Lección 2: Formulación del problema de optimizaciónOptimización de procesos químicos. 2009-2010 DIQUIMA-ETSII Lección 2:! Formulación del problema de optimización" Variables

Optimización de procesos químicos. 2009-2010 DIQUIMA-ETSII

Lección 2:!Formulación del problema de

optimización"  Variables

  La función objetivo

  Restricciones de igualdad

  Restricciones de desigualdad

  Grados de libertad

  Formulación del problema


FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN

Función objetivo

Esta es la formulación general del problema

m i n m a x

m a x ( )

. .

( ) 0

( ) 0

x f x

s t h x

g x

x x x

=

≤

Restricciones igualadad

Variables límite

Restricciones desigualdad

≤ ≤


Variables can be grouped into two categories

“decision” or “optimization” variables

These are the variables in the system that are changed independently to modify the behavior of the system.

dependent variables

whose behavior is determined by the values selected for the independent variables.

DESIGN: OPERATIONS: MANAGEMENT:

Although they can be grouped this way to help understanding, the solution method need not distinguish them. We need to solve a set of equations involving many variables.

m i n m a x

m a x ( )

. . ( ) 0 ( ) 0

x f x

s t h x g x x x x

= VARIABLES!

m i n m a x x x x

reactor volume, number of trays, heat exch. area, … temperature, flow, pressure, valve opening, …

feed type, purchase price, sales price, ..

≤ ≤ ≤

≤ ≤

FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN!


Some comments on variables

•  Typically, we do not define the “decision” and “dependent” variables.

• Since we solve a set of simultaneous equations, all variables are evaluated together.

• We should always place bounds on variables.

VARIABLES!

m i n m a x

m a x ( )

. . ( ) 0 ( ) 0

x f x

s t h x g x x x x

= ≤

≤ ≤



FUNCIÓN OBJETIVO!

Este es el objetivo, ejemplos: - maximizar beneficio (minimizar coste) - minimizar uso de energía - minimizar los residuos contaminantes - minimizar el material para contruir un depósito

Formularemos la mayoría de los problemas con una función objetivo escalar

Debería representar el efecto total de las variables (x) en el objetivo.

m i n m a x

m a x ( )

. . ( ) 0 ( ) 0

x f x

s t h x g x x x x

= ≤

≤ ≤



Algunos comentarios sobre la función objetivo

•  Aunque es preferible un objetivo escalar. Muchas veces nos encontramos con múltiples objetivos.

•  Tener en cuenta que Max (f) es igual que Min (-f)

- Por tanto, no hay diferencia práctica ni fundamental entre problemas de maximizar y de minimizar. El mismo software y algoritmo resuelve ambos.

•  Hay dificultades cuando los modelos nos son muy exactos.

•  Algunos aspectos son muy difíciles de modelar (respuesta del mercado a una mejora en la calidad del producto).

•  Deseamos una función objetivo “suave”.

FUNCIÓN OBJETIVO!

m i n m a x

m a x ( )

. . ( ) 0 ( ) 0

x f x

s t h x g x x x x

= ≤

≤ ≤



RESTRICCIONES DE IGUALDAD!

Esta expresión limita los valores posibles de x. Definen la Región factible (feasible region)

Algunas restricciones de igualdad: - materia, energía, fuerza, … - equilibrio - decisiones de ingeniería ( F1 - .5 F2 = 0 ) - valores impuestos por el control set point temp = 231

BALANCES

Por convenio se escriben estas ecuaciones con un cero en la derecha de la igualdad (zero rhs –right hand side-)

Puede haber múltiples restricciones de igualdad, así que h(x) es un vector.

m i n m a x

m a x ( )

. . ( ) 0 ( ) 0

x f x

s t h x g x x x x

= ≤

≤ ≤



1. Define Objetivos

2. Prepara información

3. Formula el modelo

4. Determina la solución

5. Analiza Resultados

6. Valida el modelo

•  ¿Qué decisión? •  ¿Qué variable? •  Localización •  Dibuja el proceso •  Recopila los datos •  Declara las suposiciones •  Define el sistema

Normalmente la solución y la optimización se determinan simultáneamente


m i n m a x

m a x ( )

. . ( ) 0 ( ) 0

x f x

s t h x g x x x x

= ≤

≤ ≤

Balance: Component Material

Energy



Algunos comentario sobre las restricciones de igualdad

•  Los balances se deben de cumplir estrictamente. Si no lo especificamos así, el optimizador encontrará como ¡crear masa y energía!

