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Le origini della

Geometria analitica

Livia Giacardi, 20 novembre 2007

“Fino a quando l’algebra e la geometria avanzarono su sentieri separati il loro progresso

fu lento e le loro applicazioni limitate.Ma quando queste due scienze unirono le loro

forze, esse trassero l’una dall’altra fresca vitalità e da allora in poi marciarono a rapidi

passi verso la perfezione”(J.-L. Lagrange, OC, VII, p. 271)

2

GreciaGrecia►Talete di Mileto - Asia Minore, primi decenni del VI sec. a.C.inizio di una razionalizzazione del saperedimostrazioni in forma embrionale

► Scuola Pitagorica - Crotone in Italia meridionale, VI-V sec. a.C.fondata da Pitagora di Samo (VI sec a.C.) esigenza dimostrativa, tutto è numero, aritmogeometriascoperta delle grandezze incommensurabili

► Zenone di Elea - V sec. a.C.entra l’infinito nella matematica greca con i famosi paradossi

► I tre problemi classici: quadratura del cerchio, duplicazionedel cubo, trisezione dell’angolo - Atene, V-IV secolo a.C.

Storia 2

Se un problema geometrico di questo tipo viene tradotto algebricamente, dà luogo a un’equazione risolubile mediante radicali quadratici. Inversamente, se questo accade, il problema si dice risolubile con riga e compasso. [Franci 1979, 103]

Un problema geometrico che si può risolvere con un numero finito delle seguenti operazioni geometriche elementari, èrisolubile graficamente con riga e compasso:

a) condurre una retta per due punti;b) determinare il punto comune a due rette;c) costruire una circonferenza di centro e raggio assegnati;d) determinare i punti comuni ad una retta e ad una circonferenza o a due circonferenze.

I Greci consideravano la retta e il cerchio le figure geometriche fondamentali e quindi privilegiavano le costruzioni effettuate con la riga e il compasso.

3

L’importanza dei problemi della duplicazione del cubo, quadratura del cerchio e trisezione dell’angolo sta nel fatto che i tentativi falliti di risolverli con riga e compasso condussero i condussero i Greci a creare nuove curve ( le coniche, la Greci a creare nuove curve ( le coniche, la quadratricequadratrice di di IppiaIppia, , ……) e ad ampliare il campo di indagine geometrica) e ad ampliare il campo di indagine geometrica..

L’importanza che ebbero all’epoca è testimoniata anche dai racconti leggendari collegati con essi e dai riferimenti letterari.

Ippocrate di Chio (V sec a. C.)Ippia di Elide (V-IV sec. a. C.)

Platone (427-347 a. C.)Archita di Taranto (428-347 a. C.)

Menecmo (IV sec. a. C.),Diocle (II sec. a. C.) ...

La duplicazione La duplicazione del cubodel cubo

Ippocrate di Chio riduce il problema della duplicazione del cubo al seguente:Dati due segmenti a, b, costruirne altri due x, yche con a e b , formino la proporzione:

a : x = x : y = y : b,ma non lo risolve.

da cui

by

yx

xa

==

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

yabx

ayx2

33

23

2 2

se e

axab

bax

==

=

4

MenecmoMenecmo (IV sec. a. C.) inventa le coniche:(IV sec. a. C.) inventa le coniche:usa tre tipi di cono, rettangolo, acutangolo e ottusangolo e taglia ciascuno di essi con un piano perpendicolare a una

generatrice

parabola

ellisse

iperbole

Risolve il problema della duplicazione del cubo intersecando due parabolex2 = ay e y2 = 2axo un’iperbole e una parabola

3 2a

ay

yx

xa

2==

► Prima Scuola di AlessandriaIII sec. a.C. – 30 a.C.

- Euclide (300 a.C.), ElementiLa geometria come teoria ipotetico-deduttiva

- Archimede (287-212 a. C.) La matematica non è concepita solo come analisi dei problemi astratti, lontani dalle applicazioni, ma anche come studio di problemi concreti con riferimento alle altre scienze (fisica, astronomia, …)Sulla sfera e il cilindro, Misura del cerchio, Sulle spirali, Sull’equilibrio dei piani, Quadratura della parabola, Sui galleggianti, Metodo dei teoremi Meccanici, …

- Apollonio (262-190 a. C.), Coniche

► I commentatori e gli enciclopedisti Pappo (III-IV sec.), Collezione matematicaProclo (V sec.), Commentario al I libro degli Elementi di Euclide

Storia 2

5

Apollonio Apollonio e le l’’uso uso delle delle

coordinatecoordinate

Apollonio di Apollonio di PergaPerga(circa 262(circa 262--190 a. C.)190 a. C.)

La sua vita trascorse fra Alessandria,dove ricevette la sua educazione scientifica, e Pergamo dove c’erano importanti centri di studi superiori e ricche biblioteche.Le sue doti di matematico erano cosìnotevoli che era chiamato “il grande geometra”.La sua opera più importante sono le

ConicheConiche in 8 libri di cui l’ottavo èandato perduto, dove vi è una teoria completa delle sezioni coniche.

P. Ver Eecke, Les Coniquesd’Apollonius de Perge, 1923

T. Heath, Apollonius of Perga. Treatise on Conic Sections, 1896

6

Diversamente da Menecmo che utilizzava tre diversi tipi di cono, Apollonio ottiene le coniche come sezione di un unico cono (considera le due falde) variando l’inclinazione del piano secante.

β

α

A

CB

D

E

O

AO asse del cono

base del cono

β interseca αsecondo DE. Se prendo BC (diametro del cerchio base) DEallora ABC è il triangolo assiale(contiene l’asse del cono)

L’intersezione del piano β con il triangolo assiale ABC è detta diametro della conica.

