7/21/2019 Le Rayonnement d’Un Corps Noir

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LE RAYONNEMENT D’UN CORPS NOIR

Un corps noir est un corps capable d’absorber toute la lumiere qu’il recoit, pour la reemettre dans une gamme delongueur d’ondes differente de celle recue (pas de reflexion). Il absorbe et emet donc continuellement de l’energie sousforme de radiations electromagnetiques.

 ν

      ν 

Fig.  1 –   ´ Evolution experimentale de la fonction  uν (T,ν )

A l’equilibre, un corps noir est a une temperature  T  constante car les taux d’absorption et d’emission d’energie sontegaux. Le rayonnement emis est caracterise par une distribution spectrale en energie  uν . On montre que cette fonctionne depend que de la temperature  T   du corps et de la frequence  ν  du rayonnement emis. En particulier, elle ne depend

pas de la forme du corps, ni de la nature du milieu.La figure 1 donne l’evolution experimentale de cette fonction avec ν , pour deux temperatures. L’objectif est de modelisercette evolution. Pour cela, on considere un corps dielectrique rectangulaire de dimensions   Lx   (0   ≤   x   ≤   Lx),   Ly

(0   ≤   y   ≤   Ly) et   Lz   (0   ≤   z   ≤   Lz), dont les parois planes sont parfaitement conductrices. D’apres les equations

de Maxwell, le champ electrique  −→

E   doit satisfaire les equations de Maxwell. Comme les parois sont parfaitement

conductrices, les conditions aux limites −→E  ∧ −→n   =

−→0 sont appliquees sur chacune d’elles (−→n  est la normale a la paroi

consideree). On note  c  la vitesse de la lumiere

1. Verifier que le champ solution est de la forme −→E   =

−→G e−iωt, ou

 −→G  est defini de la facon suivante :

Gx  =  excos(kxx)sin(kyy)sin(kzz)Gy  = eysin(kxx)cos(kyy)sin(kzz)Gz  = ezsin(kxx)sin(kyy)cos(kzz)

et ou le vecteur d’onde −→

k , le vecteur  −→e   et la pulsation  ω  obeissent aux relations suivantes (c est la vitesse de lalumiere, et   l,  m  et  n  sont des entiers positifs) :

ω2 = k2c2 = (k2x + k2

y + k2

z)c2

exkx + eyky + ezkz  = −→e .−→k   = 0

kx  =  lπ/Lx,ky  = mπ/Ly,kz  = nπ/Lz

2. Tracer dans l’espace (kx,ky,kz) l’allure des vecteurs d’onde. Donner une estimation du nombre de vecteurs d’ondepossibles correspondant a une frequence comprise entre 0 et une valeur donnee  ν  =  ω/2π.

3. Donner le nombre N ν   de modes de rayonnement avec une frequence comprise entre 0 et  ν , puis le nombre de

modes  ρ(ν ) par unite de volume et par unite de frequence.4. La statistique de Bolztmann donne la probabilite elementaire pour que l’energie d’un mode soit comprise entreE   et  E  +  dE   (C  est une constante,  kB  la constante de Bolztmann et  T   la temperature) :

dP   = Cexp(−E /kBT )dE 

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En deduire l’energie moyenne de chaque mode, puis l’expression de la fonction  uν (ν,T ) selon cette statistique.C’est la loi de Rayleigh-Jeans. Comparer les valeurs obtenues pour  T  = 3000K et ν  = 1014Hz, puis ν  = 2.1014Hz,avec les valeurs experimentales de la figure 1. Commenter.

5. L’hypothese fondamentale de Planck est que l’energie d’un mode ne peut pas prendre une valeur arbitrairepositive, mais que les valeurs permises devaient etre des multiples entiers d’une quantite fondamentale  hν , ou  hest une constante aujourd’hui appelee constante de Planck. Cette quantite minimale qui peut etre echangee estappelee quantum de lumiere ou photon. Calculer dans ce cas l’energie moyenne d’un mode, puis l’expression dela fonction uν (ν,T ). C’est la formule de Planck. Faire l’application numerique en utilisant la constante de Planckdonnee dans le cours. Commenter.

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