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Le développement du langage à travers les activités
mathématiques déployées dans les manuels scolaires au primaire
Mémoire
Marie-Joëlle Langlois
Maîtrise en psychopédagogie – adaptation scolaire Maître ès arts (M.A.)
Québec, Canada
© Marie-Joëlle Langlois, 2015
III
RÉSUMÉ
Le langage est un élément fondamental dans l’acquisition de nombreux concepts
mathématiques puisque le développement d’un vocabulaire spécialisé lié à la
compréhension des concepts demeure une condition essentielle aux apprentissages relatifs à
une discipline scolaire. Plusieurs recherches tendent d’ailleurs à en faire la démonstration,
d’où les répercussions dans la mise sur pied du Programme de formation de l’école
québécoise alors qu’une compétence est spécifiquement dédiée au langage. Toutefois,
malgré les connaissances existantes sur la question et les tentatives d’intégration dans le
cadre de l’enseignement primaire, certaines difficultés rencontrées par les élèves dans le
domaine des mathématiques peuvent s’expliquer par certaines lacunes en ce qui concerne
leurs compétences langagières. Devant cette persistance, il semble justifié de se questionner
à savoir si le matériel didactique utilisé dans les écoles apporte les moyens appropriés de
mise en œuvre des visées du document ministériel pour permettre à l’enseignant
d’organiser les apprentissages et de développer les compétences chez l’élève. L’observation
de cette problématique suscitant notre interrogation a donné naissance à ce projet de
recherche qui s’est penché sur une collection de manuels offerts aux trois cycles du
primaire pour en proposer une analyse sur la base de quatre principaux critères : la présence
d’activités mobilisant le langage mathématique; la pertinence des consignes pour le
développement conceptuel; la correspondance entre l’activité et le niveau de l’élève au
regard de la progression des apprentissages; le déploiement de l’approche par compétence
visant le développement de l’autonomie de l’élève. En plus de l’insuffisance de
l’expérience langagière retrouvée à l’intérieur de ces précieux outils qui soutiennent la
démarche d’enseignement, une analyse du point de vue de la pertinence mathématique et
didactique a pu démontrer que les manuels peuvent difficilement participer à l’acquisition
de concepts sur la base du développement du vocabulaire qui lui est associé, ce qui peut
représenter une explication, parmi d’autres, des difficultés d’apprentissage chez
l’apprenant.
V
TABLE DES MATIÈRES
RÉSUMÉ .............................................................................................................................. III
LISTE DES TABLEAUX ................................................................................................... IX
LISTE DES FIGURES ........................................................................................................ XI
REMERCIEMENTS .......................................................................................................... XIII
Introduction ............................................................................................................................. 1
Partie I : Problématique de la recherche et cadre théorique ................................................... 5
Chapitre 1 : Problématique de la recherche ............................................................................ 7
1.1 Renouveau pédagogique ............................................................................................... 7
1.2 Place accordée aux manuels .......................................................................................... 9
1.3 Intérêt de la géométrie ................................................................................................. 11
1.4 Choix du concept ......................................................................................................... 13
1.5 Difficultés en géométrie .............................................................................................. 13
1.6 Question de recherche ................................................................................................. 16
1.7 Intérêt de la recherche ................................................................................................. 17
Chapitre 2 : Cadre théorique ................................................................................................. 19
2.1 Développement de la pensée et du langage ................................................................. 20
2.1.1 Origine sociale des fonctions psychiques supérieures .......................................... 20
2.1.2 Instruments psychologiques et symboles ............................................................. 22
2.1.3 Pensée et mot ........................................................................................................ 23
2.1.4 Développement des concepts ............................................................................... 27
2.2 Niveaux de pensée géométrique .................................................................................. 34
2.2.1 Présentation de la théorie ...................................................................................... 34
2.2.2 Description des niveaux ....................................................................................... 35
2.2.3 Implications pour l’enseignement ........................................................................ 37
VI
2.3 Rapprochement entre deux cadres théoriques ............................................................ 39
2.4 Organisation des apprentissages mathématiques ........................................................ 40
2.4.1 Situation comme modèle d’apprentissage ........................................................... 40
2.5 Le cercle dans les recherches en didactique ............................................................... 43
2.5.1 Situations mathématiques de la pré-expérimentation .......................................... 44
2.5.2 Principaux constats de la pré-expérimentation .................................................... 52
2.5.3 Séquence didactique en phase d’expérimentation ............................................... 55
2.5.4 Principaux constats de l’expérimentation ............................................................ 64
2.6 Éléments retenus pour la recherche ............................................................................ 66
Partie II : Méthodologie de la recherche et proposition d’enseignement ............................. 69
Chapitre 3 : Méthodologie de la recherche .......................................................................... 71
3.1 Démarche d’analyse ................................................................................................... 72
3.1.1 Le cercle dans le Programme de formation de l’école québécoise ..................... 72
3.1.2 Le cercle dans les manuels didactiques ............................................................... 73
3.1.2.1 Premier cycle du primaire……………………………….......…….…….…74
3.1.2.2 Deuxième cycle du primaire…………………...……...………….….….…83
3.1.2.3 Troisième cycle du primaire……………………………………….…....…86
3.2 Résultats d’analyse ................................................................................................... 102
3.3 Synthèse .................................................................................................................... 106
Chapitre 4 : Proposition d’enseignement ........................................................................... 115
4.1 Premier cycle du primaire......................................................................................... 117
4.2 Deuxième cycle du primaire ..................................................................................... 118
4.2.1 Diamètre ............................................................................................................. 118
4.2.2 Centre de cercle .................................................................................................. 121
4.2.3 Axe de réflexion – diagonale, hauteur, bissectrice, diamètre ............................ 123
4.2.4 Cercle et polygone ............................................................................................. 125
VII
4.2.5 Cercle, rayon, centre ........................................................................................... 127
4.2.6 Réinvestissement ................................................................................................ 130
4.3 Troisième cycle du primaire ...................................................................................... 130
4.3.1 Arc, rayon, centre de rotation ............................................................................. 130
4.3.2 Centre de cercle .................................................................................................. 131
4.3.3 Construction (cercle, rayon, diamètre, centre) ................................................... 132
4.3.4 Disque, angle au centre ....................................................................................... 133
4.3.5 Mesure d’angle au centre .................................................................................... 135
4.3.6 Relation entre le cercle et les polygones réguliers ............................................. 136
4.3.7 Circonférence ..................................................................................................... 137
4.4 Synthèse .................................................................................................................... 138
Conclusion .......................................................................................................................... 145
Bibliographie ...................................................................................................................... 149
Annexes .............................................................................................................................. 153
Annexe I : Programme de formation de l’école québécoise (section géométrie : figures géométriques et sens spatial) .............................................................................................. 155
Annexe II : Activités tirées des manuels didactiques de la collection Clicmaths ............... 157
IX
LISTE DES TABLEAUX
TABLEAU 1. LES COMPÉTENCES MATHÉMATIQUES DANS LE PROGRAMME DE FORMATION DE L’ÉCOLE QUÉBÉCOISE 6
TABLEAU 2. PROPRIÉTÉS DU CERCLE TRAVAILLÉES DANS LES SITUATIONS DE LA PRÉ-EXPÉRIMENTATION 52
TABLEAU 3. PROPRIÉTÉS DU CERCLE TRAVAILLÉES DANS LES SITUATIONS DE LA PHASE D’EXPÉRIMENTATION 63
TABLEAU 4. DESCRIPTION DES SAVOIRS ESSENTIELS (CONCEPT DU CERCLE) 68
TABLEAU 5. PROPRIÉTÉS TRAVAILLÉES DANS LES ACTIVITÉS DES MANUELS ET DÉFINITION FOURNIE POUR CHACUNE D’ELLES 98
TABLEAU 6. RÉSULTATS D’ANALYSE 99
TABLEAU 7. ANALYSE DE RESSOURCES DIDACTIQUES : PROPRIÉTÉS DU CERCLE 103
TABLEAU 8. SYNTHÈSE SUR LE CERCLE : NOTRE PROPOSITION 135
XI
LISTE DES FIGURES
FIGURE 1. PRÉ-EXPÉRIMENTATION: RECONNAISSANCE DE FORMES ............................................ 46 FIGURE 2. EXPÉRIMENTATION: LES DISQUES ...................................................................................... 56 FIGURE 3. EXPÉRIMENTATION: LES COURONNES ............................................................................... 58 FIGURE 4. EXPÉRIMENTATION: LES ARCS DE CERCLE ...................................................................... 60 FIGURE 5. VOLUME A, 1ER CYCLE, P.83 .................................................................................................... 75 FIGURE 6. VOLUME A, 1ER CYCLE, P.86 .................................................................................................... 76 FIGURE 7. VOLUME B, 1ER CYCLE, P.12 .................................................................................................... 77 FIGURE 8. CAHIER D’APPRENTISSAGE, VOLUME B, 1ER CYCLE, P.19 .............................................. 78 FIGURE 9. VOLUME B, 1ER CYCLE, P.13 .................................................................................................... 79 FIGURE 10. VOLUME B, 1ER CYCLE, P.14 .................................................................................................. 80 FIGURE 11. VOLUME B, 1ER CYCLE, P.15 .................................................................................................. 80 FIGURE 12. VOLUME B, 1ER CYCLE, P.74 .................................................................................................. 82 FIGURE 13. VOLUME A, 2E CYCLE, P.22 ................................................................................................... 83 FIGURE 14. VOLUME A, 2E CYCLE, P.23 ................................................................................................... 84 FIGURE 15. VOLUME A, 2E CYCLE, P.24 ................................................................................................... 85 FIGURE 16. MANUEL DE L’ÉLÈVE A, VOLUME 1, 3E CYCLE, P.44 ...................................................... 87 FIGURE 17. MANUEL DE L’ÉLÈVE A, VOLUME 1, 3E CYCLE, P.45 ...................................................... 89 FIGURE 18. MANUEL DE L’ÉLÈVE A, VOLUME 1, 3E CYCLE, P.46 ...................................................... 90 FIGURE 19. MANUEL DE L’ÉLÈVE A, VOLUME 1, 3E CYCLE, P.47 ...................................................... 92 FIGURE 20. MANUEL DE L’ÉLÈVE A, VOLUME 1, 3E CYCLE, P.48 ...................................................... 93 FIGURE 21. MANUEL DE L’ÉLÈVE A, VOLUME 1, 3E CYCLE, P.49 ...................................................... 94 FIGURE 22. MANUEL DE L’ÉLÈVE A, VOLUME 1, 3E CYCLE, P.50 ...................................................... 94 FIGURE 23. MANUEL DE L’ÉLÈVE A, VOLUME 1, 3E CYCLE, P.51 ...................................................... 95 FIGURE 24. MANUEL DE L’ÉLÈVE A, VOLUME 1, 3E CYCLE, P.52 ...................................................... 98 FIGURE 25. MANUEL DE L’ÉLÈVE A, VOLUME 1, 3E CYCLE, P.53 ...................................................... 99 FIGURE 26. MANUEL DE L’ÉLÈVE A, VOLUME 1, 3E CYCLE, P.92 .................................................... 100 FIGURE 27. MANUEL DE L’ÉLÈVE A, VOLUME 1, 3E CYCLE, P.93 .................................................... 100 FIGURE 28. MANUEL DE L’ÉLÈVE B, VOLUME 1, 3E CYCLE, P.25 .................................................... 101 FIGURE 29. MANUEL DE L’ÉLÈVE A, VOLUME 1, 3E CYCLE, P.92. ................................................... 135
XIII
REMERCIEMENTS
Je voudrais adresser mes remerciements aux personnes qui ont contribué à leur façon pour
rendre possible la réalisation de ce mémoire.
D’abord, je voudrais exprimer toute ma gratitude à madame Helena Boublil-Ekimova,
professeure en didactique des mathématiques à l’Université Laval. En tant que directrice de
recherche, elle a su, grâce à sa patience et sa grande disponibilité, m’appuyer et me
conseiller efficacement afin d’alimenter ma réflexion. Je tiens également, sur ce point, à
remercier madame Catinca Adriana Stan de même que madame Marie-Andrée Lord pour
leurs commentaires constructifs qui ont grandement guidé la rédaction de ce document.
Puis, j’adresse mes remerciements aux professeurs de l’Université Laval qui m’ont fourni
les outils nécessaires à la réussite de mes études universitaires. Un merci spécial aussi à
l’ensemble des intervenants et à toutes les personnes qui, par leurs paroles, leurs écrits,
leurs conseils et leurs critiques, ont servi de guide à mon parcours et ont accepté de me
rencontrer dans le but de répondre à mes questions durant mes recherches.
Finalement, je me dois de terminer mes remerciements en allant à la source pour témoigner
ma reconnaissance envers mes proches en commençant avec mes parents, Pierre et
Guylaine, dont l’amour s’est traduit par l’encouragement, le soutien et la compréhension
depuis le début de mon parcours scolaire. Une reconnaissance envers ceux qui, je sais, sont
fiers de l’accomplissement de toutes ces années de travail et d’efforts dont résulte enfin ce
projet. Un merci spécial également à mon frère Jean-Gabriel dont l’humour n’aura été
qu’une source de motivation supplémentaire pour continuer dans les moments où le
découragement se faisait sentir. Enfin, un dernier merci à mon copain Matthew qui, malgré
les sacrifices, n’a jamais cessé de démontrer son appui.
1
INTRODUCTION
Le langage témoigne de son importance pour tout individu. Dans les pays développés où un
haut niveau de littératie est observé, une maîtrise suffisante du langage demeure dorénavant
une condition essentielle à l’épanouissement personnel et social (Chartrand et Blaser,
2007). De plus, favorisant le développement des compétences visées par l’école, il
entretient une forte corrélation avec la réussite scolaire. Effectivement, de nombreuses
recherches, et plus particulièrement l’œuvre de Vygotski (1997), tendent à démontrer le
rôle déterminant du langage dans le cadre du développement des capacités psychiques
supérieures nécessaires aux apprentissages scolaires qui traitent de systèmes et de concepts
formels relativement abstraits pour l’apprenant.
Le langage est ainsi un élément fondamental dans l’acquisition de nombreux concepts
mathématiques puisque le développement d’un vocabulaire spécialisé lié à la
compréhension des concepts demeure une prémisse aux apprentissages relatifs à une
discipline scolaire (Vergnaud, 1991a). Pourtant, malgré cette reconnaissance et
l’intégration de ces fondements dans le cadre des compétences constituant le Programme
de formation de l’école québécoise, beaucoup d’échecs dans le domaine des mathématiques
demeurent observables alors que l’apprenant se trouve dans l’incapacité à lire correctement
une consigne, à comprendre l’énoncé d’un problème, à justifier sa démarche, etc.
(Vergnaud, 1991a).
Il apparaît donc justifié de se questionner à savoir si le matériel didactique utilisé dans les
écoles apporte les moyens appropriés de mise en œuvre des visées du document ministériel
pour permettre à l’enseignant d’organiser les apprentissages et de développer les
compétences chez l’élève. Plus précisément, nous aimerions, à travers ce projet de
recherche, répondre à la question principale suivante: est-ce que les manuels didactiques
qui soutiennent la démarche d’enseignement proposent des activités qui permettent de
développer les compétences langagières des élèves afin que ces derniers s’approprient le
vocabulaire mathématique relatif aux concepts à l’étude?
L’observation de difficultés récurrentes en mathématiques suscitant un questionnement de
notre part a donné naissance à ce projet de recherche qui s’est penché sur l’analyse d’une
2
collection de manuels offerts aux trois cycles du primaire. De cette façon, nous portons un
intérêt particulier à la manière dont les activités qui y sont proposées donnent lieu au
développement du langage de l’élève et à la construction de concepts mathématiques. Outre
notre préoccupation de mieux comprendre les contenus mathématiques à l’étude au niveau
primaire et la manière de les enseigner, tant d’un point de vue théorique que pratique, nous
espérons être en mesure de suggérer des pistes permettant à l’enseignant de porter un regard
critique et constructif sur les activités afin qu’elles représentent des contextes féconds à
l’apprentissage. En se basant sur les recherches psychopédagogiques et didactiques, nous
tenterons donc de faire une proposition qui répondra aux orientations visées par le
Programme de formation. Ainsi, outillé pour procéder à l’évaluation et à la modification
des tâches soumises aux élèves, et disposant d’un modèle de séquence d’enseignement, le
professionnel deviendra en mesure de donner plus d’ampleur à l’activité mathématique de
l’élève et au développement de ses compétences.
Quatre chapitres composent le texte. Le chapitre 1 est consacré à la problématique dans laquelle nous ancrons notre recherche au moyen de l’exploration d’éléments qui ont conduit à la formulation de la question et des objectifs de recherche. Partant de la description des trois compétences visées pour l’enseignement des mathématiques au primaire, nous déployons davantage les composantes langagières qui les définissent afin de préciser les éléments observables pour l’analyse des activités. Nous nous intéressons ensuite aux difficultés langagières des élèves et nous allons tenter de déterminer les raisons de leur provenance. À la fin de ce chapitre, nous nous arrêtons sur l’utilisation des manuels scolaires dans la pratique enseignante et sur les critères qui ont permis de les analyser.
Le chapitre 2 est composé des éléments théoriques qui ont été retenus pour mener cette
recherche. D’abord, nous présentons l’œuvre de Vygotski (1997) sous l’angle des concepts
développés en ce qui concerne l’importance du langage dans le cadre de l’apprentissage.
Nous nous intéressons ensuite à la théorie de van Hiele (1959/1984) portant sur les niveaux
de la pensée géométrique. Il sera ainsi possible de faire ressortir les éléments relatifs au
langage pour chaque niveau et la manière dont il est possible de procéder au développement
des compétences langagières de l’apprenant en géométrie, domaine des mathématiques qui
nous intéresse particulièrement.
3
Dans ce même chapitre, nous dévoilons aussi certains éléments venant des théories
développées dans la recherche en didactique des mathématiques. L’approche didactique de
l’organisation des apprentissages proposée par la Théorie des situations didactiques
(Brousseau, 1998) et le modèle du concept venant de la Théorie des champs conceptuels
(Vergnaud, 1991b) seront pris en compte dans la démarche d’analyse et de conception des
séquences d’apprentissage. Au terme de ce chapitre, nous présentons une ingénierie
didactique d’Artigue et Robinet (1986) qui offre une suite de situations didactiques visant
le développement d’un concept particulier. Ce cadre théorique servira d’appui tout au long
de la réalisation de notre recherche.
Le chapitre 3 met de l'avant la démarche conduisant à la mise en œuvre de cette recherche.
S’appuyant sur les éléments retenus du cadre théorique, la démarche méthodologique
entreprise représente l’analyse du Programme de formation de l’école québécoise et celle
d’une collection de manuels didactiques pour les mettre en parallèle avec l’ingénierie
didactique d’Artigue et Robinet (1986). De cette façon, le chapitre suivant (chapitre 4)
prend la forme d’une proposition d’enseignement qui aura l’avantage de favoriser le
développement du langage chez l’élève en plus de participer à la construction du concept
mathématique particulier.
Finalement, nous présentons les conclusions générales de cette recherche pour
éventuellement ressortir les apports et les limites de la présente étude et terminer en ouvrant
sur de nouvelles avenues de recherche.
5
PARTIE I :
PROBLÉMATIQUE DE LA RECHERCHE
ET CADRE THÉORIQUE
7
CHAPITRE 1 : PROBLÉMATIQUE DE LA RECHERCHE
Ce chapitre donnera l’occasion d’observer les considérations de base qui constituent les fondements de cette recherche. Ainsi, il s’agira d’abord de relater le contexte de l’étude alors qu’un survol de certains éléments constituant le renouveau pédagogique sera entrepris. De cette manière, il deviendra possible de porter un regard sur la place accordée au développement des aptitudes langagières au niveau primaire, particulièrement dans le domaine des mathématiques. En nous nous intéressant aux difficultés langagières des élèves en apprentissage des mathématiques, nous allons tenter de déterminer les raisons de leur provenance. Ensuite, nous nous arrêtons sur l’utilisation des manuels scolaires dans la pratique enseignante et sur le rôle qui leur est accordé par les enseignants du primaire.
Les différents éléments soulevés dans ce chapitre nous permettront de cerner notre question
de recherche.
1.1 RENOUVEAU PÉDAGOGIQUE
Dans le cadre du renouveau pédagogique, le Programme de formation de l’école
québécoise (Ministère de l’Éducation, 2006) mise, d’une part, sur l’organisation de
l’enseignement et de l’apprentissage dans une visée de développement de compétences afin
que l’élève cultive des habiletés complexes lui permettant de s’adapter à l’environnement
changeant dans lequel il évolue. D’autre part, il prend appui sur un cadre conceptuel qui
porte à envisager l’apprentissage comme un processus actif où l’apprenant procède à la
construction des savoirs. Retenue comme étant « un savoir-agir fondé sur la mobilisation et
l’utilisation efficaces d’un ensemble de ressources » (Ministère de l’Éducation, 2006), une
compétence implique le déploiement de l’autonomie de l’élève qui devient le premier
artisan de l’apprentissage.
L’approche par compétences met l’accent sur un aspect plus ouvert de l’enseignement qui
vise à travailler des problèmes qui ne se réduisent pas à des solutions stéréotypées et dans
lesquels l’activité constructive de l’élève est requise. Selon cette approche, l’enseignement
des mathématiques doit réserver une place substantielle à des situations où l’élève prend la
position de chercheur dans le cadre de la résolution de problèmes. Résoudre des problèmes
8
offre, en effet, à l’élève l’occasion de se heurter à la difficulté en exploitant, dans un
contexte précis, ses connaissances de façon efficace.
Le Programme présente les mathématiques comme une source importante du
développement intellectuel qui fait appel à la résolution de situations-problèmes
(compétence 1), au raisonnement (compétence 2) et à l’emploi du langage mathématique
(compétence 3). Ces trois compétences se déclinent en des composantes propres au
développement langagier et à son utilisation (voir le tableau 1 ci-dessous).
Compétences Composantes
COMPÉTENCE 1 :
Résoudre une situation-problème
- Décoder les éléments de la situation-problème
- Modéliser la situation-problème
- Appliquer différentes stratégies en vue d’élaborer une solution
- Valider la solution
- Partager l’information relative à la solution
COMPÉTENCE 2 :
Raisonner à l’aide de concepts et
de processus mathématiques
- Cerner les éléments de la situation mathématique
- Mobiliser des concepts et des processus mathématiques appropriés à la
situation
- Appliquer des processus mathématiques appropriés à la situation
- Justifier des actions ou des énoncés en faisant appel à des concepts et à
des processus mathématiques
COMPÉTENCE 3 :
Communiquer à l’aide du
langage mathématique
- S’approprier le vocabulaire mathématique
- Interpréter ou produire des messages à caractère mathématique
- Établir des liens entre le langage mathématique et le langage courant
Tableau 1. Les compétences mathématiques dans le Programme de formation de l'école québécoise (Ministère de l'Éducation, 2006)
En analysant les composantes de la compétence menant à résoudre une situation-problème
(compétence 1), on peut remarquer que, dès la première étape, la démarche de résolution
exige de l’élève l’emploi de processus faisant appel au traitement des informations :
9
décodage des éléments de la situation, choix des éléments pertinents, représentation et
modélisation de la situation. Ces étapes demandent ainsi la mobilisation du vocabulaire
approprié dans l’élaboration de la démarche, sa validation et la communication de résultats.
Les composantes de la deuxième compétence ressemblent beaucoup aux quatre premières
composantes de la compétence 1 tout en faisant appel aux mêmes processus décrits ci-
dessus.
La troisième compétence, qui est propre au développement du langage, vise l’acquisition
du vocabulaire mathématique (naturel et symbolique) et son utilisation dans l’interprétation
et la production de messages à caractère mathématique. Elle tire, entre autres, son origine
d’une conception selon laquelle « l’obligation de faire part d’une situation ou d’un concept
contribue souvent à l’amélioration ou à l’approfondissement de cette compréhension »
(Ministère de l’Éducation, 2006).
Les différents éléments qui ressortent de la description des compétences constitueront des
éléments observables qui joueront un rôle dans l’analyse des activités des manuels au
regard des consignes, des questions, du vocabulaire utilisé et à acquérir, etc. Effectivement,
puisque l’approche de l’enseignement est véhiculée non seulement par ce document mais
aussi par les manuels approuvés par le Ministère de l’Éducation étant donné leur
conformité à la progression des apprentissages, nous nous intéressons, dans cette recherche,
à la manière dont ces outils mettent en œuvre les orientations du Programme et aux moyens
qui y sont exploités pour permettre à l’enseignant d’avoir recours à des repères et des
stratégies afin d’organiser les apprentissages de manière à rendre l’élève actif et autonome
dans la construction de ses connaissances. Le cas contraire offrirait difficilement la
possibilité de modifier de manière significative la pratique sur la base des plus récentes
avancées dans le domaine de l’éducation alors que les pratiques pédagogiques considérées
comme garantes de la réussite éducative seraient ignorées.
1.2 PLACE ACCORDÉE AUX MANUELS
Dans son idée fondamentale de procéder au passage d’une pédagogie par objectifs qui
s’inscrivait dans un courant néobéhavioriste à une approche par compétences qui s’ancre
10
dans le constructivisme, la réforme actuelle accompagnée de son curriculum a exigé la
reconceptualisation de l’enseignement tout en invitant à repenser la place et le rôle des
manuels didactiques dans l’intervention éducative (Lebrun, Lenoir et Desjardins, 2004).
Une recension d’écrits (Lebrun et al., 2002; Lenoir, 2002; Lenoir et al., 2001; Spallanzani
et al., 2001) témoigne de l’influence apportée par ces outils sur les pratiques enseignantes
et même sur les contenus et les processus d’apprentissage des élèves :
Les manuels scolaires contribueraient en grande partie à définir les savoirs à enseigner, les stratégies pédagogicodidactiques employées, la progression attendue des élèves, le cheminement qu’ils doivent parcourir pour acquérir les savoirs, leur degré de participation dans les activités et le mode de reconnaissance de leurs acquis. Plus qu’un simple outil éducatif, les manuels représenteraient un déterminant incontournable du modèle d’intervention éducative préconisé dans les classes. (Lebrun, Lenoir et Desjardins, 2004, p.511)
On remarque donc, d’après les résultats de ces recherches, que les enseignants leur
accordent une grande importance, qu’ils y ont fréquemment recours et « que la plupart
privilégient un modèle d’intervention éducative où l’élève agit, certes, mais comme un
sujet, sous le contrôle systématique de l’enseignant et du manuel qui se substitue à lui sous
plusieurs aspects durant le processus d’enseignement-apprentissage » (Lebrun, Lenoir et
Desjardins, 2004, p.511).
Même si, selon Jadoule (1991), les manuels didactiques ne représentent pas à eux seuls
l’entièreté de l’enseignement relatif au domaine des mathématiques ou de toute autre
discipline puisque « un outil, quel qu’il soit, n’a jamais enfermé son utilisateur : celui-ci est
toujours libre de l’utiliser comme il le veut », il serait regrettable, selon Lebrun, (Lebrun et
all., 2004) de négliger leur rôle étant donné la reconnaissance du fait qu’ils conditionnent
largement le processus d’apprentissage.
D’ailleurs, comme le soutient également Hayneman (2006), les manuels et les matériels
auxiliaires demeurent des instruments d’une puissance extraordinaire alors qu’ils jouent un
rôle central à l’intérieur du système éducatif moderne. Ils représentent effectivement l’outil
principal des enseignants dans le cadre de leur travail pour leur attribuer un rôle de support
11
à la réflexion et celui de guide pour la préparation et la gestion de la classe (Ekimova,
2005).
L’utilisation de ces outils invite néanmoins à la prudence. D’un côté, « le sceau
d’approbation ministériel semble apporter une certitude aux enseignants que les manuels
scolaires assurent une adéquation avec l’esprit, les orientations et les contenus des
programmes d’études » (Lebrun, Lenoir et Desjardins, 2004, p.510). D’un autre côté, une
recherche menée par le Comité d’évaluation des ressources didactiques (CERD) (Ministère
de l’Éducation, 2001b, 2002b) révèle « une continuité inquiétante, dans les critères retenus
pour évaluer des manuels scolaires réformés » (Lebrun, Lenoir et Desjardins, 2004, p.510).
Étant donné un recours si fréquent aux manuels, Hayneman (2006) insiste sur l’importance
de l’analyse du rôle des manuels dans une situation donnée, sur leur fonction de même que
leur contenu. Cela implique, pour le professionnel en enseignement, une réflexion plus
approfondie sur la pertinence mathématique et didactique du matériel au regard des
activités qui y sont présentées.
1.3 INTÉRÊT DE LA GÉOMÉTRIE
On reconnaît facilement l’apport du cours de français en ce qui concerne le développement
des compétences langagières des élèves, mais cette mise en parallèle n’apparaît pas
s’effectuer aussi automatiquement en ce qui concerne le domaine des mathématiques.
Effectivement, on semble porté à pencher du côté de Vergnaud qui apporte l’idée selon
laquelle « les mathématiques ne sont pas un langage, mais une connaissance » (1991a,
p.79) puisque les contenus sont principalement constitués de concepts et de théorèmes.
L’auteur nuance toutefois son propos par le fait que le langage naturel et le symbolisme
sont impliqués de manière considérable dans l’activité mathématique et dans
l’apprentissage des contenus relatifs à cette discipline. Pour évaluer cette implication, il
demeure impératif de procéder à l’analyse du rapport du langage aux schèmes qui
organisent l’action du sujet en situation.
Le rôle du langage dans le travail de la pensée et dans la conceptualisation apparaît
primordial : rendre explicite ce qui n'était qu'implicite et lui donner ainsi un caractère
public, qui permet de le soumettre au débat et à la preuve; accompagner et aider la pensée
12
dans son travail d'identification des propriétés, des relations et des objets, et dans son
travail de programmation et de contrôle de l'action; contribuer à la transformation du statut
des connaissances, en favorisant notamment l'élaboration d’objets de niveau de plus en plus
élevé (Vergnaud, 1991a, p.85).
