aulieu de fonction mesurable.







X : (ω, t) ∈ Ω× T 7−→ X (ω, t) ∈ E








X : (ω, t) ∈ Ω× T 7−→ X (ω, t) ∈ E








X : (ω, t) ∈ Ω× T 7−→ X (ω, t) ∈ E






Filtrations

Lorsqu’on observe un processus au temps t , seulscertains événements peuvent survenir dans l’intervalle detemps [0, t ].Ces événements constituent une sous-tribu Ft de F : c’esttoute l’information disponible au temps t .On exige donc de plus que, pour tout t ∈ T , la variablealéatoire X (., t) soit Ft -mesurable, i.e. l’image réciproquepar X (., t) de tout élément de la tribu d’arrivée E soit unélément de la sous-tribu Ft .La famille (Ft)t∈T s’appelle une filtration.Cette famille est croissante : plus le temps avance et plusles informations filtrent, peu à peu.





Filtrations






Filtrations






Filtrations






Filtrations







On peut voir un processus stochastique comme :ou bien une famille (Xt)t∈T de variables aléatoires,chacune étant Ft -mesurable.ou bien comme une variable aléatoire à valeurs dans unespace fonctionnel : ∀ω ∈ Ω, X (ω, .) ∈ ET , avec unecertaine tribu sur cet espace fonctionnel.






On peut voir un processus stochastique comme :ou bien une famille (Xt)t∈T de variables aléatoires,chacune étant Ft -mesurable.ou bien comme une variable aléatoire à valeurs dans unespace fonctionnel : ∀ω ∈ Ω, X (ω, .) ∈ ET , avec unecertaine tribu sur cet espace fonctionnel.





Plan de l’exposé








Définition du mouvement brownien

Soit (Ω,F , (Ft)t∈T , P) un espace probabilisé et filtré.On appelle mouvement brownien un processus (B(t))t>0 àvaleurs réelles tel que :

B(0) = 0, ce P-presque sûrement∀s, t ∈ R+ avec s 6 t , B(t)− B(s) soit indépendante de Fset de loi N (0, t − s).





Définition du mouvement brownien

Soit (Ω,F , (Ft)t∈T , P) un espace probabilisé et filtré.On appelle mouvement brownien un processus (B(t))t>0 àvaleurs réelles tel que :

B(0) = 0, ce P-presque sûrement∀s, t ∈ R+ avec s 6 t , B(t)− B(s) soit indépendante de Fset de loi N (0, t − s).





Le mouvement brownien comme limite de marchesaléatoires

Marche aléatoire : on lance une pièce équilibrée et onavance d’un pas si l’on obtient pile et on recule d’un pas sil’on obtient face.Renormalisation en temps et en espace : on lance la pièceen tous les instants 1

n et on avance ou recule d’un pas detaille 1√

n

Donsker : convergence vers le mouvement brownien.








n









n






Espace de Wiener

Norbert Wiener (1894-1964)





Espace de Wiener

Ω = C0(R+, R)

F tribu qui rend mesurable chaque application coordonnéeP mesure de Wiener, "analogue" de la mesure uniforme





Espace de Wiener

Ω = C0(R+, R)






Espace de Wiener

Ω = C0(R+, R)





Dérivée de MalliavinIntégrale de SkorokhodPropriétés

Plan de l’exposé








Cadre et notations

1 Dans tout ce qui suit, on considère :un espace de probabilités (Ω,F , P)un mouvement brownien (B(t))06t61 sur [0, 1]la filtration associée à ce mouvement brownien, (Ft)06t61

2 De plus, on subdivise l’intervalle [0, 1] avec les dyadiquestk ,n = k

2n , avec n ∈ N∗ et k ∈ 0, ..., 2n.3 On note ∆k ,n = B(tk+1,n)− B(tk ,n) et

∆n =(∆0,n, ...,∆2n−1,n

).

4 On note C∞p(R2n)

l’espace des fonctions indéfinimentdérivables à croissance au plus pôlynomiale à l’infini.





Cadre et notations




∆n =(∆0,n, ...,∆2n−1,n

).







Cadre et notations




∆n =(∆0,n, ...,∆2n−1,n

).







Cadre et notations




∆n =(∆0,n, ...,∆2n−1,n

).







Cadre et notations




∆n =(∆0,n, ...,∆2n−1,n

).







Cadre et notations




∆n =(∆0,n, ...,∆2n−1,n

).







Cadre et notations




∆n =(∆0,n, ...,∆2n−1,n

).







Fonctionnelles simples

On poseSn =

f (∆n) : f ∈ C∞p

(R2n

).

Il s’agit d’une suite croissante de sous-ensembles deL2(Ω).Les éléments sont des variables aléatoires !L’ensemble

S =⋃n>1

Sn

s’appelle l’ensemble des fonctionnelles simples.S est dense dans L2(Ω).






