LE TRASFORMAZIONI GALILEIANE

TRASFORMAZIONI GALILEIANEPer descrivere il moto di un oggetto abbiamo bisogno di un corpo rigido o un ambiente ( la terra, una stanza, una cabina etc..) rispetto al quale misurare gli spostamenti, di un regolo per misurare le distanze e di un orologio per misurare gli intervalli di tempo. Tutti questi oggetti costituiscono un riferimento fisico che indicheremo con SSe vogliamo effettuare uno studio analitico del moto abbiamo bisogno anche di un riferimento matematico, ad esempio un riferimento cartesiano, costituito di solito da una terna di assi cartesiani,Oxyz, come in figura

Scegliendo un altro riferimento S (Oxyz) in generale la descrizione del moto sar diversa , quindi lecito chiedersiCome si possono calcolare gli elementi che descrivono il moto in S , quando sono noti in SQuali sono le equazioni della trasformazione?Quali sono gli invarianti?

Se S in quiete rispetto ad S , il problema puramente geometrico e si rimanda alla teoria delle trasformazioni nel piano o nello spazio.Se S si ottiene da S mediante una traslazione, una rotazione, una simmetria centrale o assiale, le trasformazioni sono di tipo isometrico e lasciano invariate le distanze tra due punti.Fisicamente ci significa che le misure di lunghezze effettuate in S coincidono con quelle effettuate in S (supposto che i regoli con cui vengono effettuate le misure siano e restino uguali )A questa propriet aggiungiamo che restano invariate anche le misure degli intervalli di tempo( supposto che gli orologi usati dagli osservatori di S e da quelli di S siano stati sincronizzati allistante t =0 e restino sincronizzati)

Supponiamo che S si muova rispetto ad S di moto rettilineo uniforme con velocit e che allistante t=0 , O e O coincidano.La figura seguente illustra la situazione in un generico istante t.

Chiamiamo:OP spostamento assolutoOP spostamento relativoOO spostamento di trascinamentoApplicando la regola della somma vettoriale, possiamo affermare cheOP = OO+OP ovvero OP=OP-OO

Spostamento assoluto = spostamento relativo + spostamento di trascinamentoe, passando alle rispettive componenti,:x= x+ ux t x= x - ux ty=y+ uy t y=y -uy tz=z+ uz z=z - uz tt = t t = t avendo aggiunto anche la relazione di uguaglianza delle coordinate temporali

Le equazioni precedenti definiscono le Trasformazioni classiche o Galileiane (TG)Relazioni analoghe possono essere scritte anche per i rispettivi incrementi x,y,z corrispondenti ad un certo intervallo di tempo t = t

x = x + uxty = y + uytz = z + uztt = tDa queste si deduce una relazione anche tra velocit assoluta ( rispetto ad S) e velocit relativa( rispetto ad S) Dividendo membro a membro per t=t e ritornando alla forma vettoriale si ottiene

velocit assoluta = velocit relativa + velocit di trascinamentoRipetendo un procedimento analogo per le accelerazioni , troviamo innanzituttovx = vx vy = v yvz = v z In quanto le componenti della velocit di trascinamento non variano nel tempo e quindi, dividendo membro a membro per t = t, e tornando alla forma vettoriale, si deduce che a=acio laccelerazione la stessa in entrambi i riferimenti

Ci posto, facile verificare che la distanza tra due punti P1 e P2 un invariante per le TG, nel senso che , in ogni istante, risulta P1P2 = P1 P2.linvarianza della distanza temporale va intesa come un postulato, anche se questo fatto non stato messo in evidenza in tutta la Fisica classica, fino alla critica che ne fa Einstein.Anche la legge di composizione delle velocit , dimostrata matematicamente, valida comunque solo in conseguenza dellinvarianza del tempo.

LE TRASFORMAZIONI GALILEIANE CONSERVANO

Parametri geometriciGrandezze fisicheproiezione verticale di un segmentogli intervalli temporali le rette orizzontali

le areedistanza orizzontale tra rettelistante in cui avviene un evento le accelerazioni le lunghezze