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Le geometrie non euclidee: il paese delle meraviglie Campana Matteo Alberta Sassara Gianluca Proietti Giulia Vernali PRESENTANO

Le geometrie non euclidee: il paese delle meraviglie

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Campana Matteo Alberta Sassara Gianluca Proietti Giulia Vernali PRESENTANO. Le geometrie non euclidee: il paese delle meraviglie. I postulati di Euclide. Tra due punti è possibile tirare una sola retta - PowerPoint PPT Presentation

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Diapositiva 1

Le geometrie non euclidee: il paese delle meraviglieCampana Matteo Alberta Sassara Gianluca Proietti Giulia Vernali

PRESENTANOI postulati di EuclideTra due punti possibile tirare una sola rettaSi pu prolungare un segmento oltre i due punti indefinitamenteDato un punto e una lunghezza, possibile descrivere un cerchioTutti gli angoli retti sono uguali

Se una retta che taglia due rette determina dallo stesso lato angoli interni minori di due angoli retti, prolungando le due rette, esse si incontreranno dalla parte dove i due angoli sono minori di due retti.

OppureDate due rette parallele tagliate da una trasversale, la somma dei due angoli coniugati interni pari ad un angolo piattoData una qualsiasi retta r ed un punto P non appartenente ad essa, possibile tracciare per P una ed una sola retta parallela alla retta r data. (Assioma di Playfair)Rette parallele sono equidistanti. (Posidonio, I sec. a. C.)La totalit dei punti equidistanti da una retta data , e dalla medesima parte di essa, costituisce una linea retta. (Cristoforo Clavio, 1574)Rette che non sono equidistanti convergono in una direzione e divergono nell'altra. (Pietro Antonio Cataldi, 1603)Esiste una coppia di triangoli simili e non congruenti. (Gerolamo Saccheri, 1733)In ogni quadrilatero con tre angoli retti, anche il quarto angolo retto. (Alexis-Claude Clairaut, 1741; Johann Heinrich Lambert, 1766)Lorigine delle geometrie non euclideeVi del vero in ci: molte cose hanno un'epoca in cui sono scoperte allo stesso tempo in luoghi differenti, come viole a primavera. (lettera di Farkas Bolyai al figlio Jnos)Gauss, 1813

Ferdinand Schweikart, 1818

Nicolaj Ivanovic Lobacevskij, 1830

Jnos Bolyai, 1831GaussScrive lettere private agli amici pregando loro di mantenere il silenzio per evitare strida dei beotiNella geometria non euclidea non esistono figure simili che non siano anche uguali; gli angoli di un triangolo equilatero non hanno misura costante ma, al crescere della lunghezza dei lati, diventano piccoli a piacere. La formula che esprime, nella geometria non euclidea, la misura della circonferenza di raggio R:

k una costante, della quale noi sappiamo per via d'esperienza che essa deve essere eccezionalmente grande: l'unit assoluta di misura dei segmenti di cui parla GaussHo creato dal nulla un nuovo universo. (Gauss allamico Farkas)Ferdinand Schweikart (1780-1859)Esistono due tipi di geometria - una geometria in senso ristretto, la euclidea; ed una seconda geometria astrale in cui i triangoli hanno la particolarit che la somma dei loro tre angoli non uguale a due angoli retti ed tanto pi piccola quanto pi grande l'area del triangolo.L'altezza di un triangolo rettangolo isoscele, pur crescendo al crescere dei lati, tuttavia non pu superare un certo segmento che io chiamo costante e che la geometria euclidea vale nell'ipotesi che la costante sia infinitamente grande. Franz Adolph Taurinus (1794-1874)Giurista Geometria logaritmico-sferica: la somma degli angoli di un triangolo minore di e al tendere dei lati del triangolo a 0 la somma tende a e i triangoli differiscono sempre meno da quelli euclidei Le formule della nuova trigonometria si potevano ottenere da quelle dell'usuale trigonometria sferica considerando immaginario il lato della sfera:

al posto di rJnos Bolyai Studio di una superficie a curvatura variabileScienza dello spazio assolutamente vera: geometria indipendente dal V postulato Per una sfera di raggio infinito F la geometria sferica identica a quella piana.Sviluppa la trigonometria piana nel caso non euclideo, ne applica le formule al calcolo delle aree e affronta il problema della costruzione di un quadrato equivalente ad un dato cerchio.Nicolaj Ivanovic Lobacevskij (1793-1856)Rifondazione globale della geometria. Svilupp una geometria nella quale il V postulato non fosse vero, o meglio, non fosse indispensabile a qualunque geometria coerente. Giovanni Girolamo Saccheri (1667-1733)Gesuita e matematicoVuole dimostrare il V postulato attraverso una dimostrazione per assurdo:Il quadrilatero