À partir de la perception des objets géométriques et l’imagination provoquée par l’activité,
l’élève est invité à les identifier et à décrire leurs propriétés. Cette démarche apporte une
contribution à la conceptualisation, car cette dernière est, par définition, l’identification des
objets du monde et de leurs propriétés et relations (Vergnaud, 2001). Également, la
conceptualisation apporte une contribution décisive à l’énonciation alors qu’elle est une
condition à l’énonciation.
Le raisonnement représente un élément fondamental relatif à la conceptualisation et son
recours présente un indicateur de la progression conceptuelle de l’élève (van Hiele,
1959/1984). Pour l’enseignement de niveau primaire, le raisonnement naturel visé renvoie
« aux processus mentaux qui favorisent la formation des idées et des jugements destinés à
construire la connaissance, à mettre de l'ordre dans la connaissance, à choisir et appliquer
les concepts et les processus appropriés à la tâche, à justifier, à convaincre, à prouver ou à
réfuter et à développer des relations de dépendance entre des propositions pour aboutir à
une conclusion » (Ekimova, 2005, p.40).
Devant ces conclusions, la géométrie peut constituer un lieu privilégié, car elle « entraîne
les élèves au raisonnement mathématique, c’est-à-dire à un mélange de raisonnement
déductif et d’imagination inductive, activé par une manipulation familière des images » et
elle « prépare les élèves à aborder d’autres théories mathématiques » (Brousseau, 2000).
Au moyen de l’utilisation de plusieurs systèmes d’expression et de représentation, la
géométrie permet de travailler sur des représentations d’objets réels en agissant, observant,
anticipant et expliquant ce qui se passe dans cet espace sensible. C’est d’ailleurs à travers la
construction d’un système mental de référents à partir de différentes expériences vécues
dans l’espace physique (représentation des objets à l’aide d’outils, décomposition et
recomposition, regroupement, reproduction, construction, transformation, etc.) au moyen
d’un matériel concret (solides de bois, blocs, ficelles, pailles, pâte à modeler, formes
13
géométriques de plastique, carton, papier calque et quadrillé, instruments de construction,
etc.) qu’il devient possible d’enrichir et de structurer l’expérience spatiale des élèves, de
développer leur vocabulaire de l’espace, de leur donner les moyens d’exploiter leurs
capacités de visualisation et leur environnement spatial (Ekimova, 2005). De cette façon,
on favorisera le passage entre l’espace sensible et l’espace géométrique, ce qui constitue
l’objectif de l’enseignement de la géométrie au niveau primaire (Chevallard, 1991).
1.4 CHOIX DU CONCEPT
De manière à proposer une réflexion plus approfondie, notre démarche se restreindra à
l’analyse d’une forme géométrique bien précise : le cercle. Différentes raisons peuvent
d’ailleurs justifier ce choix. Entre autres, il nous apparaissait comme un concept dont le
potentiel d’enseignement s’avérait relativement riche et varié, mais qui pouvait néanmoins
être négligé étant donné qu’il s’agit d’une figure dont la reconnaissance visuelle et la
construction au moyen de l’utilisation du compas sont faciles. Ces facteurs, lui accordant
un statut de concept évident, peuvent toutefois créer l’effet contraire et le rendre trop peu
connu alors qu’il ne fait pas l’objet d’un approfondissement suffisamment important qui
aurait l’avantage de lui accorder un enseignement pouvant s’avérer très large : rotation,
polygones réguliers, étude des angles, fractions, aire et volume de corps ronds, etc.
1.5 DIFFICULTÉS EN GÉOMÉTRIE
Les difficultés rencontrées par les élèves dans le cadre de la géométrie peuvent être causées
par des lacunes en ce qui concerne le raisonnement, la visualisation ou le langage
(Ekimova, 2005). Parmi ces difficultés, nous avons fait le choix de nous pencher sur le
langage puisque, tel que mentionné précédemment, le développement des habiletés
langagières a des répercussions sur l’élève, que ce soit sur le plan personnel et social ou en
ce qui concerne la réussite scolaire qui nous intéresse particulièrement.
Les difficultés langagières décrites par la recherche de Boublil-Ekimova (2010) s’observent
dans l’emploi du langage géométrique pour ce qui est de l’identification des figures, des
propriétés de la figure et de leurs relations, dans l’interprétation des énoncés et des
consignes et dans la description des démarches. Concrètement, ces difficultés peuvent
s’illustrer au moyen des exemples suivants :
14
- La non-connaissance de certains termes géométriques
Par exemple, parmi les droites remarquables du triangle (hauteur, bissectrice, médiane et
médiatrice), seule la hauteur est bien connue. De même, la liste de polygones se termine
avec l’hexagone et les termes tels « polyèdre », « tronqué », « corps rond », etc. ne sont pas
dans le vocabulaire des élèves.
- Des descriptions incomplètes
Pour décrire la figure, les élèves utilisent la(les) propriété(s) visuelle(s) marquante(s) et ne
font pas la recherche du maximum de ses caractéristiques. Dans les définitions du polygone
(et du cercle) en tant que figure plane fermée composée de segments de droite (figure plane
composée d’une ligne courbe fermée dont tous les points sont à égale distance du centre),
les élèves oublient le terme « fermé ». Le qualificatif « régulier», quant à lui, n’accompagne
pas le terme « pentagone », « hexagone », etc. dans la détermination du nom du polygone
régulier.
-L’emploi de termes imprécis dans l’identification, la description ou la définition des
figures ou encore dans la description de la démarche de construction
Dans la description des étapes de construction de figures planes, les incorrections
langagières principales portent sur l’utilisation des termes géométriques pour :
- Identifier (ex. : emploi du terme « ligne » au lieu de « segment », de « corde » ou de
« diamètre »; « cercle » au lieu de « disque »; « circonférence » au lieu de « cercle » (la
circonférence est la mesure du contour du cercle et non le contour).
- Décrire les procédures (ex. : « reporter la mesure de l’angle A» au lieu de « mesurer
l’angle A »). Dans certains cas, il y avait même absence d’étapes nécessaires (ex. : il faut
trouver le milieu avant de tracer la hauteur du triangle isocèle).
Un premier pas en vue d’éviter ces difficultés serait de prendre en considération que le
langage mathématique se distingue du langage naturel (Ekimova, 2005). Les recherches,
comme celle d’Artigue et Robinet (1986), démontrent d’ailleurs l’importance, dans le cadre
de la démarche d’enseignement, de tenir compte du langage naturel de l’enfant pour
l’envisager comme un levier à l’apprentissage du langage mathématique. Pour ce faire,
15
l’enseignant se doit d’interpréter les termes mathématiques dans ce langage courant et il
peut même aller jusqu’à remplacer ces termes par ceux que les élèves utilisent de façon
spontanée. À ce propos, van Hiele (1957/1984) soulève l’idée que, si le langage
mathématique est utilisé de manière hâtive ou s’il est envisagé comme point de référence
dans le discours quotidien de l’enseignant, il ne sera pas surprenant d’assister à un
apprentissage mémorisé au détriment d’une réelle compréhension. L’introduction de
nouveaux termes doit, par conséquent, s’effectuer progressivement alors que des précisions
seront apportées sur les distinctions entre les deux niveaux de langage au fur et à mesure
que l’apprenant construira son vocabulaire à travers une démarche de familiarisation. Ces
termes, préalablement sélectionnés pour éviter une surabondance, doivent effectivement
être utilisés et réutilisés dans diverses situations de communication. Ces recommandations
sont d’autant plus significatives étant donné les considérations suivantes :
- Un vocabulaire polysémique : Certains termes géométriques font partie du langage
courant, mais le sens géométrique s’éloigne ou diffère du sens habituel (ex. : milieu, centre,
sommet).
- Une familiarisation antérieure : Les élèves s’approprient rapidement les noms des
figures associés à leurs représentations « habituelles » (ex. : le carré, le rectangle, etc.), ce
qui peut faire obstacle à l’acquisition conceptuelle quand on propose des figures disposées
d’une nouvelle manière ou quand on travaille avec des classes de figures qui portent les
mêmes noms (ex. : classe de rectangles, etc.).
- Des formulations spécifiques : Le langage géométrique se caractérise aussi par une
diversité de formulations et des expressions symboliques de relations métriques. Il importe
donc de demeurer vigilant dans le cadre de l’utilisation des propriétés de figures (surtout
pour les propriétés qui ne sont pas marquantes sur le plan visuel) et de formules
puisqu’elles doivent préalablement faire l’objet d’une exploration et de la représentation
mentale chez l’apprenant. Par exemple, dans l’élaboration d’une formule de la
circonférence, l’élève va rechercher, à l’aide d’une corde, une relation entre les différentes
mesures des attributs du cercle.
16
- La multiplicité des signes graphiques : Bien qu’ils soient généralement réservés aux
apprentissages du secondaire, certains éléments relevant du langage symbolique demeurent
visés au primaire. Il suffit de penser aux exemples suivants : perpendiculaire, parallèle //,
angle , périmètre P, aire A, circonférence C, rayon r, diamètre D, etc. D’ailleurs, on voit
bien l’emploi du langage symbolique sur la figure : traits d’égalité et de différence, marque
d’angle droit, etc.
Pour procéder au développement de cette compétence disciplinaire relative au langage
mathématique, diverses situations doivent être proposées à l’apprenant de manière à ce
qu’il puisse mettre à profit ses aptitudes langagières tout en bénéficiant du soutien
nécessaire pour les perfectionner. Dans le cadre de l’apprentissage des figures
géométriques, la mise en œuvre par l’élève du processus de conceptualisation nécessaire à
l’énonciation demande que l’enseignement insiste sur la recherche et la description du plus
grand nombre de propriétés possible d’une figure donnée, ce qui aura ultérieurement
l’avantage de fournir un ancrage suffisamment solide pour permettre la déduction de
propriétés. Ce type de travail offre la possibilité d’élargir des concepts géométriques
particuliers en plus de permettre d’éviter les obstacles associés à la modification d’un
concept déjà mis en place sous une forme réduite ou d’un énoncé géométrique mémorisé
sans qu’une compréhension suffisante ne soit mobilisée (Ekimova, 2005).
Or, malgré cette reconnaissance, un enseignement inapproprié et l’insuffisance de
l’expérience géométrique peuvent expliquer la persistance des difficultés rencontrées par
les élèves en géométrie. Une simple transmission verbale des propriétés de figures, sans se
préoccuper de l’organisation des activités pour le développement de l’imagination spatiale
de l’apprenant, participe difficilement à la construction des concepts.
1.6 QUESTION DE RECHERCHE
Alors que les connaissances sur l’importance du langage dans le cadre du processus de
conceptualisation ont eu des répercussions au moment de l’élaboration de la réforme
actuelle en éducation, nous pensons qu’un regard sur ce qui est susceptible de s’insérer
dans la pratique s’avère pertinent. En raison de la place qu’ils occupent, un premier pas
dans cette direction mènera ce projet à tenter de répondre à cette question principale : est-ce
17
que les manuels didactiques qui soutiennent la démarche d’enseignement proposent des
activités qui permettent de développer les compétences langagières des élèves afin que ces
derniers s’approprient le vocabulaire mathématique relatif aux concepts à l’étude?
Au moyen d’une analyse approfondie d’une collection de manuels didactiques dont le
recours peut s’observer aux trois cycles du primaire, cette recherche tentera de repérer si les
activités offertes aux élèves par rapport au concept choisi conduisent à l’exigence d’avoir
recours au langage, si les consignes favorisent le développement conceptuel chez l’élève, si
l’activité est adaptée au niveau de l’élève selon la progression des apprentissages et si
l’autonomie de l’élève est suffisamment sollicitée pour permettre le développement de ses
compétences. Cette analyse traitant de la pertinence mathématique et didactique des
activités permettra ultérieurement de présenter une proposition d’enseignement qui mènera
à l’apprentissage de concepts chez l’apprenant grâce à l’acquisition progressive d’un
vocabulaire spécialisé mis à contribution à l’intérieur de situations suscitant la
communication.
1.7 INTÉRÊT DE LA RECHERCHE
Sur le plan didactique, cette recherche témoigne de sa pertinence alors que peu de
recherches abordent une analyse des programmes et des manuels didactiques en
mathématiques et aucune ne propose une analyse du développement des concepts à travers
les activités proposées par les manuels selon les cycles d’apprentissage. De plus, ce projet
présente un intérêt du fait qu’il invite le professionnel qui dispense l’enseignement des
disciplines scolaires à demeurer critique à l’égard du matériel didactique utilisé.
Cette recherche est également pertinente sur le plan social. Ayant comme mission de
former le citoyen de demain, l’école se doit de se doter de moyens afin d’atteindre cet
objectif. Pour ce faire, l’enfant doit être invité à résoudre des problèmes, observer, réfléchir,
raisonner, faire des tentatives, se tromper, surmonter ses erreurs, etc. La géométrie,
contribuant grandement à mettre en œuvre ces processus, offre donc un lieu privilégié pour
atteindre cette visée de l’éducation. Néanmoins, malgré cette reconnaissance, la place
accordée à ce domaine particulier varie considérablement d’un enseignant à l’autre au
niveau primaire. Effectivement, l’enseignement de la géométrie peut parfois être négligé
18
alors qu’une courte période lui est consacrée puisqu’on lui reconnaît plus difficilement le
même statut que l’arithmétique dont les répercussions dans la vie courante sont considérées
comme étant plus importantes. D’ailleurs, les activités proposées aux élèves se réduisent
bien souvent à l’apprentissage du système métrique et de quelques formules ou encore du
nom de figures et de quelques propriétés essentielles, ces dernières n’étant que très peu
découvertes et décrites dans le cadre d’activités exploratoires. Le manque de temps étant
donné le poids du curriculum, l’insuffisance de la reconnaissance des apports de la
géométrie ou encore le besoin de formation chez les enseignants peuvent représenter des
arguments fréquemment évoqués afin de justifier le choix des pratiques pédagogiques. Ce
projet témoigne à cet effet d’une grande pertinence pour démontrer aux enseignants
l’intérêt de la géométrie et pour leur fournir les outils nécessaires à un enseignement
efficace de la discipline dans le but de procéder au développement de compétences chez
l’apprenant et, par conséquent, à la formation de ses aptitudes de citoyen.
19
CHAPITRE 2 : CADRE THÉORIQUE
Tel qu’annoncé, le présent projet de recherche vise la reconnaissance de la contribution des
activités mathématiques en ce qui concerne le développement du langage mathématique
chez les élèves de niveau primaire. Pour ce faire, la démarche qui sera ultérieurement
entreprise devra prendre appui sur des assises bien définies. Par conséquent, le chapitre qui
suit rapportera d’abord les grandes lignes de l’œuvre de Vygotski1 Pensée et langage
(1997) qui reflète le rôle déterminant du langage dans le cadre du développement des
capacités psychiques supérieures. Puisque nous avons choisi d’analyser les activités d’un
domaine mathématique particulier, la géométrie, une deuxième section traitera de la théorie
de van Hiele (1959/1984) portant sur les niveaux de pensée géométrique. Il sera ainsi
possible de représenter un modèle permettant de décrire la compréhension des concepts
mathématiques propres à ce domaine à travers les étapes du développement de la pensée de
l’apprenant. Ce cadre donnera l’occasion de s’arrêter en particulier sur le deuxième niveau
(niveau descriptif) qui vise le développement du langage afin de montrer l’importance des
différentes activités mathématiques et leur rôle dans ce développement.
Nous nous appuierons aussi sur certains éléments venant des théories développées dans la
recherche en didactique des mathématiques. L’approche didactique de l’organisation des
apprentissages proposée par la Théorie des situations didactiques (Brousseau, 1998) sera
prise en compte pour réfléchir à un ensemble de situations où la participation active de
l’élève est requise pour procéder au développement d’un concept. Nous ferons aussi appel
aux éléments de la Théorie des champs conceptuels (Vergnaud, 1991b) afin d’envisager le
concept comme un système composé de ses attributs et de différentes représentations, mais
aussi de diverses activités à l’intérieur desquelles les propriétés sont mises en jeu pour
mener au développement du concept. Les propos déployés par ces auteurs seront
éventuellement utilisés dans la démarche d’analyse et au moment de la conception des
séquences d’apprentissage.
1 Psychologue russe, Lev Vygotski s’est longuement interrogé sur les rapports qu’entretenaient la pensée et le langage. Il s’agissait d’une interrogation majeure sur laquelle il s’est penché durant une dizaine d’années de recherche et à laquelle il a répondu par la publication de son ouvrage Pensée et langage en 1934. Après avoir été longtemps ignorée, cette œuvre est dorénavant perçue comme l’une des plus importantes références en psychologie du siècle.
20
Enfin, une dernière section misera sur le survol d’une recherche présentant les résultats
d’une expérimentation de séquences didactiques portant sur la figure qui nous intéresse, le
cercle (Artigue et Robinet, 1986). Ce cadre permettra tout autant de faire ressortir les
éléments importants sur lesquels prendra appui l’analyse des activités d’apprentissage
répertoriées dans les manuels didactiques.
2.1 DÉVELOPPEMENT DE LA PENSÉE ET DU LANGAGE
2.1.1 Origine sociale des fonctions psychiques supérieures
Contrairement à Piaget qui « s’est efforcé d’élaborer une théorie du développement
expliquant la genèse des structures cognitives par les actions que l’enfant exerce sur
l’univers physique » (Brossard, 1993, p.190), Vygotski développe une théorie socio-
historique des fonctions psychiques supérieures.
Par leur travail, les hommes transforment la nature pour ainsi procéder à la création d’un
monde social où s’accumulent et se sédimentent les savoirs et savoir-faire construits au
cours de leur histoire. Par conséquent, les capacités humaines se retrouvent excentrées,
étant déposées dans les nombreux produits résultant du travail humain (Brossard, 1993).
Cette conclusion renvoie au principe selon lequel l’apprenant sera invité à s’approprier ces
capacités humaines qui lui sont initialement extérieures pour parvenir à se construire en tant
qu’humain au moyen d’activités internes lui permettant d’organiser ces contenus. En ce
sens, Vygotski aborde l’hypothèse selon laquelle, pour comprendre l’individuel, il faut
d’abord prendre connaissance des relations sociales à l’intérieur desquelles le sujet existe.
En d’autres termes, la nature psychologique de l’individu résulte de l’interaction de
relations sociales qui sont devenues des fonctions formant la structure individuelle
(Wertsch, 1988).
Le développement, étant un processus d’automouvement, demeure un processus autonome
de réorganisation et de révolution des fonctions inférieures dont le moteur est le conflit
entre les formes culturelles évoluées du comportement avec lesquelles l’enfant entre en
contact et les formes primitives qui caractérisent son propre comportement (Vygotski,
1997). Cela revient à dire qu’il y a émergence d’un nouveau stade de développement à
partir d’un conflit entre l’organisme et son entourage historico-culturel porteur d’un
21
ensemble de signes ou de systèmes de signes. De cette façon, ces derniers changent
fondamentalement le fonctionnement psychique alors que le mot joue un rôle de
réorganisateur pour le développement de la formation des concepts. Ainsi, le
développement dépend entièrement de l’éducation et de l’enseignement et, plus
spécifiquement, des formes idéales que l’enfant rencontrera. De manière à expliquer le
développement des fonctions psychiques supérieures sous cet angle, Wertsch (1988) s’est
penché sur l’étude de deux phénomènes amenés par Vygotski : l’internalisation et la zone
de proche développement.
Dans un premier temps, les fonctions internes émergent d’une médiation sémiotique des
processus sociaux, créant ainsi une relation entre l’internalisation et l’origine sociale des
processus psychologiques individuels. En effet, toute fonction psychique supérieure doit
d’abord être externe avant d’être intériorisée puisqu’elle est initialement une fonction
sociale. Il revient donc à dire que toute fonction apparaissant dans le développement
culturel de l’enfant se présente à deux reprises ou sur deux plans : d’abord sur le plan social
entre des personnes (interpsychique), puis sur le plan psychologique individuel
(intrapsychique). Les deux activités sont liées entre elles par une relation génétique alors
que les processus mentaux intérieurs sont créés sur la base d’une exposition de l’enfant à la
culture de son environnement, ce qui renvoie à l’idée que la conscience demeure le fruit de
la société. Il ne faudrait toutefois pas s’y méprendre en considérant l’internalisation comme
la reproduction interne des processus externes : l’internalisation transforme les processus en
y changeant la structure et les fonctions.
Dans un deuxième temps, c’est au moyen du concept de la zone proximale de
développement que Vygotski a exposé ses idées expliquant la relation entre
l’interpsychique et l’intrapsychique. Ce concept est issu du principe selon lequel toute
fonction qui n’est pas encore à maturité demeure dans un processus de maturation étant
donné le fait qu’elle est tout de même à un stade embryonnaire. Par conséquent, la zone de
proche développement est la distance séparant le niveau de développement actuel de
l’enfant déterminé par sa capacité à résoudre seul les problèmes présentés et le niveau
supérieur de développement potentiel. Cette zone correspond donc aux problèmes que
l’enfant parvient à résoudre accompagné d’un adulte ou d’un pair plus avancé. Ainsi, le
22
seul bon enseignement est celui qui précède le développement de manière à éveiller, au
moyen de la communication avec l’adulte ou de la collaboration avec les pairs, un
ensemble de fonctions qui se trouvent au stade de maturation dans la zone proximale de
développement. Au moyen de la formation de cette zone dans le cadre de l’enseignement, il
y a création d’une tension entre extérieur et intérieur, une contradiction considérée comme
moteur de tout mouvement : l’enseignant n’implante pas de nouvelles fonctions psychiques
dans l’enfant, mais lui fournit les outils et met en place les conditions nécessaires pour que
l’élève construise lui-même ses nouveaux systèmes psychiques (Schneuwly, 2008).
Cette manière de faire est d’autant plus significative dans le cadre du développement des
concepts scientifiques dont il sera question ultérieurement. En effet, l’apprentissage de ces
derniers résulte de leur élaboration systématique à l’intérieur d’un système sans pour autant
qu’il y ait de références à l’expérience concrète de l’enfant. Par conséquent, ce mode de
construction apparaît comme le plus éloigné de la manière naturelle de l’élève dont les
concepts sont accompagnés de contenu empirique. Vygotski utilise l’idée de rupture pour
décrire ce changement de direction dans le développement introduit par un problème dont
la résolution nécessite des fonctions qui ne sont pas encore à maturité chez l’apprenant, et
cette rupture renvoie quant à elle à la zone proximale de développement.
2.1.2 Instruments psychologiques et symboles
La transformation des fonctions élémentaires en fonctions supérieures est, dans de
nombreuses théories, envisagée comme découlant de l’interaction entre deux pôles :
l’individu et la réalité. Vygotski, quant à lui, perçoit difficilement la possibilité d’expliquer
la spécificité de l’espèce humaine, soit les fonctions conscientes, par une conception définie
dans un rapport entre deux extrémités. Effectivement, l’action de l’homme sur la nature
n’est jamais immédiate, mais médiatisée par des objets spécifiques, socialement élaborés
par les générations précédentes, ce qui donne naissance à une activité dont la structure est
fondamentalement nouvelle. Par conséquent, la conception de Vygotski renvoie à la
reconnaissance de trois pôles : l’homme, l’outil et la nature (Schneuwly, 2008).
Ces outils sont représentés par les instruments psychologiques destinés au contrôle des
processus de son propre comportement ou de celui d’autrui (Vergnaud, 2000). Ils en
23
modifient le déroulement et la structure des fonctions psychiques en déterminant la
structure du nouvel acte instrumental. On peut parler, à titre d’exemple, du langage, des
diverses formes de comptage et de calcul, des moyens techniques, des symboles
algébriques, de l’écriture, des diagrammes, des cartes, etc. Sous une certaine réserve, il est
possible de proposer l’analogie suivante : l’instrument de travail liant l’action du sujet sur
les objets matériels pour en structurer les relations correspond à l’instrument psychologique
qui structure quant à lui les processus naturels de pensée humains. Toutefois, une
distinction s’opère par la direction de l’action proposée par un instrument. En effet, alors
que l’instrument technique opère un changement sur l’objet lui-même, l’instrument
psychologique ne provoque pas un changement sur l’objet, mais exerce une influence sur le
psychisme propre ou sur le comportement. Ainsi, dans l’acte instrumental, l’homme se
contrôle lui-même de l’extérieur à l’aide des instruments psychologiques dont le principal
est le langage. Effectivement, le signe est d’abord extérieur à l’individu pour ensuite être
utilisé et intégré à son fonctionnement. De cette façon, la signification d’un mot est
employée par l’adulte comme moyen de communication avec l’enfant et ce dernier la fera
sienne par la suite. Cela revient donc à dire, comme le mentionnait Vygotski, que toute
fonction apparaît deux fois dans le comportement social de l’enfant en amorçant au niveau
social et en poursuivant au niveau individuel. Les fonctions psychiques supérieures sont
donc régies par deux processus fondamentaux : la sociogenèse et l’intériorisation.
2.1.3 Pensée et mot
La pensée et la parole ne sont pas liées entre elles par une relation originelle en raison du
fait que ce lien tend à se modifier et à prendre de l’importance au cours du développement.
Toutefois, il semble impossible de se représenter ces deux processus comme extérieurs l’un
à l’autre. Par conséquent, au lieu de pencher du côté d’une analyse basée sur la méthode de
décomposition en éléments, Vygotski a plutôt privilégié une analyse procédant par la
division du tout complexe de la pensée verbale en unités de base du langage et de la pensée,
la signification du mot (Vygotski, 1997).
La signification est effectivement l’unité indécomposable de ces deux processus que sont le
langage (phénomène verbal) et la pensée (phénomène intellectuel) envisagés dans leur
24
interaction. Dans un premier temps, il est question d’un phénomène de langage si l’on se
fonde sur le postulat selon lequel la signification du mot est un signe distinctif qui constitue
le mot lui-même puisque, sans signification, le mot ne serait pas un mot, mais un son vide.
Dans un deuxième temps, on parlera d’un phénomène de pensée en raison du fait que la
signification d’un mot est généralisation ou concept, ce qui correspond à un acte de pensée.
Un élément vient s’ajouter à cette théorie de la pensée et du langage par la découverte de la
conclusion voulant que les significations des mots soient amenées à se développer, ce qui
rejetait toute thèse associationiste où l’on n’observe que la liaison de l’aspect phonétique du
mot à son contenu objectif, dissociant le langage et la pensée :
Au cours du développement historique du langage, la structure sémantique de la signification des mots se modifie, la nature psychologique de cette signification évolue, […] des formes inférieures et primitives de généralisation de la pensée verbale s’élève aux formes supérieures les plus complexes, qui trouvent leur expression dans les concepts abstraits, qu’enfin ce n’est pas seulement le contenu objectif du mot qui s’est modifié au cours du développement historique du langage mais le caractère même du reflet et de la généralisation de la réalité dans le mot. (Vygotski, 1997, p.430)
Le fait que la signification du mot puisse se modifier dans sa structure interne implique que
le rapport entre la pensée et le mot se transforme tout autant, ce rapport consistant en un
mouvement de la pensée au mot et du mot à la pensée alors que la pensée, ne s’exprimant
pas dans le mot, se réalise dans celui-ci. Le langage ne sert pas d’expression à une pensée
déjà toute prête : pour se transformer en langage, la pensée doit procéder à une
réorganisation et à une modification. Le caractère dynamique de ce rapport nécessite la
découverte du fonctionnement des significations des mots dans l’acte de la pensée. « Toute
pensée tend à unir une chose à une autre, à établir un rapport entre des choses. Toute
pensée a un mouvement, un déroulement, un développement, bref toute pensée remplit une
certaine fonction, effectue un certain travail, résout un certain problème » (Vygotski, 1997,
p.438). Il s’agit d’un processus en développement au sens où il passe par une série de
phases et de stades dont résultent des modifications.
Deux plans se distinguent dans le langage, obéissant à des lois de mouvement qui leur sont
propres : l’aspect interne, sémantique du langage et l’aspect externe, sonore, phonétique
25
(Vygotski, 1997). Ces deux plans suivent effectivement des directions de développement
opposées : l’aspect phonétique va de la partie au tout, du mot à la proposition; l’aspect
sémantique passe du tout à la partie, de la proposition au mot. Cependant, cette divergence
de mouvement, contrairement à ce que l’on pourrait penser, permet l’établissement de leur
unité interne au sens où l’on perçoit l’existence de rapports complexes entre les
mouvements de chacun.
Divers exemples peuvent être cités pour illustrer la non-coïncidence entre ces deux aspects,
mais aussi leur unité. D’abord, on peut aborder le fait que, dans le développement de
l’enfant, la grammaire anticipe sur sa logique alors que l’apprenant parvient à utiliser des
phrases dont la structure grammaticale dépasse la prise de conscience et l’utilisation
volontaire. Puis, dans le fonctionnement de la pensée développée, une analyse fonctionnelle
du langage permet de déterminer la non-coïncidence occasionnelle entre le sujet et le
prédicat grammaticaux et entre le sujet et le prédicat psychologiques. Finalement, la
dépendance interne entre le plan sémantique et le plan phonétique peut également
s’expliquer par les modifications des structures formelles et grammaticales qui entraînent
une profonde modification du sens du discours.
