Le Galassie: relazioni di scala - Arcetrimarconi/Lezioni/Extragal11/Lezione04.pdf · Le Galassie: relazioni di scala Lezione 4. A. Marconi Astronomia Extragalattica (2010/2011) Propriet

Le Galassie: relazioni di scala

Lezione 4

A. Marconi Astronomia Extragalattica (2010/2011)

Proprietà di una galassiaE’ possibile ottenere spettri ed immagini di una galassia a tutte le lunghezze d’onda (dal radio ai raggi X).Si possono quindi avere due tipi di osservazioni complementari per misure quantitative:

Fotometria (da immagini)morfologia (→ braccia a spirale, barre, bulge → classificazione di Hubble; presenza di reddening, interazione con altre galassie ecc.)fotometria (→ profili di brillanza -> luminosità della galassia e delle sue componenti, raggi scala → SED spectral energy distributions)

Spettroscopia (da spettri)cinematica del gas e delle stelle (→curve di rotazione, dispersione di velocità, ecc.)condizioni fisiche del gas (→ meccanismo di ionizzazione → sorgente ionizzante)popolazioni stellari (→ storia di formazione stellare → evoluzione)

2


Il Teorema del Viriale

3

d

dt(mα�vα) = −

�

β �=α

Gmαmβ

|�xα − �xβ |3 (�xα − �xβ) + �Fαext = −mα∇φ(�xα)

�

α

d

dt(mα�vα) · �xα = −

�

α,β �=α

Gmαmβ

|�xα − �xβ |3 (�xα − �xβ) · �xα +�

α

�Fαext · �xα

�

β

d

dt(mβ�vβ) · �xβ = −

�

β,α �=β

Gmβmα

|�xβ − �xα|3 (�xβ − �xα) · �xβ +�

β

�F βext · �xβ

Consideriamo un sistema di N particelle in interazione gravitazionale con masse mα (α=1,2,...,N) alle posizioni �xα

Per ogni stella α

Faccio il prodotto scalare membro a membro con e sommo su α:�xα

Analogamente per la stella β

Forza esterna, esempio interazione con materia oscura, gas

�

α

d

dt(mα�vα) · �xα = −

�

α,β �=α

Gmαmβ

|�xα − �xβ |3 (�xα − �xβ) · �xα +�

α

�Fαext · �xα

�

β

d

dt(mβ�vβ) · �xβ = −

�

β,α �=β

Gmβmα

|�xβ − �xα|3 (�xβ − �xα) · �xβ +�

β

�F βext · �xβ

�xα

�xα

d

dt(mα�vα) = −

�

β �=α

Gmαmβ



d

dt(mα�vα) · �xα =

12

d2

dt2(mα�xα · �xα)−mα�vα · �vα

�

α

d

dt(mα�vα) · �xα = −1

2

�

α,β �=α

Gmαmβ

|�xα − �xβ | +�

α

�Fαext · �xα


4

Sommando membro a membro e dividendo per 2:

Notando che

�

α

d


12

d2I

dt2− 2Ksi ottiene

I =�

α

mα�xα · �xα Momento di inerzia del sistema

K =12

�

α

mαv2α Energia cinetica totale

�

α

d

dt(mα�vα) · �xα = −1

2

�

α,β �=α

Gmαmβ

|�xα − �xβ | +�

α

�Fαext · �xα

d


12

d2

dt2(mα�xα · �xα)−mα�vα · �vα

I =�

α

mα�xα · �xα

K =12

�

α

mαv2α

�

α

d


12

d2I

dt2− 2K


12τ

�dI

dt(τ) − dI

dt(0)

�= 2�K� + �W � +

�

α

��Fαext · �xα�


5

W =12

�

Vρ(�x)φ(�x)d�x3 =

12

�

α

mαφ(�xα)Energia potenziale del sistema:

φ(�xα) = −�

β �=α

Gmβ

|�xα − �xβ | W = −12

�

α,β �=α

Gmαmβ

|�xα − �xβ |da cui

12

d2I

dt2− 2K = W +

�

α

�Fαext · �xαSi ottiene infine

Mediando membro a membro sul tempo τ, per τ→∞ si ottiene (dI/dτ è finito)

2�K� + �W � +�

α

��Fαext · �xα� = 0

W =12

�

Vρ(�x)φ(�x)d�x3 =

12

�

α

mαφ(�xα)

φ(�xα) = −�

β �=α

Gmβ

|�xα − �xβ | W = −12

�

α,β �=α

Gmαmβ

|�xα − �xβ |

12

d2I

dt2− 2K = W +

�

α

�Fαext · �xα

12τ

�dI

dt(τ) − dI

dt(0)

�= 2�K� + �W � +

�

α

��Fαext · �xα�

2�K� + �W � +�

α

��Fαext · �xα� = 0



Consideriamo un sistema di particelle in interazione gravitazionale legato ed in equilibrio per cui si possono trascurare le forze esterne. Per esso vale il teorema del Viriale:

< W > + 2 < K >=0

< W > è l’energia gravitazionale media totale del sistema;

< K > è l’energia cinetica totale media.

