LE NOMBRE : premiers apprentissages numériquesM2 alt – UE72011-2012U-PEC

À quoi sert le nombre ?- dénombrer (= déterminer la quantité)- comparer- classer- numéroter- mémoriser, communiquer- calculer- mesurer= types de problèmes à proposer aux élèves

pour donner du sens au nombre en tant qu'outil et objet mathématique

le nombre à l'école maternelleÀ la fin de l'école maternelle, les élèves sont

capables de :•comparer des quantités, résoudre des

problèmes portant sur les quantités ; •mémoriser la suite des nombres au moins

jusqu’à 30 ; •dénombrer une quantité en utilisant la suite

orale des nombres connus ; •associer le nom de nombres connus avec

leur écriture chiffrée ;

le nombre au cycle 2Les élèves apprennent la numération décimale inférieure à 1 000. Ils dénombrent des collections, connaissent la suite des nombres, comparent et rangent

le nombre (entier) au cycle 3L’étude organisée des nombres est poursuivie jusqu’au milliard, mais des nombres plus grands peuvent être rencontrés. - principes de la numération décimale de position : valeur des chiffres en fonction de leur position dans l’écriture des nombres - désignation orale et écriture en chiffres et en lettres ; - comparaison et rangement de nombres, repérage sur une droite graduée, utilisation des signes > et < ; - relations arithmétiques entre les nombres d’usage courant : double, moitié, quadruple, quart, triple, tiers..., la notion de multiple.

Le nombre dans les programmesQuelle progression du cycle 1 au cycle 3 ?- sur la taille des nombres- sur la nature des nombres (décimaux au

cycle 3)- sur le type de problèmes ("comparer"

pour les 3 cycles, mais "dénombrer" seulement aux cycles 1 et 2)

- sur la manipulation, de moins en moins présente

- sur l'écriture chiffrée de plus en plus mise en avant

=> quels types de problèmes ?•comparer deux quantités ou nombres•classer des quantités ou nombres•construire une quantité•compléter ou réduire une quantité•dénombrer une quantité•calculer une quantité ou un nombre•représenter une quantité ou un nombrele passage du travail sur les quantités à

celui sur les nombres se fait au CP

Qu'est-ce que "compter" ?• compter : énoncer la suite numérique "un, deux,

trois, quatre…". Le comptage fournit une suite de nombres ordinaux. Le comptage peut être effectué à partir de n’importe quel objet. Le résultat du comptage est invariant

• dénombrer : donner le cardinal d'une collection (le nombre d'objets). Le dénombrement est le résultat du comptage : il fournit le nombre cardinal de la collection. Le dernier mot prononcé n’est pas un simple numéro, mais représente à lui seul la quantité de tous les objets de la collection

Les différents aspects du nombre•cardinal = pour donner une quantité•ordinal = pour donner un classement

ordonné

Chacun de ces deux aspects est enseigné dans les programmes et donne du sens au nombre en tant qu'outil pour résoudre des problèmes

Première rencontre avec le nombre : Les comptines numériques (PS)

L'OGREJ'ai mangé un œufDeux langues de bœufTrois rôtis de moutonQuatre gros jambonsCinq rognons de veauSix couples d'oiseauxSept immenses tartesHuit filets de carpeNeuf kilos de painEt j'ai encore faim

J'HABILLE MA MAINEt maintenant, il faut s'habiller…Le premier met sa culotte,le deuxième met sa salopette,le troisième met ses bottes,le quatrième met sa casquette.Et le cinquième, le plus petit… n'a trouvé aucun habit !Turlututu, il restera tout nu !

aspect ordinal aspect cardinal

Des comptines à la chaîne numérique-aspect cardinal / ordinal / ni l'un ni l'autre- nombres séparés ou non par des phrases

ou des mots -puis, à l'endroit / à l'envers, de 10 en 10…•La suite numériqueLes enfants peuvent connaître la suite numérique sans pour autant comprendre ce qu'elle signifie, c'est à dire sans la relier avec la quantité

1, 2, 3 un parquet de bois4, 5, 6 des clous et des vis7, 8, 9 un ballon tout neuf10, 11, 12 un mur de briques rougesEt une grande échellePour aller au ciel

Des comptines à la chaîne numériqueapprentissage progressif des mots pour dire les

nombres :- nombres séparés ou non par des phrases ou des

mots dans les comptines (pour en mémoriser le son à travers des activités ludiques)

- apprentissage de la suite des mots-nombres-puis, à partir de la GS à l'endroit / à l'envers, à partir d'un nombre autre que 1, en CP de 2 en 2, 5 en 5, 10 en 10…

Les enfants peuvent connaître la chaîne numérique sans pour autant comprendre ce qu'elle signifie, c'est à dire sans la relier avec la quantité

▫stable et conventionnelle (celle des adultes)

▫stable mais non conventionnelle (mots sautés)

▫ni stable, ni conventionnelle

La chaîne numérique

•Des étapes dans l’acquisition de la chaîne numérique (Fuson et al) :

- Une récitation (un bloc verbal)- Des noms qui s’individualisent, une

chaîne insécable- Une chaîne sécable (début du

comptage) pouvant être utilisée pour additionner (surcomptage)

- Une chaîne bidirectionnelle (comptage à rebours possible, décomptage)

La chaîne numérique

Un 1er exemple de travail sur les procédures : comparer deux quantités

Quelles sont les procédures possibles pour comparer deux collections de manière à savoir laquelle a le plus grand nombre d'objets ?