La non-coïncidence [des deux aspects du langage], l’existence, derrière les mots, d’un second plan, interne, du langage, l’indépendance de la grammaire de la pensée, de la syntaxe des significations de mots nous contraignent à voir, dans le plus simple énoncé verbal, non pas un rapport donné une fois pour toutes, immuable et constant entre l’aspect sémantique et l’aspect phonétique du langage mais un mouvement, un passage de la syntaxe des significations à la syntaxe des mots, une transformation de la grammaire de la pensée en grammaire des mots, une modification de la structure du sens lors de son incarnation en mots. (Vygotski, 1997, p.445)
Le plan sémantique ne constitue que le plan initial de l’aspect interne du langage alors que
l’on découvre le concept de langage intérieur auquel sont attribuées des significations des
plus diverses (Vygotski, 1997). Par contre, une compréhension suffisante du langage
intérieur devrait nécessairement se baser sur l’idée que celui-ci est une formation d’une
nature psychologique particulière d’activité verbale. Contrairement au langage extériorisé
qui est un langage pour les autres, le langage intérieur est pour soi. Ces fonctions
différentes, impliquant la présence ou l’absence d’expression orale, ne représentent pas ce
26
qui explique la nature du langage, mais bien la conséquence découlant de leur nature. Ainsi,
le langage intérieur se situe à l’opposé du langage extériorisé : alors que ce dernier est un
processus de transformation de la pensée en parole, le langage intérieur est un processus
inverse allant de l’extérieur vers l’intérieur pour passer du langage à la pensée.
Le langage intérieur, tout comme le langage extériorisé, demeure un langage bien que, pour
l’un, la parole disparaisse pour laisser place à la pensée, et pour l’autre, la pensée s’incarne
dans la parole. D’une manière ou d’une autre, la pensée est liée au mot. Cette relation
constitue un mouvement qui unit une chose à une autre, un déroulement qui remplit une
certaine fonction, effectue un certain travail ou résout un problème quelconque. Comme on
en a fait mention, ce mouvement ne coïncide pas directement avec le déroulement du
langage, leurs unités de base respectives ne coïncidant pas. En effet, ayant des structures
différentes, ces deux processus sont liés l’un à l’autre par des transitions complexes
résultant de transformations tout aussi complexes.
Une seule et même pensée peut être exprimée de diverses manières tout comme une même
phrase peut véhiculer des pensées différentes. Aussi, la non-coïncidence de la pensée et de
l’expression verbale s’explique par la pensée qui ne se compose pas de mots isolés, mais
représente un tout, contrairement au langage. Cette distinction démontre donc que ce qui
existe de manière simultanée dans la pensée se développe successivement dans le langage.
Tel que mentionné précédemment, la pensée ne s’exprime pas dans le mot, mais s’y réalise.
Il faut toutefois considérer le fait que la pensée est médiatisée extérieurement par les signes,
mais elle l’est tout autant intérieurement par les significations pour passer à l’expression
verbale. « Pour comprendre le langage d’autrui, la seule compréhension des mots est
toujours insuffisante, il faut encore comprendre la pensée de l’interlocuteur » (Vygotski,
1997, p.505), mais, pour ce faire, il nous faut connaître les motivations de l’expression de
sa pensée. Effectivement, le rapport entre la pensée et la parole se présente comme un
mouvement à travers toute une série de plans. En ce sens, un motif donne naissance à une
pensée, à sa mise en forme, à sa médiatisation dans les mots du langage intérieur, dans les
significations de mots du langage extériorisé et dans la parole. Il ne s’agit cependant que
d’un exemple parmi tant d’autres, les successions de plans étant d’une grande diversité.
27
2.1.4 Développement des concepts
Vygotski, étant l’un de ceux qui ont développé la recherche sur les apprentissages scolaires,
aborde la question au moyen de la distinction entre les concepts quotidiens et les concepts
scientifiques. Alors que les premiers relèveraient davantage du développement, les seconds
découleraient notamment de l’apprentissage scolaire. Comme le soulève Vergnaud (2000),
Vygotski démontre une position contradictoire quant au rapport qu’entretiennent les
concepts quotidiens et les concepts scientifiques entre eux. Dans un premier temps, il
mentionne que ces deux types de concepts se développent de manières différentes alors que
les concepts quotidiens se forment à travers l’expérience, qu’ils ont une portée immédiate,
qu’ils sont peu abstraits et qu’ils ne forment pas de systèmes. On parlera alors des
représentations de l’enfant qui se sont développées grâce au travail de sa propre pensée à
travers une interaction spontanée non organisée avec son environnement (Vergnaud, 1989).
En revanche, les concepts scientifiques seront les représentations qui auront pris naissance
sous l’influence des connaissances provenant de l’extérieur au moyen d’une action finalisée
et intentionnelle de l’adulte, particulièrement dans le milieu scolaire (Vergnaud, 1989). Ils
sont transmis au moyen du langage, ont une portée générale et forment des systèmes. Dans
un second temps, Vygotski tend à rapprocher ces deux catégories au sens où tout concept
est, à n’importe quel stade de son développement, un acte de généralisation.
Le même auteur poursuit sur l’interaction des concepts scientifiques et des concepts
quotidiens. D’une part, le développement des concepts scientifiques doit prendre appui sur
une certaine maturation des concepts quotidiens qui lui sont associés puisqu’ils supposent
un tissu conceptuel déjà élaboré par la pensée spontanée de l’enfant. D’autre part, les
concepts scientifiques exercent une influence sur le niveau des concepts spontanés déjà
formés. Cette interaction constante existant entre ces deux types de concepts s’explique par
le fait que tout concept scientifique, en plus d’entretenir un rapport à l’objet auquel il
renvoie, est d’autant plus médiatisé par un autre concept pour ainsi former les premiers
éléments d’un système de concepts. Cette idée renvoie donc à la nécessité d’une
organisation systématique et d’une médiation assurée par l’enseignement et le recours aux
symboles (Vergnaud, 1989).
28
Pour qu’il y ait passage des concepts non conscients aux concepts conscients, il doit y avoir
substitution d’un mode de pensée apporté du dehors au mode de pensée non conscient de
l’apprenant, la prise de conscience d’une opération consistant à la faire passer du plan de
l’action à celui du langage pour la réinventer en imagination et l’imprimer en mots. Tel que
mentionné précédemment, tout concept (ou toute découverte de la signification d’un mot)
est généralisation, mais les concepts scientifiques se distinguent des autres par le fait qu’ils
impliquent une certaine forme de déstabilisation et de réorganisation des concepts
antérieurs et, par conséquent, d’une prise de conscience. Intégré dans un système, le
concept devient conscient et volontaire.
Pour élaborer sa propre théorie du processus de formation des concepts, Vygotski s’est
d’abord basé sur la critique des méthodes traditionnelles qui se divisent en deux sous-
ensembles. Le premier correspond à la méthode de la définition au sens où l’apprenant
procède à l’acquisition « de concepts déjà prêts, déjà formés, à l’aide d’une définition
verbale de leur contenu » (Vygotski, 1997, p.199). Or, cette méthode se heurte à des
problèmes considérables, principalement en raison du fait qu’elle envisage le concept
comme existant de façon isolée alors qu’il demeure une formation figée. En effet, la
méthode de la définition offre difficilement accès à la pensée de l’enfant en ne tenant
compte que de la mémorisation du « résultat du processus déjà achevé de formation des
concepts, au produit fini, sans saisir la dynamique même de ce processus, son
développement, son déroulement du début jusqu’à la fin. C’est une étude du produit plutôt
qu’une étude du processus qui aboutit à la formation de ce produit » (Vygotski, 1997,
p.199). Aussi, cette méthode ne fait qu’attirer l’attention sur le mot, négligeant ainsi le fait
que le concept est lié au matériel sensible prenant naissance dans la perception et
l’élaboration. De cette façon, aucun parallèle n’est créé entre la signification attribuée au
mot par l’enfant et la signification réelle liée à la réalité objective qui lui est associée.
En revanche, un autre sous-ensemble renvoie plutôt aux méthodes d’étude de l’abstraction
qui vise l’approfondissement des processus et des fonctions psychiques qui sont à l’origine
de la formation des concepts. Par conséquent, ces dernières mènent l’apprenant à dégager la
caractéristique commune, à isoler ou à abstraire une marque distinctive d’un ensemble
d’autres traits dans le but d’opérer des généralisations. Cependant, cet autre groupe laisse
29
tout autant entrevoir une faille alors qu’on ne semble pas y retrouver la reconnaissance du
rôle du mot dans la formation de concepts.
En somme, les méthodes traditionnelles se caractérisent par une « dissociation du mot et du
matériel objectif » (Vygotski, 1997, p.201). En opposition à cette observation, Vygotski
propose une approche par un matériel sensible par l’étude d’un concept sur la base de son
rapport à la réalité. En ce sens, il tend à considérer autant le matériel que le mot et à
combiner l’utilisation de mots nouveaux avec des mots déjà acquis, sans pour autant
tomber du côté de la thèse associationniste.
Le point de départ de la conceptualisation est la présence d’un problème ne pouvant être
résolu que par la formation du concept visé. Cependant, l’apparition d’un problème et, par
conséquent, d’un but, est une condition insuffisante, d’où l’idée d’aborder la question des
moyens pour y parvenir pour ainsi parler de la tendance déterminante. Il y aura donc
nécessairement recours à l’intervention des signes, ou instruments psychologiques, pour
assurer la médiation et l’orientation de l’activité du sujet pour qu’il y ait formation du
concept.
« L’utilisation fonctionnelle [d’un mot] comme moyen de diriger activement l’attention, de
différencier et de dégager des traits caractéristiques, de les abstraire et d’en faire une
synthèse est une partie fondamentale et indispensable du processus de formation des
concepts » (Vygotski, 1997, p.216) et, bien que le développement des processus qui
mèneront à la formation des concepts débute dès l’enfance, ce n’est qu’à l’adolescence que
les fonctions intellectuelles constitueront la base psychique du processus de formation des
concepts. L’utilisation fonctionnelle du signe, ou du mot, permettra dorénavant à
l’adolescent « de soumettre à son propre pouvoir ses propres opérations psychiques, de
maîtriser le cours de ses propres processus psychiques et d’orienter leur activité vers la
résolution du problème » (Vygotski, 1997, p.217). La révolution intellectuelle s’opérant
entre l’enfance et l’adolescence a pour cause l’emploi du mot comme moyen de formation
des concepts. Effectivement, ce processus s’élabore autour du passage des processus
intellectuels immédiats aux opérations médiatisées par les signes et non pas au moyen
d’une modification quantitative des liaisons associatives. Les fonctions élémentaires
30
s’insèrent dans une nouvelle structure alors que le processus de formation des concepts
implique la maîtrise de ses propres processus psychiques grâce à l’emploi fonctionnel du
mot ou du signe, ce qui ne peut s’effectuer qu’à l’adolescence. C’est à travers des tâches
spécifiques provoquant l’apparition d’un besoin et d’un but que le milieu social
environnant invite l’adolescent à mettre en œuvre des moyens permettant le développement
de sa pensée.
Vygotski distingue trois stades de la structure de l’opération intellectuelle. Le premier
stade, se manifestant généralement chez l’enfant, « est la constitution d’une masse
indistincte et sans ordre, la sélection d’un tas d’objets quelconques lorsqu’il se trouve
devant un problème » (Vygotski, 1997, p.221). À ce stade, les objets ne sont pas liés de
manière interne entre eux, mais le sont de façon tout à fait extérieure dans l’impression de
l’enfant alors qu’il réunit des objets en une même série et sous une signification commune
selon sa propre perception et non parce qu’ils possèdent des traits communs distingués par
l’enfant. Il peut arriver que la signification d’un mot employé par l’enfant soit la même que
pour l’adulte pour ainsi favoriser la compréhension mutuelle. Cependant, leurs voies
psychiques respectives sont entièrement différentes alors que la signification d’un mot pour
l’enfant découle psychologiquement d’opérations différentes.
Le deuxième stade, quant à lui, renvoie à un mode de pensée qui « conduit à la formation
de liaisons, à l’établissement de rapports entre les différentes impressions concrètes, à la
réunion et à la généralisation d’objets divers, à l’organisation et à la systématisation de
toute l’expérience de l’enfant » (Vygotski, 1997, p.225), que l’on appelle pensée par
complexes. En ce sens, les généralisations permettent la formation de complexes d’objets
concrets sur la base de liaisons objectives existant réellement entre les objets. Ainsi, alors
que le premier stade est caractérisé par la construction d’images syncrétiques, le deuxième
s’élabore davantage autour de la construction de complexes qui ont la même signification
fonctionnelle. De plus, les complexes formés à l’intérieur de ce deuxième stade sont
élaborés selon de tout autres lois de la pensée que les concepts qui définissent le prochain
stade. En effet, ne reposant pas sur une liaison abstraite et logique, la construction du
complexe s’appuie sur une liaison concrète puisque l’expérience immédiate en permet la
découverte. « Alors que le concept a pour base des liaisons de type unique, logiquement
31
identiques entre elles, le complexe repose sur des liaisons empiriques des plus variées, qui
souvent n’ont entre elles rien de commun. Dans le concept, les objets sont généralisés selon
un trait distinctif unique, dans le complexe, ils le sont selon des critères empiriques
divers. » (Vygotski, 1997, p.227)
Par conséquent, bien qu’il y ait compréhension entre l’enfant et l’adulte à ce stade en ce qui
concerne la signification d’un mot pour un même objet, des opérations intellectuelles
totalement différentes régissent la manière de penser cette même chose, la pensée par
complexes s’exerçant autrement que la pensée conceptuelle.
Les recherches permettent de dégager cinq formes fondamentales de complexes sur
lesquelles reposent les généralisations présentes dans la pensée de l’enfant à ce stade de
développement. La première se nomme complexe associatif en raison du fait qu’il a pour
base n’importe quelle liaison associative avec n’importe quels traits distinctifs remarqués
par l’enfant dans l’objet. De cette façon, l’enfant construit tout un complexe autour d’un
noyau selon tout rapport concret élaboré par le sujet pour que l’objet se rattache à un
groupe dont les objets sont désignés par un nom de famille commun.
La deuxième forme de complexe est « la réunion d’objets ou d’images concrètes des
choses en groupes particuliers évoquant surtout ce qu’il est convenu d’appeler des
collections » (Vygotski, 1997, p.229). Ainsi, des objets différents, voir hétérogènes, sont
réunis à partir de leur mutuelle complémentarité par rapport à un trait distinctif quelconque
pour former un tout.
La troisième parle du complexe en chaîne qui « se construit selon le principe de la réunion
dynamique et temporaire de maillons isolés en une chaîne unique et du transfert de
signification d’un maillon de la chaîne à une autre » (Vygotski, 1997, p.231). Ce type de
complexe représente donc le passage d’un trait distinctif à un autre et la signification du
mot se déplace pour suivre les maillons de la chaîne du complexe. Cette forme de complexe
tend d’ailleurs à instaurer une importante distinction entre le complexe et le concept alors
que, dans le premier, il n’y a pas une liaison hiérarchique ni de rapports hiérarchiques entre
les traits distinctifs; tous sont à égalité de signification fonctionnelle.
32
La quatrième forme a pour principale caractéristique qu’un trait distinctif, qui réunit de
manière associative les éléments concrets isolés et les complexes, apparaît comme diffus,
imprécis, fluide ou confus, ce qui mène à l’élaboration d’un complexe réunissant des
groupes intuitifs-concrets d’images ou d’objets à l’aide de liaisons diffuses et
indéterminées. On présente alors l’aspect imprécis des contours du complexe et de son
extension souvent illimitée.
Une dernière forme de complexe, le pseudo-concept, représente une réunion, sous forme de
complexe, d’une série d’objets concrets dont les caractéristiques externes coïncident
parfaitement avec le concept, mais, par sa nature génétique ainsi que les conditions de son
apparition et de son développement et les liaisons causales-dynamiques qui en sont à
l’origine, il n’est pas un concept. À ce niveau, la généralisation ne s’effectue pas sur la base
de la pensée abstraite, mais à partir de liaisons concrètes, empiriques pour mener à une
association. Ainsi, le résultat est le même, mais le chemin emprunté diffère. La pensée
conceptuelle d’un adolescent n’est pas encore au stade de celle de l’adulte, principalement
en raison du fait que, à ce stade, on parlera davantage de « pseudo-concepts » alors que la
signification d’un mot n’est pas choisie, mais déterminée de l’extérieur à travers les
communications avec les adultes. Dans toute conversation, une équivalence fonctionnelle
suffit pour qu’il y ait compréhension de part et d’autre, mais ce principe ne signifie pas
pour autant qu’il y a présence d’une même signification. On parlera de l’élaboration d’un
concept en soi ou d’un concept pour autrui avant de parler d’un concept pour soi. Le
pseudo-concept, représentant une phase spéciale dans le développement de la pensée par
complexes de l’enfant, met un terme au deuxième stade et amorce le troisième pour servir
de pont entre la pensée concrète et la pensée abstraite.
Ainsi, le troisième et dernier stade, constitue la pensée conceptuelle qui se différencie et se
caractérise de la manière suivante : « le concept, dans sa forme naturelle et développée,
suppose non seulement l’unification et la généralisation des éléments concrets de
l’expérience, mais encore leur différenciation, leur abstraction et leur isolement et la
capacité d’examiner ces éléments différenciés, abstraits, en dehors de la liaison concrète et
empirique dans laquelle ils se sont donnés » (Vygotski, 1997, p.262).
33
Une première phase s’insère dans ce dernier stade pour se rapprocher du pseudo-concept où
la réunion d’objets concrets différents s’effectue sur la base d’une ressemblance maximale
entre ses éléments. L’enfant accorde ainsi toute son attention à cette ressemblance avec le
modèle fourni pour mener à l’apparition d’un premier processus d’abstraction, positive ou
négative, alors que d’autres traits distinctifs sont laissés en périphérie. Puis, une deuxième
phase, celle des concepts potentiels, s’introduit pour amorcer une nature différente de
distinction d’un groupe d’objets réunis sur la base d’un trait distinctif commun. Le concept
potentiel, renvoyant à une attitude ajustée à la réaction habituelle, demeure une formation
pré-intellectuelle apparaissant très tôt dans le développement de la pensée puisqu’elle ne
renvoie point au recours à des processus logiques. Cette conclusion s’explique par le fait
que le rapport entre le mot et la signification s’apparente parfois à une simple association
qui ne contient pas une véritable signification du mot. Ces concepts sont considérés comme
potentiels en raison de « leur référence pratique à un cercle déterminé d’objets » et par « le
processus d’abstraction isolante qui en constitue la base » (Vygotski, 1997, p.265).
Finalement, une dernière phase est la formation de véritables concepts qui apparaissent
« lorsqu’une série de traits distinctifs qui ont été abstraits est soumise à une nouvelle
synthèse et que la synthèse abstraite ainsi obtenue devient la forme fondamentale de la
pensée, permettant à l’enfant de saisir la réalité qui l’environne et de lui donner un sens »
(Vygotski, 1997, p.268). Le mot joue alors un rôle décisif dans la formation de ce concept,
car « c’est à l’aide du mot justement que l’enfant dirige volontairement son attention sur
certains traits distinctifs, à l’aide du mot qu’il en fait synthèse, à l’aide du mot qu’il
symbolise le concept abstrait et l’utilise en tant que signe supérieur entre tous ceux qu’a
créés la pensée humaine » (Vygotski, 1997, p.268). Bien que le mot fût utilisé dans la
pensée par complexes, la généralisation proposée dans l’un ou l’autre représente le résultat
d’emplois fonctionnels absolument différents d’un même mot selon des opérations
intellectuelles différentes.
Enfin, bien que le processus de formation des concepts ait été illustré au moyen de trois
stades distincts, il demeure qu’il ne peut être envisagé comme une succession linéaire où
chaque nouvelle phase s’amorce lorsque la précédente est achevée. Au contraire, même au
34
stade de maîtrise de la forme supérieure de la pensée, les concepts des formes plus
élémentaires peuvent intervenir à nouveau.
2.2 NIVEAUX DE PENSÉE GÉOMÉTRIQUE
Afin d’analyser la progression langagière dans le développement du concept particulier
pour l’ensemble des années du primaire, la section suivante portera sur l’étude de la théorie
des niveaux de développement de la pensée géométrique (visuel, descriptif, relationnel,
déduction, rigueur) qui permet de mieux percevoir l’apprentissage de la géométrie comme
un contexte fécond pour le développement de la pensée pour ainsi aider à la réflexion sur la
continuité des apprentissages.
2.2.1 Présentation de la théorie
La théorie de van Hiele (1959/1984), développée par les chercheurs néerlandais Dina et
Pierre van Hiele, représente un modèle à cinq niveaux permettant de décrire la
compréhension des concepts mathématiques propres au domaine de la géométrie à travers
les étapes du développement de la pensée de l’apprenant.
Ce modèle théorique s’est principalement élaboré par la reconnaissance des trois pôles de
l’enseignement que sont l’enseignant, l’élève et l’objet d’apprentissage. La prise en compte
de ces trois éléments dans la cadre de l’enseignement peut s’avérer difficile, mais les
auteurs se sont particulièrement penchés sur l’idée que le concept enseigné fait intervenir
des structures de compréhension différentes d’un acteur à l’autre. En ce sens,
l’enseignement de la géométrie doit prendre en considération le fait que l’enseignant et
l’élève parlent un langage très différent, ce qui peut s’exprimer par une pensée située à
différents niveaux.
Ces niveaux de développement de la pensée prennent appui sur les propriétés suivantes :
- Les niveaux demeurent séquentiels et hiérarchisés alors que la maîtrise des
compétences des niveaux inférieurs est essentielle pour l’atteinte d’un niveau
supérieur.
35
- Chaque niveau possède ses propres symboles linguistiques et un système de
relations entre ces symboles bien à lui.
- Deux personnes dont le raisonnement se situe à des niveaux différents ne peuvent se
comprendre, ce qui justifie ce qui a été abordé précédemment concernant la relation
entre l’enseignant et l’élève.
2.2.2 Description des niveaux
Niveau 0 : Visualisation (Reconnaissance de la forme)
À ce niveau de base, l’élève reconnaît une figure géométrique selon son apparence visuelle.
L’apprenant a ainsi un premier accès à un vocabulaire géométrique alors qu’il reconnaît,
nomme, compare et reproduit des formes d’après leur aspect général. À ce niveau, la
perception prime au détriment du raisonnement, les figures étant observées, mais non
conceptualisées. Ainsi, l’élève évalue une figure selon des propriétés visuelles marquantes,
n’étant pas encore conscient de ses propriétés.
L’enseignement de la géométrie prend alors la forme d’activités exploratoires qui
poursuivent l’objectif de la reconnaissance de la forme des objets géométriques. Cette
démarche principalement intuitive représente un contact avec la forme des objets et leur
nom pour éventuellement favoriser l’éveil aux propriétés géométriques. Pour ce faire,
l’observation, l’association, la comparaison et la manipulation de solides (toucher; bouger;
faire des empreintes, des ombres, des coupes, etc.) représentent des opportunités permettant
de décrire leur apparence sur la base des figures planes qui en sont à l’origine. Ces
premières tentatives d’exploration deviendront des occasions permettant de favoriser le
développement de la visualisation, de la représentation et du langage pour que l’élève en
vienne à associer un nom à une figure et vice versa.
Niveau 1 : Descriptif / Analytique (Reconnaissance de propriétés)
Contrairement au niveau précédent, l’élève commence à concevoir la figure comme un
ensemble de propriétés plutôt qu’une entité. De cette façon, il peut reconnaître certaines
propriétés communes des formes géométriques et désormais considérer ce qui les distingue.
36
Il peut d’ailleurs opérer un classement sur la base de cette identification et généraliser les
propriétés à l’ensemble des formes géométriques appartenant à une même famille.
Toutefois, bien qu’il puisse reconnaître et nommer ces propriétés, il ne parvient pas à
observer les sous-classes à l’intérieur d’une famille, n’étant pas en mesure d’opérer des
rapports entre ces dernières.
À ce niveau, les activités prennent davantage la forme d’observations de figures planes
pour s’orienter sur leur comparaison en vue de proposer une propriété commune ou
distinctive, ce qui occasionne l’introduction de termes développant le vocabulaire
géométrique qui sera utilisé pour identifier et décrire des figures (polygone, polygone
convexe, concave; triangle équilatéral, isocèle, scalène; angle aigu, obtus). De plus, l’élève
pourra être invité à faire des distinctions de polygones selon le nombre de côtés et
l’observation des relations entre les côtés d’une même figure conduira tout autant au
développement d’un vocabulaire (congrus, parallèles, concourantes, perpendiculaires). Les
activités de manipulation des solides du niveau précédent pourront être réinvesties à ce
niveau tout en introduisant des activités de partage de la figure plane en parties congrues ou
en d’autres figures connues pour, une fois de plus, faire émerger de nouveaux termes à
l’égard de la description des figures. D’ailleurs, ces propriétés pourront tout autant être
mises à profit dans la construction de figures planes.
De façon générale, ce niveau vise l’émergence d’un maximum de propriétés pour une
même figure géométrique, ce qui servira de point d’appui qui permettra éventuellement leur
déduction.
Niveau 2 : Abstraction / Relationnel (Reconnaissance de relations entre les propriétés
de figures et de classes de figures)
À ce niveau, l’élève découvre les propriétés des classes de figures au moyen de la
déduction informelle pour mener à des définitions abstraites servant à organiser le
raisonnement. En d’autres mots, il est question de l’établissement de liens entre les figures
géométriques et entre leurs propriétés. C’est ainsi que l’élève parvient à déduire certaines
propriétés d’une forme géométrique et à reconnaître et établir des sous-classes.
37
On misera essentiellement sur des activités de représentation et d’observation dans le but
d’enrichir le répertoire de représentations d’une figure ou d’une classe de figures et de
favoriser le raisonnement dans l’élaboration de définitions selon des propriétés
nouvellement découvertes. Aussi, les activités de dallage, de partage, de composition et de
construction de figures permettront la découverte de relations métriques et de formules en
plus de permettre de mettre en jeu les propriétés déjà découvertes et de consolider les
relations entre les propriétés et entre les figures.
En somme, ce niveau fait maintenant intervenir un raisonnement faisant appel à des
concepts et des processus mathématiques dans la justification des énoncés, du choix des
critères de classification et des méthodes employées sans toutefois que les propriétés soient
organisées en démonstrations.
Niveau 3 : Déduction formelle
À ce niveau, la description fait place à l’étude de définitions, de preuves, de théorèmes,
d’axiomes et de postulats. Dorénavant, l’élève peut proposer des preuves de diverses façons
sans se borner à la mémorisation puisque le raisonnement permet de produire une
déclaration aux énoncés ordonnés qui offrent la possibilité de justifier une conclusion; c’est
ce que l’on nomme la compréhension et l’élaboration de démonstrations.
Niveau 4 : Rigueur
Ce dernier niveau représente l’étude de la géométrie de façon abstraite alors que son étude
peut se réaliser sans qu’il y ait de modèles de référence et le raisonnement s’effectue en
manipulant formellement des propositions géométriques.
2.2.3 Implications pour l’enseignement
La progression d’un niveau à l’autre s’expliquerait davantage par la méthode
d’enseignement utilisée que par l’âge ou la maturité. C’est ainsi que l’enseignement de la
géométrie devrait se baser sur le développement des niveaux de pensée et de ce qui favorise
le passage d’un niveau à un autre. Il doit ainsi présenter un système bien organisé qui
38
favorise la construction des connaissances de façon progressive en assurant l’établissement
des liens entre les connaissances.
Sur ce dernier point, de manière à connaître le processus d’apprentissage, l’enseignant se
doit d’observer les phases menant à un niveau supérieur. La première phase réfère à
l’investigation alors que la manipulation de matériel mène à l’établissement d’une certaine
structure. La seconde phase renvoie tout autant à cette manipulation, mais selon un matériel
particulier et une orientation précise de sorte que les caractéristiques émergent d’elles-
mêmes. La troisième phase laisse place à l’explication alors que le réseau de relations tend
à prendre forme au moyen de discussions où l’apprenant est invité à exprimer son opinion
par rapport aux structures, et ce, selon les symboles linguistiques exacts. La quatrième
phase représente l’orientation libre alors que les tâches proposées peuvent se résoudre de
différentes manières. La cinquième et dernière phase sera l’intégration au sens où l’élève
est amené à structurer une vue d’ensemble des méthodes qui sont déjà à sa disposition.
L’objectif de la mathématique étant la construction d’un réseau de relations entre des
concepts, l’enseignement de la géométrie ne devrait en aucun cas se limiter à
l’apprentissage de la terminologie qui lui est propre. L’attention de l’enseignant devrait
plutôt se diriger vers la mise en place de conditions privilégiant l’exploration et la
compréhension des rapports entre les figures et le développement de la pensée géométrique
pour que l’apprenant parvienne à passer d’un niveau à un autre.
Selon la théorie développée dans ce chapitre, l’apprenant peut se situer à des niveaux
différents selon les concepts puisqu’il doit impérativement passer par chacun des niveaux
pour chaque concept. Ce passage sera d’abord possible si l’élève est exposé à des activités
qui favorisent l’observation, mais qui l’amènent à aller au-delà étant donné le fait que cette
dernière ne suffit pas à faire passer un objet physique à un concept géométrique. De plus,
l’étude d’un concept selon la démonstration d’un fait déjà établi menant à une simple
mémorisation ne permettra pas l’accès à un niveau supérieur, le développement de la
compréhension n’étant pas priorisé. Par conséquent, il faudra miser sur la comparaison et la
classification des formes géométriques et sur l’analyse de leurs propriétés pour amorcer un
travail visant justement la compréhension.
39
Au terme du primaire, les niveaux 1 et 2 seraient ceux que les élèves devraient atteindre sur
la base de l’approfondissement du niveau 0. Sachant reconnaître le niveau de pensée auquel
se situe un enfant, un enseignant sera davantage en mesure de se situer par rapport au
processus d’apprentissage pour l’aider à passer à un niveau supérieur. C’est d’ailleurs sur
ce point que la théorie de van Hiele s’appuie pour présenter les implications de
l’enseignement de la géométrie au primaire.