Libro I, def. 1 “Se una retta,prolungantesi all’infinito e passante sempre per un punto fisso, viene fatta ruotare lungo la circonferenza di un cerchio che non si trovi nello stesso piano del punto in modo che passi successivamente attraverso ogni punto di quella circonferenza, la retta che ruota traccerà la superficie di un cono doppio” (p. 3)

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Caratteri delle Caratteri delle ConicheConiche e strumenti usatie strumenti usati♦ Apollonio usa l’origine stereometrica delle coniche solo per ottenere la proprietà fondamentale di ogni conica (proprietà piana) ed è questa che costituisce poi la base dei successivi sviluppi della teoria

♦ Gli strumenti matematici utilizzati sono:- ll’’algebra geometricaalgebra geometrica (che serve per surrogare la mancanza dell’algebra) i cui ingredienti sono la teoria delle proporzioni (V libro, Elementi) che permette di eseguire operazioni di moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza, estrazione di radice; l’applicazione delle aree ( II libro, Elementi) che offre il mezzo di risolvere problemi che conducono a equazioni di 1° e 2°grado (Elementi, II.5, II.14)- ll’’uso delle coordinate,uso delle coordinate, il modo di dare la relazione fondamentale delle coniche è stabilire un legame fra ascisse e ordinate di un sistema di riferimento: diametro della conica (asse x) e tangente alla conica in un estremo del diametro (asse y). Gli assi possono essere sia ortogonali che obliqui. Ordinata: (tracciata ordinatamente)

♦ La lettura è difficile perché A. salta spesso i passaggi intermedi. Pappo e Eutocio nei loro commenti hanno integrato il testo con dei lemmi.

Storia 3

Uso della teoria delle proporzioni per eseguire le Uso della teoria delle proporzioni per eseguire le operazioni di moltiplicazione, divisione, elevamento operazioni di moltiplicazione, divisione, elevamento

a potenza, estrazione di radicea potenza, estrazione di radice

0 11 2

1 2 3

1 1

0 0 0 0

: :

... n

nn

n nn

a b c d a d b ca aa aa a a a

a aa a a a a a

−

= ⋅ = ⋅

= = = =

⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

D

EC

A B

AB : BC = BD : BE

c

ba

d

8

Uso dellUso dell’’applicazione delle aree per applicazione delle aree per ““risolvererisolvere””unun’’equazione quadratica puraequazione quadratica pura

Trovare un quadrato la cui area sia uguale a quella di un dato rettangolo ABCD

A

CD

BFE

x

a

b

x2 = a ⋅ b

Infatti il triangolo AGE èrettangolo perché inscritto in un semicerchio e per il II teorema di Euclide si ha

BG2 = AB⋅BE = AB⋅BC

G Si prolunghi AB di un segmento BE = BC. Si prenda il punto medio F di AE, si tracciil cerchio di centro F e raggio FE.

Sia G il punto di intersezione del prolungamento del lato BE del rettangolo dato con la circonferenza, allora BG è il segmento cercato.

Coniche Coniche I, 11I, 11

E

PM//AC BC DEQV//DESe PL ∈ β e PL PM e tale che PL : PA = BC2 : AB·AC

TH)QV2=PL ·PVCostruisco HK//BCHQK ∈ alla sezione (cerchio) con piano // α, dunque QV2 = HV ·VK

A

β

α

Considero i triangoli simili PHV~AKH ~ABCHV : PV = BC : AC

Da PM // AC e dalla similitudine di AHK e ABCVK : PA = BC : AB

HV · VK : PV · PA = BC2 : AC · ABQV2 PL : PA

QV2 : PV · PA = PL : PA QV2=PL ·PV

PL : lato retto

9

Apollonio utilizza l’origine stereometrica delle coniche come sezioni del cono solo per ottenere la proprietproprietàà fondamentalefondamentale delle sezioni coniche che è piana (sistema di riferimento: diametro della conica e tangente alla conica in un estremo del diametro). A partire da questa proprietàricava tutti i successivi sviluppi della teoria.

pxy =2

pParabola,

Coniche I.11

Quadrato(QV) è equivalente al Rettangolo (PV·PL)

QV2=PL ·PV

NOI:

Iperbole, Coniche, I.12

22

2

' '

'

xdppxy

xdppVQ

pd

VQxd

VQxy

+=

+==+

⋅=

Quadrato(QV) è equivalente al Rettangolo(PV·VQ’)

QV2=PV ·VQ’

QV = yPV = xPL = pPP’= dNOI:

10

Ellisse, Coniche, I.13

22

2

xdppxy

xdppVR

VRxd

pd

VRxy

−=

−=−

=

⋅=

Quadrato(QV) è equivalente al Rettangolo(PV·VR)

QV2=PV ·VR

QV = yPV = xPL = pPP’= d NOI:

Scrivere le equazioni dell’ellisse e dell’iperbole aventi un vertice nell’origine del sistema di riferimento.Confrontare l’equazione ottenuta con i risultati di Apollonio

11

La tangente alla parabolaLa tangente alla parabola

T

Q

V’VP

KQ’

Prop. I. 33“Si prenda un punto T sul diametro di una parabola fuori della curva e tale che TP = PV, dove V è il piede dell’ordinata da Q al diametro PV. La retta TQsarà tangente alla parabola”

A. dimostra che TQ è tale che ogni suo punto diverso da Q giace fuori dalla parabola. Ragiona per assurdo:

suppone che K sia un punto di TQ o del suo prolungamento, che cadaall’interno della parabola e mostra che si arriva ad un assurdo

Quello che A. usa non è un metodo generale che si possa applicare ad ogni curva (come saranno i metodi infinitesimali), ma è un teorema

relativo alla parabola.

