Lebensdauer einesLebensdauer einesx-jährigenx-jährigen

Manuel SamplManuel Sampl

Proseminar Bakkalaureat TMProseminar Bakkalaureat TM

13.12.200513.12.2005

ModellModell

Person mit Alter xPerson mit Alter x

zukünftige Lebensdauer T = T(x)zukünftige Lebensdauer T = T(x)

x+T Todesalter der Personx+T Todesalter der Person

Verteilsfunktion von TVerteilsfunktion von T

T eine ZufallsvariableT eine Zufallsvariable

VerteilsfunktionVerteilsfunktion G(t) = Pr(T G(t) = Pr(T ≤ t),≤ t), t ≥ 0.t ≥ 0.

t festt fest G(t) die Wahrscheinlichtkeit, innerhalb G(t) die Wahrscheinlichtkeit, innerhalb

von t Jahren zu sterbenvon t Jahren zu sterben

Verteilsfunktion von TVerteilsfunktion von T

FunktionFunktion stetigstetig

WahrscheinlichkeitsdichteWahrscheinlichkeitsdichte g(t) = G‘(t)g(t) = G‘(t)

BeispielBeispiel g(t) dt = Pr(t < T < t + dt)g(t) dt = Pr(t < T < t + dt) Wahrscheinlichkeit des Todes in diesem Wahrscheinlichkeit des Todes in diesem

IntervallIntervall

SymbolikSymbolik

internationale Symbolik in der internationale Symbolik in der VersicherungsmathematikVersicherungsmathematik

ttqqxx = G(t) = G(t)

ttppxx = 1 – G(t) = 1 – G(t)

ssIIttqqxx = Pr(s < T < s+t) = G(s+t) – G(s) = Pr(s < T < s+t) = G(s+t) – G(s)

= = s+ts+tqqxx - - ssqqxx

Bedingte WahrscheinlichkeitenBedingte Wahrscheinlichkeiten

ttppx+sx+s eine bedingte Wahrscheinlichkeit eine bedingte Wahrscheinlichkeit

ttppx+sx+s = Pr(T > s+t = Pr(T > s+t II T > s) T > s)

= (1 – G(s+t)) / (1 – G(s))= (1 – G(s+t)) / (1 – G(s))

ttqqx+sx+s = Pr(T = Pr(T ≤ s+t ≤ s+t II T > s) T > s)

= (G(s+t) – G(s)) / (1 – G(s))= (G(s+t) – G(s)) / (1 – G(s))

LebenserwartungLebenserwartung

ėėxx als Symbol für die E(T) des x- als Symbol für die E(T) des x-jährigenjährigen

∞ ∞

ėėxx = = ∫t g(t) dt∫t g(t) dt 00

Verteilsfuntkion von TVerteilsfuntkion von T ∞ ∞ ∞ ∞

ėėxx = = ∫(1 – G(t)) dt = ∫∫(1 – G(t)) dt = ∫ttppxx dt dt 00 0 0

Vereinfachungen der NotationVereinfachungen der Notation

Präfixe der Symbole Präfixe der Symbole

ttqqxx , , ttppxx , , ssIIttqqxx

für t =1für t =1 qqxx , , ppxx , , ssIIqqxx

Die SterblichkeitsintensitätDie Sterblichkeitsintensität

DefinitionDefinition μμx+tx+t = g(t) / (1 – G(T)) = g(t) / (1 – G(T))

= - d/dt ln(1 – G(t))= - d/dt ln(1 – G(t)) weilweil

g(t) dt = Pr(t < T < t+dt) und g(t) dt = Pr(t < T < t+dt) und ttppxx = 1 – G(t) = 1 – G(t)

alternativer Ausdruckalternativer Ausdruck

Pr(t < T < t+dt) = Pr(t < T < t+dt) = ttppxx μμx+tx+t dt dt

LebenserwartungLebenserwartung

SchreibweisenSchreibweisen ∞ ∞

ėėxx = = ∫t ∫t ttppxx μμx+tx+t dtdt 00

∞ ∞

ėėxx = = ∫t g(t) dt∫t g(t) dt 00

∞ ∞ ∞ ∞

ėėxx = = ∫(1 – G(t)) dt = ∫∫(1 – G(t)) dt = ∫ttppxx dt dt 00 0 0

Analytische Verteilung von TAnalytische Verteilung von T

analytisch bzw. „mathematisch“, falls G(t) analytisch bzw. „mathematisch“, falls G(t) durch eine einfache Formel beschrieben durch eine einfache Formel beschrieben wirdwird