2.3 RAPPROCHEMENT ENTRE DEUX CADRES THÉORIQUES
Dans l’élaboration de sa théorie du développement, Vygotski aborde non seulement l’auto-
mouvement de la personne, mais aussi le développement artificiel à travers l’éducation.
Effectivement, « se développer, construire de nouveaux systèmes psychiques, consiste
toujours en l’intériorisation et la transformation d’outils sémiotiques fonctionnant dans des
situations sociales » (Schneuwly, 2008). Les concepts spontanés, relevant du
développement de l’enfant alors qu’ils sont formés à partir de son expérience, participent à
la construction de signification pour les concepts scientifiques relevant, quant à eux, de
l’apprentissage scolaire. À leur tour, ces concepts favoriseront et pousseront le
développement conceptuel. L’un des principaux outils pour atteindre cet objectif étant le
langage, on constate donc, selon cette conception, qu’il est d’une grande importance d’en
favoriser le développement et que l’école est invitée à y jouer un rôle déterminant. Il relève
de l’enseignant d’avoir recours à ces outils et à diverses stratégies afin de mettre en place
les collaborations nécessaires à la construction des connaissances par l’élève.
La théorie de van Hiele témoigne de sa pertinence à cet égard étant donné le fait qu’elle
présente un enseignement de la géométrie sur la base d’un système bien organisé qui
favorise de façon progressive la construction de connaissances spécifiques et du
vocabulaire qui lui est associé. C’est ainsi que, par la prise en considération de niveaux de
pensée, l’enseignement doit privilégier l’établissement de liens entre les connaissances et le
passage d’un niveau à un autre. Les trois premiers niveaux mettent particulièrement en
lumière l’importance du langage dans la conceptualisation alors qu’ils apportent leur
contribution à son développement progressif chez l’apprenant : niveau 0 qui renvoie à
l’identification de la forme; niveau 1 qui mise sur sa description; niveau 2 qui vise
l’évocation de la forme à partir de la description de ses propriétés ou l’évocation de ses
40
propriétés à partir du nom de la forme. De cette manière, on peut rendre compte de l’apport
des activités mathématiques et, plus précisément, du domaine de la géométrie, dans le cadre
du développement du langage alors que l’atteinte de ces niveaux nécessite le recours à un
raisonnement pour faire passer un concept physique à un concept géométrique, ce qui, au
fond, est aussi un langage, étant une forme de pensée.
2.4 ORGANISATION DES APPRENTISSAGES MATHÉMATIQUES
Inspirées des figures emblématiques que sont Vygotski et Piaget dans le domaine de
l’éducation, de récentes recherches en didactique des mathématiques ont permis de donner
naissance à quelques théories de grande importance, dont la Théorie des situations
didactiques de Brousseau (1998) et la Théorie des champs conceptuels de Vergnaud
(1991b) qui balisent le rôle de l’enseignant dans l’organisation des apprentissages.
La didactique, se distinguant de la pédagogie par l’insertion des contenus, représente
l’étude des méthodes et des pratiques relatives à l’enseignement. Plus spécifiquement, la
didactique des mathématiques a vu le jour au début des années soixante-dix comme un
projet initial de Brousseau qui l’envisageait comme une discipline qui permettait de
« déterminer de façon scientifique quel peut être le meilleur enseignement des
mathématiques pour tous les enfants de l’école élémentaire » (Perrin-Glorian, 1994). En ce
sens, elle s’élabore entre un enseignant, des élèves et un savoir mathématique et tente de
décrire et d’expliquer les phénomènes observés dans l’enseignement pour éventuellement
agir sur eux.
2.4.1 Situation comme modèle d’apprentissage
Comme il a été possible de le constater, pour Vygotski, le développement résulte d’une
tension entre l’intérieur et l’extérieur, et ainsi entre enseignement et développement
(Schneuwly, 2008). La formation des fonctions psychiques supérieures ne pouvant être
réduite aux fonctions élémentaires découlant du développement biologique, l’éducation
prend tout son sens à travers le concept de médiation par des outils sémiotiques qui
introduisent un pôle supplémentaire entre le sujet et son action sur les objets. Dans ce cas,
l’enseignement donne une forme particulière au développement en mettant des instruments
41
à la disposition des élèves afin qu’ils construisent et transforment leurs propres processus
psychiques.
D’un autre point de vue, en référant à la théorie psychogénétique de Piaget qui défend le
principe selon lequel le moteur du développement se trouve à l’intérieur du sujet au moyen
de l’assimilation et de l’accommodation alors que l’acteur est continuellement amené à
s’adapter à un milieu qui génère des déséquilibres, Brousseau (1998) a procédé à
l’élaboration de sa Théorie des situations didactiques. Grâce à cette théorie, le concept de
« situation » et ceux de différentes composantes essentielles de l’organisation des
apprentissages ont pris de l’ampleur dans les recherches en didactique. Brousseau cherchait
ainsi à mettre au point une modélisation de l’enseignement par son découpage en situations
(et non pas en objets) qui permettent l’acquisition des savoirs.
Ayant observé qu’un milieu qui n’avait pas fait l’objet d’une organisation volontaire pour
l’enseignement d’un savoir ne pouvait aspirer à l’acquisition des connaissances du
curriculum chez l’apprenant, le rôle du maître devenait celui d’organiser la rencontre entre
l’élève et le savoir mathématique à partir de situations problématiques. On parle alors de
situations qui favorisent l’acquisition de nouveaux savoirs et pour lesquelles on a fait une
sélection judicieuse du contexte, des outils et du contrat didactique (règles du
comportement dans une situation ou relation entre l’enseignant, l’élève et le savoir)
(Brousseau, 1998). De cette façon, Brousseau souligne l’importance de favoriser
l’enseignement d’un concept à l’intérieur d’un ensemble de situations dont le rôle est de
provoquer des adaptations chez l’élève qui seront productrices des apprentissages visés.
Soumis à une forme de déstabilisation, l’élève procèdera à la réorganisation des concepts
antérieurs menant à une prise de conscience du concept.
Dans l’organisation des apprentissages de concepts mathématiques, il est aussi important,
selon Vergnaud (1991b), de tenir compte des relations existant entre ce concept et le réseau
de concepts dans lequel il s’insère. Amenant ainsi sa Théorie des champs conceptuels,
Vergnaud souligne que tout concept, dénudé de sens de manière isolée, coexiste dans un
réseau de concepts, d’où l’idée que l’acquisition du sens ou des significations d’un concept
s’effectue à partir de la confrontation de l’élève à un ensemble de situations problématiques
42
qui le mettent en jeu et qui demandent à l’apprenant d’avoir recours à l’ensemble de son
répertoire de compétences pour ultérieurement le modifier au moyen d’une adaptation au
milieu de la situation proposée. De manière à procéder à la conceptualisation, l’enseignant
doit donc assurer l’organisation de l’apprentissage et sa médiation au moyen du langage.
Selon Vergnaud, tout concept se construit dans une relation entre l’ensemble des attributs à
partir desquels se compose le concept (le signifié), l’ensemble des formes langagières et
non langagières qui permettent de représenter symboliquement le concept et ses propriétés,
les situations et les procédures de traitement (le signifiant) et l’ensemble des situations qui
donnent du sens au concept et à partir desquelles on peut découvrir les propriétés du
concept en plus de mettre en jeu chacune des représentations. Effectivement,
l’apprentissage d’un concept scientifique, c’est-à-dire celui relevant de disciplines
scolaires, s’opérera de manière progressive au moyen de situations permettant la découverte
de la signification d’un mot.
Cet ensemble de situations qui prennent en compte la complexité du système didactique
(relations entre enseignant, élève et savoir) porte le terme, dans les recherches en didactique
des mathématiques, d’ingénierie didactique (Artigue, 1988). Adaptées aux cadres
didactiques et méthodologiques développés par la recherche, ces situations sont destinées à
jouer le rôle, pour les élèves, de genèses artificielles des concepts mathématiques au moyen
d’une visée d’orientation intentionnelle. Un grand nombre de situations très originales ont
ainsi été développées dans les trente dernières années: enseignement des opérations
arithmétiques, ingénierie des fractions et des décimaux, de la mesure, enseignement des
statistiques, de la géométrie, etc.
L’ingénierie didactique constitue un cadre d’analyse qui témoigne de sa pertinence pour
cette recherche. Effectivement, tel que mentionné précédemment, une grande portion de la
démarche méthodologique étant consacrée à l’analyse de manuels didactiques, les apports
théoriques qu’elle suscite permettront non seulement de poser un regard sur les aptitudes
langagières développées dans les activités proposées, mais aussi sur la progression logique
des apprentissages.
43
2.5 LE CERCLE DANS LES RECHERCHES EN DIDACTIQUE
Comme il était possible de le prévoir, les recherches portant précisément sur notre concept
géométrique étant plutôt rares, seule l’ingénierie du cercle telle que proposée dans le cadre
de la recherche d’Artigue et Robinet (1986) répondait à nos besoins. Sans viser la
présentation du résumé de cette recherche, nous ferons ressortir une variété de situations en
décrivant leurs objectifs et les conceptions du cercle qui peuvent être mises en jeu.
De manière à se mettre en contexte, la section qui suit fait état d’une recherche menée en
1986 par l’Institut de Recherche sur l’Enseignement des Mathématiques de l’Université de
Paris. Cette dernière, visant l’émergence de la conception du cercle chez les élèves de
l’école élémentaire, tire son origine de la reconnaissance d’un problème dans le cadre de
l’enseignement de la géométrie. Effectivement, on constate, dans le domaine de l’étude des
formes géométriques particulières du plan et de l’espace, au moyen de l’observation des
activités généralement menées et des manuels didactiques, une certaine homogénéité quant
à la conception de l’enseignement de la géométrie d’un manuel à l’autre pour ainsi mener à
une uniformisation des situations proposées qui prennent la forme d’un travail de
vocabulaire dans la majorité des cas.
Ainsi, sur la base d’une pré-expérimentation menant à l’observation des comportements des
élèves dans des situations variées pour éventuellement associer les procédures utilisées à
leurs conceptions des figures géométriques, la recherche s’est penchée sur l’étude du cercle
plutôt que toute autre forme géométrique, et ce, pour plusieurs raisons. D’abord, les
recherches précédemment menées auraient laissé supposer que les conceptions des élèves
par rapport à cette forme étaient suffisamment riches et variées pour en faire un objet
d’étude à part entière. Puis, les chercheurs renforcent avec l’idée d’« illusion de
transparence » représentant la confusion existant entre la connaissance de l’objet et sa
reconnaissance visuelle ou encore entre l’habileté à tracer la figure à l’aide d’un outil
relativement simple et la connaissance des raisons de cette adaptation parfaite ou de la
figure elle-même. Finalement, une étude exclusive du cercle s’expliquait aussi par la
complexité relative au calcul du périmètre et de l’aire qui se pose de façon moins
importante pour les autres figures. Par conséquent, l’objectif de l’expérimentation
consistera à attirer l’attention sur des situations nécessitant la manipulation dans le cadre
44
d’une séquence didactique qui mènera à une connaissance de cette figure allant au-delà de
la simple reconnaissance perceptive.
2.5.1 Situations mathématiques de la pré-expérimentation
Partant de l’énumération d’une grande variété de caractéristiques, diverses situations-
problèmes ont été présentées aux élèves en vue de favoriser l’émergence des différentes
conceptions existant à l’égard du cercle. Cette pré-expérimentation visait donc la
reconnaissance des procédures de résolution des élèves, des indices de la prise en compte
d’un élément géométrique quelconque, des relations entre ces éléments et des constructions
d’invariants. De manière à relater ce qui représente le point d’appui de la séquence
didactique dont il sera question ultérieurement, l’ensemble des situations proposées dans le
cadre de la pré-expérimentation de cette recherche seront énumérées de manière à s’y
retrouver en fonction du matériel utilisé, des consignes données, de l’organisation de la
classe suggérée de même que des procédures généralement employées par les élèves.
SITUATION 1 : LES MESSAGES
Objectif : Situation de communication visant l’utilisation d’un vocabulaire mathématique
dans le cadre de la description de figures géométriques.
Matériel : Une règle graduée, un compas, une feuille blanche et un quart de feuille pour
chaque élève.
Consigne : Tracer un dessin à la règle et au compas sur la feuille blanche, puis écrire un
message sur le quart de feuille pour que le coéquipier puisse reproduire le dessin.
Organisation de la classe : Équipes de deux élèves
Procédures des élèves :
Classement des messages obtenus :
o Catégorie I : Message ne contenant pas d’indications de mesure : utilisation du
qualificatif petit ou grand.
o Catégorie II : Message contenant une indication de mesure faisant référence à
l’écartement du compas.
45
o Catégorie III : Message contenant une indication de mesure sans précision à savoir
s’il est question du rayon ou du diamètre.
* Apparition des directions selon l’horizontal et la verticale associés à la longueur et
à la largeur, ces dernières se définissant comme étant de même mesure à l’intérieur
du cercle.
o Catégorie IV : Message contenant une indication de mesure faisant référence à la
longueur et à la largeur du cercle.
o Catégorie V : Message contenant une indication de mesure faisant référence de
façon explicite au rayon, au diamètre ou au deux à la fois.
Aucune confusion entre rayon et diamètre n’est observée, mais la relation entre ces
deux paramètres demeure inconstante.
SITUATION 2 : RECONNAISSANCE DE FORMES
Objectif : Problème statique visant la reconnaissance de cercles parmi un ensemble de
formes selon les représentations des élèves par rapport à cette figure.
Matériel : Pour chaque élève, une règle graduée, un compas et une feuille représentant des
cercles, mais aussi des figures similaires sans toutefois présenter l’ensemble des
caractéristiques du cercle (ex. : un ovale).
46
Figure 1. Pré-expérimentation: Reconnaissance de formes
Consigne : Regarder les figures tracées sur la feuille distribuée pour sélectionner celles qui
correspondent à des cercles et expliquer pourquoi. Choisir ensuite une figure qui n’est pas
un cercle et le prouver.
Organisation de la classe : Travail individuel
Procédures des élèves :
o Repérer les cercles à l’œil et le prouver en traçant plusieurs « diamètres » à l’œil (un
diamètre horizontal et un vertical pour commencer) et ainsi trouver des mesures
égales prouvant l’existence d’un cercle. (Même procédé pour trouver certaines
figures qui ne sont pas des cercles.)
o Recourir au pliage pour déterminer le centre des cercles.
47
SITUATION 3 : TRAJECTOIRES CIRCULAIRES
Objectif : Problème dynamique visant à reconnaître le cercle comme la trajectoire d’un
point avant d’être perçu comme une courbe pour ainsi considérer le centre comme le point
fixe dans le mouvement de rotation.
Matériel : La porte de la classe, un pendule, une grande feuille pour chaque situation.
Consigne :
- Trajectoire de la porte
Rassemblés près de la porte de la classe où l’on retrouve une grande feuille de papier posée
sur le sol, les élèves doivent placer un point sur la feuille pour déterminer l’endroit où
passera l’extrémité de la porte.
- Trajectoire du pendule
Trouver la trajectoire de l’extrémité du pendule, puis, à partir d’une partie de la trajectoire
tracée, déterminer le centre de l’arc de cercle ainsi formé.
Organisation de la classe : Séquence collective où les élèves sont placés en équipes de
deux
Procédures des élèves :
- Pour la porte
o Mesurer la largeur de la porte et reporter la distance à partir de l’axe de la porte sur
le trait pointillé déjà tracé par les élèves.
o Faire un arrondi à l’œil à partir du point d’une autre équipe pour tracer un autre
point.
o Mesurer la largeur de la porte et la reporter comme une corde à partir de l’extrémité
du trait pointillé.
- Pour le pendule
o Mesurer la ficelle du pendule et reporter cette longueur à partir du point d’attache
du pendule. Continuant à l’œil, les élèves n’auront tendance à mesurer de nouveau
48
que lorsque la trajectoire s’écartera de ce qui devrait normalement représenter un
cercle.
o Identifier le centre du cercle en marquant deux points distincts sur l’arc de cercle
formé. Tentant de trouver un point équidistant à ces deux points à l’intérieur de l’arc
à l’aide de la règle, les élèves admettent finalement un troisième point pour
déterminer le centre avec une plus grande précision.
SITUATION 4 : POSITIONS RELATIVES DE DEUX CERCLES
Objectif : Déterminer la position relative de deux cercles (tangents, sécants ou qui ne se
touchent pas) à partir de leur position initiale et en fonction de leurs rayons (la mesure
invariable du rayon du premier cercle et la mesure variable du rayon du deuxième cercle).
Matériel : Deux ficelles respectant les consignes de la situation, une feuille blanche, une
règle graduée, un compas, une feuille graduée au 0.5mm, un quadrillage 25X25, un grand
quadrillage 25X25 à utiliser au tableau
Situation proposée selon les différentes phases de l’activité :
À plusieurs endroits dans une cour, deux affiches sont plantées dans le sol à deux mètres
l’une de l’autre. Un membre de chaque équipe doit demander à l’enseignant deux morceaux
de ficelle respectant la contrainte selon laquelle la somme des longueurs ne doit pas
dépasser 2m50 et celle stipulant qu’avec chaque ficelle, il faut tracer un cercle autour de
l’une des deux affiches pour que ces cercles puissent se rencontrer. L’équipe doit ensuite, à
l’aide de la règle et du compas, reproduire la cour et ce qui y a été fait à l’échelle sur la
feuille de papier.
Une phase collective s’élabore ensuite pour amener des précisions quant aux différentes
situations rencontrées : cercles ne se touchant pas, cercles tangents, cercles sécants. Dans
un éventail de situations, les équipes devront vérifier la position des deux cercles. Les
rayons étant notés r1 et r2, chaque équipe dispose d’une valeur imposée pour r1 et fera
varier r2 de 10cm en 10cm jusqu’à concurrence de 250cm, le tout étant réalisé sur la feuille
graduée.
49
Consigne : À chaque point (a,b) du quadrillage, on associe le couple de cercles de rayons
respectifs a et b. Il s’agit ensuite de marquer à chaque nœud du quadrillage le code
correspondant à la position relative des deux cercles.
Organisation de la classe : Équipes de deux élèves
Procédures des élèves : (peu de renseignements sur les conceptions des élèves)
- Phase de sélection des ficelles de longueurs appropriées
o Choisir les longueurs des ficelles au hasard tout en prenant soin de les choisir
suffisamment longues pour que leurs extrémités puissent se rencontrer. Les élèves
mettent ensuite sur pied la situation en attachant les ficelles aux piquets et en
déterminant la zone de rencontre.
o Choisir les longueurs des ficelles au hasard et chercher à déterminer la zone
couverte par chacune d’elles qui sera modélisée par un disque. Les élèves
rechercheront ensuite l’intersection de ces deux disques.
o Les élèves déterminent des critères pour choisir les longueurs des ficelles (exemple :
les deux ficelles doivent se rencontrer sur la ligne entre les deux piquets, donc la
somme des longueurs des deux ficelles devra être supérieure à la distance entre les
deux piquets). On adopte ensuite la même procédure que dans le cas précédent.
- Phase de reproduction de la cour à l’échelle
o Adoption de l’échelle 5mm pour 10cm pour l’ensemble des élèves.
- Phase collective
o Le maître n’intervient pas dans les affirmations des enfants pour ainsi amener ces
derniers à une forme de codage des différentes positions occupées par les cercles
(codage qui sera réutilisé dans la phase du quadrillage).
- Phase de vérification de la position des cercles selon la variation d’un des
rayons
50
o Sans faire aucune vérification, se baser sur le modèle selon lequel les cercles se
toucheront si la somme est de plus de 200cm. Si elle est de 200cm, ils se toucheront
à ras et si elle est de moins de 200cm, ils ne se toucheront pas.
o Tracer tous les cercles.
o Vérifier un certain nombre de cas.
o Se référer uniquement au modèle qu’ils se sont fait de la situation et terminer en
5mm.
- Phase du quadrillage
o Des élèves imaginent le graphique comme présentant un axe de symétrie vertical
passant par le point 100, 100.
o Certains élèves perçoivent les points des cercles tangents formant une droite oblique
allant de 200 à 200.
o D’autres pensent que les cercles qui se touchent à l’intérieur sont aussi alignés.
SITUATION 5 : PARTAGE DE CERCLES - HOMOTHÉTIES
Objectif : Favoriser les propriétés de conservation des angles, des arcs et des cordes dans le
partage du disque en parties égales.
Matériel : Une loterie (disque décomposé en 6 secteurs) réalisée sur du papier cartonné
grand format, d’autres exemples de loteries sur des feuilles blanches de format normal, des
feuilles blanches, des feuilles cartonnées de grand format, une règle graduée, un compas,
une grande assiette en carton.
Consigne : En se basant sur l’observation de loteries de grand format réalisées par
l’enseignant, produire, sur du papier blanc de format normal, le plus grand nombre de
loteries circulaires différentes possible. La différence se situant par rapport au nombre de
morceaux égaux pouvant contenir chaque cercle. Choisir l’une des loteries tracées et
l’agrandir sur une feuille cartonnée de grand format.
51
Organisation de la classe : Équipes de deux élèves
Procédures des élèves :
- Partage par dichotomie et utilisation des cordes
o Travailler par approximations successives à partir d’un pliage en 2.
o Partage en 4 obtenu par pliage ou en traçant à l’œil un « diamètre » horizontal et un
vertical.
o Partage en 8 par l’utilisation des cordes en prenant le milieu de la corde
correspondant au partage en 4 et en traçant un rayon passant par ce point.
o Placer une feuille quadrillée sous le cercle et partager ce dernier en suivant la
diagonale du quadrillage.
- Convictions de l’existence de relations algébriques simples entre les mesures de
diamètre, de corde et le nombre de parts
- Report du rayon
- Report d’une fraction du diamètre
Devant les difficultés des élèves, l’enseignant leur procure une loterie partagée en 10
secteurs comme modèle pour qu’ils en construisent une autre semblable.
Procédures des élèves :
o Utiliser le rapporteur d’angles pour mesurer l’angle de chaque secteur et reporter
cette mesure sur leur propre loterie.
o Mesurer l’angle plat pour ensuite le diviser en 5 et ainsi obtenir 36 degrés.
o Tracer un cercle dont la mesure des rayons est le double que celle du cercle servant
de modèle pour ensuite reporter des cordes doubles.
o Tentatives d’approximation
52
SITUATION 6 : CONSTRUCTION DE FIGURES GÉOMÉTRIQUES
Objectif : Employer la méthode de construction du triangle équilatéral développée dans
l’activité précédente (partage du disque en 6 secteurs congrus, rayon du cercle=côté du
triangle équilatéral)
Matériel : Une feuille cartonnée de couleur, des feuilles blanches, une règle graduée, un
compas pour chaque élève.
Consigne : Fabriquer 24 triangles équilatéraux de 4cm de côté dans le carton de couleur et
réaliser ensuite un motif avec ces 24 triangles (ou moins) sur un patron à l’échelle ½ de ce
motif sur papier blanc et décalquer sur une autre feuille le contour extérieur du patron.
L’objectif étant ensuite d’échanger les contours tracés pour réaliser la figure à l’aide des
triangles.
Organisation de la classe : Travail individuel
Procédures des élèves (uniquement pour la fabrication des triangles):
o Tracer un segment AB de 4cm. Tracer deux arcs de cercle, l’un de centre A de
rayon de 4cm et l’autre de centre B également de rayon de 4cm.
o Tracer un segment AB de 4cm, tracer la perpendiculaire à l’œil au milieu de AB et
chercher un point C à 4cm de A.
o Tracer un cercle de rayon de 4cm et faire une loterie à 6 parts.
2.5.2 Principaux constats de la pré-expérimentation
Une analyse des conceptions recueillies dans le cadre des activités de la pré-
expérimentation permet de dégager un point de départ à partir duquel viennent s’appuyer
les connaissances des élèves par rapport au cercle. Il faut donc d’abord considérer cette
conception selon laquelle il apparaît comme une figure géométrique possédant deux
mesures égales, l’horizontale (aussi désignée sous le terme de largeur) et la verticale (ou la
longueur ou la hauteur) qui représentent le partage du cercle en deux parties égales. De
53
cette façon, on les envisage comme des axes de symétrie du cercle plutôt que des diamètres.
Le centre du cercle devient à son tour le croisement de ces deux segments.
Sur la base de ces propositions, diverses hypothèses peuvent être formulées pour tenter de
trouver une explication au lien existant entre ces conceptions de base et le développement
des connaissances des élèves par rapport au cercle. Pour commencer, bien qu’il soit
question d’une conviction moins stable, il semble que les élèves tendent à privilégier la
constance de la mesure de la corde horizontale et de la verticale pour l’étendre à toute corde
passant par le centre du cercle. Puis, on admet progressivement l’idée que la propriété des
diamètres horizontaux et verticaux, envisagés comme des axes de symétrie, se transpose à
tout un sous-ensemble de diamètres, soit ceux obtenus par pliage à partir des deux
diamètres de départ. Ensuite, le rapport existant entre la mesure du rayon et celle du
diamètre ne semble pas évident alors que ces deux attributs sont envisagés comme jouant
des rôles distincts à l’intérieur du cercle : le rayon représente la distance entre le centre et le
bord du cercle et le diamètre résiste au postulat d’axe de symétrie donnant la taille globale
du cercle. Finalement, il apparaît difficile de concevoir le diamètre comme étant la plus
longue corde du cercle. De surcroît, tout au long de cette première phase de recherche,
l’idée de courbure constante n’est jamais apparue, d’où la proposition d’activités statiques
et dynamiques qui miseront à faire émerger cette propriété dans le cadre de
l’expérimentation.
Afin de synthétiser les propriétés du cercle abordées dans les activités proposées dans cette
séquence de la pré-expérimentation de la recherche, nous utilisons le tableau qui suit
(tableau 2) dont la première colonne réfère au nom de la situation et la seconde correspond
à la description des propriétés du cercle travaillées pour chacune d’elles.
54
Situations Propriétés travaillées Description/Définition
Situation 1 : Les messages Cercle : Figure géométrique ayant la même mesure dans toutes les directions autour d’un point, le milieu du cercle Rayon : Ouverture du compas; 2r=D Diamètre : Longueur et largeur d’un cercle; axe de symétrie; 2r=D
Situation 2 : Reconnaissance de formes Cercle : Figure formée par des diamètres de mêmes longueurs; figure pouvant se partager en deux parties égales Centre de cercle : Point de rencontre de deux diamètres (un diamètre horizontal et un autre vertical) (ou point de croisement de la longueur et de la largeur) Diamètre : Longueur et largeur d’un cercle; axe de symétrie; 2r=D; segment obtenu au moyen du pliage du cercle en deux parties égales
Situation 3 : Trajectoires circulaires (porte, pendule)
Cercle : Trajectoire d’un point autour d’un point fixe, le centre de cercle Arc de cercle : Trajectoire de la porte ou du pendule Centre de cercle : Point situé à égale distance de tout point situé sur un arc de cercle; point fixe dans le mouvement de rotation Rayon : Largeur de la porte ou longueur du pendule
Situation 4 : Positions relatives de deux cercles Rayon modélisé au moyen d’une corde Centre de cercle modélisé au moyen d’une fiche (bâton) * Toutefois, aucune description ou définition ne ressortira de cette activité.
Situation 5 : Partage de cercles-Homothéties Secteur de disque : Partie d’un cercle délimitée par deux rayons; partie d’un cercle pouvant être obtenue par pliage Diamètre : Mesure de la corde verticale et de l’horizontale; segment dont la mesure est le double de celle du rayon Corde : À mesures égales, des cordes sous-tendent des secteurs de disque et des angles au centre égaux Rayon : Segment joignant le centre à tout point du cercle (tous les rayons d’un cercle sont égaux); mesure la distance du centre du cercle au bord du
55
cercle; segment ayant la moitié de la mesure du diamètre Angle au centre : À mesures égales, des angles au centre forment des cordes et des secteurs de disque égaux; angle formé par deux rayons; angle qui sous-tend un secteur de disque
Situation 6 : Construction de figures géométriques
Arc de cercle : Partie d’un cercle Centre de cercle : Point fixe de rotation Rayon : Segment reliant le centre avec un point quelconque du cercle Secteur de disque : Partie d’un cercle délimitée par deux rayons
Tableau 2. Propriétés du cercle travaillées dans les situations de la pré-expérimentation
2.5.3 Séquence didactique en phase d’expérimentation
Sur la base des constats qui se dégagent de la pré-expérimentation, la séquence didactique
qui suit cherche à trouver les réponses et à confirmer ou infirmer les propositions faites tout
en permettant de travailler des propriétés qui n’auraient pas été suffisamment exploitées
lors de la première phase. Relativement courte, cette expérimentation favorise l’observation
et l’interprétation de plusieurs conceptions du cercle répertoriées. Nécessitant un rappel
pour chaque début de séance et un bilan collectif en termes de conclusion, les situations
proposées se verront présentées suivant la même formule que ce qui a précédemment été
fait.
TRAVAIL SUR LA PROPRIÉTÉ DE « CONSTANCE DE LA COURBURE DU CERCLE »
SITUATION 1 : LES DISQUES
Objectif : Favoriser l’émergence de deux propriétés du cercle, soit la constance de la
courbure du cercle et le caractère connu et constant de la distance au centre.
Matériel : Une enveloppe par enfant contenant 3 ou 4 disques découpés selon les rayons.
Les disques sont de rayons différents et l’un d’eux doit être incomplet, le secteur manquant
devant être d’ouverture plus grande que celle de tous les autres secteurs et ne pouvant pas
être l’équivalent de la réunion de plusieurs d’entre eux.
56
Figure 2. Expérimentation: Les disques
Première consigne : Reconstituer les disques.
Procédure attendue : Faire le tri des pièces en utilisant la longueur du rayon.
Deuxième consigne : Fabriquer le morceau manquant à partir d’un carton devant être plus
petit que le disque.