ça dépend...

Comparer deux quantités : collections manipulables

procédure = on associe les objets terme à terme

il faut aussi élaborer une stratégie d'énumération

Comparer deux quantités : collections non manipulables

Comparer deux quantités

procédure = reconnaissance visuelle d'une grande différence de quantité

procédure = subitizing (reconnaissance globale)

jusqu'à 3 objets (dès 5 ans), jusqu'à 7 objets pour l'adulte

Comparer deux quantités

pour donner le nombre d'objets en le reconnaissant, il faut déjà que l'élève associe le

mot-nombre et la quantité

Comparer deux quantités plus ou moins organisées

l'organisation facilite la reconnaissance immédiate de la quantité sans avoir à la dénombrer

Comparer deux quantités : constellations

procédure = connaissance des constellations (comme sur les faces du dé) pour reconnaître certaines quantités (jusqu'à 6, voire plus en associant plusieurs dés)

procédure = comparer les longueurs des alignements

Comparer deux quantités : alignement

cela peut entraîner des erreurs si l'espacement ou la taille des objets ne sont pas les mêmes

Conceptions erronées des élèves liées à la disposition des objets

▫La modification de la disposition des éléments modifie le nombre d’éléments

Comparer deux quantités

procédure = groupements par paquets (pas forcément tous identiques

ou dénombrement

dénombrement :exemples d'erreurs d'élèvesVictor, Zoé, Marius et Louise doivent

dénombrer une collection de 5 objets :

•Victor désigne les objets 1 par 1 en récitant "un deux trois cinq six"

•Zoé oublie de compter un objet•Marius désigne plusieurs fois l'un des objets•Louise compte mais ne fait pas correspondre

un seul mot en désignant chaque objet : elle compte jusqu'à 12, c'est à dire aussi loin qu'elle sait le faire

•Alice doit dénombrer une collection de 5 objets :

l'enseignante : "combien il y en a ?"Alice : "un deux trois quatre cinq"l'enseignante : "oui, alors ça en fait combien ?"Alice : "un deux trois quatre cinq"l'enseignante : "alors il y en a combien ?"Alice (qui commence à être agacée) : "un deux

trois quatre cinq !"

dénombrement :exemples d'erreurs d'élèves

Donc pour savoir dénombrer il faut •énumérer correctement les objets de la

collection (prendre en compte chaque objet une et une seule fois, pouvoir séparer les objets déjà comptés de ceux pas encore comptés)

•associer terme à terme un objet – un geste – un mot-nombre

•connaître la suite des mot-nombres•savoir que le dernier mot prononcé

représente la quantité

Comparer deux (grandes) quantités

dénombrement : pas de mémoire de travail=> procédure = grouper par 10

Groupement par 10•il est à la base de notre numération

décimale actuelle ainsi que de nombreuses numérations plus anciennes (l'homme a toujours eu 10 doigts !)

• il est nécessaire pour passer du dénombrement 1 par 1 à une procédure plus efficace pour les grandes quantités

• il donne du sens à l'écriture chiffrée des nombres au cycle 2

Comparer deux quantités

procédure = utiliser les constellations ou le calcul

3 + 4 = 2 + 5

Procédures pour comparer 2 quantités- reconnaissance d'une grande différence- reconnaissance globale avec une

organisation particulière (alignement, constellation)

- terme à terme (association 1 à 1) en déplaçant ou en reliant les objets

- dénombrement- groupement par paquets identiques ou

groupement par 10- calculimportance de l'organisation des collections :

quelle représentation du nombre ?

Variables didactiques pour la comparaison de deux quantités

- nature des objets (tous identiques ou non)- taille des objets- quantités des deux collections- différence importante ou non entre les deux- organisation (alignement, constellation)- proximité des deux collections- collections déplaçables ou non- possibilité de faire des paquets (matériel de

groupement)

Un 2ème exemple : construire une collection équipotente• équipotente = de même quantité

• tâche donnée aux élèves : on a posé des assiettes sur la table, et on demande à un élève de mettre la table, en apportant le bon nombre de verres, autant que d'assiettes, ni plus, ni moins

- quelle procédure ?- comment la faire évoluer ?

Construire une collection équipotentetravail de la correspondance terme à

terme

Quelles sont les variables didactiques qui font évoluer cette activité vers un usage du nombre ?

- le nombre de verres- le nombre de voyages autorisés- la distance entre verres et assiettes- passage de commande orale- passage de commande écrite

Apprentissage du nombre : lier les deux aspects•le travail des deux aspects se fait en parallèle•c'est l'enseignant qui va mettre un mot sur

les quantités, aussi souvent que l'occasion se présente, et avec tous les objets de la classe : "j'ai deux livres", "il y a trois feutres", etc.

• les tâches de dénombrement permettent de voir si l'élève a compris le lien entre mot-nombre et quantité (le dernier mot prononcé est à lui seul la quantité)