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LE LEGGI DELLA TERMODINAMICA DEI BUCHI NERI - infn.it PDF fileRiassunto Questo lavoro e un’analisi delle leggi della meccanica dei buchi neri e delle loro analogie con i principi

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UNIVERSITA DEGLI STUDI DI MILANO

Facolta di Scienze e TecnologieCorso di Laurea Triennale in Fisica

LE LEGGI DELLATERMODINAMICA DEI BUCHI NERI

Relatori:Dietmar KlemmAlberto Santambrogio

Elaborato finale di:Giuliano GiudiciMatricola n. 781424

Codice pacs: 04.70.-s

Anno Accademico 2012-2013

Riassunto

Questo lavoro e unanalisi delle leggi della meccanica dei buchi neri e delle loro analogie con i principidella termodinamica classica. Dopo una breve introduzione storica, verranno formalizzati il concettodi buco nero e le nozioni topologiche e geometriche necessarie alla successiva esposizione, insieme conalcuni dei piu importanti risultati della Relativita Generale in questo campo. Sara poi introdottauna delle possibili definizioni di massa e momento angolare in uno spaziotempo curvo e sarannocalcolate queste quantita in due casi particolari. Verranno formulate e dimostrate le quattro leggidella meccanica e commentate le loro analogie con la termodinamica da un punto di vista puramenteformale. Saranno infine date le basi di teoria quantistica dei campi indispensabili nella comprensionedel processo di radiazione di un buco nero, di cui verranno analizzate alcune conseguenze, tra le qualila conciliazione di meccanica dei buchi neri e termodinamica.

Indice

Introduzione iii

1 Parentesi matematica 11.1 Definizione di buco nero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Ipersuperfici nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Orizzonti di Killing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Soluzioni esatte delle equazioni di campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5 Teoremi di unicita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.6 Gravita superficiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.7 Singolarita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.8 Teorema della divergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.9 Equazione di Raychaudhuri per geodetiche nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Energia e momento angolare 192.1 Carica elettrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 Integrali di Komar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3 Massa del buco nero di Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.4 Massa e momento angolare del buco nero di Kerr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.5 Condizioni sullenergia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 La meccanica dei buchi neri 273.1 Legge zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2 Prima legge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.3 Seconda legge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.4 Terza legge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.5 Il processo di Penrose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4 La termodinamica dei buchi neri 374.1 Teoria dei campi classica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.2 Teoria dei campi quantistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.3 Effetto Hawking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.4 Levaporazione di un buco nero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.5 Secondo principio della termodinamica generalizzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.6 Problemi aperti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Introduzione

Il concetto di buco nero nasce molto prima della Relativita Generale. Verso la fine dellOttocento,quando la gravita sembra perfettamente spiegata dalla meccanica newtoniana, lastronomo ingleseJohn Michell, e pochi anni dopo di lui il famoso marchese Pierre-Simon Laplace nel suo libro Expositiondu Systeme du Monde1, si chiedono quale debba essere il raggio R di una stella di massa fissata Mla cui velocita di fuga sia pari a quella della luce c. La legge di gravitazione universale stabilisce chequesto raggio si trova imponendo

GM

R=

1

2c2 R = 2GM

c2(1)

dove G e la costante di gravitazione universale. Queste stelle vengono chiamate dark star, ma illoro studio viene abbandonato praticamente subito2, in seguito al successivo sviluppo della teoriaondulatoria e corpuscolare della luce: i fotoni hanno massa nulla, quindi, in base alla teoria dellagravita di Newton, non risentono dallattrazione di nessuna stella, dunque le dark star non possonoesistere nelluniverso.