Organisation de la classe : Travail individuel
Procédures des élèves :
- Reconstitution des disques complets
o Reconstitution des disques à l’œil
o Tri préalable parmi les morceaux en comparant les longueurs des rayons et
reconstitution ensuite
57
- Fabrication du morceau manquant
o Reconstitution du disque incomplet posé sur le carton suivie du traçage des deux
rayons délimitant le secteur manquant. Les élèves ont ensuite placé le plus grand
des secteurs qu’ils avaient dans l’ouverture et ils ont décalqué le contour circulaire à
la main pour ensuite compléter à main levée la partie qui manquait.
o D’autres élèves, après avoir tracé les deux rayons, ont procédé autrement. L’un
d’eux a tracé plusieurs rayons entre les deux précédemment indiqués pour ensuite
tracer point par point le secteur manquant (utilisation de l’invariance de la distance
au centre). Un autre a placé dans l’ouverture le plus grand secteur qu’il avait pour
en décalquer le bord circulaire et en complétant le cercle en faisant tourner le
secteur autour du centre du cercle (utilisation de la constance de la courbure pour le
tracé et de l’invariance de la courbe par rotation autour du centre).
Après la première phase du travail, les élèves se lancent dans de nouvelles recherches pour
proposer les procédures suivantes :
o Fabrication d’un secteur trop grand en mettant bout à bout deux secteurs existants
pour ensuite lui donner la bonne dimension en le posant sur le disque incomplet
(utilisation de la constance de la courbure).
o Mesurer les cordes de l’ensemble des secteurs incluant le secteur manquant pour
ensuite trouver que la longueur de la corde de ce dernier est égale à celle de la corde
du plus grand secteur à laquelle on ajoute la moitié de la longueur du plus petit
secteur. Le secteur manquant est ainsi fabriqué en juxtaposant le grand secteur et le
petit qui sera plié en deux.
SITUATION 2 : LES COURONNES
Objectif : Favoriser l’émergence de la constance de la courbure du cercle au moyen
d’autres procédures que celles utilisant le centre ou les rayons du cercle.
Matériel : Une enveloppe par enfant contenant 3 ou 4 couronnes circulaires découpées en
morceaux le long des rayons. Les couronnes peuvent être de rayons différents ou de mêmes
58
rayons, mais d’épaisseurs différentes. L’une de ces couronnes doit être incomplète, le
secteur manquant devant être d’ouverture plus grande que celle de tous les autres secteurs
et ne pouvant pas être l’équivalent de la réunion de plusieurs d’entre eux.
Figure 3. Expérimentation: Les couronnes
Première consigne : Reconstituer les couronnes.
Procédure attendue : Faire le tri des pièces en utilisant les invariants que sont la courbure
et l’épaisseur.
Deuxième consigne : Fabriquer le morceau manquant à partir d’un carton devant être plus
petit que la couronne.
Organisation de la classe : Travail individuel
Procédures des élèves :
- Reconstitution des couronnes complètes
o Reconstitution à l’œil ou par tâtonnement
59
o Tri préalable parmi les morceaux au moyen de la superposition pour comparer la
courbure et l’épaisseur.
- Construction du morceau manquant
o Reconstitution de la couronne incomplète posée sur le carton suivie du traçage des
deux rayons délimitant le secteur manquant. Les élèves ont ensuite placé le plus
grand des secteurs qu’ils avaient dans l’ouverture et ils ont décalqué le contour
circulaire à la main pour enfin compléter à main levée la partie qui manquait.
o Fabrication d’un secteur trop grand en mettant bout à bout deux secteurs existants
pour ensuite y déposer la couronne incomplète et ainsi réduire le gros morceau aux
bonnes dimensions (utilisation de la constance de la courbure).
o Fabrication d’un secteur en utilisant un grand morceau et un petit morceau que les
élèves plient jusqu’à ce qu’il représente la bonne ouverture (utilisation de la
constance de la courbure).
o Fabrication du patron de la couronne en faisant glisser les morceaux assemblés pour
ensuite y poser la couronne incomplète et découper le morceau manquant
(utilisation de l’invariance du cercle par rotation autour de son centre).
o Tentative de découverte du centre du cercle (utilisation de l’invariance de la
longueur du rayon).
SITUATION 3 : LES ARCS DE CERCLE
Objectif : Favoriser l’émergence de la constance de la courbure du cercle au moyen de la
superposition des arcs de cercles.
Matériel : Une feuille de papier calque par enfant sur laquelle sont dessinés 14 arcs de
cercle pour un total de 4 rayons différents. Mettre aussi du papier calque vierge, du papier
blanc et des ciseaux à leur disposition.
60
Figure 4. Expérimentation: Les arcs de cercle
Consigne : Sans découper la feuille de papier calque où sont dessinés les arcs (mais
possibilité de découper et de décalquer le reste), reconstituer les cercles à partir des arcs de
cercle qui sont des portions de cercles différents.
Organisation de la classe : Travail individuel
Procédures des élèves :
Devant un problème d’organisation, l’expérimentation peut être vécue en deux phases alors
que les élèves ont rapidement conclu qu’il était préférable de trier les arcs en donnant un
même nom à ceux qui proviennent d’un même cercle.
- Première phase
o Décalquer un arc, en chercher un qui, à l’œil, paraissait provenir du même cercle
pour ensuite le décalquer bout à bout avec le premier jusqu’à ce que la courbe soit
fermée (utilisation de la constance de la courbure).
61
- Deuxième phase
o Triage des arcs par superposition des arcs décalqués pour ensuite former les cercles
en plaçant les arcs bout à bout (utilisation de la constance de la courbure).
o Tentative de découverte du centre du cercle au moyen du compas pour trouver la
longueur du rayon.
o Chevauchement des arcs d’un même cercle pour permettre de glisser le tracé.
TRAVAIL SUR LA PROPRIÉTÉ DE « TRAJECTOIRE CIRCULAIRE »
SITUATION 4 : LES PORTES
Objectifs : Construire une trajectoire par essais et erreurs pour en dégager les propriétés et
ensuite procéder à l’élaboration d’un modèle ou d’une procédure pour obtenir cette
trajectoire.
Matériel : Une porte et une grande feuille de papier collée au sol pour chaque équipe.
Possibilité de fournir par la suite différents outils tels de la ficelle, une règle, un bâton, etc.
Première consigne : Tenter de dessiner la trajectoire de la porte en laissant cette dernière
fermée et seulement l’ouvrir pour vérifier.
Deuxième consigne : Tenter de dessiner la trajectoire du coin de la porte en plaçant la
feuille n’importe où.
Organisation de la classe : Équipes de 3 ou 4 élèves
Procédures des élèves :
- Première consigne
o Dessiner le trajet de l’ombre de la porte.
o Cocher le point de départ et le point d’arrivée et les joindre à la main.
o Concevoir le coin de la feuille comme le centre de la trajectoire.
62
o Concevoir l’aplomb du gond de la porte comme le centre de la trajectoire pour
ensuite tracer cette dernière au moyen d’une ficelle punaisée à cet endroit pour
certains, d’une règle collée sous le gond pour d’autres ou d’une règle maintenue à
cet emplacement pour les derniers.
o Placer une règle, sur laquelle on a déposé une craie ou un crayon, devant la porte
pour ensuite l’ouvrir et tracer la trajectoire effectuée (non-respect de la consigne
interdisant d’ouvrir la porte).
- Deuxième consigne
o Placer la feuille sous la porte pour que le tracé coïncide avec la trajectoire de la
porte.
o Plier la feuille pour trouver le centre.
o Reconnaissance du centre qui se trouve à l’aplomb du gond et du rayon qui est de
72cm, soit la longueur du bas de la porte : réalisation d’une grande feuille blanche à
partir de la feuille de départ.
o Prolongement de 72cm d’un bord de la feuille pour former le rayon, mais les élèves
se rendent rapidement compte qu’il faut plutôt prolonger l’un des plis effectués
précédemment.
o Situer le centre de la trajectoire au milieu de la longueur de la porte, puis tenter sur
d’autres points de la longueur.
o Considérer le diamètre du cercle pour diviser cette mesure en deux et ainsi obtenir
la longueur du rayon : prise de la moitié de la mesure de la porte
o Considérer ce qui demeure immobile lorsque la porte ouvre (avec aide de
l’enseignant) pour déterminer que l’aplomb du gond est le centre et qu’il faut y
rattacher les rayons.
63
TRAVAIL SUR LA PROPRIÉTÉ DE « CENTRE, DE RAYON ET DE DIAMÈTRE »
SITUATION 5 : CONSTRUCTION DU CENTRE D’UN DISQUE
Matériel : Du papier, un crayon, du papier calque au besoin
Première consigne : Fabriquer, dans du carton, le disque permettant de boucher le trou
intérieur d’une couronne.
Deuxième consigne : Trouver le centre et la longueur des rayons de ce disque
Organisation de la classe : Travail individuel
Procédures des élèves :
- Première consigne
o Décalquer le bord intérieur de la couronne pour fabriquer le disque.
- Deuxième consigne
o Tracer à l’œil une corde horizontale qui partage le cercle en deux parties égales,
puis une corde verticale qui en fait tout autant.
o Dessiner des cordes parallèles pour ensuite les mesurer et considérer la plus longue
comme étant le diamètre et ainsi en déterminer le milieu, le centre du disque.
o Plier le cercle en quatre et placer le centre au croisement des plis formés.
SITUATION 6 : MESSAGE TÉLÉPHONIQUE
Matériel : Des feuilles de papier, des ficelles, des punaises, des compas, des bandes de
papier, du ruban adhésif, etc.
Consigne : Tracer un cercle et faire un message, dont la transmission se fera par téléphone,
pour que le récepteur du message fasse un cercle exactement superposable à ce dernier.
Organisation de la classe : Équipes de deux élèves
64
Procédures des élèves :
- Dessin du cercle
o Utilisation de l’empreinte du couvercle d’une boîte cylindrique pour ensuite
découper le disque obtenu, le plier pour obtenir le centre et en mesurer les rayons.
o Dessiner des segments de longueurs égales et ayant une extrémité commune pour
obtenir le tracé du cercle point par point.
o Dessiner un secteur point par point comme la procédure précédente pour ensuite le
faire tourner autour de son centre et ainsi tracer le cercle.
o Tracer le diamètre horizontal puis le vertical pour ensuite dessiner le cercle à la
main.
o Faire tourner une règle, une bande de papier ou une ficelle punaisée au centre.
o Dessiner un cercle à l’aide du compas.
- Les messages
o Donner une indication de mesure sans préciser s’il s’agit du rayon ou du diamètre.
o Mentionner la mesure du diamètre uniquement.
o Mentionner la mesure du rayon uniquement.
o Mentionner les mesures du rayon et du diamètre.
2.5.4 Principaux constats de l’expérimentation
Au terme de cette deuxième phase, il apparaît possible d’affirmer que les élèves possèdent
de nombreuses conceptions du cercle, mais qu’elles demeurent toutefois divisées en petites
parties, qu’elles s’utilisent difficilement de façon coordonnée et qu’elles sont rarement
équivalentes. Intimement liées aux situations qui permettent leur émergence, ces
conceptions peuvent être mises en œuvre par les enfants si le contexte proposé demeure
approprié. Entre autres, dans le cadre de cette expérimentation, il a été possible de mettre en
65
lumière diverses observations : la courbure constante du cercle; la courbe invariante par
rotation; le cercle vu comme l’ensemble des points situés à une distance r de centre; le
cercle envisagé comme la trajectoire d’un point en rotation autour du centre restant à une
distance r de ce point; le centre du cercle comme étant le centre de symétrie; les diamètres
comme des axes de symétrie et les rayons et les diamètres ayant tous la même longueur en
plus d’être unis pas la relation 2r=D.
Pour chacune des activités proposées dans cette séquence de la recherche, le tableau qui
suit (tableau 3) propose l’énumération des propriétés du cercle abordées.
Situations Propriétés travaillées Description/Définition
Travail sur la propriété de «constance de la courbure du cercle » (Situations de type statique) Situation 1 : Les disques Situation 2 : Les couronnes
Situation 3 : Les arcs de cercle
Cercle : Figure dont tous les points sont situés à égale distance du centre de cercle; figure formée par la rotation d’un point autour d’un point fixe, le centre de cercle
Rayon : Distance entre le centre et tout point du cercle (tous les rayons d’un cercle sont égaux)
Centre de cercle : Point de convergence des rayons; point à l’intérieur du cercle situé à égale distance de tout point du cercle; point fixe de rotation
Secteur de disque : Partie d’un cercle délimitée par deux rayons; sa rotation autour du centre de cercle permet la création du cercle
Arc de cercle : Partie d’un cercle
Corde : Segment joignant deux points du cercle
Travail sur la propriété de « trajectoire circulaire »
(Situation de type dynamique)
Situation 4 : Les portes
Cercle : Ligne courbe dont le centre est à l’aplomb du gond et dont le rayon avait la longueur du bas de la porte; figure dont chaque point est situé à égale distance d’un point intérieur appelé centre; figure plane créée par la rotation d’un point autour d’un point fixe Centre de cercle : Point fixe de rotation; point à l’intérieur du cercle situé à égale distance de tout point du cercle; point de convergence des rayons d’un cercle
Arc de cercle : Ligne courbe représentant la trajectoire d’un point autour d’un centre de cercle pour en former une partie
Travail sur les propriétés de « centre, de rayon et de Cercle : Figure dont chaque point est situé à égale
66
diamètre »
(Situation de construction géométrique)
Situation 5 : Construction du centre d’un disque
(Situation de formulation)
Situation 6 : Message téléphonique
distance d’un point intérieur appelé centre; figure formée par la rotation d’un point autour d’un point fixe
Disque : Trou de la couronne ou région intérieure d’un cercle
Centre de cercle : Milieu du diamètre; point de convergence des rayons; point de rencontre de deux diamètres (un diamètre horizontal et un vertical) obtenus par pliage
Rayon : Ouverture du compas; r=½D (tous les rayons d’un cercle sont égaux)
Diamètre : Corde horizontale et corde verticale qui partagent le cercle en deux parties égales; plus longue corde du cercle dont le point milieu est le centre du cercle; D=2r
Secteur de disque : Partie d’un cercle délimitée par deux rayons; sa rotation autour du centre de cercle permet la création du cercle
Tableau 3. Propriétés du cercle travaillées dans les situations de la phase d’expérimentation
Le survol de la recherche d’Artigue et Robinet (1986) a permis de faire ressortir un vaste
répertoire d’activités qui favorisent le développement langagier. Effectivement, on y
retrouve non seulement l’étude d’un grand nombre d’attributs du cercle, mais aussi le
recours à plusieurs descriptions pour chacun d’eux, ce qui contribue grandement à
l’enrichissement du vocabulaire chez l’apprenant.
2.6 ÉLÉMENTS RETENUS POUR LA RECHERCHE
Étant donné le fait que ce projet de recherche se donne comme principal objectif de
procéder à l’analyse de manuels didactiques en vue de rendre compte de la manière dont ils
participent au développement des compétences langagières des élèves de niveau primaire,
l’œuvre de Vygotski, Pensée et langage (1997), représentera les bases théoriques qui
appuient le rôle déterminant du langage dans le cadre de la construction des concepts
mathématiques. Aussi, les propos tenus par ce même auteur soutiendront le rôle de
l’enseignant et des outils dans le cadre du développement du langage.
67
La théorie de van Hiele (1959/1984) portant sur les niveaux de pensée géométrique sera
utilisée dans notre recherche pour analyser la progression des apprentissages proposée par
le Programme et par les six manuels de la même collection destinée aux trois cycles du
primaire. Nous avons souligné, dans la section 2.3, que les trois premiers niveaux mettent
particulièrement en lumière l’importance du langage à l’intérieur du processus de
conceptualisation alors qu’ils apportent leur contribution à son développement progressif
chez l’apprenant. Par conséquent, en plus de considérer la manière dont elle se déploie à
l’intérieur des manuels, cette progression sera utilisée à titre de fondement de notre
proposition d’enseignement du concept géométrique.
L’orientation didactique de l’organisation des apprentissages et l’emploi des situations qui
visent le développement de l’autonomie de l’élève et sa participation active dans la
construction des connaissances seront des éléments retenus pour l’analyse des activités de
manuels. Le rôle des situations est important, car c’est le choix judicieux du contexte, des
outils, des questions et de la gestion de l’activité qui va favoriser la construction des
connaissances. Dans l’analyse du Programme et des activités proposées par les manuels,
nous allons nous appuyer sur le modèle proposé par Vergnaud (1991b) qui nous permettra
de décrire le concept du cercle selon ses attributs et ses différentes représentations. Il offrira
également la possibilité d’analyser les diverses activités mettant en jeu le concept pour
envisager la manière dont on procède à sa construction. Puis, ce même modèle aura des
répercussions dans le cadre de l’élaboration de notre proposition. Effectivement, il nous
amènera à penser à un ensemble de situations qui tiendront compte des relations qu’elles
entretiennent entre elles et avec différents concepts connexes dans le but de contribuer au
développement du concept à l’étude (champs conceptuels). Enfin, l’ingénierie didactique
d’Artigue et Robinet (1986) servira de repère dans la description de différents attributs du
cercle et leur comparaison à la liste des attributs proposés par le Programme et les manuels
scolaires. Elle constituera aussi un cadre d’analyse important dans la description de la
variété des activités géométriques permettant le développement du concept mathématique
particulier.
69
PARTIE II :
MÉTHODOLOGIE DE LA RECHERCHE
ET PROPOSITION D’ENSEIGNEMENT
71
CHAPITRE 3 : MÉTHODOLOGIE DE LA RECHERCHE
En se référant au cadre théorique étudié, ce chapitre représentera la description de la
démarche méthodologique permettant de répondre à la question principale de la recherche :
est-ce que les manuels didactiques qui soutiennent la démarche d’enseignement proposent
des activités qui permettent de développer les compétences langagières des élèves afin que
ces derniers s’approprient le vocabulaire mathématique relatif aux concepts à l’étude?
Notre question prévoit d’abord l’analyse du Programme de formation de l’école québécoise
(section 3.1.1) de manière à considérer la place qu’occupe notre concept géométrique (le
cercle) à l’intérieur de ce document et les savoirs essentiels qui doivent faire l’objet d’un
apprentissage aux différents cycles du primaire. En nous basant sur la théorie du
développement de la pensée géométrique (van Hiele, 1959/1984), nous analysons cette
description de savoirs selon la progression proposée par cet auteur. Dans la section 3.1.2,
nous présentons une analyse de l’exploitation du concept du cercle dans une collection de
manuels didactiques fréquemment utilisée aux trois cycles du primaire. Cette analyse,
appuyée sur l’approche par compétences visant le développement de l’autonomie de
l’élève, nous permettra de porter un regard critique sur la manière dont les activités
favorisent le développement du langage dans le cadre de l’appropriation d’un concept. Il
deviendra possible d’envisager la manière dont le cercle est décrit et abordé du point de vue
de sa pertinence mathématique (exactitude du vocabulaire utilisé) et didactique
(progression appropriée du langage selon le modèle de van Hiele).
La section 3.2 sera consacrée à la présentation des résultats découlant de cette démarche.
Dans la section 3.3, il sera question de la présentation d’un récapitulatif des propriétés du
cercle et de leur exploitation dans le Programme de formation, les manuels didactiques
sélectionnés et la recherche d’Artigue et Robinet (1986) abordée dans le cadre théorique
(section 2.5). De cette manière, il sera possible de mettre en parallèle les différentes
propriétés du cercle envisagées dans ces trois sources, d’observer la variété de descriptions
pour le même attribut, de faire ressortir les descriptions ou les définitions semblables et de
rendre compte de l’absence de certains attributs nécessaires pour le développement du
concept ou de l’absence de descriptions pour d’autres.
72
3.1 DÉMARCHE D’ANALYSE
3.1.1 Le cercle dans le Programme de formation de l’école québécoise
Les savoirs essentiels de l’ordre des mathématiques, tels que répertoriés dans le
Programme de formation de l’école québécoise (2006) (voir annexe 1), font mention du
cercle dans le domaine de la géométrie qui vient regrouper les figures géométriques et le
sens spatial. Dans le tableau qui suit, nous présentons un extrait de la description des
savoirs essentiels portant sur le concept du cercle (voir tableau 4).
Domaine de la mathématique Géométrie : Figures géométriques et sens spatial
Figures planes - Comparaison et construction de figures composées de lignes courbes fermées ou de lignes
brisées fermées ➊
- Identification du carré, du rectangle, du triangle, du cercle et du losange ➊
- Étude du cercle : rayon, diamètre, circonférence, angle au centre ➌ Tableau 4. Description des savoirs essentiels (concept du cercle)
Dans un premier temps, on retrouve la comparaison et la construction de figures
composées de lignes courbes fermées ou de lignes brisées fermées au premier cycle du
primaire. En ce sens, bien qu’il ne soit pas formellement question du cercle, une première
étude est proposée aux élèves par la reconnaissance et la réalisation d’une ligne courbe à
l’origine de la formation du cercle. Dans un deuxième temps, toujours au premier cycle, on
répertorie l’identification du carré, du rectangle, du triangle, du cercle et du losange. De
cette façon, l’enfant est invité à discriminer et nommer les figures présentées,
particulièrement sur la base de la reconnaissance visuelle pour ce qui est du cercle puisque
la description de figures planes visant l’émergence des caractéristiques de chacune ne
s’applique pas pour cette forme (voir annexe 1). Dans un troisième temps, n’étant pas
considérée au deuxième cycle, l’étude du cercle devra attendre le troisième cycle du
primaire où il sera question de poser les termes « rayon », « diamètre », « circonférence »
et « angle au centre » pour définir la figure qui nous intéresse dans le cadre de cette
recherche.
73
Abordée dans la partie précédente, la théorie de van Hiele présente les niveaux de
développement de la pensée géométrique dont le premier (ou niveau 0 de la théorie)
correspond à la visualisation permettant la reconnaissance et l’identification des figures à
partir d’activités d’observation d’objets quotidiens ou géométriques. Le deuxième niveau
(niveau 1) renvoie, quant à lui, à l’analyse et à la description de figures pour en permettre la
reconnaissance de propriétés. Par conséquent, il s’avèrerait nécessaire de modifier l’ordre
de présentation des deux premiers savoirs essentiels contenus dans le Programme puisque
la comparaison de figures composées de lignes courbes fermées ou de lignes brisées
fermées entrerait davantage dans le niveau descriptif. D’ailleurs, sur ce point, il faudrait
veiller à l’insertion du concept du cercle dans le savoir essentiel misant sur la description de
figures puisque, dans la situation actuelle, il n’est question que du carré, du rectangle, du
triangle et du losange. Aussi, on peut remarquer que les deux premiers savoirs sont abordés
en termes de processus (comparaison, construction, identification) alors que le troisième
permet seulement de donner une idée générale voulant que le troisième cycle représente
l’étape permettant d’étudier le concept du cercle selon certains de ses attributs. Cette
description générale ne permet donc pas à l’enseignant d’avoir une image claire de
l’enseignement des propriétés prescrites. Nous avons vu, dans la recherche d’Artigue et
Robinet (section 2.5), que plusieurs descriptions peuvent être associées au même attribut du
cercle. Le Programme, ne donnant aucune indication à ce propos, il s’agirait, par
conséquent, du choix des descriptions proposées par le manuel2. Enfin, du point de vue
mathématique, le terme « circonférence » devrait être déplacé dans la section portant sur la
mesure, car il s’agit de la mesure du contour du cercle.
3.1.2 Le cercle dans les manuels didactiques
Pour le domaine des mathématiques, les manuels didactiques répertoriés qui demeurent
fréquemment utilisés au primaire semblent conformes au Programme de formation, au sens
où on y retrouve les savoirs essentiels précédemment décrits. Nous convenons qu’il aurait
été intéressant de procéder à une recension de plusieurs collections de manuels, mais il
2 Il sera intéressant de voir si les descriptions du même attribut sont les mêmes dans les différentes collections
de manuels.
74
demeure que les observations tirées de notre analyse peuvent être généralisables, à quelques
exceptions près.
Le choix de la collection analysée s’est arrêté sur les ouvrages de la série Clicmaths alors
que ce matériel possède des manuels pouvant être utilisés pour chaque cycle du primaire.
Bien que des corrections puissent être apportées, ce choix peut également se justifier par le
fait que les activités suggérées invitent à l’exploitation d’un vaste éventail d’attributs du
cercle, ce qui nous intéresse particulièrement pour permettre l’enrichissement du
vocabulaire chez l’apprenant. Effectivement, c’est à travers une succession d’activités qu’il
devient possible d’élargir le nombre de propriétés correspondant à une figure particulière
pour ainsi enrichir le nombre de descriptions possibles. Ces dernières favorisent à leur tour
l’élaboration de définitions qui rassemblent les propriétés nécessaires et suffisantes pour
déterminer un objet géométrique.
La présente analyse des activités des manuels3 aura donc comme objectif de relever les
différentes propriétés du cercle qui sont utilisées dans le cadre des activités proposées sous
l’angle qui nous intéresse particulièrement, le langage. Ainsi, chaque activité sera abordée
selon les critères suivants : l’exigence d’avoir recours au langage, la pertinence des
consignes pour favoriser le développement conceptuel, l’adaptation de l’activité au niveau
de l’élève selon la progression des apprentissages et la sollicitation de l’autonomie de
l’élève pour permettre le développement de ses compétences.
3.1.2.1 Premier cycle du primaire
Pour le premier cycle du primaire, la collection de manuels propose l’étude des figures
géométriques à travers trois situations regroupées dans deux manuels et les cahiers
d’apprentissage qu’ils impliquent lors de la première année du cycle.
3 Ce chapitre présente les extraits de manuels en format réduit. Le lecteur pourra trouver toutes les pages de manuels en grandeur réelle à l’annexe 2 de ce document.
75
Charest, Denise et coll. (2001). Clicmaths. Manuel de l’élève 1, Volume A, 1er
cycle du primaire, Laval, Éditions HRW, p.83-87.
Figure 5. Volume A, 1er cycle, p.83
Cette mise en contexte permettant l’amorce de la situation 17 débutant à la page 83 du
manuel présente une toute première activité consacrée au concept du cercle. Elle
correspond bien à la description des savoirs essentiels du Programme (Identification du
carré, du rectangle, du triangle, du cercle et du losange) et justifie notre commentaire
concernant l’ordre de présentation des savoirs essentiels afin de suivre la progression de la
pensée géométrique. Cependant, cette activité constitue la seule qui exige l’identification de
figures planes favorisant la mise à contribution des habiletés visuelles et langagières alors
que les activités qui suivront ne serviront qu’à la reconnaissance4 de la forme de figures
planes (carré, triangle, rectangle et cercle). Effectivement, les pages 84 et 85, qui
représentent la suite de la situation, contiennent presque exclusivement des exercices où
l’élève est invité à associer la face d’un solide à la figure plane à laquelle elle correspond
4 Nous posons la différence entre l’identification (nommer la figure) et la reconnaissance de la figure
(reconnaitre, par exemple, en encerclant ou en associant alors que le nom est préalablement donné).
76
sans qu’un travail ne soit effectué pour favoriser l’acquisition du vocabulaire. D’ailleurs,
sur ce point, plutôt que d’utiliser les termes adéquats qui auraient l’avantage de familiariser
l’élève aux noms des figures planes à l’étude, le manuel a recours à la représentation de la
forme dans la formulation de ses consignes pour ultérieurement présenter le lexique à
l’apprenant dans un encadré de la page 86. Sinon, deux numéros mènent à l’association
entre une figure et ses attributs en ce qui concerne le nombre de côtés. À cet égard, on
constatera que le cercle ne fera pas l’objet des associations ou des classements demandés
puisqu’il n’entre pas dans le critère abordé.
Figure 6. Volume A, 1er cycle, p.86
Découlant de la même situation, cette activité retrouvée à la page 86 du manuel porte à se
questionner sur la pertinence des consignes données à l’égard des savoirs essentiels du
Programme. Effectivement, le fait de demander de dessiner des figures planes ayant toutes
le même nombre de côtés ne renvoie pas nécessairement à la représentation des figures à
l’étude (le carré, le rectangle, le losange, le triangle et le cercle). Par conséquent, il est
possible que cette activité ne permette pas l’atteinte de l’intention d’apprentissage de cette
situation et, par le fait même, du niveau 0 de la théorie de van Hiele visant l’identification
77
des figures planes puisqu’il semble difficile d’envisager cette situation comme une
occasion permettant de développer la visualisation, la représentation et le langage pour que
l’élève parvienne à associer le nom qui convient à chaque figure. Sur ce point, on pourra
également constater, d’après l’encadré de la page 86, que le terme « losange » sera inséré
pour répondre aux exigences du Programme, bien qu’aucune activité précédente n’ait
permis d’explorer cette forme.
Charest, Denise et coll. (2001). Clicmaths. Manuel de l’élève 1, Volume B, 1er
cycle du primaire, Laval, Éditions HRW, p.12-16.
Figure 7. Volume B, 1er cycle, p.12
Pour amorcer le niveau descriptif, dans le prochain manuel destiné aux apprenants de
premier cycle, la situation 21 débutant à la page 12 exploite le concept de ligne courbe pour
inviter à la comparaison par rapport à la ligne brisée sur la base d’une démarche nécessitant
l’observation, la comparaison, la description et la représentation. Au moyen de ces
différents processus, l’apprenant se voit inséré dans une activité exploratoire qui lui donne
un premier accès à un vocabulaire géométrique, celui que l’on associe aux types de lignes
qui sont à l’origine de la formation de figures géométriques. Cependant, malgré la mise à
78
contribution de divers procédés en vue de l’acquisition du concept, il demeure que certains
éléments de la situation puissent s’avérer problématiques.