Schema riassuntivo delle ConicheSchema riassuntivo delle ConicheLIBRO I definizioni e proprietà fondamentali delle sezioni coniche.(60 prop.) Nelle Prop. 11, 12, 13 Apollonio trova le proprietà caratteristiche della

parabola dell’iperbole e dell’ellisse.Alcune proprietà sulle tangenti (la tangente a una curva C in un punto P èuna retta t tale che fra C e t non può essere tracciata nessuna altra rettapassante per P, tale cioè che ogni suo punto diverso da P giace fuori dellacurva); per es. Prop. 33: Se si prende un punto T sul diametro PM di unaparabola QPQ’ fuori della curva e tale che TP=PV, dove V è il piededell’ordinata da Q al diametro PM, la retta TQ sarà tangente allaparabola.

LIBRO II Proprietà degli asintoti (nella Prop.14 dimostra che la distanza fra una(53 prop.) curva e il suo asintoto, se prolungati all’infinito, diventa minore di una

qualsiasi lunghezza data), delle tangenti e dei diametri coniugati (Def. I, 4:Si dice diametro di una curva piana la retta che taglia in due parti ugualitutte le corde della curva parallele ad una retta qualunque. Def. II, 6:Chiamo diametri coniugati di una curva le rette tali che ciascuna è undiametro che taglia in due parti uguali le rette parallele all’altra).

12

LIBRO III Proprietà armoniche di polo e polare (vedi per es. Prop. 37)(56 prop.) Proprietà dei fuochi (furono chiamati così solo nel Rinascimento a causa

delle loro proprietà ottiche). Apollonio usa la perifrasi «punti che nasconodall’applicazione» e li definisce solo per l’ellisse e per l’iperbole: DettoAA’ il diametro della conica e F e F’ i fuochi questi sono definiti comepunti tali che AF.FA’=AF’.F’A’= p AA’/4, dove p è il parametro dellaconica.Apollonio dimostra che in un’ellisse la somma (Prop. 52), in un’iperbole ladifferenza (Prop. 51) delle distanze di un punto dai fuochi è uguale all’asseAA’.«Il libro terzo contiene molti teoremi notevoli utili per la costruzione deiluoghi solidi. La maggior parte di essi e più belli sono nuovi. Fra l’altro, fudimostrando questi teoremi che mi resi conto che Euclide non avevacostruito il luogo geometrico rispetto a tre o quattro linee …, non era infattipossibile farlo senza queste mie scoperte» (Prefazione al Libro I). Ilproblema è il seguente: Date 3 (4) rette giacenti in un piano, trovare illuogo geometrico dei punti P tali che il quadrato della distanza di P da unadi queste rette sia proporzionale al prodotto delle distanze dalle altre rette(nel caso di 4 rette, il prodotto delle distanze da due di esse siaproporzionale al prodotto delle distanze dalle altre due), le distanzeessendo misurate secondo angoli dati rispetto alle rette. Tale luogo è unasezione conica. (Cfr. Heath 1896, cap. V). Pappo lo generalizzò a n>4.Affrontando questo problema Descartes nel 1637 mostrò la potenza dellasua ‘geometria analitica’.

LIBRO IV Apollonio trova «In quanti modi le sezioni coniche possono incontrarsi(57 prop.) l’una con l’altra», in particolare ottiene dei teoremi nuovi relativi al

numero di punti in cui una sezione conica incontra i due rami diun’iperbole (fu Apollonio a considerare i due rami come un’unica curva) ene è fiero infatti scrive che sono «degni di essere accettati per amore delledimostrazioni stesse, allo stesso modo che accettiamo molte altre cose nellamatematica per questa e nessuna altra ragione».

LIBRO V È dedicato ai segmenti massimi e minimi che si possono condurre da(77 prop.) un punto ad una conica, «argomento degno di essere studiato per se

stesso». Si tratta di teoremi sulle tangenti, normali e subnormali (per es.Prop. 8); ci sono proposizioni (Prop. 51 e 52) che conducono alladeterminazione dell’evoluta.

LIBRO VI Tratta l’uguaglianza e la similitudine di coniche «Due coniche si(33 prop.) dicono simili se, tracciando in esse, delle ordinate in egual numero a

distanze proporzionali dal vertice, queste ordinate sono rispettivamenteproporzionali alle ascisse corrispondenti» (Def. 2).Per es. dimostra che tutte le parabole sono simili (Prop.11).

LIBRO VII Teoria dei diametri coniugati.(51 prop.)

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MedioevoMedioevo(476, caduta di Roma, 1453 (476, caduta di Roma, 1453 caduta di Costantinopolicaduta di Costantinopoli))

► Grande fioritura della cultura islamica 750 - 1400.traduzioni e commenti dei classici

► Omar Al Khayyam (XI-XII sec.)soluzione geometrica delle equazioni di terzo gradocritica alla teoria euclidea delle parallele

► In Occidente: geometria pratica

► Nicole Oresme - Parigi XIV sec.introduce i diagrammi.

Omar alOmar al--KhayyamKhayyam(1048 (1048 -- 1123)1123)

Astronomo, matematico e poeta persiano, celebre per le

sue Quartine (Rubáiyát)

Il tuo oggi non ha potere sul domani,e il pensiero del domani non ti frutta che malinconia.

Non buttar via questo istante, se il tuo cuore non è pazzo,ché questo resto di vita non si sa quanto possa valere

14

“Sulle dimostrazioni dei problemi di al-jabr e al-muqabala”.