< W > e < K > sono valori medi su tempi lunghi rispetto ai tempio scala del sistema. Indichiamoli per semplicità con W e K.

K>0 per definizione di energia cinetica (< K > = < Σi 1/2 mi vi2 >) da cui necessariamente risulta < W > < 0 (è un sistema legato ...).

Definendo l’energia totale del sistema E = W+K il teorema del viriale si può riscrivere come E = 1/2 W oppure E = -K

6


Uno sferoide è caratterizzato da moti caotici per cui la curva di rotazione quando non è completamente piatta non dice molto sulla massa totale come per i dischi delle spirali.Consideriamo un sistema di N stelle, il teorema del viriale si può esprimere come:

consideriamo per semplicità un ammasso con N stelle di massa m per cui M = m N

ma

con l’assunzione di un sistema isotropo in cui, per l’equipartizione, la dispersione di velocità osservata lungo la linea di vista è σr = 1/√3 σ, ovvero più piccola di quella totale.

La Massa degli Sferoidi

7

−2

�N�

i=1

12miv

2i

�= W

−M

N

�N�

i=1

v2i

�= W

1N

�N�

i=1

v2i

�= �v2� = �v2

r� + �v2θ� + �v2

φ� � 3�v2r� = 3σ2

r

−2

�N�

i=1

12miv

2i

�= W

−M

N

�N�

i=1

v2i

�= W

1N

�N�

i=1

v2i

�= �v2� = �v2

r� + �v2θ� + �v2

φ� � 3�v2r� = 3σ2

r


Consideriamo una sfera di densità uniforme, di massa M e raggio R, allora

applicando il teorema del viriale:

questa è la cosiddetta massa viriale.In generale:

Si può usare per calcolare il rapporto M/L del sistema. La figura mostra che Mvir è un’ottima approssimazione rispetto a misure di M da modelli dinamici completi → galassie non sono troppo complicate!

La Massa degli Sferoidi

8

Cappellari et al. 2006

best fitrel. 1:1

W = −12

� R

0ρ(r)φ(r)4πr2dr = −3

5GM2

R

Mvirial =5Rσ2

r

G−3Mσ2

r = −35

GM2

R

Mvirial = fRσ2

r

G

W = −12

� R

0ρ(r)φ(r)4πr2dr = −3

5GM2

R

−3Mσ2r = −3

5GM2

RMvirial =

5Rσ2r

G

Mvirial = fRσ2

r

G


d

dt(mα�vα) = −

�

β �=α

Gmαmβ


d

dt(mα�vα) = −

�

β �=α

Gmαmβ


Kzz =12

�

α

mαvz2α Wzz = −1

2

�

α,β �=α

Gmαmβ

|�xα − �xβ |

3

(zα − zβ)2

Teorema del viriale tensorialeE se il sistema avesse una distribuzione di velocità anisotropa o semplicemente una componente di rotazione ordinata, buttiamo via tutto?Ovviamente no! Consideriamo l’equazione di partenza (F=ma per stella α, senza forze esterne):

9

12

d2Izz

dt2= 2Kzz + Wzz Izz =

�

α

mαz2αcon

12

d2Izz

dt2= 2Kzz + Wzz Izz =

�

α

mαz2α

Kzz =12

�

α

mαvz2α Wzz = −1

2

�

α,β �=α

Gmαmβ

|�xα − �xβ |

3

(zα − zβ)2

�xα = xα�i + yα

�j + zα�k�zα = zα

�kRipetiamo la dimostrazione del teorema del viriale facendo il prodotto scalare con invece che con ovvero considerando una sola direzione spaziale. Si ottiene:


Teorema del viriale tensoriale

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Teorema del Viriale Tensoriale: come il teorema del viriale ma per la sola componente z. Relazioni analoghe valgono per x e y.

Se una galassia è “schiacciata” in xy ed è assi-simmetrica rispetto a z allora

�Wzz� > �Wxx� = �Wyy� segno “>” perché W è negativa.