Charest, Denise et coll. (2001). Clicmaths. Cahier d’apprentissage 1, Volume B, 1er
cycle du primaire, Laval, Éditions HRW, p.19.
Figure 8. Cahier d’apprentissage, Volume B, 1er cycle, p.19
Le premier concerne l’intention d’apprentissage et, plus précisément, les attributs visés à
travers la réalisation de cette activité. Tel que mentionné précédemment, cette situation
constitue le point de départ de la comparaison et de la construction de figures formées de
lignes courbes et/ou de lignes brisées. Ainsi, de manière à respecter le vocabulaire du
Programme de formation préalablement présenté, l’activité doit privilégier l’acquisition de
ces termes. Or, il semble que l’expression « ligne droite » soit plus susceptible d’émerger
chez l’élève lorsqu’on lui demande de décrire la forme des lignes. Bien qu’on n’en ait pas
fait mention tout au long du déroulement de l’activité, la mise en évidence de cet élément
apparaît néanmoins comme une mise en garde pour l’enseignant qui doit anticiper les
réponses possibles des élèves afin de provoquer un éventuel transfert vers la « ligne
brisée » pour répondre aux exigences du curriculum.
Le deuxième élément renvoie quant à lui au vocabulaire alors que l’énoncé « attributs
communs » contenu dans l’une des questions demeure méconnu des élèves à ce niveau, ce
qui fait en sorte que le terme « ressemblances » serait à privilégier.
79
Le troisième et dernier élément porte davantage sur les informations fournies et les
questions adressées à l’élève tout au long de la situation. Dès le départ, à travers le dialogue
entre les deux personnages, on fait mention de la réponse à la question principale de
l’activité alors que la différence est mise en évidence, ce qui a pour effet de réduire
l’autonomie de l’élève. Aussi, les questions « D’après toi, quelle est la question posée? » et
« Comment t’y prendras-tu pour répondre à cette question? » apparaissent comme
répétitives tout en étant superflues. Effectivement, la principale question étant déjà posée,
nous sommes donc portés à nous demander ce qui peut être attendu comme réponse.
Le prolongement de cette même situation (pages 13 à 16) poursuit son objectif de
distinction entre le concept de ligne courbe et celui de ligne brisée au moyen d’une
démarche de reconnaissance et d’association pour la section « Je m’entraîne », puis de
construction et de description dans la section « Je suis capable ».
Figure 9. Volume B, 1er cycle, p.13
80
Figure 10. Volume B, 1er cycle, p.14
Figure 11. Volume B, 1er cycle, p.15
81
Une toute première analyse permet de faire ressortir l’utilisation formelle de l’expression
« ligne droite » qui demeure absente du vocabulaire visé par le Programme.
De plus, une autre difficulté sur le plan du vocabulaire semble s’imposer à l’élève de ce
niveau étant donné l’insertion du concept de « figure plane » sans qu’une démarche
d’introduction ne soit proposée pour en favoriser l’acquisition. D’ailleurs, tantôt il est
question de figure plane, tantôt de figure géométrique, ce qui est susceptible de générer une
certaine confusion chez l’apprenant.
Pour finir, l’activité peut être analysée sous l’angle de manques. Sur ce point, dans les
numéros 1 et 2 de la section « Je m’entraîne », seules les habiletés visuelles sont sollicitées
pour associer une figure aux lignes qui la composent au détriment des habiletés langagières
s’il y avait eu identification et description. Cette observation amène donc aussi à se
questionner sur le défi proposé à l’élève qui pourrait être considéré comme insuffisant.
Aussi, aucune activité ne tend à faire émerger chez l’élève le parallèle entre le concept de
« ligne courbe » et la description du cercle envisagée comme une figure plane composée
d’une ligne courbe. Il en est de même pour toute autre figure (carré, rectangle, triangle et
losange) qui aurait pu être décrite par l’élève au moyen de la sorte de ligne qui la définit.
Une tentative s’observe dans la section « Je suis capable », mais le fait de laisser l’élève
tracer d’abord n’importe quelle figure pour ensuite la décrire renvoie nécessairement à une
difficulté tout en ne favorisant pas la description des figures auxquelles il est souvent
confronté et qui sont visées par le Programme.
Charest, Denise et coll. (2001). Clicmaths. Manuel de l’élève 1, Volume B, 1er
cycle du primaire, Laval, Éditions HRW, p.73-77.
Tout comme ce qui a pu être observé précédemment, une autre situation tirée du même
manuel (situation 33) débutant à la page 73 privilégie des démarches d’observation et
d’association au détriment de la mise à contribution de la justification et/ou de la
description pour aborder le concept de polygone. Par exemple, l’insertion du cercle sert à
amener l’élève à faire la distinction entre cette figure et un polygone puisque ce dernier
exclut les lignes courbes, mais l’élève n’est pas pour autant invité à se prononcer sur les
82
attributs d’un polygone et de ce qui fait en sorte qu’une autre figure n’entre pas dans cette
catégorie.
Figure 12. Volume B, 1er cycle, p.74
Puis, en plus de ne pas inviter les élèves à mettre en œuvre leurs aptitudes langagières, cette
activité présente certaines difficultés quant au choix du vocabulaire employé. On peut faire
état, à cet égard, de l’introduction, sans explication préalable, de l’expression « ligne
polygonale » alors que les activités précédentes misaient sur la distinction entre « ligne
courbe » et « ligne droite » (ligne brisée). Ce terme, rappelons-le, demeure également
absent du Programme. Aussi, on parle de l’insertion du concept de polygone (normalement
visé au deuxième cycle) à travers l’énumération d’un ensemble de figures sans pour autant
que l’élève soit amené à s’exprimer sur la description d’un polygone ou des raisons qui font
en sorte qu’une figure plane donnée n’en serait pas un. L’utilisation nouvelle de ce terme
représente d’ailleurs un glissement de vocabulaire alors que l’on peut s’interroger sur le fait
qu’un polygone serait davantage une ligne fermée ou une figure plane. Finalement, un
dernier élément concernant l’aspect visuel attire notre attention alors que l’on peut être
83
porté à se questionner sur le rôle que joue la couleur dans la représentation des figures
géométriques.
3.1.2.2 Deuxième cycle du primaire Conformément à ce qui a été présenté dans l’analyse du Programme de formation de
l’école québécoise, il semblera relativement difficile de trouver des activités portant sur le
concept du cercle au deuxième cycle. En effet, pour ce qui est de la troisième et de la
quatrième année du primaire, des activités portant exclusivement sur le cercle demeurent
rares, car son recours ne s’observe que lorsqu’il est question de procéder à l’étude du
concept de polygone. Néanmoins, toujours dans la même collection de manuels
didactiques, une certaine tentative de continuité semble avoir été mise de l’avant alors
qu’une situation portant sur les figures planes pourrait laisser envisager la possibilité d’un
travail sur le cercle.
Guay, Sylvio et coll. (2002). Clicmaths. Manuel de l’élève 3, Volume A, 2e cycle du
primaire, Laval, Éditions HRW, p. 22-31.
Figure 13. Volume A, 2e cycle, p.22
84
Figure 14. Volume A, 2e cycle, p.23
La situation 3 débutant à la page 22 du manuel propose d’abord une démarche
d’observation de manière à relever des ressemblances et des différences entre diverses
images pour en faire la comparaison. Puis, on propose l’identification des figures
géométriques tout en effleurant la description au moyen du nombre de côtés de chaque
forme, ce qui tend toutefois à exclure le cercle qui ne peut être décrit sous l’angle de cet
aspect. La situation-problème opte finalement pour la représentation au moyen d’un dessin.
Une fois de plus, certaines difficultés peuvent se présenter découlant du choix des questions
ou des consignes. En effet, la question « En quoi ces drapeaux sont-ils semblables? »
amène à s’interroger sur la réponse attendue alors que les points communs ne semblent pas
ressurgir de manière évidente. Aussi, la consigne « Identifie ces figures géométriques » fait
en sorte que seuls le rectangle, le carré et le triangle peuvent être mentionnés puisque le
cercle et le losange sont absents des figures représentées et que le trapèze et le pentagone
concave sont des figures géométriques qui ne sont pas connues de l’élève à ce stade. Dans
un autre ordre d’idées, un glissement de vocabulaire s’observe alors que l’expression
85
« figure plane » est favorisée au premier cycle dans le cadre du Programme, mais que celle
de « figure géométrique » est utilisée à la page 22 et celle de « forme géométrique » se
retrouve à la page 23.
Le prolongement de cette situation-problème constitue une activité de manipulation où l’on
demande la représentation de figures planes à l’aide du pliage d’un cure-pipe. Par contre,
devant le recours à cette seule et unique démarche, nous sommes portés à nous questionner
quant au développement du langage dans le cadre de cet exercice. L’autonomie de l’élève
s’en retrouve par conséquent réduite alors que seule une distinction de polygones selon le
nombre de côtés est suggérée et leur description selon « une ligne brisée fermée » est
présentée à l’élève sans que ce dernier ait eu la chance de se prononcer sur la définition
qu’il aurait pu se construire au moyen de l’observation d’un ensemble de polygones.
Figure 15. Volume A, 2e cycle, p.24
Sur ce point, on constate également l’absence de toute tentative de description en ce qui
concerne le cercle, ce qui offre difficilement la possibilité d’atteindre le niveau 1 de la
théorie de van Hiele. De plus, une difficulté s’impose à l’élève alors qu’un glissement de
vocabulaire amène à s’interroger sur le fait qu’un polygone serait une ligne brisée fermée
86
ou une figure plane (terme visé au premier cycle) composée d’une ligne brisée fermée.
Aussi, rappelons que les termes « pentagone », « hexagone », « octogone » et « décagone »
sont absents du vocabulaire visé par le Programme.
En somme, il ressort de cette analyse un enseignement souvent inapproprié, et ce, en raison
de différents facteurs : la réduction de l’autonomie de l’élève au profit d’un enseignement
trop institutionnalisé et directif et non d’un processus de découverte; la non-correspondance
entre le manuel et le Programme alors que les activités d’identification de figures planes
sont rares au premier cycle et que celles de description le sont tout autant, même au
deuxième cycle; l’insuffisance de l’expérience langagière et le vocabulaire non adapté au
niveau de l’élève ou absent du Programme; la formulation des questions ou des consignes
qui peut présenter certaines difficultés pour l’apprenant.
3.1.2.3 Troisième cycle du primaire Comme nous l’avons mentionné dans la section portant sur l’analyse du Programme,
l’étude des attributs du cercle est visée au troisième cycle (voir tableau 4, section 3.1.1).
Dans la collection de manuels, elle s’échelonne sur trois situations de longueurs variables à
l’intérieur de deux manuels.
Concrètement, l’étude de cette figure débute avec la situation 6 (situation-problème) à
partir de la page 44 qui met en jeu plusieurs propriétés du cercle au même titre que celles
dont on fait mention dans le Programme, à savoir le rayon, le diamètre, la circonférence et
l’angle au centre. S’ajoutera également le centre de cercle, propriété qui sera découverte au
moyen de l’expérimentation (page 45) tandis que celles de disque (page 47) et de secteur
circulaire (secteur de disque) (page 52) seront fournies dans un encadré à l’intérieur duquel
on observe leur définition. Dans l’ensemble, l’acquisition de ces propriétés s’effectuera au
moyen d’activités de construction de cercles ou d’expérimentation alors que le vocabulaire
à faire acquérir aux élèves sera principalement présenté sous forme de lexique où chaque
propriété sera définie et illustrée.
87
Guay, Sylvio et coll. (2003). Clicmaths. Manuel de l’élève A, Volume 1, 3e cycle du primaire, Laval, Éditions HRW, p.44-53.
Figure 16. Manuel de l’élève A, Volume 1, 3e cycle, p.44
Pour commencer, cette situation-problème, servant de mise en contexte à la situation,
semble trop complexe étant donné sa position à l’intérieur de la séquence d’apprentissage.
Effectivement, l’étude du cercle en vue de procéder à la découverte de ses attributs n’est
qu’au stade de l’amorce et déjà, un nouveau vocabulaire composé des termes « diamètre »
et « circonférence » est présenté à l’élève sans qu’un apprentissage préalable n’ait été
proposé pour permettre son appropriation. L’apprenant est ainsi invité à résoudre un
problème à l’intérieur duquel on lui demande d’utiliser des mots qui lui sont encore
inconnus en plus de devoir les mettre en relation (C=D), bien qu’aucune activité
exploratoire ne soit insérée pour découvrir cette équation. Il faut donc envisager cette page
comme un moyen servant à déstabiliser les élèves alors que leurs connaissances antérieures
deviendront insuffisantes pour répondre aux exigences de la tâche. Ainsi, cette situation ne
doit pas être considérée comme une véritable occasion d’apprentissage étant donné la
rupture avec la progression. L’enseignant devrait être mis en garde contre le fait de
véritablement réaliser ce problème avec les élèves puisqu’il est seulement question d’un
88
déclencheur servant de défi pour amener les élèves à se mobiliser dans le but
d’éventuellement pouvoir le résoudre.
Dans un autre ordre d’idées, en plus du fait qu’elle ne soit pas adaptée au niveau de l’élève
à ce stade de l’apprentissage, cette situation présente certaines expressions ambigües qui
ont l’inconvénient de représenter des difficultés supplémentaires pour l’élève. D’abord, la
demande qui renvoie à « représenter sa grosseur » peut porter à confusion alors que l’on
peut se questionner à savoir si le terme « grosseur » correspond au diamètre ou à la
circonférence. D’ailleurs, cette consigne peut également constituer un obstacle dans le cas
où l’élève associerait la grosseur de l’arbre à la mesure du contour, mais en utilisant la
mesure du diamètre telle que fournie. Le terme « grosseur » devrait donc faire l’objet d’une
précision de la part de l’enseignant. Puis, le fait de demander de représenter « avec
précision » n’est pas, à ce stade, une procédure connue pour l’élève alors qu’il n’a pas été
introduit à l’utilisation du compas. Même que, dans le cas contraire, il ne pourrait pas
avancer davantage en raison du fait qu’il ne maîtrise pas le terme « diamètre » et qu’il ne
sait pas en quoi il peut lui servir de point de départ afin de tracer un cercle. Finalement,
l’expression « estimer l’âge » peut paraître ambigüe alors que l’on est porté à se
questionner sur la procédure attendue puisque, pour estimer l’âge de l’arbre, il importe
préalablement d’établir une relation entre le diamètre et la circonférence pour pouvoir
mesurer cette dernière et la faire correspondre à la formule fournie (2 ans pour chaque 3
centimètres de circonférence).
L’activité de la page 45 située à la suite de la situation-problème amène à se questionner sur
l’utilité de la page précédente.
89
Figure 17. Manuel de l’élève A, Volume 1, 3e cycle, p.45
Pourquoi avoir introduit les termes « diamètre » et « circonférence » dans l’activité
d’amorce alors que ce qui suit invite les élèves à expérimenter le cercle à travers la
manipulation grâce aux directives et aux questions de l’enseignant sans pour autant que du
vocabulaire nouveau ne soit introduit à ce stade? Contrairement à ce qui précède, cette
activité offre l’avantage de fournir l’occasion aux élèves d’explorer des attributs du cercle
sans pour autant que les termes apparaissent de manière trop hâtive. Effectivement, cette
activité instaure de façon progressive l’idée selon laquelle chaque point situé sur le cercle
(élève) se retrouve à égale distance du centre (enseignant), bien que la propriété de centre
de cercle soit absente du Programme. Par le fait même, on assiste à la découverte du rayon
étant donné le recours à la distance (exactement 3 mètres) entre l’élève et l’enseignant, à
celle du diamètre correspondant à la distance entre deux élèves les plus éloignés et à celle
de circonférence qui rejoint l’idée de la mesure de la chaîne formée par les élèves. Bien
entendu, ces termes se voient introduits dans la section « Je m’exerce » en fin d’activité de
manière à fournir une première tentative d’association avec ce qui a été vécu. Il faut
évidemment considérer le fait qu’une seule et unique activité exploratoire demeure
insuffisante pour procéder à l’acquisition de ce nouveau vocabulaire.
90
Sur un autre point, la consigne consistant à estimer la distance qui sépare deux élèves les
plus éloignés peut représenter une certaine ambiguïté et nécessiter une intervention plus
approfondie et soutenue de la part de l’enseignant. De plus, l’étape demandant de trouver la
longueur approximative de la chaîne formée par les élèves qui se tiennent par la main peut
tout autant créer cet effet et nécessiter un soutien plus important de la part du maître que ce
qui est inscrit.
La deuxième activité (page 46) mise sur des démarches de représentation de cercles pour
poursuivre les tentatives de familiarisation avec la figure, particulièrement en ce qui
concerne ses attributs de rayon et de diamètre.
Figure 18. Manuel de l’élève A, Volume 1, 3e cycle, p.46
Pour possiblement mener à l’introduction progressive du compas et à son utilisation
adéquate bien qu’aucun prolongement ne soit offert, l’une des consignes consiste à avoir
recours au bâtonnet à café préalablement percé pour tracer des cercles selon des consignes
précises. Devant cette intention, on peut s’interroger sur l’utilité du premier numéro qui ne
demande que de tracer des cercles à l’aide d’objets circulaires. Dans ce cas, le défi peut
paraître trop simple pour l’élève à ce niveau puisqu’il n’est pas amené à réutiliser le
91
nouveau vocabulaire appris et, par conséquent, à développer ses habiletés langagières.
Sinon, pour revenir au bâtonnet à café, il semble que son utilisation mène à la nécessité
d’un accompagnement plus soutenu de la part de l’enseignant pour s’assurer non seulement
de son fonctionnement, mais aussi de la compréhension des termes « diamètre » et
« rayon » étant donné le peu d’activités préalables nécessaires à leur acquisition. D’ailleurs,
la relation unissant ces deux attributs (D=2r) n’a pas été assez mise en lumière pour
favoriser l’utilisation convenable de l’outil pour l’ensemble de la classe.
La section « Je m’exerce » peut tout autant poser certaines difficultés auxquelles doit être
sensibilisé le professionnel qui serait porté à présenter cette activité à ses élèves. Dans un
premier temps, la consigne demandant de reproduire la cible peut constituer un obstacle
parce que des informations sur celle-ci sont manquantes ou encore parce que l’élève ne peut
pas manipuler la figure. En effet, aucun indice de mesure de rayon ou de diamètre n’est
donné en plus de l’absence d’une indication de centre. Ces attributs sont d’autant plus
difficiles à définir alors que la figure ne peut pas faire l’objet d’un pliage, d’où la difficulté
de procéder à son agrandissement. Dans un deuxième temps, cette représentation de quatre
cercles superposés pourrait mener à une certaine confusion au moment d’indiquer les
diamètres de chacun puisque l’élève pourrait être porté à considérer le diamètre de chaque
cercle uniquement comme la distance entre deux contours si le concept de diamètre n’est
pas suffisamment ancré. Dans un dernier temps, en ce qui concerne le deuxième numéro de
cette section, si les cercles ne sont pas tracés à l’aide du bâtonnet à café ou du compas, il
sera difficile pour l’élève de mesurer les rayons sans que celui-ci ne puisse manipuler les
figures. Des consignes supplémentaires devraient donc être envisagées pour réduire les
obstacles possibles.
La troisième activité (page 47), qui introduit, une fois de plus, une démarche de
représentation, continue de miser sur un travail par rapport au rayon et au diamètre tout en
insérant cette fois une tâche portant sur le secteur de disque constituant un attribut absent
du Programme. À cet effet, le terme « disque » est présenté à l’élève dans une consigne
alors qu’aucune activité précédente n’ait permis d’en faire l’acquisition. Par conséquent, on
retrouve une note donnant une définition illustrée de ce nouveau vocabulaire.
92
Figure 19. Manuel de l’élève A, Volume 1, 3e cycle, p.47
Si l’on se penche maintenant sur l’activité même, il importe de prendre en considération
certains éléments pouvant s’avérer problématiques. D’abord, la demande de tracer un cercle
d’un rayon de 4km sur la carte peut constituer une difficulté pour l’élève dans le cas où ce
dernier n’aurait pas été précédemment introduit à la manière d’interpréter une carte et la
légende qu’elle sous-tend. Puis, la consigne de partage du disque en régions identiques
représente une difficulté si l’apprenant ne bénéficie pas d’un soutien adéquat de la part de
l’enseignant. Effectivement, ce dernier doit commencer par anticiper les procédures des
élèves de même que leurs résultats. Dans certains cas, les secteurs de disque vont émerger
pour ainsi séparer la figure en parties de disque limitées par deux rayons. Dans d’autres,
une séparation nettement différente pourrait s’observer. Aussi, dans le cas du recours à la
première méthode, il faut se questionner sur la manière dont le partage en six secteurs sera
effectué (approximation, pliage, utilisation de la corde de cercle, rapporteur d’angles, etc.).
Finalement, il faut porter attention au fait que, tantôt il est question de régions identiques,
tantôt de régions isométriques. On parle alors d’un glissement de vocabulaire qui
nécessiterait des précisions de la part de l’enseignant.
93
Les sections « Je m’entraîne » et « Je suis capable », comme leurs noms l’indiquent, visent
le réinvestissement des propriétés qui ont précédemment été travaillées dans les trois
premières activités. Dans ce cas, on mise sur l’intégration du vocabulaire formé
principalement par les termes « rayon », « diamètre » et « circonférence », bien que la
circonférence ait été quelque peu mise de côté au profit des deux autres. C’est au moyen de
démarches d’observation, de représentation, de construction et de résolution que l’on tente
de faire en sorte que ces attributs du cercle soient facilement identifiables par l’apprenant.
Aussi, c’est à l’intérieur de ces mêmes sections que l’on peut observer l’émergence d’une
tentative de mise en relation entre ces termes pour ainsi faire en sorte que l’élève découvre
que le diamètre représente le double de la mesure du rayon et que la circonférence est
approximativement le triple de la mesure du diamètre.
Figure 20. Manuel de l’élève A, Volume 1, 3e cycle, p.48
94
Figure 21. Manuel de l’élève A, Volume 1, 3e cycle, p.49
Figure 22. Manuel de l’élève A, Volume 1, 3e cycle, p.50
95
Figure 23. Manuel de l’élève A, Volume 1, 3e cycle, p.51
Cependant, malgré la poursuite de ces objectifs, des éléments problématiques sont à mettre
en évidence. Mentionnons à cet effet la difficulté d’envisager une progression quelconque
alors que l’on aborde plutôt l’apprentissage comme un ensemble de situations distinctes qui
poursuivent sensiblement le même objectif et non comme une séquence à l’intérieur de
laquelle il serait possible de continuellement proposer un nouveau défi qui tente tout autant
de faire intervenir ce qui a été appris précédemment. La collection de manuels ne semble
donc pas prendre appui sur les recherches en didactique qui privilégient la mise sur pied
d’ingénieries.
Prenons également le temps de spécifier que, dans l’ensemble des activités de ce manuel,
une définition pour chaque propriété du cercle est fournie à l’élève sans que ce dernier ait
eu la chance de se prononcer sur la propre définition qu’il s’est construite au fur et à mesure
de ses expérimentations. D’ailleurs, force est de constater que le matériel ne mise pas sur
l’élargissement des descriptions possibles pour cette même figure et les attributs qu’elle
sous-tend puisque l’on y propose une seule définition par terme, ce qui ne favorise pas
l’enrichissement du vocabulaire.
96
De manière plus précise, chaque numéro inséré à l’intérieur de ces deux sections peuvent
tout autant contenir certains points menant à des questionnements de notre part. Pour
commencer, le premier numéro, dans sa tentative d’association entre le cercle et des objets
de la vie courante, constitue un défi trop petit pour un élève du troisième cycle.
Le deuxième numéro a l’avantage de proposer la manipulation d’un disque afin d’amener
l’élève à trouver le diamètre, le rayon et le centre de cercle. L’enseignant doit simplement
préalablement s’interroger sur les procédures attendues de l’élève (pliage, mesure à l’aide
de la règle, etc.). Un autre point positif s’observe à travers les demandes d’explication alors
que, de cette façon, l’apprenant est invité à se prononcer sur sa démarche et, par la même
occasion, sur sa compréhension des attributs du cercle et des relations qu’ils entretiennent
entre eux. Étant donné le processus de découverte que ce numéro engage, on peut se
questionner quant au choix de son positionnement à travers les autres tâches, alors qu’il
aurait sans doute été plus approprié de le placer de manière à ce qu’il précède la phase de
réinvestissement.
Le troisième numéro, débutant avec l’imposition de deux manières de faire pour parvenir à
mesurer la circonférence d’un cercle, aurait semble-il été plus profitable si l’élève avait été
placé en situation lui permettant de les découvrir par lui-même. Aucune activité n’ayant
véritablement été faite pour cet attribut jusqu’à maintenant, on reconnaît donc, encore cette
fois, l’aspect trop directif de l’enseignement proposé. De plus, le numéro poursuit en
demandant de trouver le diamètre de l’objet circulaire utilisé, ce qui représentera un défi de
taille étant donné le fait qu’il s’agit d’un objet et non d’une représentation sur papier. Enfin,
la tentative de mise en relation entre le diamètre et la circonférence devrait nécessiter la
répétition de l’expérience de mesure à partir de cercles de différentes dimensions afin d’en
conclure à une régularité. Il aurait donc été plus intéressant d’inviter l’élève à procéder à
cette prise de conscience par lui-même plutôt que de lui imposer ce lien.
Le quatrième numéro présente une première difficulté alors que l’on demande à l’élève de
mesurer le rayon et le diamètre d’un cercle qu’il ne peut pas manipuler et dont le centre
n’est pas tracé. Aussi, le moment de déterminer la mesure de sa circonférence porte à se
questionner sur la procédure attendue puisque l’on demande une mesure au centimètre près.
97
Pour finir, il y a introduction du concept de cercles concentriques alors qu’il n’est pas
question d’une notion faisant partie du Programme.
Le cinquième numéro, étant donné la complexité de la tâche, requiert des habiletés
cognitives trop développées pour le niveau de l’élève en plus de nécessiter l’intégration de
plusieurs propriétés encore inconnues sur les figures. De plus, ce numéro invite à l’usage
du compas qui doit avoir été expérimenté précédemment au moyen d’une activité
supplémentaire à ce qui se retrouve dans ce manuel. Ces deux éléments problématiques se
retrouvent également dans le sixième numéro, ce qui fait en sorte que l’élève procèderait
sans doute par essais et erreurs sans pouvoir expliquer sa démarche en termes
mathématiques. Il est d’ailleurs compréhensible d’en venir ainsi au troisième cycle du
primaire, mais cette tâche n’offrirait aucun apport du point de vue de l’apprentissage et du
développement langagier qui nous intéresse particulièrement.
Ces deux sections se terminent avec le lexique qui suit portant sur les attributs du cercle. De
cette façon, l’élève se voit imposer une seule et unique définition pour chaque propriété
qu’on a tenté de lui faire assimiler tout au long des activités sans que celui-ci ait eu la
chance de se prononcer sur les descriptions qu’il s’en faisait tout au long de ses
découvertes. Par rapport à l’observation de celui-ci, deux interrogations s’imposent : que
signifie l’expression « le rayon et le diamètre désignent également des segments
particuliers »? et pourquoi avoir inséré la définition du secteur circulaire alors que ce terme
n’a jamais été utilisé dans le cadre des activités?
98
Figure 24. Manuel de l’élève A, Volume 1, 3e cycle, p.52
La dernière activité (Je résous, page 53), consacrée encore à la situation 6, amène d’abord,
avec son premier numéro, à se questionner sur l’intention d’apprentissage qui s’y rattache.
Puis, le deuxième numéro constitue, au même titre que certaines des activités précédentes,
une tâche qui requiert des habiletés cognitives trop développées et des connaissances
encore inconnues sur des propriétés des figures géométriques
99
Figure 25. Manuel de l’élève A, Volume 1, 3e cycle, p.53
100
Guay, Sylvio et coll. (2003). Clicmaths. Manuel de l’élève A, Volume 1, 3e cycle du primaire, Laval, Éditions HRW, p.90-99.
Figure 26. Manuel de l’élève A, Volume 1, 3e cycle, p.92
Figure 27. Manuel de l’élève A, Volume 1, 3e cycle, p.93
Cette activité présentée à la page 92 dans le cadre de la nouvelle situation 12 du même
manuel offre un travail sur la propriété de secteur circulaire autrefois envisagée sous
l’appellation de « région ». Elle constitue l’amorce d’un travail sur l’angle au centre en vue
101
de répondre aux exigences du Programme. Par le fait même, on assiste à l’introduction de
l’utilisation du rapporteur d’angles. Effectivement, le disque préalablement fourni pour
servir d’instrument de mesure d’angles est divisé de manière à ce que la moitié de celui-ci
corresponde à un véritable rapporteur d’angles. Le fait d’imposer cette unité de mesure à
l’élève pour résoudre le problème le conduira à rendre compte de la nécessité d’avoir
recours à un objet plus précis pour parvenir à mesurer tout angle.
Guay, Sylvio et coll. (2003). Clicmaths. Manuel de l’élève B, Volume 1, 3e cycle du primaire, Laval, Éditions HRW, p.22-31.
Figure 28. Manuel de l’élève B, Volume 1, 3e cycle, p.25
Pour faire suite à ce qui précède, une autre activité tirée de la situation 3 du manuel suivant
correspond à une tâche permettant à l’élève de se familiariser avec l’outil servant à mesurer
des angles en plus d’aborder l’attribut d’angle au centre. Pour ce faire, l’activité se base sur
la construction de polygones réguliers, concept qui demeure cependant absent du
Programme. D’ailleurs, la consigne utilise l’expression « octogone régulier » pour
expliquer la démarche entreprise, mais il semble n’y avoir aucune considération de la
102
possibilité de l’ignorance de ce terme. L’activité continue même par la suite à nommer des
polygones réguliers sans qu’aucun référent ne soit apporté. Enfin, la construction de
polygones réguliers est imposée par l’usage du cercle sans que l’élève ait eu la chance
d’effectuer le lien entre des angles au centre isométriques et des cordes de même mesure
qui permettent de former les côtés isométriques des polygones recherchés.