Ipotesi sugli angoli del quadrilatero opposti a quelli costruiti retti:Gli angoli sono entrambi retti si accetta il V postulatoGli angoli interni sono entrambi ottusi si nega il V postulatoGli angoli interni sono entrambi acuti si nega il V postulatoL'ipotesi dell'angolo ottuso completamente falsa, poich distrugge se stessa.L'ipotesi dell'angolo acuto assolutamente falsa, poich ripugna alla natura della linea retta.Data linconsistenza della sua confutazione si sente la necessit di approfondire la questione e si apre la strada alle geometrie non euclidee. La geometria iperbolicaNegazione dellassioma di Playfair:

Esistono almeno un punto P ed una retta AB tali che:I) P non su AB n sul suo prolungamento.II) Per P passano almeno 2 rette parallele ad AB

Le parallele iperbolicheTeorema 1

Le infinite rette che entrano nell'angolo YPX, se prolungate, intersecano AB o il suo prolungamentoLe infinite rette che entrano nell'angolo ZPX, per quanto prolungate, non incontrano mai la retta AB n il suo prolungamento. Queste sono dunque parallele ad AB

DefinizioneLa distinzione tra parallelismo asintotico e parallelismo divergente fatta in riferimento a punti specifici. Per ora non possiamo parlare di una retta semplicemente come di una parallela asintotica o di una parallela divergente senza fare riferimento ad un punto particolare.Le parallele asintotichePossiamo pensare che ciascuna delle parallele asintotiche punti in una direzione particolare (direzione di parallelismo): per WPX la direzione di parallelismo da W verso X, e per YPZ da Z verso Y.Teorema 2Le parallele asintotiche ad una retta passanti per un punto formano angoli uguali e acuti con la perpendicolare condotta dal punto alla retta.

Teorema 3

Se una retta la parallela asintotica per un punto dato, in una direzione data, a una retta data, allora essa , per ognuno dei propri punti, la parallela asintotica nella direzione data alla retta data.CorollarioSe una retta per un punto una parallela divergente a una retta data, allora essa lo anche per ciascuno dei propri punti.Possiamo concludere che la propriet di parallelismo, sia asintotico che divergente, una propriet della retta globalmente intesa.Il biangolo

Se dagli estremi di un segmento di retta data, e da uno stesso lato vengono tracciate due rette parallele asintoticamente l'una all'altra nella direzione in cui si allontanano da essa, la figura che ne risulta si dice biangolo, e il segmento dato ne la base.

WABZ non un biangolo perch la direzione di parallelismo verso AB e non a partire da AB come dovrebbe essere.XABY un biangolo. Ha solo due angoli, da cui il nome, poich i prolungamenti di AX e di BY non si incontrano mai. AB la base.Teorema 8In un biangolo un angolo esterno maggiore dell'angolo interno e opposto.Le parallele divergentiTeorema 16

Se XABY un biangolo e WCDZ una figura composta da tre rette tali che CD=AB, ^WCD=^XAB e ^CDZ=^ABY, allora anche WCDZ un biangolo.Teorema 17Due parallele divergenti hanno un'unica perpendicolare comune.

Teorema 18Due parallele divergenti si allontanano l'una dall'altra da parti opposte rispetto alla perpendicolare comune.La perpendicolare comune rappresenta la distanza di massimo avvicinamento di due parallele divergenti, e, scelto un punto su una delle due rette, pi questo distante dalla perpendicolare comune, maggiore la lunghezza della perpendicolare condotta da questo punto all'altra retta.Langolo di parallelismo

p(l) = ^XPQ = ^YPQ < 90La grandezza dell'angolo rappresentato da p(l) non dipende dal punto P o dalla retta AB, ma soltanto dalla distanza l fra essi.