On poseSn =

f (∆n) : f ∈ C∞p

(R2n

).


S =⋃n>1

Sn







On poseSn =

f (∆n) : f ∈ C∞p

(R2n

).


S =⋃n>1

Sn







On poseSn =

f (∆n) : f ∈ C∞p

(R2n

).


S =⋃n>1

Sn






Processus simples

On pose

Pn =

(ω, t) 7−→

2n−1∑i=0

Fi(ω)I[ti,n,ti+1,n[(t) : Fi ∈ Sn

.

Il s’agit d’une suite croissante de sous-ensembles deL2(Ω× [0, 1]).Les éléments sont processus stochastiques !L’ensemble

P =⋃n>1

Pn

s’appelle l’ensemble des processus simples.P est dense dans L2(Ω× [0, 1]).





Processus simples

On pose

Pn =

(ω, t) 7−→

2n−1∑i=0


.


P =⋃n>1

Pn






Processus simples

On pose

Pn =

(ω, t) 7−→

2n−1∑i=0


.


P =⋃n>1

Pn






Processus simples

On pose

Pn =

(ω, t) 7−→

2n−1∑i=0


.


P =⋃n>1

Pn






Plan de l’exposé








Dérivée de Malliavin

Paul Malliavin (Né en 1925, toujours vivant)





Dérivation au sens de Malliavin

Soit F ∈ S. Il existe donc n ∈ N∗ et f ∈ C∞p(R2n)

tel que∀ω ∈ Ω, F (ω) = f (∆n(ω)).On définit l’opérateur de dérivation au sens de Malliavincomme étant l’opérateur D qui appliqué à F , vaut pour toutω ∈ Ω et s ∈ [0, 1],

DF (ω, s) =2n−1∑i=0

∂f∂xi

(∆n(ω))I[ti,n,ti+1,n[(s).

On dérive une variable aléatoire et on obtient unprocessus.Exercices :

Quelle est la dérivée de Malliavin de B(1) ?Pour s > t , calculer la dérivée de Malliavin DF (ω, s) d’unevariable aléatoire F Ft -adaptée.








DF (ω, s) =2n−1∑i=0

∂f∂xi











DF (ω, s) =2n−1∑i=0

∂f∂xi











DF (ω, s) =2n−1∑i=0

∂f∂xi











DF (ω, s) =2n−1∑i=0

∂f∂xi











DF (ω, s) =2n−1∑i=0

∂f∂xi








Plan de l’exposé








Intégrale de Skorokhod

A. V. Skorokhod (Né en 1930, toujours vivant)





Intégration au sens de Skorokhod

Soit u ∈ P. Il existe donc n ∈ N∗ tel que u ∈ Pn.u s’écrit donc

u(ω, t) =2n−1∑i=0

Fi(ω)I[ti,n,ti+1,n[(t) =2n−1∑i=0

fi(∆n(ω))I[ti,n,ti+1,n[(t)

On définit l’opérateur d’intégration au sens de Skorokhodcomme étant l’opérateur δ qui appliqué à u, vaut pour toutω ∈ Ω,

δ(u)(ω) =2n−1∑i=0

fi(∆n(ω))∆i,n(ω)− 12n

2n−1∑i=0

∂f∂xi

(∆n(ω)).

On intègre un processus et on a une variable aléatoire.Exercices :

Que vaut l’intégrale de Skorokhod de I[0,1[ ?Que se passe-t-il pour un processus prévisible ?







u(ω, t) =2n−1∑i=0




δ(u)(ω) =2n−1∑i=0

fi(∆n(ω))∆i,n(ω)− 12n

2n−1∑i=0

∂f∂xi

(∆n(ω)).









u(ω, t) =2n−1∑i=0




δ(u)(ω) =2n−1∑i=0

fi(∆n(ω))∆i,n(ω)− 12n

2n−1∑i=0

∂f∂xi

(∆n(ω)).









u(ω, t) =2n−1∑i=0




δ(u)(ω) =2n−1∑i=0

fi(∆n(ω))∆i,n(ω)− 12n

2n−1∑i=0

∂f∂xi

(∆n(ω)).









u(ω, t) =2n−1∑i=0




δ(u)(ω) =2n−1∑i=0

fi(∆n(ω))∆i,n(ω)− 12n

2n−1∑i=0

∂f∂xi

(∆n(ω)).









u(ω, t) =2n−1∑i=0




δ(u)(ω) =2n−1∑i=0

fi(∆n(ω))∆i,n(ω)− 12n

2n−1∑i=0

∂f∂xi

(∆n(ω)).









u(ω, t) =2n−1∑i=0




δ(u)(ω) =2n−1∑i=0

fi(∆n(ω))∆i,n(ω)− 12n

2n−1∑i=0

∂f∂xi

(∆n(ω)).







