Le funzioni generalizzate causalinella modellisticageofisica ed ambientale

Fabio Cavallini

Istituto Nazionale di Oceanografia e di

Geofisica Sperimentale – OGS

Borgo Grotta Gigante 42/C

I-34010 Sgonico (Trieste) TS

E-mail: fcavallini@inogs.it

1

Sommario

1. Matematica

(a) Distribuzione di Gelfand-Shilov

(b) Integrale iterato e frazionario

(c) Derivate frazionarie

2. Geofisica

(a) Radar geologico (Elettromagnetismo)

(b) Prospezioni sismiche(Viscoelasticita’)

(c) Ingegneria dei giacimenti(Poro-viscoelasticita’)

(d) Meteorologia e oceanografia(Fluidodinamica geofisica)

(e) Idrologia (Idrogramma unitario)

(f) Ecologia e climatologia(CO2 e foreste)

2

Distribuzione di Gelfand-Shilov

Def.:

G0 = δ G1 = θ G2 = ramp G−1 = δ′

Gn = ∗n θ = rampn−1/(n− 1)! n = 2, 3, . . .

G−n = δ(n) n = 2, 3, . . .

Gν = rampν−1/Γ[ν] ν > 0

G−ν = ∂n Gε ν = n− ε , n ∈ IN\{0} , 0 < ε < 1

Es.:

G1/2 = 1√πramp−1/2

G−1/2 = ∂ G1/2

Teor.:

Gα ∗Gβ = Gα+β α, β ∈ IR

N.B.: gruppo a 1 param. risp. ∗

Teor.:

∗n (δ′ − a δ)← = Gn exp[a#]

3

Integrale iterato e frazionario

Integrale iterato:(∫ nf

)[t] :=

∫ t

−∞dt1

∫ t1

−∞dt2 . . .

∫ tn−1

−∞dtn f [tn]

∫ n= Gn∗

Integrale frazionario (ν > 0):

Gelfand-Shilov:

–∫ ν

GS:= Gν∗

Classico:(–∫cl

νf

)[t] :=

1

Γ[ν]

∫ t

0dτ (t− τ)ν−1 f [τ ]

–∫ ν

GS(f θ) = θ –

∫cl

νf

Es.:

–∫ ν

GSGα = Gν+α

4

Derivate frazionarie

Def.:

Gelfand-Shilov:

∂νGS := G−ν ∗

Liouville-Riemann:

∂νLR := ∂n –

∫cl

n−ν0 ≤ n− 1 < ν < n

Caputo-Mainardi:

∂νCM := –

∫cl

n−ν∂n 0 ≤ n− 1 < ν < n

Teor.:

∂εGS(f θ) = θ ∂ε

LR f = θ ∂εCMf + f [0]G1−ε

Teor.:

∂n+εGS =

∂n+1 ramp−ε

Γ[1− ε]∗ (n ∈ IN, 0 ≤ ε < 1)

Es.:

∂νGS Gα = Gα−ν

Teor.:

∂αGS◦∂

βGS = ∂

α+βGS ∂ν

GS◦–∫ ν

GS= –

∫ ν

GS◦∂ν

GS = I

Def.:. (calculator):∫ ν∂ = Gν ∗ ν ∈ IR

5

Radar geologico

(Acquisizione ed elaborazione dati)

6

Radar geologico

(Equazioni di Maxwell)

rot E = −∂t Brot H = +∂t D + Jdiv B = 0div D = ρ

D = ∂t ε ∗ EB = ∂t µ ∗H

(Faraday)(Ampere)

(ε = ε>)(µ = µ>)

Es.:

µ = θ µ0

ε = ε0 G1 + σ G2 + η G2−ε

m 0 < ε < 1

∂tD = ε0 ∂tE + σ E + η ∂εtE

Casi particolari:

D = ε0 E

∂t D = σ E

∂1−εt D = η E

(dielettrico)(conduttore)

(geo-materiale)

7

Radar geologico (Leggi costitutive)

Debye anisotropo:

(α0 + α1 ∂t)D = (β0+ β

1∂t)E

i.e. {D = M E

M = (α0 − iω α1)−1 (β

0− iω β

1)

i.e.D = ∂t ε ∗ E

∂t ε = δ α−11 β

1+ θ exp[−#α−1

1 α0]α−11 (β

0− α0 α−1

1 β1)

Cole-Cole anisotropo:

(α0 + α1 ∂αt )D = (β

0+ β

1∂

βt )E (α = β)

i.e.{D = M E

M = (α0 + (−iω)α α1)−1 (β

0+ (−iω)β β

1)

i.e.

