Le Geometrie non euclidee

Le Geometrie non euclideeLe Geometrie non euclidee

Prof. Claudio RosanovaProf. Claudio Rosanova

Liceo Scientifico E. MediLiceo Scientifico E. Medi

Barcellona P.G.Barcellona P.G.

Pro

f. C

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L’opera “Elementi” di L’opera “Elementi” di EuclideEuclide

Euclide (300 a.C.) riorganizza la Euclide (300 a.C.) riorganizza la geometria in forma sistematica di geometria in forma sistematica di tipo ipotetico-deduttivotipo ipotetico-deduttivo

Raccoglie tutte le conoscenze dei Raccoglie tutte le conoscenze dei matematici in 13 librimatematici in 13 libri

Nei primi 4 vi sono i concetti Nei primi 4 vi sono i concetti fondamentali della geometria fondamentali della geometria pianapiana

Pro

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Il Primo Libro degli Il Primo Libro degli ElementiElementi

23 definizioni: descrizione intuitiva dei 23 definizioni: descrizione intuitiva dei concetti geometrici con riferimento al concetti geometrici con riferimento al realereale• “”“”Punto è ciò che non ha parti”Punto è ciò che non ha parti”

Assiomi o nozioni comuni: verità di Assiomi o nozioni comuni: verità di carattere generale che hanno validità carattere generale che hanno validità universaleuniversale

5 postulati: verità evidenti, 5 postulati: verità evidenti, caratteristiche della geometriacaratteristiche della geometria

Pro

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Costruzione della Costruzione della geometria euclideageometria euclidea

DEFINIZIONIDEFINIZIONI POSTULATIPOSTULATI ASSIOMIASSIOMI

TEOREMITEOREMI

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Il V PostulatoIl V Postulato

““Se due rette con una trasversale Se due rette con una trasversale formano angoli coniugati interni la cui formano angoli coniugati interni la cui somma è minore di due retti, quelle somma è minore di due retti, quelle due prolungate si incontrano dalla due prolungate si incontrano dalla stessa parte in cui stanno gli angolistessa parte in cui stanno gli angoli””

A

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Altre formulazioniAltre formulazioni

““Due rette parallele formano con Due rette parallele formano con una trasversale angoli coniugati una trasversale angoli coniugati interni supplementariinterni supplementari” (Tolomeo)” (Tolomeo)

““Due rette complanari equidistanti Due rette complanari equidistanti sono parallelesono parallele” (Posidonio)”” (Posidonio)”

““Per un punto fuori da una retta si Per un punto fuori da una retta si può condurre una ed una sola retta può condurre una ed una sola retta parallela alla retta dataparallela alla retta data” (Proclo)” (Proclo)

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Il gesuita Saccheri (1677-Il gesuita Saccheri (1677-1733)1733)

Opera: “Euclide emendato da ogni Opera: “Euclide emendato da ogni macchia” (1733)macchia” (1733)

Tenta di dare una dimostrazione Tenta di dare una dimostrazione per assurdo del quinto postulatoper assurdo del quinto postulato

““Ammettiamo i primi 4 postulati e Ammettiamo i primi 4 postulati e neghiamo il quinto: se si ottiene il neghiamo il quinto: se si ottiene il teorema T e il nonT allora il V è teorema T e il nonT allora il V è valido!”valido!”

Pro

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L’opera di SaccheriL’opera di Saccheri

Trovò teoremi poco intuibili, ma Trovò teoremi poco intuibili, ma logicamente validi, e credette di logicamente validi, e credette di aver trovato la contraddizione! aver trovato la contraddizione! Getta invece le basi per le Getta invece le basi per le geometrie non euclidee.geometrie non euclidee.

Utilizza il cosiddetto “Quadrilatero Utilizza il cosiddetto “Quadrilatero Birettangolo Isoscele”Birettangolo Isoscele”

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Il QUADRILATERO Il QUADRILATERO BIRETTANGOLO ISOSCELEBIRETTANGOLO ISOSCELE

A B

D CM

N

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L’ipotesi dell’angolo rettoL’ipotesi dell’angolo retto

A B

D C

• AB=CD

• Somma angoli interni triangolo = 180°

• Corrisponde alla geometria euclidea

Pro

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L’ipotesi dell’angolo ottusoL’ipotesi dell’angolo ottuso

• AB>CD

• Somma angoli interni triangolo > 180°

• Vale se vale il V postulato, ma ciò implica l’ipotesi dell’angolo retto: è pertanto contraddittoria.

A B

D C

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L’ipotesi dell’angolo acutoL’ipotesi dell’angolo acuto

• AB<CD

• Somma angoli interni triangolo < 180°

• Conduce all’esistenza di rette complanari asintotiche: Saccheri la esclude perché contraria all’intuizione, sebbene logicamente valida.

A B

D C

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Lambert e LegendreLambert e Legendre

Riprendono l’opera di Saccheri ma Riprendono l’opera di Saccheri ma le loro ricerche sono viziate da un le loro ricerche sono viziate da un errore filosofico: “errore filosofico: “il V postulato è il V postulato è una verità assolutamente una verità assolutamente indimostrabile e non può essere indimostrabile e non può essere negato!negato!”.”.