Teorema 12La base e la sommit di un quadrilatero di Saccheri sono parallele divergenti, e tali sono pure gli altri due lati.Teorema 13

Gli angoli alla sommit di ogni quadrilatero di Saccheri sono acuti.Gli angoli ^ADM e ^MCB sono effettivamente acuti, e la sommit del quadrilatero pi lunga della base.Un altro modo di rappresentare il quadrilatero di SaccheriI triangoli nella geometria euclidea

E' evidente come l'invarianza della somma degli angoli interni di un triangolo discenda da una propriet delle rette parallele che si fonda sul V postulato di Euclide.

Nella geometria iperbolica non abbiamo il V postulato e di conseguenza il Teorema 29 di Euclide, non quindi affatto scontato che gli angoli di un triangolo iperbolico si comportino come quelli di un triangolo euclideo.I triangoli iperboliciIn un triangolo la somma di due angoli minore di un angolo piatto.Teorema 14

La somma degli angoli di ogni triangolo minore di 180.Dimostrazione

CorollarioLa somma degli angoli di ogni quadrilatero minore di 360.CAB = ^CAD + ^DAB^ABD = ^ABC + ^CBD per costruzione^ACB = ^CBD^CAD = ^ADB poich i triangoli ACM e MBD sono congruenti^ABC + ^BCA + ^CAB = ^ABC + ^CBD + (^CAD + ^ DAB) =(^ABC + ^CBD) + ^CAD + ^DAB =^ABD + ^ADB + ^DAB^ACB + ^ABC + ^CAB < 180Teorema 15Se due triangoli hanno rispettivamente uguali i tre angoli, allora sono congruenti.

Inoltre, nella geometria iperbolica, non esiste la similitudine.Teorema 19 (generalizzazione)Se la somma dei tre angoli di un triangolo uguale alla somma dei tre angoli di un altro triangolo, allora i due triangoli hanno la stessa area.Il teorema di PitagoraNegli Elementi di Euclide viene dimostrato facendo uso del V postulatoNaturalmente nella geometria iperbolica non vale!!!

Ma DE=1/2 FG otteniamo che la sommit BC uguale alla base FG. Questa una contraddizione.

BC2=AB2+AC2 DE2=AD2+AE2 Se, per assurdo, fosse valido il Teorema di Pitagora: Ma AD=1/2 AB e AE=1/2 AC, dunque DE2=(1/2 AB)2+(1/2 AC)2 =1/4 AB2+1/4 AC2=1/4 (AB2+AC2)E 1/4 (AB2+AC2) = 1/4 BC2 quindiDE2=1/4 BC2 DE=1/2 BCIl Teorema 13 ci porta ad affermare che in un quadrilatero di Saccheri la sommit sempre pi lunga della base.23Larea di un triangolo iperbolicoQuanto pi grande larea di un triangolo iperbolico, tanto minore la somma dei suoi angoli.DefinizioneIl difetto di un triangolo ci che manca alla somma dei suoi angoli per raggiungere 180: d=180---I difetti dei triangoli sono additivi.

d(ABD)+d(ADC) = (180---) + (180---+) = 180--- + 180--- =180-- - ( + ) + 180--=180-- - 180 + 180-- =Naturalmente il fatto che i difetti siano additivi il motivo per cui i triangoli con area pi grande hanno la somma degli angoli minore. 180---- =180-- (+) -=180- - ^BAC - = d(ABC)Il limite superiore per larea dei triangoli possibile costruire un triangolo la cui area sia maggiore di qualsiasi area data.

Fra area e difetto di due qualunque triangoli iperbolici ABC e DEF vale la seguente proporzione: Area(ABC) : difetto(ABC) = Area(DEF) : difetto(DEF)

Supponiamo ora che ABC sia un triangolo generico di cui vogliamo trovare l'area e DEF un triangolo particolare; sia poi k il valore del rapporto Area(DEF) / difetto(DEF). Area(ABC) / difetto(ABC) = k Area(ABC) = k difetto(ABC)K una costante ed indipendente dal particolare triangolo DEF utilizzato in origine per esprimerla. Il difetto d=180 - - - di un triangolo ABC sempre