Con al-Khayyam l'algebra diventa la teoria generale delle equazioni algebriche di grado minore o uguale a tre e con coefficienti interi positivi I caratteri salienti dell’opera di al-Khayyam si possono così riassumere

Osserva il principio di omogeneità dimensionale tra le grandezze

Per le equazioni di terzo grado non riconducibili ad equazioni di secondo, riconoscendo il suo fallimento nella ricerca delle radici per via algebrica, ricava le soluzioni per via geometrica mediante intersezione di coniche

Considera solo le soluzioni positive (non le radici negative) delle quali discute le condizioni di esistenza

Nonostante l’analisi sia profonda e dettagliata gli sfugge il caso della terza soluzione positiva dell’equazione x3+ bx = ax2+ c

Classifica le equazioni secondo il loro grado e il numero di monomi che lecompongono, in particolare suddivide le equazioni di terzo grado in binomie,trinomie e quadrinomie, come segue (a, b, c costanti e positive): - equazione binomia x3 = c

- equazioni trinomie senza termine di secondo grado I. 3

33

x c bx bx c x c bx x

=+=+=+

- trinomie senza termine di primo grado II. 3223

23

x c ax ax c x

c axx

=+=+=+

- quadrinomie in cui tre termini positivi sono uguali ad un termine positivo

I.

3223

2323

xc bxax axc bxx

bxc axx cbx axx

=++=++=++=++

- quadrinomie in cui due termini positivi sono uguali a due termini positivi

II. bx axc xc axbxxcbxaxx

+=++=++=+

2323

23

15

L’equazione trinomia del I tipo cbx x =+3 , (“un cubo più lati sono uguali a un numero”) viene scritta come

q px px 223 =+ con b = p2 e c = p2q per il principio di omogeneitàdimensionale. La risoluzione si ottiene per intersezione della circonferenza x2 + y2 = q x e della parabola y = x2 /p.

L’ascissa QS del puntoP di intersezione dellecurve rappresentate in

figura è la radice cercata.

Al-Khayyam non scriveequazioni, ma usa

le proporzioni

C(q/2,0)

Al-Khayyam dà una dimostrazione di tipo sintetico utilizzando la teoria delleproporzioni. Applica la proprietà della parabola data da Apollonio:

xp

PSx = (1)

Considera ora il triangolo rettangolo QPR, la sua altezza PS è mediaproporzionale fra QS e RS:

xqPS

PSx

−=

Uguagliando le espressioni precedenti ricava:

xqPS

xp

−= (2)

D’altra parte dalla (1) PS = x2/p che sostituito nella (2) fornisce l’equazione

q px px 223 =+

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Grafico della funzione y = x3 +3x -10 eseguito con Maple

Equazioni trinomie senza termine di secondo gradox3 + bx = c

Equazioni trinomie senza termine di primo gradox3 + ax2 = c

Equazioni quadrinomie in cui tre termini positivi sono uguali ad un termine positivox3 + ax2 + bx = c

Equazioni quadrinomie in cui due termini positivi sono uguali a due termini positivix3 + bx = ax2 + c

Visualizzazione con CabriVisualizzazione con Cabri

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Equazioni trinomie senza termine di secondo gradox3 + bx = c

Equazioni trinomie senza termine di primo gradox3 + ax2 = c

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Equazioni quadrinomie in cui tre termini positivi sono uguali ad un termine positivox3 + ax2 + bx = c

Equazioni quadrinomie in cui due termini positivi sono uguali a due termini positivix3 + bx = ax2 + c

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Caso di 3 soluzioni positiveCaso di 3 soluzioni positive

Esercizio

Mostrare con l’algebra che si può risolvere l’equazione cubica x3 + d = cx intersecando l’iperbole y2 = x2 - (d/c)x e la parabola

. Trovare al variare di c e d come variano le intersezioni delle due coniche. In ciascun caso tracciare il grafico della curva y = x3 – cx + d e mostrare che il numero di intersezioni di questa curva con il semiasse positivo delle x è in accordo con il numero di intersezioni delle coniche. Visualizzare con Cabri.

2x c y=

In: Katz V. (ed.), Historical Modules for the Teaching and Learning Mathematics, The Mathematical Association of America, 2005

20

Lo studio della variabilitLo studio della variabilitàà e del moto e del moto [ sec XIV][ sec XIV]

Fu uno dei temi preferiti nelle università, in particolare a Oxford e a Parigi. I filosofi scolastici del Merton College di Oxford formularono la cosiddetta regola mertoniana: se un corpo si muove di moto uniformemente accelerato, la distanza percorsa è uguale a quella che percorrerebbe nello stesso intervallo di tempo un altro corpo con moto uniforme e velocità pari a quellaraggiunta dal primo corpo nell’istante di mezzodell’intervallo temporale.La velocità non era definita in modo rigoroso, ma era intesa come una “qualità del moto”

Nicole Oresme (1323?Nicole Oresme (1323?--1382),1382), professore a Parigi e vescovo di Lisieux, ebbe l’idea di rappresentare geometricamente i vari moti: lungo una linea orizzontale segna dei punti che rappresentano gli istanti di tempo (longitudini) e da ogni punto innalza un segmento perpendicolare la cui lunghezza rappresenta la velocità in quell’istante (latitudini)

Moto uniforme v = costante

L’area del trapezio rettangolo, che rappresenta lo spazio percorso con moto uniformemente accelerato, è uguale all’area del rettangolo che rappresenta lo spazio percorso con velocità costante pari a

Con i suoi diagrammi Oresme poteva “dimostrare” la regola mertoniana

v0=0v0>0

Moto uniformementeaccelerato [uniformemente difforme]

Moto vario [difformementedifforme]

v1 v2221 vv +

221 vv +Tractatus de latitudinibus formarumTractatus de latitudinibus formarum

t1 t2

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RinascimentoRinascimento(secoli XV e XVI)(secoli XV e XVI)

► 1447 primo libro a stampa Nascita della prospettiva- Leon Battista Alberti (1404-1472)- Piero della Francesca (1410?-1492)- Albrecht Dürer (1471-1528)

► Nel Cinquecento si assiste a:- un formidabile sviluppo dell’algebra ad opera degli algebristi italiani