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Il russo Lobatceskij Il russo Lobatceskij

Gauss (1824) afferma che una Gauss (1824) afferma che una geometria fondata sui primi 4 geometria fondata sui primi 4 postulati e sulla negazione del V postulati e sulla negazione del V non è contraddittoria, ma non ha il non è contraddittoria, ma non ha il coraggio di pubblicare la sua operacoraggio di pubblicare la sua opera

Lobatceskij nel 1829 fonda la Lobatceskij nel 1829 fonda la geometria iperbolicageometria iperbolica

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Il ragionamento di Il ragionamento di LobatceskijLobatceskij

r

t

sP

O A B

ll’

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Per P passano secanti e non secanti: Per P passano secanti e non secanti: l e l’ sono le due rette parallele ad rl e l’ sono le due rette parallele ad r

(() è l’angolo di parallelismo) è l’angolo di parallelismo La somma degli angoli interni di un La somma degli angoli interni di un

triangolo è minore di due rettitriangolo è minore di due retti 2R-(2R-(++++)= )= è il difetto angolare è il difetto angolare L’area del triangolo vale A=kL’area del triangolo vale A=k22

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Se A tende a 0, Se A tende a 0, tende a zero e la somma tende a zero e la somma degli angoli interni di un triangolo vale 2Rdegli angoli interni di un triangolo vale 2R

Allora la geometria euclidea è il limite Allora la geometria euclidea è il limite della geometria iperbolica al tendere di A della geometria iperbolica al tendere di A a zeroa zero

In generale, AIn generale, A k k22 (se (se = = allora la allora la somma degli angoli vale zero)somma degli angoli vale zero)

La geom. euclidea vale su scala La geom. euclidea vale su scala terrestre e astronomicaterrestre e astronomica

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Riemann (1826-66)Riemann (1826-66)

Costruisce la geometria ellitticaCostruisce la geometria ellittica Assioma di Riemann: “Due rette Assioma di Riemann: “Due rette

hanno sempre in comune un punto”, hanno sempre in comune un punto”, quindi non esistono rette parallelequindi non esistono rette parallele

Viene modificato il postulato Viene modificato il postulato dell’infinità della retta, introducendo dell’infinità della retta, introducendo il concetto di ILLIMITATOil concetto di ILLIMITATO

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La teoria di RiemannLa teoria di Riemann

L’illimitato come relazione di L’illimitato come relazione di estensione: non legittima lo spazio estensione: non legittima lo spazio come infinitocome infinito

L’infinito come relazione metricaL’infinito come relazione metrica Se lo spazio ha curvatura costante, Se lo spazio ha curvatura costante,

allora sarebbe finito appena la allora sarebbe finito appena la curvatura avesse un valore positivocurvatura avesse un valore positivo

Non vi è accordo tra relazioni metriche Non vi è accordo tra relazioni metriche e postulato di Euclide e postulato di Euclide

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Caratteri della geometria Caratteri della geometria ellitticaellittica

La retta è una linea chiusaLa retta è una linea chiusa Non vale la relazione d’ordine Non vale la relazione d’ordine

euclideaeuclidea Per ordinare i punti è necessaria la Per ordinare i punti è necessaria la

relazione di separazionerelazione di separazione• S(A,B/C,D) S(A,B/C,D) A,B separano C,D A,B separano C,D

AB

D

C

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Segmento AB:Segmento AB:• per Euclide “insieme dei punti di r che per Euclide “insieme dei punti di r che

stanno tra A e B”stanno tra A e B”• Per Riemann: PPer Riemann: PR R Q Q non S(A,B/C,D) non S(A,B/C,D)

è una relazione di equivalenza e vi è una relazione di equivalenza e vi sono due classi rsono due classi r11 e r e r22 dette segmenti dette segmenti

. .AB

r1r1

r2

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Una retta non divide il pianoUna retta non divide il piano

.A .B

r r

.A .B

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Il modello di Beltrami Il modello di Beltrami (1835-1900)(1835-1900)

Esistono linee su una superficie Esistono linee su una superficie che hanno le stesse proprietà delle che hanno le stesse proprietà delle rette nel piano: le GEODETICHErette nel piano: le GEODETICHE

Le geodetiche sono linee i cui tratti Le geodetiche sono linee i cui tratti rappresentano la minima distanza rappresentano la minima distanza tra due punti della superficietra due punti della superficie

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Si hanno tre casi:Si hanno tre casi: 1) la curvatura vale zero: si ha il piano 1) la curvatura vale zero: si ha il piano

e quindi la geometria euclidea;e quindi la geometria euclidea; 2) la curvatura è negativa: si ha la 2) la curvatura è negativa: si ha la

superficie a curvatura negativa e quindi superficie a curvatura negativa e quindi la geometria iperbolica;la geometria iperbolica;

3) la curvatura è positiva: si ha la 3) la curvatura è positiva: si ha la superficie a curvatura positiva e quindi superficie a curvatura positiva e quindi la geometria ellittica;la geometria ellittica;

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Intoduce tre superfici curve dello Intoduce tre superfici curve dello spazio:spazio:

La sfera (geom. ellittica)La sfera (geom. ellittica) il cilindro (geom. euclidea)il cilindro (geom. euclidea) la pseudosfera (geom. iperbolica)la pseudosfera (geom. iperbolica)

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Il modello di Klein (1849-Il modello di Klein (1849-1925)1925)

Sostituisce il V postulato con il seguente:Sostituisce il V postulato con il seguente: ““Per un punto P fuori da una retta Per un punto P fuori da una retta

passano due rette parallele alla retta passano due rette parallele alla retta data”data”

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