12σ2

z <12σ2

x =12σ2

yAllora la galassia deve essere “anisotropa”:

Se ho una componente di rotazione ordinata sul piano xy (la stessa in media lungo x e lungo y) allora posso considerare K = Krandom+Krotation e avere

12σ2

z <12σ2

x +12V 2 =

12σ2

y +12V 2

2�Kzz� + �Wzz� = 0ovvero, facendo la media sul tempo τ→∞ 2�Kzz� + �Wzz� = 0

�Wzz� > �Wxx� = �Wyy�12σ2

z <12σ2

x =12σ2

y

12σ2

z <12σ2

x +12V 2 =

12σ2

y +12V 2

nell’ipotesi semplificativa di poter considerare V costante su tutta la galassia.In questo caso posso mantenere l’isotropia e lo “schiacciamento” è supportato dalla rotazione ordinata.

σ2z = σ2

x = σ2yσ2

z = σ2x = σ2

y

dove V è il termine dovuto alla rotazione lungo la linea di vista.


Teorema del viriale tensorialePossiamo scrivere

11

Wzz

Wxx=

Kzz

Kxx≈ σ2

z12V

2 + σ2x

a b=a

c

z

y

xSi può dimostrare che il rapporto tra le energie potenziali dipende principalmente dal rapporto assiale c/a o meglio dall’ellitticità ε = 1 -c/a (non da come è distribuita la massa in funzione del “raggio” m) e risulta

Wzz

Wxx≈

� c

a

�0.9= (1− ε)0.9

La vera velocità di rotazione Vmax è maggiore della componente osservata lungo la linea di vista poichè devo tener conto dei moti perpendicolari alla linea di vista; assumo Vmax ≈ π/4 V. Se i moti casuali sono isotropi allora σx = σz = σ ed ottengo

�Vmax

σ

�=

�V

σ

�

iso

=π

4

�2[(1− ε)−0.9 − 1] ≈

�ε/(1− ε)

Anche galassie abbastanza rotonde dovrebbero ruotare abbastanza velocemente (c/a = 0.7 → Vmax/σ ≈ 0.68).


Teorema del viriale tensorialeNon è possibile misurare c/a per una galassia, però, se i è l’angolo di inclinazione tra asse z e linea di vista, dove B ed A sono i semiassi delle isofote ellittiche sul piano del cielo.Inoltre Voss ~ V sin i ~ 4/π sin i Vmax

12

sin2 i (1− c2/a2) = 1−B2/A2

Curva tratteggiata è la curva trovata prima. Molte galassie stanno sotto perchè l’ipotesi di isotropia σx = σz = σ non è soddisfatta; lo “schiacciamento” deve essere supportato dai moti casuali. Molte galassie sono anisotrope.(V/σ)* è il rapporto osservato rispetto a (V/σ)iso: ellittiche più luminose sono le più anisotrope.


Si mettono in relazione i vari parametri strutturali ottenibili per una galassia per cercare di capire le proprietà fisiche.Attenzione però a non abusare delle correlazioni!

Leggi Scala delle Galassie

13

What we learn from scaling relations...

VenusYellowstone Park forest fire

Jeep Cherokee running in a garageburning cigar

observable universe

... is sometimes nothing!

Kennicutt, 1989

Kennicutt 1989


Leggi Scala nelle Spirali

Le curve di rotazione delle galassie a spirale sono piatte a grandi raggi (misure HI) quindi VC è una caratteristica della galassia (si può usare la larghezza della riga HI indicata con W o ΔVC).

Vc correlata con la luminosità della galassia

Relazione Tully-Fisher: L ~ VCα

Qual’è il significato fisico?

Massa della galassia: M = VC2 R / G

Rapporto M/L: M = L (M/L) = L ΥBrillanza superficiale μ: L = μ πR2

Si può quindi scrivere: L ∝ VC4 / ( μ Υ2 )μ Υ2 ~ cost. → stretto legame tra stelle (L) e materia oscura (M).

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Indicatore di Luminosità!


Le ellittiche più luminose sono più grandi ed hanno una surface brightness minore ovvero la loro “densità di luminosità” sul piano del cielo è minore rispetto alle galassie meno luminose.Le galassie dE e dSph hanno un comportamento completamente diverso dalle Ellittiche e dai Bulge delle spirali!

Leggi Scala nelle Ellittiche

15

μB = αMB +β → Re ∝ LB(1-α)/2

log Re = γMB +δ → Re ∝ LB-2.5γ

µB = −2.5 log�

FB

πR2e

�+ ZPB MB = −2.5 log LB + MB⊙

Le due relazioni sono equivalenti!