(S. Dal Ferro, N. Tartaglia, G. Cardano, L. Ferrari, R. Bombelli, risoluzione delle equazioni di terzo e quarto grado)

- la riscoperta dei classici greci (commenti e traduzioni di Euclide, Archimede e Apollonio )

► François Viète (1540-1603) getta un ponte fra algebra e geometria classica

► Johann Kepler (1571-1630)le coniche, calcolo di volumi con tecniche infinitesimali

Il SeicentoIl Seicento

► Nascita della geometria Analitica- René Descartes (1596-1650) Géométrie (1637)- Pierre de Fermat (1601-1665) Ad loco planos et solidos isagoge

(∼1629)

► Nascita della geometria proiettivasostituire lo studio separato di ciascuna conica con una teoriagenerale valida per tutte- Girard Desargues (1591-1661), Brouillon projet d’une atteinte

aux événemens des rencontres du cône avec un plan (1639)- Blaise Pascal (1623-1662) Essai sur les Coniques (1640)

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La La creazione creazione

della della geometria geometria

analiticaanalitica

Durante tutto il ‘500 i matematici si erano preoccupati di giustificare il

ragionamento algebrico con dimostrazionigeometriche.

FranFranççois Viois Vièètete (1540-1603)

Isagoge in artem analyticem (1591)►l’interazione fra algebra e geometria cambia: l’algebra è usata per risolvere problemi geometrici.L’algebra è vista come uno speciale procedimento di scoperta:si parte dall’assunzione di ciò che si cerca e mediante la deduzione si arriva ad una verità nota (ars analytica)

23

► Con Viète l’algebra diventa la scienza del calcolo letterale “speciosa”:“La logistica numerosa è quella che viene trattata mediante i numeri. La logistica speciosa è quella che viene trattata mediante segni o figure, per esempio mediante lettere dell’alfabeto”

♦ egli distingue le quantità incognite dalle note indicando le prime con una vocale e le seconde con una consonante♦ usa i simboli + e -, ma “in” per la moltiplicazione e “aequ”per l’uguale, Aq (A quadratus) e Ac (A cubus) per A2 e A3

Fra i risultati di Viète:- riuscì a risolvere il caso irriducibile delle equazioni di terzo grado usando un’identità trigonometrica, - individuò alcune delle relazioni fra le radici e i coefficientidell’equazione oggi note come formule di Viète - Girard.

Padre della filosofia moderna.Dallo studio del metodo matematico elaborò un metodo per giungere alla

conoscenza basato sui seguenti principi:

- “non accettare mai per vera nessuna cosa che non conoscessi con evidenza essere tale”- “dividere ciascuna difficoltà che stessi esaminando in tante piccole parti quante fosse possibile e necessario per giungere alla miglior soluzione di essa”- “condurre con ordine i miei pensieri cominciando dagli oggetti più semplici e più facili … per salire a poco a poco, come per gradi alla conoscenza dei più complessi”- “procedere in ogni caso ad enumerazioni così complete … da essere certo di non aver omesso assolutamente nulla” (p. 134-135)

RenRenéé DescartesDescartes(1596-1650)

Operescientifiche

di RénéDescartes, Utet, 1983

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Lo scopo dell’opera è enunciato fin dall’esordio:“Tutti i Problemi di Geometria possono facilmente essere riportati a termini tali che poi per costruirli, non c’è da conoscere che la lunghezza di alcune linee rette” (p. 528)

Il programma di Descartes è dunque quello di utilizzare l’algebra nell’analizzare i problemi geometrici. Egli crea la geometria analitica.

“ Volendo risolvere qualche problema, si deve fin dal principio considerarlo come già risolto, e assegnare una lettera ad ogni linea che si ritiene necessaria per costruirlo, sia a quelle che non sono note, che alle altre. Poi, senza far nessuna differenza tra quelle note e le incognite, bisogna svolgere il problema seguendo quell’ordine che piùnaturalmente di ogni altro mostra in qual modo le rette dipendano mutuamente le une dalle altre, fino a che non si sia riusciti a trovare il procedimento per esprimere una stessa quantità in due modi, cioè non si sia pervenuti a ciò che si chiama equazione” (pp. 535-536)

LaLa GGééomoméétrietrie (1637)(1637)

Il simbolismo algebricosimbolismo algebrico nella Géométrie raggiunge il suo massimo sviluppo ed è sostanzialmente quello attuale, con l’unica differenza per il segno di uguale : Descartes utilizza come noi le prime lettere dell’alfabeto per indicare i parametri e le ultime per le incognite, però mentre noi concepiamo parametri e incognite come numeri , D. le interpreta come segmenti.C’è una rottura rispetto alla tradizione classica, infatti interpreta come segmenti anche x2, x3, e non più come aree e volumi.

25

Scopo dellaScopo della GGééomoméétrietrie

Gli scopi della Géométrie coinvolgono due livelli di problemi: uno tecnico e uno metodologicotecnico: il programma di Descartes è quello di usare

l’algebra nello studiare i problemi geometrici (banco di prova è il problema di Pappo)

metodologico: come trovare la costruzione geometrica di un problema quando la riga e il compasso sono insufficienti e quali curve accettare nella costruzione

Caratteri dellaCaratteri della GGééomoméétrietrieabolizione del requisito di omogeneità nelle formule algebriche (artificio: introduce un segmento unitario)

considera problemi indeterminati. Le due coordinate x e y sono legate da una sola equazione. I punti che risolvono il problema sono infiniti e descrivono una curva

Geometriche, che si possono esprimere con un'equazione algebrica. Sono le sole che D. considera accettabili in geometria

Meccaniche (quadratrice, spirale, logaritmica, cicloide,...)

curve

La Géométrie è una geometria di curve non di teoremi

Salto qualitativo

Non è un’esposizione didattica

26

Il I libro della Géométrie si apre mostrando come interpretare geometricamente la moltiplicazione, la divisione e l’estrazione della radice

quadrata ed anche la soluzione delle equazioni di secondo grado.