Bref, une fois de plus, on assiste à la mise en place d’un enseignement trop directif qui
fournit des conclusions hâtives sans avoir offert à l’élève une insertion dans un processus
de découverte qui lui aurait permis de tirer ses propres conclusions sur ce que constitue un
polygone régulier, ce qui aurait, par le fait même, favorisé le recours à ses habiletés
langagières.
3.2 RÉSULTATS D’ANALYSE
L’analyse des différentes activités proposées par six manuels scolaires destinés aux trois
cycles du primaire nous permet d’identifier les descriptions des attributs du cercle qui y
sont travaillées (voir le tableau 5 ci-dessous).
Propriétés visées par le Programme de formation
Cercle Ligne courbe fermée dont tous les points sont à une même distance du centre
Rayon Distance entre un point et le centre du cercle
Diamètre
Segment de droite qui relie (ou distance séparant) deux points opposés du cercle, en passant par son centre; longueur de ce segment de droite dont la mesure est le double de celle du rayon
Circonférence Longueur du cercle
Angle au centre Angle formé par deux rayons du cercle
Propriétés ne faisant pas partie de la description des savoirs essentiels du Programme
Disque Région délimitée par un cercle
Secteur circulaire (secteur de disque)
Partie du disque délimitée par deux rayons
Tableau 5. Propriétés travaillées dans les activités des manuels et définition fournie pour chacune d’elles
103
L’observation de ces données montre que certaines descriptions sont présentes dans les
manuels, mais absentes de la liste des savoirs du Programme. De même, nous pouvons
constater qu’une seule description est utilisée pour chaque attribut.
Dans le tableau qui suit (tableau 6), nous présentons les données obtenues de l’analyse des
activités des manuels selon les critères suivants : exigence d’avoir recours au langage,
pertinence des consignes pour le développement conceptuel de l’élève, adaptation de
l’activité au niveau de l’élève selon la progression des apprentissages et sollicitation de
l’autonomie de l’élève. Les symboles employés décrivent la présence () de ces éléments
ou leur absence (-) dans les ressources didactiques analysées.
Activités
(volume, cycle, page)
Exigence d’employer le langage
Pertinence des
consignes
Activité appropriée selon la progression conceptuelle
Autonomie de l’élève
Oui Non (commentaire)
Volume A, 1er cycle, p.83
p.84-85 - -
p.86 - / (-)
Volume B, 1er cycle, p.12;
Cahier d’apprentissage, Volume B, 1er cycle, p.19
- -
Volume B, 1er cycle, p.13-14
- (nouveaux termes non définis)
-
Volume B, 1er cycle, p.15
- / (-)
Volume B, 1er cycle, p.74
- - (niveau plus élevé) -
Volume A, 2e cycle, p.22-23
- (niveau plus bas)
Volume A, 2e cycle, p.24
- - (niveau plus bas)
Manuel A, Volume 1, 3e cycle, p.44
- - (vocabulaire inconnu de l’élève, niveau plus élevé)
-
p.45
Je m’exerce
-
-
p.46 a - - (niveau plus bas)
104
b
Je m’exerce
-
-
-
-
(connaissances insuffisantes)
(connaissances insuffisantes)
-
-
p.47
Je m’exerce -
-
-
(connaissances insuffisantes)
(connaissances insuffisantes)
-
-
p.48 (-)/ p.49 - (-) (-)/ p.50 - - p.51
Je suis capable -
-
(niveau plus élevé)
-
p.52 (Introduction du vocabulaire)
(certains termes absents du Programme)
p.53 - (niveau plus élevé) - p.92 Manuel B, Volume 1, 3e cycle, p.25
- (-)/
Tableau 6. Résultats d’analyse
L’analyse des données de ce tableau permet de faire ressortir le fait qu’on se trouve souvent
devant un enseignement inapproprié de la géométrie. Elle montre d’abord que les activités
de description sont plutôt rares, l’élève n’étant pas toujours invité à parler des figures et de
leurs propriétés. On peut observer que seulement 12 activités (parmi 20 activités analysées)
demandent à l’élève d’utiliser le langage pour identifier et décrire. Sur ce point, nous
pouvons même ajouter que, dans certains cas, des consignes peu pertinentes sont formulées,
ce qui permet difficilement de contribuer au développement des habiletés langagières. Par
exemple, on propose de représenter des figures ayant des caractéristiques données
(composées de « ligne courbe » et de « ligne droite ») et on demande ensuite de les décrire.
Cependant, peu importe la figure représentée, la description va seulement faire appel à ces
termes, car l’élève ne connaît pas encore d’autres propriétés des figures planes (volume B,
1er cycle, p.15).
105
Si l’on poursuit sur la pertinence des consignes pour le développement conceptuel de
l’élève, nous pouvons constater que, dans 16 activités (parmi 20), des problèmes
surviennent selon différentes raisons. On peut parler de tâches qui ne proposent pas un défi
intellectuel pour l’élève (volume B, 1er cycle, p.14), de celles qui ne sont pas en lien avec le
sujet d’étude (volume A, 1er cycle, p.86) ou encore de questions posées dans une activité
qui n’apportent pas de nouveaux éléments au concept étudié (cahier d’apprentissage,
volume B, 1er cycle, p.19). Certaines consignes proposent, quant à elles, une tâche
irréalisable en raison d’un manque de précisions ou d’informations (manuel A, volume 1, 3e
cycle, p. 46 et 47).
Étroitement liés à ce dernier critère, les résultats observés dans ce tableau permettent de
mettre en lumière le fait que l’on retrouve 20 activités en lien avec l’étude du cercle sans
pour autant que la progression soit respectée. En effet, des tâches sont parfois introduites
bien que les connaissances de l’élève à ce niveau soient insuffisantes pour lui permettre de
les réaliser de manière autonome (manuel A, volume 1, 3e cycle, p.46). Dans le même ordre
d’idées, nous constatons que certaines tâches exigent des habiletés cognitives très
développées et l’emploi de propriétés inconnues (voir la tâche 2, manuel A, volume 1, 3e
cycle, p.53 à titre d’exemple). Dans d’autres cas, le défi qui s’offre à l’apprenant aurait dû
être inséré à une étape antérieure puisqu’il demeure insuffisant pour assurer la progression
du processus de conceptualisation. Devant ces éléments problématiques, il apparaît difficile
d’envisager la découverte d’une propriété qui sera ensuite réinvestie dans une activité
suivante, ce qui tend à s’éloigner des propos tenus par les recherches en didactique.
L’analyse des activités montre effectivement qu’on assiste davantage à l’acquisition d’un
vocabulaire relatif aux attributs du cercle sans que ces derniers soient découverts pour
ensuite être mis en relation, ce qui ne permet pas d’élargir le répertoire de descriptions de
l’apprenant par rapport à cette figure pour ainsi participer au développement du concept.
On remarque d’ailleurs que le niveau relationnel tel que promu par van Hiele (1959/1984)
demeure exploité de manière insuffisante, bien qu’il s’agisse du stade à atteindre à la fin du
primaire.
Toujours dans le soulèvement d’éléments problématiques, on remarque certaines lacunes en
ce qui concerne le choix du vocabulaire utilisé dans le cadre de certaines activités. Alors
106
que l’on se heurte parfois à l’introduction de termes nouveaux sans explication préalable,
d’autres fois, il est possible d’être confronté à l’utilisation de termes différents qui réfèrent
pourtant à une même réalité, ce qui peut constituer une difficulté supplémentaire pour
l’élève. Par exemple, tantôt il est question de « ligne polygonale fermée », tantôt de
« polygone » (volume B, 1er cycle, p.74). Dans un autre cas, on parle de « figure
géométrique », de « figure plane » ou de « forme géométrique » pour désigner un même
objet (volume A, 2e cycle, p.22-23).
Pour finir, l’analyse des activités présentées renvoie au constat que, dans plusieurs activités,
l’autonomie de l’élève se voit réduite au profit d’un enseignement trop directif où les
consignes guident l’élève étape par étape ou introduisent de nouvelles connaissances pour
ensuite les appliquer, ce qui néglige tout processus de découverte où l’apprenant serait
invité à participer au développement de ses compétences. On envisage alors plus
difficilement l’utilité de la géométrie dans ce genre de proposition alors que les aptitudes
d’analyse et de raisonnement de même que l’aspect descriptif favorisant le développement
langagier demeurent peu sollicités.
3.3 SYNTHÈSE
Dans cette section, il est question de la présentation d’un récapitulatif des propriétés du
cercle et de leur exploitation dans le Programme de formation, les manuels didactiques
sélectionnés et la recherche d’Artigue et Robinet (1986) abordée dans le cadre théorique
(section 2.5). De cette manière, il sera possible de mettre en parallèle les différentes
propriétés du cercle envisagées dans ces trois sources, d’observer la variété de descriptions
pour le même attribut, de faire ressortir les descriptions ou les définitions semblables et de
rendre compte de l’absence de descriptions pour certains attributs.
Pour ce faire, le tableau qui suit (tableau 7) représente les attributs du cercle (première
colonne), les descriptions ou définitions possibles (deuxième colonne) et leur présence ()
ou encore leur absence (-) dans les ressources didactiques analysées (le Programme de
formation, les manuels didactiques sélectionnés et la recherche d’Artigue et Robinet
(1986)).
107
Le cercle et ses attributs
Programme de formation
Descriptions/définitions possibles Manuels didactiques
(Clicmaths)
Ingénierie du cercle (Artigue et Robinet, 1986)
Cercle
- Ligne fermée dont chaque point est situé à égale distance d’un point intérieur appelé centre
- Cercle de centre O et de rayon R est l’ensemble des points situés à la distance R de O
- Figure plane admettant une infinité d’axes de symétrie
- Figure plane fermée par la rotation d’un point autour d’un point fixe
(Ligne courbe fermée dont tous les points sont à une même distance du
centre)
-
-
-
(Figure dont tous les points sont situés à égale distance du centre de cercle)
-
Figure pouvant se partager en deux parties égales
Rayon
- Distance entre le centre et tout point du cercle
- Segment reliant le centre avec un point quelconque du cercle
(Distance entre un point et le centre du cercle)
-
-
(Mesure de la distance du centre du cercle au contour du cercle)
108
- Ouverture du compas
- R=½D
- Tous les rayons d’un cercle sont égaux
-
-
Diamètre
- Plus longue corde du cercle
- Segment de droite qui joint deux points du cercle et passe par le centre
- D=2R
- Axe de symétrie (infinité)
(Segment de droite qui relie (ou distance séparant) deux points opposés
du cercle, en passant par son centre (longueur de ce segment))
-
- Longueur et largeur d’un cercle
- Corde verticale et corde horizontale qui partagent le cercle en deux parties égales
- Segment obtenu au moyen du pliage du cercle en deux parties égales
Corde -
- Segment de droite qui joint deux points du cercle
-
109
- Des cordes ayant la même mesure sous-tendent des secteurs de disque et des angles au centre égaux
-
Centre de cercle -
- Point d’intersection des axes de symétrie
- Point d’intersection des diamètres
- Milieu de la plus longue corde (du diamètre)
- Point fixe de rotation
- Point à l’intérieur du cercle situé à égale distance de tout point du cercle
-Point d’intersection des médiatrices de deux cordes
-
-
-
-
-
-
-
-
- Point de convergence des rayons
Angle au centre
- Angle dont le sommet est le centre du cercle
- Angle formé par deux rayons
- Des angles au centre de même mesure forment des cordes et des secteurs de disque égaux
- Angle qui sous-tend un secteur de disque
-
-
-
-
110
Arc - - Partie du cercle déterminée par une corde ou par un angle au centre
-
- Ligne courbe représentant la trajectoire d’un point autour d’un centre de cercle pour en former une partie
Disque - - Surface composée d’un cercle et de sa région intérieure
(Région délimitée par un cercle)
Secteur de disque
- - Partie d’un disque limitée par deux rayons
(Secteur circulaire)
- Partie d’un cercle pouvant être obtenue par pliage
- Sa rotation autour du centre de cercle permet la création du cercle
Circonférence
- Longueur du cercle (périmètre)
- C= D=2 r
-
-
Aire - - Mesure de la surface intérieure du cercle
-
-
-
-
-
Tableau 7. Analyse de ressources didactiques: propriétés du cercle
111
L’analyse de ces différentes sources a permis de faire certains constats sur la description
des savoirs essentiels du Programme, les activités de manuels et les situations proposées
par l’ingénierie didactique d’Artigue et Robinet (1986).
Constats sur la description des savoirs essentiels du Programme
Comme nous l’avons abordé dans la partie précédente, la théorie de van Hiele (1959/1984)
présente les niveaux de développement de la pensée géométrique dont le premier (ou
niveau 0 de la théorie) correspond à la visualisation permettant la reconnaissance et
l’identification des figures à partir d’activités d’observation d’objets quotidiens ou
géométriques. Le deuxième niveau (niveau 1) renvoie, quant à lui, à l’analyse et à la
description de figures pour en permettre la reconnaissance de propriétés. Enfin, le troisième
niveau (niveau 2) conduit à l’établissement de relations entre les propriétés du concept.
Afin de suivre la progression dans le développement de la pensée géométrique, il serait
préférable de prendre en considération les recommandations suivantes :
- Modifier l’ordre de présentation des deux premiers savoirs essentiels contenus dans
le Programme puisque la comparaison de figures composées de lignes courbes
fermées ou de lignes brisées fermées entrerait davantage dans le niveau descriptif.
- Ajouter les activités (en termes de processus) permettant l’identification du cercle
dans des contextes différents (contours, projection de faces, empreintes, etc.).
- Insérer le concept du cercle dans les savoirs essentiels du deuxième cycle misant sur
la description de ses propriétés (comme c’est le cas pour le reste des figures : carré,
rectangle, triangle et losange) en précisant les processus qui permettent de les
découvrir.
- Reformuler la description des savoirs essentiels du cercle visés au troisième cycle
en mettant en jeu l’établissement des relations entre les propriétés.
- Déplacer le terme « circonférence » dans la section portant sur la mesure (car il
s’agit de la mesure du contour du cercle) en précisant les processus permettant
d’établir la formule.
112
Constats sur les activités de manuels didactiques
Comme il a été possible de le constater, dans plusieurs activités des manuels, l’autonomie
de l’élève se voit réduite au profit d’un enseignement trop directif qui offre difficilement la
possibilité pour l’apprenant de procéder au développement de ses compétences. Ces
conclusions portent donc à croire que, malgré qu’ils soient déclarés conformes au
Programme de formation, les manuels ne sont pas organisés selon les plus récentes
recherches qui apportent leur conception sur l’organisation des apprentissages en
mathématiques.
Admettant davantage des situations distinctes au détriment d’une organisation qui aurait
assuré une certaine progression, ces outils qui soutiennent la démarche d’enseignement
privilégient rarement des activités de découverte qui invitent l’élève à avoir recours au
langage. Pour preuve, en ce qui concerne le développement de la compétence 3
(communiquer à l’aide du langage mathématique), nous pouvons constater que, pour
l’enseignement des figures planes dont le cercle fait partie, la mémorisation des noms de
figures et de certaines de leurs propriétés est essentiellement proposée par les activités des
manuels. On assiste donc à « l’appropriation du vocabulaire mathématique » (première
composante de la compétence) de façon inappropriée.
Le développement de la composante renvoyant à l’interprétation de messages à caractère
mathématique n’est pas visé aux deux premiers cycles, mais les manuels ont suggéré de la
mettre en jeu dès la première activité proposée au 3e cycle, ce qui a mené à l’identification
de plusieurs éléments problématiques au moment de son analyse (voir la section 3.1.2.3,
figure 16). D’autres situations d’interprétation ont également généré certaines difficultés.
Effectivement, dans l’activité 3 (voir la section 3.1.2.3, figure 19), à partir de la description
de la situation, l’élève devait évoquer une démarche qu’il n’avait jamais exploitée (diviser
le disque en six parties congrues). Dans une autre situation (voir la section 3.1.2.3, figure
22), les consignes données ne provoquaient pas une démarche pertinente pour le
développement du concept du cercle.
Sur un autre point, tel que mentionné précédemment, la composante invitant à produire un
message à caractère mathématique demeure sollicitée de manière insuffisante alors que
113
l’élève n’est pas souvent amené à se prononcer sur les figures et ses propriétés à partir de
descriptions qu’il aurait lui-même construites.
Au troisième cycle, les activités proposées par les manuels demeurent néanmoins un peu
plus variées alors qu’on y retrouve des contextes permettant d’opérer des liens entre le
quotidien de l’élève et la géométrie (anneaux de croissance d’un arbre, même distance entre
l’enseignant et les élèves, etc.), ce qui contribue, d’une certaine manière, au développement
de la troisième composante qui renvoie à l’établissement de liens entre le langage
mathématique et le langage courant puisque ces différents contextes dans lesquels sont mis
en jeu les mêmes attributs favorisent une meilleure appropriation.
En somme, étant donné la nécessité de procéder au développement d’un vocabulaire
spécialisé dans le cadre de l’apprentissage d’une discipline scolaire, on peut juger, au
regard de cette analyse, que la persistance des difficultés en mathématiques pourrait en
partie s’expliquer par l’insuffisance de l’expérience langagière déployée et un
enseignement inadéquat qui ne résulte pas des plus récentes avancées dans le domaine.
Constats sur les situations de l’ingénierie didactique d’Artigue et Robinet (1986)
Le survol de cette recherche a permis de faire ressortir la présence d’un vaste répertoire
d’activités qui suscitaient le développement langagier en raison des nombreuses occasions
où l’apprenant devait mettre en jeu ses capacités à s’exprimer sur la forme et ses attributs.
D’ailleurs, sur ce point, on constate non seulement l’étude d’un grand nombre d’attributs du
cercle, mais aussi le recours à plusieurs descriptions pour chacun d’eux, ce qui contribue
grandement à l’emploi du vocabulaire chez l’apprenant (surtout dans les premières années
du primaire) et à son enrichissement. Néanmoins, malgré les avantages de cette ingénierie
par rapport aux manuels didactiques analysés précédemment, il semble qu’elle demeure
incomplète pour couvrir l’ensemble des attributs du concept. Sur ce point, on remarque
qu’aucun travail n’y est entrepris de manière à répondre aux attentes du Programme en ce
qui concerne la circonférence. De plus, la séquence didactique proposée n’offre pas un
découpage permettant l’exploitation d’un enseignement aux trois cycles du primaire.
115
CHAPITRE 4 : PROPOSITION D’ENSEIGNEMENT
Comme la synthèse le confirme, malgré la consultation d’un ensemble de ressources
didactiques, quelques lacunes demeurent, ce qui a mené à l’énumération d’un certain
nombre de recommandations afin qu’une proposition émerge de cette analyse. Ainsi, il sera
possible de répondre de manière satisfaisante aux attentes du Programme, mais aussi de
proposer une organisation des apprentissages sous forme d’ingénierie pour un
enseignement pouvant s’exploiter aux trois cycles du primaire.
En plus de répondre aux prescriptions du Programme, la section qui suit tendra à s’inscrire
dans les grandes lignes du document. D’abord, elle s’articulera autour de cette orientation
des connaissances disciplinaires intégrées au développement d’habiletés intellectuelles
complexes au sens où les contenus, « intégrés dans une conception élargie de
l’apprentissage, […] sont tenus pour être d’autant mieux assimilés et maîtrisés qu’ils ne
sont pas dissociés des processus qui en permettent la compréhension et l’appropriation »
(Ministère de l’Éducation du Québec, 2006). Ainsi, « une telle orientation invite à se
préoccuper du développement des processus mentaux nécessaires à l’assimilation des
savoirs, à leur utilisation dans la vie réelle et à leur réinvestissement dans des
apprentissages ultérieurs. Elle invite également à réaffirmer et à renforcer la fonction
cognitive de l’école en la situant dans une visée de formation de la pensée » (Ministère de
l’Éducation du Québec, 2006). Pour cette raison, l’ingénierie du cercle qui sera proposée
formera une suite de séquences didactiques orientées selon la théorie de van Hiele
(1959/1984) sur les niveaux de développement de la pensée géométrique. De cette façon,
l’enseignement pourra constituer un système organisé favorisant la construction de
connaissances de façon progressive pour ainsi assurer l’établissement de liens entre elles
grâce à des conditions privilégiant l’exploration et la compréhension des rapports entre les
figures et le développement de la pensée géométrique.
Puis, cette même proposition s’affiliera également au Programme de formation de l’école
québécoise qui « se caractérise essentiellement par le choix de développer des compétences
et par l’attention portée à la démarche d’apprentissage. D’une part, il propose une
organisation des savoirs sous forme de compétences de manière à leur donner sens et
ouverture et, d’autre part, il retient un cadre conceptuel qui définit l’apprentissage comme
116
un processus actif et continu de construction des savoirs » (Ministère de l’Éducation du
Québec, 2006). C’est donc exactement dans cette perspective que s’inscrira l’ingénierie
découlant de cette recherche alors que les apprentissages se verront organisés de manière à
ce que le but de l’enseignement constitue le développement d’ « un savoir-agir fondé sur la
mobilisation et l’utilisation efficace d’un ensemble de ressources » (Ministère de
l’Éducation du Québec, 2006). En ce sens, il deviendra possible d’ « inviter à établir un
rapport différent aux savoirs et à se recentrer sur la formation de la pensée » (Ministère de
l’Éducation du Québec, 2006), de se soucier « d’initier dès l’école le développement
d’habiletés complexes qui seront essentielles à l’adaptation ultérieure de l’individu à un
environnement changeant » (Ministère de l’Éducation du Québec, 2006) et de favoriser « le
développement d’outils intellectuels flexibles, aptes à s’ajuster aux transformations et à
favoriser l’acquisition de nouvelles connaissances » (Ministère de l’Éducation du Québec,
2006). Pour ce faire, en s’appuyant sur l’approche présentée par la Théorie des situations
didactiques (Brousseau, 1998), les activités proposées mettront en place les contextes, les
outils et les questions de manière à ce que l’élève soit considéré comme l’acteur principal
en tant que participant actif et autonome. De son côté, l’enseignant demeurera un
accompagnateur de l’activité intellectuelle de l’apprenant et non plus un transmetteur de
connaissances.
En référant à la Théorie des champs conceptuels (Vergnaud, 1991b), nous décrirons le
concept du cercle selon ses attributs en cherchant à associer à chacun d’eux différentes
représentations (physiques, discursives, graphiques et symboliques). C’est donc à travers
diverses expériences géométriques qui mettront en œuvre différentes démarches
d’observation, de représentation, de transformation, de construction et de résolution au
moyen de différents processus (identifier, comparer, évoquer, anticiper, décrire, classifier,
justifier, déterminer, déduire, etc.) qu’il sera possible de proposer un enseignement de la
géométrie qui constitue un immense potentiel pour le développement de la visualisation, du
langage et du raisonnement, et ce, à travers les trois cycles du primaire.
Tel que mentionné, s’appuyant sur la théorie de van Hiele (1959/1984) qui permet de situer
les implications de l’enseignement de la géométrie au primaire, notre proposition se voudra
échelonnée de la manière suivante : niveau 0 correspondant au stade de visualisation
117
menant à la reconnaissance et à l’identification de la forme pour le premier cycle du
primaire; niveau 1 associé au stade de description de la forme sur la base de la
reconnaissance de ses propriétés pour le deuxième cycle; niveau 2 en lien avec le stade de
mise en relation entre les propriétés de la figure et entre les figures pour le troisième cycle.
4.1 PREMIER CYCLE DU PRIMAIRE
Conformément au Programme de formation de l’école québécoise, le premier cycle du
primaire a comme objectif ultime, dans le cadre de cette proposition, la reconnaissance et
l’identification des figures planes que sont le carré, le triangle, le rectangle, le cercle et le
losange. On néglige toutefois cette portion des savoirs essentiels qui mise sur la
comparaison de figures composées de lignes courbes fermées ou de lignes brisées fermées
puisque, tel que mentionné précédemment, il est davantage question d’une orientation
touchant l’aspect descriptif qui sera envisagé au deuxième cycle.
Le développement de la visualisation implique que les figures soient accessibles à
l’apprenant pour qu’il devienne en mesure de les manipuler à travers l’intervention
d’actions concrètes. On convient donc qu’un vaste éventail de situations demeure
nécessaire pour faire en sorte que l’élève se familiarise de manière progressive avec ces
différentes formes avant de lui imposer l’introduction des termes auxquels elles renvoient.
Par conséquent, cette portion de la proposition mise sur une séquence qui met en jeu une
grande variété de processus : observer, comparer, associer, reconnaître, identifier, évoquer,
tracer, représenter, localiser, développer, agencer, décrire, etc. Pour ce faire, un matériel
diversifié est requis : papier et carton, solides, objets de la vie quotidienne, projecteur, pâte
à modeler, papier quadrillé, représentations graphiques, etc.
Une séquence appropriée menant à l’atteinte de l’objectif fixé à ce niveau pourrait débuter
avec quelques situations permettant à l’élève d’explorer les figures planes au moyen de
projections de faces au tableau, du dessin des contours d’un objet de la vie courante, de
l’empreinte de formes dans la pâte à modeler, de l’observation du développement de solides
ou encore d’un bricolage quelconque. Mis en contact avec ces figures planes de diverses
manières, l’élève peut ainsi être invité à découvrir les termes auxquels elles sont associées
et, de manière à en assurer l’assimilation, la séquence doit poursuivre et se terminer par des
118
situations à l’intérieur desquelles l’enfant en vient à mettre en œuvre différentes procédures
pour démontrer la reconnaissance et l’identification adéquates des figures planes à l’étude.
Par exemple, il pourrait être question de procéder à la description d’un solide selon la forme
des figures planes qui le composent, d’évoquer les solides qui possèdent une face de forme
donnée (ex. : triangle), d’associer un objet de la vie courante au nom de la figure plane qu’il
évoque, de localiser une figure quelconque par rapport à une autre (ex. : le cercle est à
droite du carré), etc.
4.2 DEUXIÈME CYCLE DU PRIMAIRE
Contrairement au Programme qui n’abordait pas le cercle au deuxième cycle du primaire,
notre ingénierie tend à assurer une progression de manière à permettre l’atteinte du niveau
descriptif (niveau 1) qui nous intéresse particulièrement dans le cadre du développement du
langage. Pour ce faire, une suite de séquences didactiques suivant la progression des
apprentissages permettra la découverte d’un ensemble d’attributs du cercle de manière à
enrichir la description de cette figure pour éventuellement en conclure à une et même à
plusieurs définitions. Touchant principalement les attributs de diamètre, de rayon et de
centre, les activités exploratoires présentées occasionneront l’entrée dans la géométrie au
moyen de l’émergence du vocabulaire. De plus, elles favoriseront l’apparition du
raisonnement spécifique à la géométrie alors qu’il y aura reconnaissance de critères de
classement qui deviendront des propriétés géométriques caractérisant le cercle pour ainsi
permettre à l’apprenant de le distinguer de toute autre figure.
4.2.1 Diamètre
Activité 1 : Axe de symétrie
Pour commencer, un travail sur le diamètre a comme amorce la reconnaissance de l’aspect
symétrique de la figure et, par conséquent, des axes de réflexion qu’elle sous-tend. Au
moyen de l’observation et de la manipulation d’un ensemble de figures planes symétriques
comme celles de l’ensemble ci-dessous, l’élève est invité à se prononcer sur ce qu’il y a de
particulier pour ces figures.
121
Selon la recherche d’Artigue et Robinet (1986), les procédures suivantes peuvent être
anticipées :
La justification de la démarche (l’axe doit passer au « milieu ») et la comparaison des
résultats (plus grand/plus petit) vont mener à l’introduction du terme « diamètre » et à sa
description comme « la plus grande (longue) ligne ». Une intervention sur le vocabulaire
sera alors à envisager pour que l’élève en vienne à considérer la ligne comme un tracé infini
et qu’une partie de cette même ligne se nomme un « segment ».
Aussi, ce segment qui relie deux points du cercle deviendra une « corde ». De cette façon,
le diamètre sera décrit de manière plus juste au moyen du recours aux termes
mathématiques adéquats : le diamètre est la plus longue corde du cercle.
4.2.2 Centre de cercle
Pour faciliter le travail sur la découverte des caractéristiques du centre de cercle, l’activité
débute par la manipulation d’un disque en papier.
125
On peut alors s’attendre5 aux descriptions suivantes pour le losange : il y en a deux, ils
passent par les angles, ils sont perpendiculaires, ils divisent les angles en deux angles
égaux, ils se divisent en deux parties égales, ils divisent le losange en deux triangles (ou en
quatre triangles) égaux. Quant au cercle, on prévoit l’apparition de propriétés déjà
découvertes : il y en a une infinité, ils passent par le centre, ils relient deux points du
cercle, ils ont tous la même mesure.
À la fin de cette séquence, il devient possible d’intervenir sur les ressemblances et les
différences entre ces deux termes géométriques que sont le diamètre6 et la diagonale7.
4.2.4 Cercle et polygone
Puisque le terme « polygone » apparaît dans le vocabulaire de l’apprenant au deuxième
cycle du primaire selon le Programme de formation, une activité misant sur la comparaison
de figures pour mener à la définition de ce terme trouve de sa pertinence à ce stade. En ce
sens, on demande à l’élève d’observer deux ensembles de figures pour en déterminer les
intrus de manière justifiée.
5 Attirer l’attention de l’élève sur le terme « maximum » qui exige la recherche de différentes
caractéristiques des attributs donnés.
6 Diamètre (du latin diametrus, emprunté au grec ancien διάμετρος (diametros), composé de διά (dia) « à travers » et μέτρον (métron) « mesure ».)