D = ∂t ε ∗ E

∂t ε = (θ expν,−α−1

1 α0) ∗ (G0 β

0+ G−α β

1)

expν, a[t] = tν−1 Eν, ν[a tν]

Eα, β[z] =∑∞

k=0zk

Γ[α k+β] (Mittag-Leffler)

8

Prospezioni sismiche

(Acquisizione ed elaborazione dati)

9

Prospezioni sismiche

(Equazioni viscoelastiche anisotrope)

divT + b = ρ ∂ttu (conservazione momento)

T = ∂t( C ∗ E) (legge costitutiva)

E = sym∇u (eq. cinematica)

dove:

T = tensore degli sforzi

b = forza di volume

ρ = densita

u = vettore di spostamento

C = tensore di rilassamento

E = tensore di deformazione

symA = (A + A>)/2

Modello di Bagley & Torvik (cf. Cole-Cole):

( α0 + α1 ∂αt )T = ( β0 + β1 ∂α

t )E

10

Ingegneria dei giacimenti

(Poro-viscoelasticita’)

Eq.i cinematiche:

E = sym∇u e = divw

Legge costitutiva anisotropa:[Tp

]=

[M MM · M

] [Ee

]

isotropo M = C iso M = α M I

poroacustico isotropo con µ = 0

Eq.i dinamiche:[ρ ∂t ρf ∂t

ρf ∂t Y ∗[∂t]

] [uw

]=

[div 00 ∇

] [Tp

]Y ∗[∂t] = η

k + m ∂νt

11

Meteorologia e oceanografia

(Fluidodinamica geofisica)

Fluido newtoniano:

T = η(∇ v + (∇ v)>

)Fluido viscoelastico:

T =d

dtη ∗

(∇ v + (∇ v)>

)Es.:

T = η0 tν0 ∂ν(∇ v + (∇ v)>

)Equazione quasi-geostrofica dissipativa:

∂θ

∂t+ u · ∇θ + κ (−∆)α θ = f 0 < α < 1

12

Idrologia (Idrogramma unitario)

Relazione afflussi-deflussi:

portata piogge↓ ↓q = IUI ∗ p

Esempio “classico”:

IUI =k1 k2

k2 − k1(exp[k2 t]− exp[k1 t])

Esempio “frazionario”:

IUI =k1 k2

k2 − k1(expν, k2

[t]− expν, k1[t])

Teor: (Hanyga)

0 < α < 1 =⇒ expα,−1 > 0

13

Ecologia e climatologia

(CO2 e foreste)

In un bacino idrologico (Eshlemann, 2000):

azoto deforestazione↓ ↓

N = R ∗ D (in Z)

Modelli climatici (Elzen-Schaeffer, 2002):

∆T [t] = C∫ t0 Q[τ ]

∑2k=1

lkτk

exp[−t−ττk

] dτ

dove:

∆T = differenza di temperaturaC = capacita termicaQ = flusso di calorel1 + l2 = 1

14

Conclusioni

1. La convoluzione ha un grande e crescente

ruolo nella modellistica geofisica, in quanto

ogni relazione causa-effetto e descrivibi-

le con una convoluzione, se il sistema e

lineare e tempo-invariante.

2. In particolare, leggi costitutive espresse

da equazioni differenziali frazionarie sono:

• adatte a descrivere fenomeni intermedi

tra diffusione e propagazione, e

• richiedono pochi parametri fenomeno-

logici.

3. Quale ruolo per il calcolo frazionario nella

formulazione di leggi costitutive nonlineari?

15