Plan de l’exposé








Prolongement des opérateurs

Soit D l’ensemble des fonctionnelles F de L2(Ω) quiadmettent une suite (Fn)n∈N d’éléments de S telle que

Fn −→ F et DFn −→ u,

respectivement dans L2(Ω) et L2(Ω× [0, 1]).De même, soit Dom(δ) l’ensemble des processus u deL2(Ω× [0, 1]) qui admettent une suite (un)n∈N d’élémentsde P telle que

un −→ u et δ(un) −→ F ,

respectivement dans L2(Ω× [0, 1]) et L2(Ω).Les opérateurs D et δ sont des opérateurs fermés, ce quiassure dans le premier point (resp. le deuxième point) queDF = u (resp. δ(u) = F )L’opérateur D s’étend sur D et l’opérateur δ sur Dom(δ).









un −→ u et δ(un) −→ F ,










un −→ u et δ(un) −→ F ,










un −→ u et δ(un) −→ F ,






Formule d’intégration par parties

F ∈ D et u ∈ Dom(δ).On a la relation suivante :

< DF , u >L2(Ω×[0,1])=< F , δ(u) >L2(Ω) .





Formule d’intégration par parties

F ∈ D et u ∈ Dom(δ).On a la relation suivante :

< DF , u >L2(Ω×[0,1])=< F , δ(u) >L2(Ω) .




Produits dérivés"Grecques" : Différences finies versus Malliavin

Plan de l’exposé








Marchés financiers

Cours d’un actif





Plan de l’exposé








Produits dérivés

Option : produit dérivé qui donne le droit d’acheter ou devendre un actif à un prix et à une échéance fixés àl’avance.But du trader ou du gestionnaire de portefeuille : contrôlerson exposition aux risques.Les "grecques" sont des indicateurs de sensibilité quimesurent la variation de la valeur du produit dérivé parrapport à une variation de certains paramètres.





Produits dérivés






Produits dérivés






Produits dérivés

On se munit d’un actif dont le cours est donné par le processusS.

Call : contrat qui permet à son souscripteur d’acquérirl’actif, alors appelé actif sous-jacent, à un prix K fixé àl’avance, appelé strike, et à une échéance déterminée.Put : contrat qui permet à son souscripteur de vendrel’actif, alors appelé actif sous-jacent, à un prix K fixé àl’avance, appelé strike, et à une échéance déterminée.Si X est la valeur de l’actif sous-jacent à la date d’exercice,alors la valeur de l’option, ou payoff, est P = (X − K )+ etson prix sera donné par C(x) = E[f (X x)], où x est la valeurinitiale du sous-jacent.





Produits dérivés







Produits dérivés







Exemples

Les différents types d’options sont les suivantes :Option européenne : exerçable à uniquement à échéanceT ; P = (ST − K )+

Option américaine : exerçable jusqu’à échéance ;P = (Sτ − K )+ avec τ un temps d’arrêt.Option asiatique : exerçable à uniquement à échéance T ;

P = (1T

∫ T

0Stdt − K )+





Exemples



P = (1T

∫ T

0Stdt − K )+





Exemples



P = (1T

∫ T

0Stdt − K )+





Plan de l’exposé








Les "grecques"

δ : mesure l’impact d’une variation du prix de l’actifsous-jacent sur le prix de l’option.γ : indique si le prix de l’option a tendance à évoluer plusou moins vite que le prix du sous-jacent.θ : évalue à quel point l’écoulement du temps influe sur lavaleur de l’option.ρ : mesure la variation du prix de l’option par rapport àl’évolution du taux d’intérêt.ν : le Véga mesure l’exposition à la volatilité implicite.





Les "grecques"






Les "grecques"






Les "grecques"






Les "grecques"






Calcul des "grecques"

δ = ∂∂x C(x) = ∂

∂x E[f (X x)]

Calcul par la méthode des différences finies :

δ ≈ C(x + ε)− C(x − ε)

2ε

A l’aide du calcul de Malliavin : plus de rapidité etd’efficacité !δ = E[P × w ], avec w un poids à déterminer.






δ = ∂∂x C(x) = ∂

∂x E[f (X x)]


δ ≈ C(x + ε)− C(x − ε)

2ε







δ = ∂∂x C(x) = ∂

∂x E[f (X x)]


δ ≈ C(x + ε)− C(x − ε)

2ε







δ = ∂∂x C(x) = ∂

∂x E[f (X x)]


δ ≈ C(x + ε)− C(x − ε)

2ε






Conclusion





Merci de votre attention !


Documents

Le calcul de Malliavin pour les nuls - les …file=30831,filename=expose.pdf · Victor Ng Le calcul de Malliavin pour les nuls. Mouvement brownien Calcul de Malliavin Culture générale