µB = −2.5 log�

FB

πR2e

�+ ZPB MB = −2.5 log LB + MB⊙


Leggi Scala nelle Ellittiche

16

Σ(R

e) [V

mag

arc

sec-2

]

log Re [kpc]

◆ Ellittiche ○ Bulges

◆ Ellittiche

“Kormendy relation”

log σe = αMB +β → σe ∝ LB-2.5α

LB ∝ σe4

“Faber-Jackson relation”

Queste relazioni hanno una dispersione più grande di quanto ci si aspetterebbe dagli errori di misura (χ2 >1).La dispersione intrinseca è la dispersione dei residui (σres) del fit dopo aver tolto gli errori Δ: σint2 = σres2-Δ2


Il Piano Fondamentale

La dispersione delle correlazioni L-σ, L-R, μ-σ è grande e comunque queste relazioni sono legate tra loro. Consideriamo i 3 parametri indipendenti, μ, σ, R (oppure L, σ, R): esiste una relazione “fondamentale”?

La relazione fondamentale è un piano nello spazio dei tre parametri:

log Re = α log σe +β log μe

detto “piano fondamentale”. E’ equivalente a

Re ∝ σe1.4 μe-0.85

Le altre relazioni sono proiezioni del piano fondamentale e hanno quindi dispersione maggiore!

17


Il Piano FondamentaleRe ∝ σe1.4 μe-0.85 Qual’è il suo significato fisico?

Supponiamo che le Ellittiche siano una famiglia omologa, cioè che abbiano le stesse proprietà di scala:Teorema del viriale: V2 = G M/Rg

Rapporto Massa/Luminosità: M/L = ΥLe quantità osservate sono:Re = kr Rg

σ2 = kv V2

µe = L/2 (π Re2)-1

sostituendo nel teorema del viriale V2, M e Rg con le quantità osservate si ottieneRe = (2π G krkv Υ )-1 σ2 µe-1

ovvero Re ∝ σe2 μe-1

diversa dalla relazione osservata: le Ellittiche non sono famiglia omologa!

18


Il Piano Fondamentale

Re ∝ σe1.4 μe-0.85 Qual’è il suo significato fisico? Non è altro che una relazione tra rapporto M/L (caratteristico di una popolazione stellare, della sua storia di formazione ed evoluzione) e luminosità L della galassia.Teorema del Viriale: M = kr kv2 σe2 Re / GDefinizione di μ: L = 2μe π Re2

Re ∝ σeα μe-β → σeα Re2β-1 ∝ Lβ → σe1.4 Re0.7 ∝ L0.85

→ (σe2 Re)0.7 ∝ L0.85 → M0.7 ∝ L0.85 → M/L ∝ L0.2

ovvero M/L dipende (debolmente) dalla Luminosità.Le galassie più massicce sono quelle con M/L più elevato quindi hanno popolazioni stellari più vecchie.La dipendenza di M/L da L derivata dal piano fondamentale che implica una variazione di popolazioni stellari e struttura delle galassie è nota come TILT del piano fondamentale; il TILT si riferisce alla relazione che si avrebbe nel caso di famiglia omologa.

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La funzione di luminosità delle galassie ϕ(L) è definita da dN = ϕ(L) dLdN è il numero di galassie per unità di volume con luminosità tra L e L+dL.ϕ(L) si misura di solito in h-3 Mpc-3; h-3 serve per togliere la dipendenza dalla costante di Hubble H0 = 100 h km/s/Mpc (h=0.72).La forma funzionale che meglio descrive la funzione di luminosità è la cosiddetta funzione di Schechter:

ϕ✶ normalizzazione, α pendenza a basse L e L✶ luminosità caratteristica (L>0.1 L✶ “bright” galaxy).

La densità totale di galassie è:

La densità di luminosità totale è:

Funzione di Luminosità delle galassie

20

L ~ L-α

L ~ exp(-L/L✶)

log ϕ

(L) [

Mp

c-3]

log L [L☉]L✶

ϕ✶

Φ(L)dL

L�= Φ�

�L

L�

�−α

exp(−L/L�)dL

L�

nTot =�

Φ(L)dL = Φ�Γ(α + 1)

ρL =�

LΦ(L)dL = L�Φ�Γ(α + 2)

Φ(L)dL

L�= Φ�

�L

L�

�−α

exp(−L/L�)dL

L�

nTot =�

Φ(L)dL = Φ�Γ(α + 1)

ρL =�

LΦ(L)dL = L�Φ�Γ(α + 2)


Funzione di Luminosità delle galassie

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ρ(L) ~L ϕ(L)

ϕ(L)

ϕ(L) globale è caratterizzata da: L✶ ≈9×109 h-2 L☉ corrispondente a M(BJ)=-19.7+5 log hh=0.7 →L✶ ≈2×1010 L☉ (circa come Milky Way);ϕ✶ ≈0.02 h3 Mpc-3; α = 0.46.

ρL(BJ)≈2×108 h L☉ Mpc-3 e ρL(K)≈6×108 h L☉ Mpc-3

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