Nel 1915 Einstein da la sua interpretazione della gravita nella Relativita Generale: lo spaziotempoe una varieta Riemanniana dotata di una metrica Lorentziana g , la quale, data una distribuzionedi materia con tensore di energia-momento T , soddisfa

R 1

2Rg = 8

G

c4T (2)

dove R e R sono rispettivamente il tensore e lo scalare di Ricci, costruiti a partire da derivate primee seconde della metrica. Secondo questa teoria il tensore metrico rappresenta il campo gravitazionale,e determinato dalla distribuzione di materia e dice alla materia come muoversi. Anche la luce deveseguire la traiettorie imposte da g . Poche settimane dopo la pubblicazione delle (2), il fisico tedescoKarl Schwarzschild le risolve nel caso molto particolare di perfetta simmetria sferica dello spaziotempoe trova una coincidenza molto interessante con la teoria di Newton: se una stella ha un raggio paria quello in (1), il tempo si ferma sulla sua superficie e la luce che parte da questultima subisce unredshift infinito per cui non puo raggiungere nessun osservatore al di fuori della stella. Cosa succedase il raggio della stella e ancora piu piccolo rimane incompreso per diversi anni, poiche la teoria diEinstein prevede una singolarita3 in corrispondenza di questo valore critico; la comunita scientifica,Einstein incluso, accoglie con scetticismo queste previsioni della prima soluzione delle (2), a cui da ilnome di singolarita di Schwarzschild, e si convince del fatto che la natura abbia trovato un modo perevitare la loro esistenza.

Nel frattempo lo sviluppo di astrofisica e fisica nucleare conduce a una comprensione sempremaggiore dei processi fisici che avvengono allinterno delle stelle: queste sono illuminate da reazionidi fusione di atomi, che producono elementi sempre piu pesanti fino al ferro. Siccome la fusione didue atomi di ferro non e energeticamente favorevole, la stella si spegne, la pressione di radiazione che

1Si veda [1], appendice A, per una traduzione fedele degli scritti di Laplace2Laplace addirittura rimuove il suo saggio sulle stelle oscure nelle successive edizioni del suo libro3Il significato matematico di singolarita verra illustrato nel prossimo capitolo, per il momento puo essere considerata

un insieme di punti dello spaziotempo in cui g non e regolare

Introduzione iv

la sostiene svanisce e inizia il collasso gravitazionale. Tra gli anni 30 e 50, molti astrofisici e fisiciteorici si impegnano nel comprendere quale sia lo stadio finale di tale collasso e scoprono che questodipende dalla massa M della stella al termine della sua vita:

se M e inferiore a circa 1, 4 masse solari, a un certo punto del collasso interviene una pressione,esercitata dagli elettroni, dovuta al principio quantistico di esclusione di Pauli e detta pressionedi degenerazione, grazie alla quale lequilibrio viene raggiunto quando il raggio della stella emaggiore di quello in (1). La stella cos formata viene chiamata nana bianca e il limite di 1, 4masse solari limite di Chandrasekhar ;

se M e superiore 1, 4 masse solari il collasso puo arrestarsi per via dello stesso tipo di pressionequantistica che sostiene le nane bianche, ma causata da altri fermioni, ovvero i neutroni. Stelleallequilibrio grazie a questa pressione di degenerazione sono dette stelle a neutroni e il lororaggio e ancora una volta maggiore di R in (1). Esiste pero un limite anche per la massa di unastella a neutroni, oltre il quale la gravita vince qualsiasi tipo di pressione e il collasso non ha fine,cioe il limite di Oppenheimer-Volkoff. A tuttoggi questo limite non e stimato con precisione4 esembra essere compreso tra 1, 5 e 3 masse solari;

se M e abbastanza grande, ovvero superiore al limite massimo per una stella a neutroni, ilsuperamento del raggio critico di Schwarzschild e inevitabile e la natura non pone nessun divietoaffinche questo non accada.

Alla luce di queste scoperte diventa chiaro che bisogna fare i conti con le singolarita di Schwarzschilde, verso la fine degli anni 50, viene fatto un passo in questa direzione: David Finkelstein scopre cheesistono delle coordinate, diverse da quelle utilizzate da Schwarzschild, in cui la metrica che risolvele (2) quando si ha completa simmetria sferica diventa regolare in corrispondenza del raggio critico(1). Dunque la Relativita Generale non ha nessun problema con eventuali distribuzioni di materiaconcentrate entro questo raggio, anzi, essa predice chiaramente cosa succede a cio che attraversa lasuperficie individuata dal raggio di Schwarzschild: materia e luce vengono intrappolate al suo internoe in nessun modo possono uscirne, si forma cos una regione che non puo comunicare con il restodello spaziotempo; ad ogni instante fissato la superficie appare completamente nera ad un osservatoreesterno e, a differenza delle dark sta

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