VorteilVorteil wenig Paramterwenig Paramter

NachteilNachteil ungenauungenau

Beispiele von analytischen Beispiele von analytischen VerteilungenVerteilungen

De MoivreDe Moivre (1724) (1724)

oberstes Alter oberstes Alter ωω

T gleichverteilt im Intervall (0 , T gleichverteilt im Intervall (0 , ωω-x)-x)

g(t) = 1 / (g(t) = 1 / (ωω – x) – x)

SterblichkeitsintensitätSterblichkeitsintensität μμx+tx+t = 1 / ( = 1 / (ωω – x – t) – x – t) für 0 < t < für 0 < t < ωω – x – x wachsende Funktionwachsende Funktion

GompertzGompertz (1824) (1824)

exponentielles Wachstumexponentielles Wachstum

μμx+tx+t = B c = B cx+tx+t mit B, c, t > 0mit B, c, t > 0

Vergleich zu Vergleich zu De MoivreDe Moivre bessere Beschreibung menschlichen Alternsbessere Beschreibung menschlichen Alterns oberstes Alter oberstes Alter ωω überflüssig überflüssig

MakehamMakeham (1860) (1860)

Verallgemeinerung von Verallgemeinerung von GompertzGompertz

μμx+tx+t = A + B c = A + B cx+tx+t mit A > 0mit A > 0

konstante Sterblichkeitsintensitätkonstante Sterblichkeitsintensität

GompertzGompertz μμx+tx+t = B c = B cx+tx+t

c = 1c = 1

MakehamMakeham μμx+tx+t = A + B c = A + B cx+tx+t

B = 0B = 0

WeibullWeibull (1939) (1939)

WachstumWachstum nicht exponentiellnicht exponentiell wie eine Potenzwie eine Potenz

μμx+tx+t = k (x + t) = k (x + t)nn mit k, n > 0mit k, n > 0

Die gestutzte LebensdauerDie gestutzte Lebensdauer

ModellModell

μμx+tx+t = g(t) / (1 – G(T)) = g(t) / (1 – G(T))

= - d/dt ln(1 – G(t))= - d/dt ln(1 – G(t))

Pr(t < T < t+dt) = Pr(t < T < t+dt) = ttppxx μμx+tx+t dt dt

ZufallsvariabelenZufallsvariabelen

K = K(x)K = K(x)

S = S(x)S = S(x)

SeiSei

K = [T] K = [T] die ganzzahlig gestutzte die ganzzahlig gestutzte zukünftige Lebensdauerzukünftige Lebensdauer

Pr(K = k) = Pr(k < T < k+1) Pr(K = k) = Pr(k < T < k+1) für k = 0, für k = 0, 1, ...1, ...

Erwartungswert von K heißt die gestutzte Erwartungswert von K heißt die gestutzte Lebenserwartung bezeichnet mit eLebenserwartung bezeichnet mit exx

SeiSei

S der Bruchteil des Jahres im TodesjahrS der Bruchteil des Jahres im Todesjahr

S im Intervall ( 0 , 1 )S im Intervall ( 0 , 1 )

T = K + ST = K + S

Approximation mit S = ½Approximation mit S = ½

ėėxx ≈ e ≈ exx + ½ als Näherung + ½ als Näherung

Verwendung in der Praxis um die Verwendung in der Praxis um die vollständige Lebenserwartung vollständige Lebenserwartung auszurechnenauszurechnen

VorteilVorteil einfacher auszuwerteneinfacher auszuwerten

NachteilNachteil nicht ganz so genaunicht ganz so genau