1

FG = 1FG:IG = IG:GH

IG2 = FG·GH

D

EC

A B

AB = 1AB:BC = BD:BEBD·BC = BEBE:BD = BC1

La moltiplicazionee la divisione

L’estrazione dellaradice quadrata

La risoluzione delle equazionidi 2° grado

L

ON

P

Mb

a21

negativa. cioè ,falsa"" perché radice seconda la trascuraD.cercato. segmento il è

. e punti nei cerchio il interseca che e per passante retta la Traccia

.21 raggio di cerchioun costruisce in centroCon . a lareperpendico e

21 NL segmentoun innalza da e segmentoun tracciaD.

equazionel' risolverePer 22

OMxPO NM

aNLM

aLbLM

baxx

=

==

+=

22

421 baaMNONOM ++=+=

27

Il banco di prova per il nuovo metodoIl problema di PappoIl problema di Pappo

Il problema di Pappo, enunciato nella sua forma più semplice, si presenta così:

Date 2n rette, trovare il luogo dei punti tali che il prodotto delle distanze dalle prime n rette sia uguale al prodotto delle distanze dalle rimanenti.

Pappo lo aveva risolto in casi particolari. Ora D. può dare la soluzione generale: identificando la curva con la sua equazione. NOI: Siano (x,y) le coordinate di un punto generico C e sia d(C, ri ) = | ai x + bi y + ci | la distanza di C dalla retta i-esima, dove ai , bi , ci sono i parametri della retta ri normalizzati in modo che ai

2 + bi2 = 1.

Il luogo cercato ha equazione

∏=

n

i 1

( aix + biy + ci ) = ∏+=

n

ni

2

1

( aix + biy + ci)

Descartes è quindi consapevole che una soluzione generale è possibile solo usando il formalismo dell’algebra: “ Mi pare di aver così interamente soddisfatto alle ricerche che, secondo Pappo, gli antichi avevano impostato in questo campo e proverò a darne la dimostrazione in pochi tratti, giacché sono già annoiato di averne scritto tanto”

“Siano AB, AD, EF, GH, ecc. parecchie linee date per posizione, e occorra trovare un punto, come C, dal quale, condotte su quelle date altre linee rette, come CB, CD, CF, CH, in modo che gli angoli CBA, CDA, CFE, CHG siano dati e tali che il prodotto di una parte di queste linee sia uguale al prodotto delle rimanenti o che l’uno stia all’altro in un rapporto dato: ciò infatti non rende il problema per nulla più difficile.

Innanzitutto suppongo il problema come già risolto, e per liberarmi dalla confusione di tutte queste linee, considero una delle rette date e una di quelle che bisogna trovare, per esempio AB e CB come le principali, e a queste cerco così di riferire le altre.” (p. 553).

T

B

S

R

H

GAE

FC

D

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Metodo per la ricerca della normaleMetodo per la ricerca della normaleGéométrie, libro II, pp. 600 segg.

D. suppone il problema risolto. Sia CP la normale alla curva P(x,y)=0 in CPM = v-y0Considera il cerchio di centro P(v,0) e raggio s:

C(y0, x0)

s

A M P(v,0)

x0

y0222 )( syvx =−+

Se CP è normale alla curva in C il cerchio di centro P e raggio CP “tocca la curva in C senza intersecarla”

0)( oppure 0)( )(

0),(222 ==⇒

⎩⎨⎧

=−+

=yRxR

syvx

yxP

R(y) = 0 dovrà avere una radice doppia in y0, cioè dovrà essere della forma)()()( 2

0 yQyyyR −=

se P(x,y)=0 ha grado m, R(y)=0 ha grado 2m e Q(y) è un polinomio di grado 2m-2

Uguagliando uno a uno i coefficienti delle potenze omologhe si otterranno 2m+1 equazioni da cui si possono ricavare i coefficienti di Q(y), nonché i due parametri v e s.

Caratteri e limiti del metodoCaratteri e limiti del metodo♦ è un metodo algebrico♦ l’uso della circonferenza raddoppia il grado di P(x,y)=0♦ va bene solo per i polinomi e, anche nei casi più semplici dà luogo a calcoli lunghi e complessi

Descartes scrive: ““Oso anzi dire che questo Oso anzi dire che questo èè il problema piil problema piùù utile e utile e generale non solo tra tutti quelli che conosco, ma anche tra tutgenerale non solo tra tutti quelli che conosco, ma anche tra tutti ti quelli che in Geometria ho sempre desiderato conoscerequelli che in Geometria ho sempre desiderato conoscere”” (p. 600)In effetti, mentre nella geometria greca e in quella anteriore a D. il problema della ricerca della retta tangente doveva essere affrontato caso per caso, ora definendo la curva mediante la sua equazione si può trovare un metodo che vale per tutta una categoria di curve.

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EserciziEsercizi1. 1. Trovare la normale alla curva y = xTrovare la normale alla curva y = x3 3 in P(1,1) con il metodo di in P(1,1) con il metodo di Descartes e con il nostroDescartes e con il nostro

3

2 2 2

2 2 2 2

6 2 2 2

2 4 3 2 4 3 2

6 5 6 2 2 2

( )

2

( ) 2 0

( 1) ( ) ( 2 1)( )

( 2) ... 2

y x

x v y s

x xv v y s

R x x x xv v s

x x ax bx cx d x x x ax bx cx d

x a x x x xv v seguaglio i coefficienti delle potenze omologhe ottengo 6 equa

⎧ =⎪⎨

− + =⎪⎩− + + =

= + − + − =

− + + + + = − + + + + + =

= + − + ≡ + − + −

4zioni da cui ricavo

v =

2. Trovare la normale alla curva y = 1/x in P(2,1/2) con il met2. Trovare la normale alla curva y = 1/x in P(2,1/2) con il metodoododi Descartes e con il nostrodi Descartes e con il nostro

815 v...