7 Diagonale (du latin diagōnālis, issu du grec ancien διαγώνιος, diagonios (« d’angle à angle »), composé de διά, dia (« à travers ») et de γωνία, gonia (« angle »).
126
Quelle figure n’appartient pas à chaque ensemble? Justifie ta réponse.
a)
b)
De cette façon, le cercle est l’intrus du premier ensemble étant donné la ligne courbe. Pour
ce qui est du deuxième ensemble, la figure G est tout autant mise de côté et la figure D le
devient en raison de la ligne ouverte qu’elle implique. Par conséquent, il apparaît possible
de faire ressortir le fait qu’un polygone est « une figure plane fermée composée uniquement
de segments de droite (ou de lignes brisées fermées) » et qu’un cercle est « une figure plane
formée d’une ligne courbe fermée ».
À partir de cette description, il sera opportun de poursuivre pour mener à une définition qui
éliminerait toute autre figure plane formée d’une ligne courbe fermée. Pour ce faire, la
présentation d’un ensemble de figures correspondant à cette description est de mise pour
demander à l’élève les ressemblances, mais surtout les différences.
Quelle est la propriété commune de ces figures? Quelles sont les différences?
127
On voit alors que toutes ces figures sont formées au moyen d’une ligne courbe fermée,
mais que seul le cercle possède une infinité de diamètres et que ceux-ci sont toujours
congrus. La définition du cercle s’élargit alors davantage pour devenir « une figure plane
composée d’une ligne courbe fermée dont les diamètres (infinité) sont congrus ». La
situation intitulée Reconnaissance de formes de la recherche d’Artigue et Robinet (1986)
pourrait être une activité similaire qui permettrait d’en venir à cette même conclusion alors
que l’on demanderait à l’élève de s’exprimer sur ce qui fait en sorte qu’une figure est un
cercle (voir section 2.5).
4.2.5 Cercle, rayon, centre
Pour continuer ce travail entrepris d’élargissement de la description du cercle, l’activité qui
suit se penche sur la mise en relation du cercle avec son rayon et son centre. La situation
intitulée Trajectoires circulaires dans la recherche d’Artigue et Robinet (1986) semble
toute désignée pour l’atteinte de cet objectif étant donné son caractère dynamique (voir
section 2.5). Au moyen d’un grand carton déposé au sol près d’une porte, l’activité consiste
à demander à l’élève de tenter de découvrir par où passerait la porte en dessinant quelques
points de sa trajectoire attendue tout en laissant la porte fermée. Une corde et une règle (ou
un bâton) sont alors à la disposition des élèves.
Après vérification au moyen de l’ouverture de la porte et de la correction de points, il est
possible de demander de relier les points entre eux pour en venir à la conclusion que la
porte effectue une trajectoire circulaire alors que les points forment une ligne courbe. On
peut, à ce moment, faire état du fait qu’il s’agit d’une partie de cercle et, plus précisément,
d’un « arc de cercle ».
128
Sans ouvrir la porte, tente de découvrir par où passerait la porte. Trace sa trajectoire sur ton carton.
Procédures anticipées :
Une autre étape consiste à demander à l’élève de poursuivre la trajectoire en plaçant la
feuille à n’importe quel endroit. Il est alors possible d’observer un vaste éventail de
procédures, mais, après quelques tentatives infructueuses, il se peut que l’apprenant
retourne à la porte en quête de repères. Accompagné de l’enseignant, il en vient alors à la
conclusion que le centre de la trajectoire est l’aplomb du gond (lieu d’attachement de la
porte) et que le fait de reporter la mesure de la largeur de la porte permet de tracer
l’ensemble des points du cercle. C’est donc à ce moment que le terme « rayon » est
introduit pour signifier « la distance entre le centre et tout point du cercle » ou encore « le
segment qui relie le centre et tout point du cercle ».
130
Par le fait même, l’élève est invité à se prononcer sur des définitions du cercle qui peut
dorénavant être envisagé comme « une figure plane dont chaque point est situé à égale
distance (distance r) du centre » ou comme « une figure plane formée par la rotation d’un
point autour d’un point fixe, le centre ». De plus, le centre de cercle devient « le point
intérieur du cercle situé à égale distance de tout point du cercle » ou « le point fixe de
rotation ».
4.2.6 Réinvestissement
Dans le but de procéder à l’intégration de l’ensemble des attributs du cercle découverts
jusqu’à maintenant, la situation intitulée Message téléphonique de la recherche d’Artigue et
Robinet (1986) peut témoigner de sa pertinence (voir section 2.5). Effectivement, il s’agit
d’une situation de communication qui permet à chacun de réutiliser ses connaissances sur le
cercle (rayon, diamètre, centre) sur la base de l’utilisation de procédures diverses.
4.3 TROISIÈME CYCLE DU PRIMAIRE
Poursuivant l’étude du cercle à un niveau supérieur, le troisième cycle représente, sur la
base de la théorie de van Hiele, le niveau où l’on privilégie l’établissement de relations
entre les propriétés du cercle et entre le cercle et des figures planes particulières (polygones
réguliers, rectangle, losange, etc.) (niveau 2). Pour ce faire, il s’agit d’encourager la
progression des apprentissages au moyen de la mise en parallèle entre les propriétés du
cercle qui ont précédemment été découvertes et celles qui restent à connaître de sorte que
l’on participe à l’élargissement de la description des figures géométriques en découvrant
leurs caractéristiques et en les mettant en jeu dans un ensemble de situations.
4.3.1 Arc, rayon, centre de rotation
Pour faire suite aux dernières découvertes du deuxième cycle, cette activité poursuit dans
une situation à caractère dynamique pour réinvestir la propriété de « centre de cercle » qui
s’envisage comme « point fixe de rotation » et celle de constance de la mesure du rayon
pour permettre la résolution d’un problème.
131
On présente donc à l’élève l’illustration ci-dessous en lui mentionnant que la boîte est
attachée à l’aide d’une corde à la branche d’un arbre, mais que cette boîte doit être
transportée de l’autre côté de la rivière. L’apprenant est alors invité à tracer la trajectoire de
l’objet amené à se déplacer pour ensuite se prononcer sur le mouvement dont il est
question, sur ce que représente le tracé obtenu et sur la propriété du rayon utilisée pour
tracer la trajectoire.
Trace la trajectoire de la boîte. De quel mouvement s’agit-il ? Que représente le tracé? Quelle propriété des rayons as-tu utilisée pour tracer cette trajectoire ?
Étant donné la ressemblance entre cette situation et l’activité précédente, et sachant que
l’élève a précédemment découvert les propriétés nécessaires à la résolution de ce problème,
la procédure attendue sera de mesurer la longueur de la ficelle pour en reporter la mesure
plusieurs fois à partir du centre (point d’attachement) et finalement en relier les points
obtenus. L’élève en perçoit alors un mouvement de rotation qui permet d’obtenir une partie
de cercle (qui devient « arc de cercle » avec intervention de l’enseignant) puisqu’il utilise la
propriété des rayons congrus pour atteindre l’objectif poursuivi par la situation.
4.3.2 Centre de cercle
En prolongement à l’activité précédente, la situation qui suit réutilise l’arc de cercle formé
par le déplacement de la boîte pour, cette fois, amener l’élève à trouver le point
d’attachement qui demeure absent.
133
Le point A est le centre d’un cercle. Trouve tous les points équidistants situés à deux centimètres de ce point.
.A
Bien entendu, l’apprenant est porté à avoir recours à sa règle pour tracer plusieurs rayons
(ou reporter 2cm plusieurs fois afin de marquer les points) et relier les points pour faire
suite à ce qu’il a pu faire dans certaines activités préalables. Néanmoins, dans un souci
d’efficacité et d’esthétisme, on lui suggère un outil pour faciliter son travail : le compas.
D’abord, au moyen d’une démonstration de son utilisation, il est question d’inviter l’élève à
s’exercer de manière autonome en lui demandant de tracer des cercles dont les rayons sont
de diverses longueurs. Il peut alors convenir du fait que la mesure du rayon correspond à
l’ouverture du compas. Puis, l’activité poursuit avec des consignes nécessitant le recours à
diverses propriétés du cercle : tracer un cercle sachant que la longueur du diamètre est de
huit centimètres; trouver la mesure du diamètre d’un cercle dont le rayon est de cinq
centimètres, etc. Ainsi, de manière progressive, l’élève sera mis en contact avec la relation
unissant le rayon et le diamètre (D=2r).
4.3.4 Disque, angle au centre
Tirée de la situation intitulée Partage de cercles – Homothéties d’Artigue et Robinet (1986)
(voir section 2.5), l’activité suivante revient sur une démarche précédente abordée au
deuxième cycle alors que l’élève devait partager un disque en deux, puis en quatre parties
égales qu’il obtenait par pliage. C’est donc au moyen de ce procédé qu’il apparaît possible
d’introduire la notion de « disque » représentant l’objet que l’élève manipule et celle de
« secteur de disque » qui correspond à « l’une des parties du disque obtenues par pliage »
ou encore à « la partie du disque délimitée par deux rayons ». Pour travailler cette propriété
134
de « secteur de disque », l’enseignant présente deux disques dont l’un est divisé en six et
l’autre en dix secteurs congrus.
Observe ces disques. Comment peut-on diviser un disque en six parties congrues? En dix parties congrues?
Pour ce qui est du disque séparé en six secteurs congrus, l’élève en vient à conclure à la
conservation d’une certaine grandeur et il tente sans doute plusieurs procédures pour
éventuellement se raccrocher à l’invariance des longueurs des côtés (R). Reportant une
longueur du rayon sur le cercle à l’aide du compas ou de la règle graduée, un partage en six
parties s’obtient et l’élève peut alors facilement constater que, d’après sa démarche, il
parvient tout autant à partager le disque en douze ou en vingt-quatre secteurs au moyen de
la division de la corde en parties égales.
Pour le partage du disque en dix secteurs congrus, la même procédure tend à ressurgir, mais
il y a constat d’échec. Dans le but de surmonter cet obstacle, une intervention de la part de
l’enseignant est nécessaire à l’aide de la présentation de deux disques (l’un d’eux est divisé
en six secteurs congrus et l’autre en dix). L’élève est invité à faire mention des
ressemblances et des différences qu’il y a entre les deux secteurs provenant des deux
disques. C’est alors qu’il convient du fait que les rayons sont de la même longueur, mais
que l’angle formant le secteur et que le bord (arc) sont différents d’un disque à l’autre. On
procède alors à l’introduction d’un nouveau vocabulaire, celui de l’attribut d’ « angle au
centre » qui peut d’abord être exploré par l’élève pour parvenir à le définir comme un
« angle formé par deux rayons et dont le sommet est le centre de cercle ». Aussi,
l’observation de ces disques permet à l’élève de conclure au fait que des cordes ayant la
même mesure sous-tendent des secteurs de disque et des angles au centre égaux, d’où
135
l’émergence d’une certaine conservation de la mesure que l’élève parvenait instinctivement
à remarquer.
4.3.5 Mesure d’angle au centre
Sur la base de la découverte de la propriété d’ « angle au centre », un rappel des sortes
d’angles préalablement travaillées au deuxième cycle est à envisager pour procéder à leur
mise en relation avec le cercle.
Aussi, il pourra être pertinent de miser sur l’introduction de l’utilisation du rapporteur
d’angles grâce à la situation 12 de la page 92 tirée du manuel Clicmaths pour le troisième
cycle du primaire. L’activité ci-dessous servirait de déclencheur puisqu’elle suggère un
outil de mesure des angles pour que l’élève en vienne à rendre compte de la nécessité
d’avoir recours à un instrument plus précis.
Figure 29. Manuel de l’élève A, Volume 1, 3e cycle, p.92.
136
L’enseignant peut attirer l’attention de l’élève sur la mesure de certains angles (droit, plat,
plein) (ex. : un angle droit qui correspond à un quart de tour est associé à 90 degrés) pour
progressivement intégrer le fait que l’angle au centre du cercle appelé « angle plein » est de
360 degrés.
En prenant appui sur la reconnaissance du fait que des secteurs de disque congrus résultent
d’angles au centre congrus, il est possible de demander à l’élève de déterminer la mesure de
l’angle du secteur d’un disque partagé en six ou encore en dix parties congrues. Il procède
alors par un calcul où le total de 360 degrés du disque sera divisé par le nombre de secteurs.
De cette manière, l’apprenant peut réinvestir cette nouvelle connaissance de même que
cette nouvelle technique pour partager un disque selon le nombre de secteurs demandés. Il
effectue d’abord le calcul précédemment découvert pour ensuite utiliser le rapporteur
d’angles et reporter cette mesure permettant de former les secteurs de disque.
4.3.6 Relation entre le cercle et les polygones réguliers
La situation nommée Construction de figures géométriques tirée de la recherche d’Artigue
et Robinet (1986) semble constituer une occasion de procéder à la mise en relation entre le
cercle et d’autres figures planes (voir section 2.5). En effet, elle invite l’élève à mettre à
contribution ses connaissances sur les propriétés de chaque figure et ses habiletés à
manipuler les nouveaux outils mis à sa disposition pour en venir à leur construction.
137
4.3.7 Circonférence
Au moyen de l’exploration, une démarche misant sur la découverte de la propriété de
« circonférence » s’amorce par la mesure, à l’aide d’une corde, des objets ayant une surface
circulaire (objets du quotidien ou solides).
Exemples :
Il devient ensuite question de tracer les contours de la face circulaire de ces objets sur
papier et d’indiquer la mesure de la corde utilisée.
À l’aide de la corde, mesure le contour d’objets ayant une surface circulaire que tu trouves dans la classe. Trace les contours de ces objets sur ta feuille en indiquant la mesure de la corde.
Exemples :
Puis, l’enseignant demande s’il est possible de mesurer le contour d’un cercle sans avoir
recours à une corde. Pour ce faire, il faut inviter l’élève à nommer ce qui fait en sorte que la
mesure du contour d’un cercle soit plus longue ou plus courte. On recherche alors à faire
ressortir que la grosseur du cercle dépend du rayon ou du diamètre. Il faut donc tenter de
trouver la mesure du rayon et celle du diamètre de chaque cercle précédemment tracé pour
éventuellement procéder à une mise en relation entre ces attributs du cercle (rayon,
diamètre et mesure du contour).
138
Mesure le rayon et le diamètre de chaque cercle que tu as tracé et complète le tableau suivant. Que remarques-tu?
Exemple :
Grâce à l’observation des données de ce tableau et à la mise en relation des mesures pour
un même cercle, l’élève en vient à conclure à des propositions telles D=2r et C/D≈3. À ce
moment, l’enseignant peut intervenir pour introduire le nombre (=3.14…) et
institutionnaliser les relations découvertes : C/D = , C=D ou C=2r.
4.4 SYNTHÈSE
Cette section constitue une synthèse des propriétés du cercle faisant l’objet de l’ingénierie
que nous avons proposée dans ce chapitre (voir le tableau 8). Dans la deuxième colonne, il
s’agit d’une proposition de la description des savoirs essentiels abordés en ce qui concerne
le concept du cercle pour chaque cycle de l’enseignement primaire. Dans la troisième
colonne, il est question des propriétés du cercle visées. La quatrième colonne correspond à
r D C
r D C
0,8 1,6 5,30
1,4 2,8 8,75
1,1 2,2 6,85
139
la description des activités permettant de découvrir, de décrire et de mettre en application
ces propriétés. Il s’agit des activités qui ont été présentées dans notre proposition (voir les
sections 4.1, 4.2 et 4.3.)
140
Cycle Programme (savoirs essentiels)
Géométrie : Figures géométriques et sens spatial
Propriétés travaillées Activités suggérées 1er
cyc
le
- Observation, reconnaissance, identification et représentation de figures planes : triangle, carré, rectangle, losange, parallélogramme, trapèze, cercle, pentagone, hexagone
Forme plane (circulaire)
Nom de la figure: cercle
Activités communes pour l’ensemble des figures planes :
- Associer des figures planes à la forme des objets de la vie quotidienne
- Identifier des figures planes dans les faces planes des solides, les contours des faces planes, les projections des faces, les coupes des solides, les empreintes des faces planes de solides, les vues de face (du dessus, de droite, etc.) des solides
- Représenter des figures planes (dessin, sur du papier quadrillé)
2e cyc
le
- Identification, comparaison et description des figures planes : polygone/non polygone, triangle, quadrilatère, pentagone, hexagone, carré, rectangle, losange, parallélogramme, trapèze, polygone régulier, cercle.
- Comparaison, description et identification des angles : aigu, droit, obtus, plat, plein (quart de tour, demi-tour, tour complet; comparaison des angles par rapport à l’angle droit (plus petit, plus grand))
Ligne courbe, segment de droite, ligne brisée, ligne fermée, convexe/non convexe, nombre de côtés et d’angles, congruence de côtés et d’angles, perpendicularité et parallélisme de côtés, type d’angles, nombre d’axes de symétrie
Exemples pour le concept du cercle:
Cercle :
- Figure plane composée d’une ligne courbe fermée
- Figure plane créée par la rotation d’un point autour d’un point fixe
- Figure plane admettant une infinité d’axes de symétrie (concourants)
Activités communes pour l’ensemble des figures planes :
- Plier des figures planes : reconnaissance de la symétrie de la figure, représentation graphique de l’axe (ou des axes) de symétrie, reconstitution de la figure symétrique (tracer la deuxième moitié), description de la figure selon le nombre d’axes qu’elle possède (voir section 4.2.1)
- Tracer l’axe de symétrie de figures particulières (triangle équilatéral, carré, rectangle, losange, cercle; introduction de nouveaux termes : hauteur, diagonale, etc.) (voir section 4.2.3)
- Observer des collections de figures planes : recherche de ressemblances, de différences, des éléments communs, des intrus (voir section 4.2.4)
141
2e cyc
le
- Identification et description des propriétés du cercle : rayon, diamètre, centre, angle au centre, disque, secteur, corde, arc
Diamètre :
- Plus longue corde du cercle (corde : segment de droite qui joint deux points du cercle)
- Corde passant par le centre du cercle
- Axe de symétrie (infinité)
- Tous les diamètres d’un cercle sont congrus
Rayon :
- Segment reliant le centre avec un point quelconque du cercle
- Distance entre le centre et tout point du cercle
- Tous les rayons d’un cercle sont égaux
Centre de cercle :
- Point d’intersection des axes de réflexion
- Point d’intersection des diamètres
- Milieu du diamètre
- Point fixe de rotation
- Point à l’intérieur du cercle situé à égale distance de tout point du cercle
Disque : Région (surface) intérieure du cercle
Secteur de disque (secteur circulaire) : Partie d’un disque (délimitée par deux rayons)
Arc de cercle : Partie d’un cercle
Activités spécifiques pour l’étude des propriétés du cercle :
- Tracer l’axe de symétrie du cercle (sans plier la feuille) (voir section 4.2.1, activité 2)
- Rechercher le centre d’un cercle (sans plier la feuille) (voir section 4.2.2)
- Distinguer le cercle des autres figures planes (voir section 4.2.4)
- Tracer la trajectoire circulaire (de la porte, du pendule, etc.) (voir section 4.2.5)
142
3e cyc
le
- Construction de figures planes selon des données concrètes (mesure) et abstraites (côté a, angle A, h, D, r) : triangle, carré, rectangle, losange, parallélogramme, trapèze, polygone régulier, cercle. Procédés de construction: tracer les lignes droites (segments), droites parallèles et perpendiculaires (équerre); reporter les mesures de côtés (compas) et d’angles (rapporteur d’angles)
Cercle : Figure dont tous les points sont situés à égale distance du centre de cercle
Angle au centre :
-Angle formé par deux rayons du cercle
-Angle dont le sommet est au centre du cercle et dont les côtés sont des rayons du cercle
- Tracer le cercle à partir d’un centre et du rayon donné (outil physique : corde; outil graphique : compas) (voir section 4.3.3)
- Partager un disque en parties congrues (voir section 4.3.4)
3e cyc
le
- Mesure du contour d’un cercle (circonférence) : Établir les relations entre les propriétés du cercle : r, D, C
- Mesure d’angles au centre du polygone régulier
Rayon : ½D
Diamètre : 2r
Circonférence : C/D≈3, C=D ou C=2r, où (=3.14…)
Angle au centre :
Cercle : 360°
Secteur de disque : 360°/ n, où n est le nombre de secteurs
Polygone régulier : 360°/ n, où n est le nombre de côtés (d’angles) du polygone
- Tracer le cercle à partir de la mesure du diamètre (voir section 4.3.3)
- Rechercher des relations entre les propriétés du cercle : r, D, C (voir section 4.3.7)
- Partager un disque en parties congrues (voir section 4.3.5)
- Inscrire un polygone régulier dans un cercle (recherche de relation entre le cercle et le polygone régulier) (voir section 4.3.6)
Tableau 8. Synthèse sur le cercle: notre proposition
143
En analysant les données de ce tableau, on peut observer que cette description tient compte
de nombreux attributs impliqués dans le concept du cercle (colonne 3), de différents
processus physiques et mentaux qui permettent la construction de ce concept (proposition
de savoirs essentiels, colonne 2) ainsi que des activités dans lesquelles ces processus et ces
attributs sont mis en jeu (colonne 4). En s’appuyant sur les théories développementales,
notre proposition suit la progression des apprentissages et offre un découpage permettant
l’exploitation d’un enseignement aux trois cycles du primaire.
145
CONCLUSION
De manière à dresser le bilan de ce projet sur la base des objectifs servant de déclencheurs à
la recherche, cette section de conclusion tentera d’effectuer un retour sur les principales
étapes de la démarche poursuivie qui ont permis l’obtention de résultats. Dans cette
perspective, il y aura précision des apports et des limites de la recherche pour ultimement
ouvrir sur la possibilité d’une suite.
Objectifs et résultats de la recherche
La preuve n’était plus à faire que le langage demeure une condition essentielle à
l’acquisition de nombreux concepts mathématiques. Effectivement, plusieurs recherches
s’étant déjà penchées sur la question ont pu confirmer cette affirmation, ce qui a d’ailleurs
eu des répercussions dans le cadre de l’élaboration de la réforme actuelle en éducation.
Pourtant, malgré cela, de nombreuses difficultés dans le domaine de la géométrie
continuent de s’expliquer par l’insuffisance du développement des compétences langagières
chez les élèves.
La persistance des difficultés rencontrées par les élèves faisait en sorte de la nécessité de se
préoccuper de ce qui se produisait dans le milieu de la pratique pour cibler précisément les
éléments problématiques et éventuellement apporter les modifications nécessaires afin que
les activités mathématiques permettent de contrer ce phénomène. En fait, puisque les
innovations dans le domaine de l’éducation sont principalement véhiculées par le
Programme et les manuels étant donné leur consultation fréquente chez les professionnels,
la première étape visant à apporter des éléments de réponse à notre question de recherche
devait conduire à l’analyse de ces outils servant de support à la pratique. Dans le but de
rendre compte de ces propos de manière plus approfondie, notre démarche s’est restreinte à
l’analyse du cercle, une figure plane dont le potentiel d’enseignement, souvent sous-estimé,
pouvait s’avérer très riche et varié.
Appuyée sur un cadre théorique étoffé (chapitre 2), la démarche d’analyse a permis de
porter un regard critique sur la manière dont ce concept peut être déployé dans le cadre de
l’enseignement. C’est ainsi qu’il a été possible de convenir du fait que des manques
146
s’observaient dans la description des savoirs essentiels du Programme de formation de
l’école québécoise (section 3.1.1) et dans les activités de manuels (section 3.1.2) en ce qui
concerne la pertinence mathématique alors qu’il n’y avait pas présence d’un ensemble
suffisant d’attributs. On remarquait également des lacunes en ce qui a trait à la pertinence
didactique en raison du fait que les apprentissages n’étaient pas organisés selon la
progression de la pensée géométrique suggérée par les recherches étudiées. Effectivement,
les activités mathématiques proposées dans les manuels consultés ne favorisaient pas le
développement des compétences langagières de l’apprenant, principalement parce que le
niveau descriptif était peu exploité, et ce, pour un nombre restreint d’attributs. Aussi, non
seulement ces mêmes activités ne correspondaient pas aux niveaux de développement de la
pensée géométrique de van Hiele (1959/1984), mais elles ne constituaient pas un ensemble
de situations (Vergnaud, 1991b; Artigue, 1988) mettant en jeu la découverte des propriétés
du cercle et leur emploi de façon à provoquer un engagement intellectuel actif de la part de
l’élève et à éviter l’intervention de l’enseignant dans le processus de construction des
connaissances (Brousseau, 1998).
Apports, limites et perspectives de la recherche
Devant les résultats obtenus au moyen de la démarche d’analyse privilégiée, le projet de
recherche ne pouvait s’en tenir à une simple énumération de faits sans se donner comme
mission d’apporter sa contribution à la pratique. De cette réflexion est donc née notre
proposition (chapitre 4) qui s’appuie sur les grandes théories de la didactique telles
qu’abordées dans le cadre théorique. Inspirée de la recherche d’Artigue et Robinet (1986),
elle démontre un souci d’organisation des apprentissages afin de procéder au
développement du langage à travers l’acquisition des attributs que sous-tend un concept
mathématique. Elle conduit également au développement progressif de la conceptualisation
à travers des activités exploratoires misant sur le raisonnement, la visualisation et le
langage. Traitant spécifiquement le concept du cercle, il demeure qu’elle peut constituer un
modèle pour une démarche d’enseignement portant sur toute figure plane du Programme.
Sur le plan didactique, cette recherche a témoigné de sa pertinence alors que peu de
recherches ont abordé une analyse des programmes et des manuels didactiques en
147
mathématiques jusqu’à maintenant et aucune n’a proposé une analyse du développement
des concepts à travers les activités de manuels selon les cycles d’apprentissage. Cette étude
a permis de faire la démonstration que, malgré le fait qu’ils représentent d’importants
supports à la démarche d’enseignement, les manuels didactiques doivent faire l’objet d’un
regard critique de la part de l’enseignant qui peut s’en inspirer en tentant de créer un
contexte qui aurait l’avantage de faire évoluer la situation présentée. Sur ce point, cette
recherche dévoile une certaine limite alors qu’elle ne tient pas compte de cette zone
d’autonomie du professionnel. Effectivement, seuls les manuels didactiques ont fait l’objet
d’une analyse sans que les adaptations de la part de celui qui les exploite ne soient prises en
compte. Ainsi, le prolongement de cette recherche pourrait précisément se diriger dans cette
voie. De plus, il pourrait être question de procéder à la vérification de l’efficacité de la
proposition de cette recherche pour rendre compte de la manière dont elle permet
l’évolution des conceptions des élèves par rapport au concept du cercle, comme ce qu’ont
précédemment effectué Artigue et Robinet dans leur recherche.
149
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primaire, Laval, Éditions HRW, p.12-16.
Charest, D. et coll. (2001). Clicmaths. Cahier d’apprentissage 1, Volume B, 1e cycle du
primaire, Laval, Éditions HRW, p.19. Charest, D. et coll. (2001). Clicmaths. Manuel de l’élève 1, Volume B, 1
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primaire, Laval, Éditions HRW, p.73-77.
Guay, S. et coll. (2002). Clicmaths. Manuel de l’élève 3, Volume A, 2e cycle du primaire,
Laval, Éditions HRW, p. 22-31.
Guay, S. et coll. (2003). Clicmaths. Manuel de l’élève A, Volume 1, 3e cycle du primaire, Laval, Éditions HRW, p.44-53.
Guay, S. et coll. (2003). Clicmaths. Manuel de l’élève A, Volume 1, 3e cycle du primaire, Laval, Éditions HRW, p.90-99.
Guay, S. et coll. (2003). Clicmaths. Manuel de l’élève B, Volume 1, 3e cycle du primaire, Laval, Éditions HRW, p.22-31.
153
ANNEXES
155
ANNEXE I : PROGRAMME DE FORMATION DE L’ÉCOLE QUÉBÉCOISE (SECTION GÉOMÉTRIE : FIGURES GÉOMÉTRIQUES ET SENS SPATIAL)
156
157
ANNEXE II : ACTIVITÉS TIRÉES DES MANUELS DIDACTIQUES DE LA COLLECTION CLICMATHS
Charest, Denise et coll. (2001). Clicmaths. Manuel de l’élève 1, Volume A, 1e cycle du
primaire, Laval, Éditions HRW, p.83-87.
158
159
Charest, Denise et coll. (2001). Clicmaths. Manuel de l’élève 1, Volume B, 1e cycle du
primaire, Laval, Éditions HRW, p.12-16.
160
Charest, Denise et coll. (2001). Clicmaths. Cahier d’apprentissage 1, Volume B, 1e
cycle du primaire, Laval, Éditions HRW, p.19.
161
Charest, Denise et coll. (2001). Clicmaths. Manuel de l’élève 1, Volume B, 1e cycle du
primaire, Laval, Éditions HRW, p.12-16.
162
163
164
Charest, Denise et coll. (2001). Clicmaths. Manuel de l’élève 1, Volume B, 1e cycle du
primaire, Laval, Éditions HRW, p.73-77.
165
Guay, Sylvio et coll. (2002). Clicmaths. Manuel de l’élève 3, Volume A, 2e cycle du
primaire, Laval, Éditions HRW, p. 22-31.
166
167
168
Guay, Sylvio et coll. (2003). Clicmaths. Manuel de l’élève A, Volume 1, 3e cycle du
primaire, Laval, Éditions HRW, p.44-53.
169
170
171
172
173
174
175
176
177
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Guay, Sylvio et coll. (2003). Clicmaths. Manuel de l’élève A, Volume 1, 3e cycle du
primaire, Laval, Éditions HRW, p.90-99.
179
180
Guay, Sylvio et coll. (2003). Clicmaths. Manuel de l’élève B, Volume 1, 3e cycle du
primaire, Laval, Éditions HRW, p.22-31.