1)(

1

22

2

=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+−

=

sx

vx

xy

“E spero che i posteri mi saranno grati, non solo per quello che ho qui spiegato, ma anche per tutto ciò che ho omesso intenzionalmente al fine di lasciar loro il piacere della scoperta” (p. 685)

In effetti la Géométrie presentava delle oscurità, per cui ne uscirono varie edizioni successive con commenti e integrazioni.Particolarmente importante è la traduzione latina con commenti di FransFrans vanvan SchootenSchooten Geometria a Renato De Geometria a Renato De CartesCartes, Leida 1649, Leida 1649che ebbe nel secolo XVII un’altra edizione con aggiunte e commenti di Jan de Witt e Jan Hudde(1659-1661, rist. 1683,1695)Queste edizioni ne favorirono la rapida diffusione.

Ch. Adam, P. Tannery,Oeuvres de Descartes,

12 voll, Paris 1897-1913

HuddeHudde

De De WittWitt

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Pierre de FermatPierre de Fermat (1601(1601--1665)1665)Figlio di un mercante, compì studi giuridici a Tolosa, dove esercitò la professione di magistrato fino al 1648 quando divenne consigliere del re.Non fu quindi un matematico di professione, ma diede contributi rilevanti alla nascita dell’analisi infinitesimale e della geometria analitica. Fu l’iniziatore del calcolo delle probabilità e della teoria dei numeri vera e propria.

La maggior parte dei suoi risultati hanno il carattere di brevi saggi o compaiono nelle lettere che scriveva agli amici. Pubblicò poco e molti dei suoi lavoriapparvero solo dopo la sua morte. Sarà il maggiore dei suoi figli Samuel a divulgare le sue ricerche in teoria dei numeri sulla base delle annotazioni a margine della Arithmetica di Diofanto edita da C. G. Bachet de Méziriac.

Ad loco Ad loco planosplanos et et solidossolidos isagogeisagoge[[Introduzione ai luoghi geometrici rappresentati da rette Introduzione ai luoghi geometrici rappresentati da rette

e da curve di secondo gradoe da curve di secondo grado]](∼1629, p. 1779)

È probabile che F. sia giunto alla geometria delle coordinate dallo studio dell’opera di Apollonio e dalla traduzione dei risultati in forma algebrica.

“Gli antichi hanno trattato i luoghi, ma non erano in grado di trattarli in modo generale”

“Ogni volta che in un’equazione finale si trovano due quantitàincognite abbiamo un luogo, in quanto l’estremità di una di esse descrive una linea retta o curva” (OF, I, p. 91)

P. Tannery, Ch. Henry, Oeuvres de Fermat, 4 voll. Paris, 1891-1912

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La presentazione di Fermat è più didattica rispetto a quella di Descartes. Parte dall’equazione della retta e via via considera equazioni di grado superiore (circonferenza, coniche)

I(x,y)

y

ZNA

M

Sia NMZ una retta data in posizione [asse x], si fissi N [origine], si ponga NZ = A (x, quantità incognita) eZI (sotto l’angolo dato NZI, non necessariamente retto) = E (y, altra incognita)Sia D·A = B · E, allora I starà su una rettadata in posizione.

Infatti sarà B/D=A/E, dunque

E

x

è dato il rapporto A/E, e, essendo dato l’angolo NZI, il triangolo INZ èdato, dunque I sarà su una retta data in posizione.

D in A D in A aequeturaequetur B in E B in E →→ DxDx = By= By(semiretta con estremo nell’origine, Fermat non usa ascisse negative)

Considera poi l’equazione lineare più generale:Zpl – D in A aequetur B in EC2 - Dx = BySi ponga D · R = C2 B/D = (R-x) /ySia MN=R, sarà allora dato M e MZ = R-x, dunqueMZ/ZI è dato come è dato l’angolo in Z, pertantoè dato anche il triangolo IZM, alloraI starà su una retta data in posizione.

I

Nx R-x

Z M

y

Aq aequatur D in E parabola x2 = DyA in E aequatur Zpl iperbole xy= C2

Bq –Aq aequatur Eq cerchio B2 – x2 = y2

R

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1665-66 biennium mirabilissimum

Isaac Newton (1642-1727) Gottfried Wilhelm Leibniz(1646-1716)

1684 Nova methodus

La nascita dellLa nascita dell’’analisi infinitesimaleanalisi infinitesimale

Nel secolo successivo le interazioni fra la geometria analitica e i metodi infinitesimali sono all’origine della Geometria differenziale

Sviluppi della geometria analiticaSviluppi della geometria analitica

Nella seconda metà del ‘700 si assiste a un grande sviluppo della geometria analitica, che assume la forma moderna.

1748 L. Euler, Introductio in Analysin infinitorumIl volume II è il primo trattato in stile “moderno” di geometria analitica: vi èlo studio sistematico delle coniche e delle cubiche, …, cenni alla geometria in tre dimensioni.

1750 G. Cramer, Introduction à l’analyse des lignes courbes algébriques

A.-C Clairaut, J.-L- Lagrange, G. Monge, …

1797, 1802 compare il termine géométrie analytique (S.-F. Lacroix, J.-B.Biot)

1804-1816 Si pubblica la rivista Correspondance sur l’École Polytechnique di J.-N. Hachette, dedicata quasi completamente alla geometria analitica

33

LaboratorioLaboratorio

Prop. I, 11 delle Coniche di Apollonio (III sec. a.C.), dove si ricava la proprietà fondamentale (equazione) della parabola

Prop. I, 33 delle Coniche di Apollonio (III sec. a.C.), dove si trova la tangente alla parabola

Problema “un cubo più lati è uguale a un numero” (x3 + bx = c) risolto da O. Al Khayyam mediante l’intersezione di coniche

La ricerca della normale ad una curva ed altri passi della Géométrie di R. Descartes (1637)http://web.math.unifi.it/archimede/archimede/mostra_calcolo/guida/node7.html

Passi da Ad locos plano set solidos isagoge (ca.1629) di P. Fermat.

Passi dalla II parte dell’ Introductio in Analysin Infinitorum(1748) di L. Euler e da S. F. Lacroix, Trattato elementare di applicazione dell’algebra alla geometria (1834).

Vedi documenti allegati

Il concetto di numero Il concetto di numero nel `500 e nel `600nel `500 e nel `600

APPENDICE

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♦Lo zero era accettato come numero.

♦ Gli irrazionali erano usati liberamente, ma sul loro status di numeri c'erano delle divergenze:

M. STIFEL nell’Aritmetica integra (1544) sostiene che"poiché nel provare le figure geometriche, quando i numeri razionali civengono a mancare, i numeri irrazionali prendono il loro posto edimostrano esattamente quelle cose che i numeri razionali non potevano dimostrare ... siamo mossi e spinti ad asserire che essi sono veramente numeri, spinti cioè dai risultati che percepiamo essere reali, certi e costanti. Dall'altro lato, altre considerazioni ci spingono a negare che i numeri irrazionali siano numeri. Vale a dire, quando cerchiamo di assoggettarli a enumerazione [rappresentazione decimale]...troviamo che essi volano perpetuamente via, cosicché nessuno di essi può essere appreso con precisione in sé ... Ora, ciò che è di natura tale da mancare di precisione non può essere chiamato un vero numero ... Perciò, proprio come un numero infinito non è un numero, così un numero irrazionale non è un vero numero, ma giace nascosto in una specie di nuvola di infinito”Per STIFEL i veri numeri sono gli interi e i frazionari.

S. STEVIN riconosce agli irrazionali il loro stato di numeri e li approssima con razionali. Ancora nel `600 B. PASCAL e I. BARROW li consideravano simboli che non hanno esistenza indipendente dalle grandezze geometriche.R. DESCARTES (1628) invece li ammette come numeri astratti che possono rappresentare grandezze geometriche e J. WALLIS nella sua Algebra (1685) li accetta come numeri.

♦I numeri negativi benché fossero usati dagli Indiani fin dal XII secolo e fossero resi noti dagli arabi, non erano accettati come numeri dalla maggior parte dei matematici del `500, o se lo erano, non erano accettati come radici di equazioni.G. CARDANO (Ars magna, 1545) li considera come meri simboli e li chiama "fittizi", F. VIÈTE li scartava e R. DESCARTES li accettava solo parzialmente nel senso che un'equazione con radici "false" (negative) poteva essere trasformata in una con radici "reali" (positive).STEVIN accettava sia i numeri negativi che le radici negative. A. GIRARD(Invention nouvelle en l'algèbre, 1629) li mette sullo stesso piano dei positivi e dà entrambe le radici di un'equazione di secondo grado anche quando sono negative. R. BOMBELLI li definisce in modo chiaro.

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♦ Per quanto riguarda i numeri complessi, BOMBELLI li introduce nella sua Algebra (1572) e ne dà le regole di calcolo.DESCARTES invece respinge le radici complesse e le chiama "immaginarie” GIRARD (Invention nouvelle en l'algèbre, 1629) li riconosce come soluzioni formali delle equazioni:"Si potrebbe dire: quale utilità hanno queste soluzioni impossibili [le radici complesse]? Io rispondo: servono a tre cose, alla certezza delle regole generali, alla loro utilità e perché non ci sono altre soluzioni"

I. NEWTON non le considerava forse perché non avevano all'epoca nessun significato fisico (Arithmetica universalis, 1728, p.193) e G. W. LEIBNIZ sebbene lavorasse con i numeri complessi non ne comprendeva appieno la natura:“Lo spirito divino trovò una via d'uscita sublime in quel mostro dell’analisi quel portento del mondo ideale, quell'anfibio fra essere e non-essere che chiamiamo radice immaginaria dell'unità negativa"(LMS, V, pp. 350-361)

Bibliografia essenzialeBibliografia essenzialeBoyer C., History of analytic geometry, The Scripta Mathematica Studies, New

York, 1956Freguglia P., La geometria tra tradizione e innovazione 1550-1650, Bollati

Boringhieri, Torino, 1999, Cap. 4Kline M., Storia del pensiero matematico, (1972), Torino, Einaudi, I vol., 1991,

pp. 106-118, 227-228, 246-248, 353-354, 359-369, 636-647 Lojacono E., Cartesio, I Grandi della Scienza, Le Scienze, 2000Katz V. (ed.), Historical Modules for the Teaching and Learning Mathematics,

The Mathematical Association of America, 2005

I testiI testiHeath T., Apollonius of Perga. Treatise on Conic Sections, Cambridge

University Press, 1896.Ver Eecke P., Les Coniques d’Apollonius de Perge, De Brouwer, Bruges, 1923Al Khayyam O., L’oeuvre algébrique, etablie, traduite et analysée par R. Rashed et

A. Djebbar, Paris 1979Adam CH., Tannery P., Oeuvres de Descartes, 12 voll., Paris, 1897-1913Descartes R., Opere scientifiche, Classici della scienza, Utet, Torino, 1983Tannery P., Henry Ch., Oeuvres de Fermat, 4 voll, Paris, 1891-1912Euler L., Introductio in analysin infinitorum , II vol. Lausannae, 1748