•  Los balances se pueden aplicar sobre diferentes entidades: - materia - tiempo - cajas en un almacén - gente trabajando en una unidad de una planta

•  Los modelos pueden cambiar. Por ejemplo, un cambiador puede tener una o dos fases según el resultado de la optimización.

Esto complica la resolución de la optimización.




RESTRICCIONES DE DESIGUALDAD!. . ( ) 0

s t g x ≤

Son límites al sistema en una dirección:

- máxima inversión disponible - máximo flujo admisible por la bomba - mínimo caudal líquido en un determinado plato - mínima generación de vapor en una caldera - máxima presión de un depósito

Hay que tener cuidado en no definir un problema de forma incorrecta y que no tenga región factible. Multiplicando por (-1) podemos cambiar el signo de la desigualdad, así que ambas restricciones están contempladas.

¿Por ejemplo?

m i n m a x

m a x ( )

. . ( ) 0 ( ) 0

x f x

s t h x g x x x x

= ≤

≤ ≤



GRADOS DE LIBERTAD

La siguiente relación determina el número de grados de libertad (DOF)

DOF = (# variables) - (# ecuaciones)

¿Cómo deben ser los valores de los grados de libertad para Optimización?

m i n m a x

m a x ( )

. . ( ) 0 ( ) 0

x f x

s t h x g x x x x

= ≤

≤ ≤



Normalmente se piensa el problema de optimización como teniendo:

#Opt Var = # var - #equality constr.

En dos dimensiones el gráfico queda:

Opt Var1

Opt

Var

2 feasible region

GRADOS DE LIBERTAD (DOF)

m i n m a x

m a x ( )

. . ( ) 0 ( ) 0

x f x

s t h x g x x x x

= ≤

≤ ≤



Opt

Var

2 Opt Var1 Opt Var1

Opt

Var

2

Caso A Caso B

Podemos dibujar la función objetivo como contornos.


GRADOS DE LIBERTAD (DOF)



¿Cómo seleccionamos el sistema para nuestra optimización?



How do we define a scalar that represents performance, including

•  Economics

•  Safety

•  Product quality

•  Product rates (contracts!)

•  Flexibility

•  …...




Cómo de exacto debe ser el modelo del sistema físico?

•  Macroscopico

•  1,2 3, dimensiones espaciales

•  Dinámico o estado estacionario

•  Propiesdades físicas

•  Ecs. Constitutivas (U(f), k0e-E/RT, ..




Cuáles son los límites a las posibles soluciones?

•  Seguridad

•  Calidad del producto

•  Daños de equipos

•  Operación de equipos

•  Consideraciones legales/éticas




Factoid: Many process simulations and optimizations have a large number of variables and constraints. Why?

•  Entire model is repeated for many locations, e.g., trays in a tower.

•  Model repeated for many components in a stream.

•  Model repeated for many times in a dynamic system




We use the term “tractable” to describe whether we can

1. Solve the mathematical optimization problem

2. Achieve desired accuracy in the “Real World”

- This prevents us from using a useless, simple model

3. Calculate the solution in an acceptable time. The allowable time depends on the problem.




Very accurate over wide range of conditions

Longer computing

More complex

Less accurate over a narrow range of conditions

Shorter computing

Less complex

The engineer must select the appropriate balance for each problem. The problem must be tractable. Intractable problems have to be reformulated.




Optimization Formulation: Workshop #1

FORMULATING THE OPTIMIZATION PROBLEM!

We want to schedule the production in two plants, A and B, each of which can manufacture two products: 1 and 2. How should the scheduling take place to maximize profits while meeting the market requirements based on the following data:

How many days per year should each plant operate processing each kind of material?

Material processed (kg/day)"

Profit"(€/kg)"

Plant! 1" 2" 1" 2"

A! MA1" MA2" SA1" SA2"

B! MB1" MB2" SB1" SB2"



f(t)=tA1MA1SA1+ tA2MA2SA2+ tB1MB1SB1+ tB2MB2SB2

tA1+ tA2 = 365 tB1+ tB2 = 365

tA1>=0

tB1>=0

MAi<=Li

tA1MA1+ tA2MA2 <=Li

Objective function

Constraints

Equalities

Inequalities





Suppose the flow rates entering and leaving a process are measured periodically. Determine the best value for stream A in kg/h for the process shown from the three hourly measurements indicated of B and C in the figure, assuming steady-state operation at a fixed operating point.

Material reconciliation

(a) 11.1kg/h

(b) 10.8kg/h

(c) 11.4kg/h

(a) 92.4kg/h

(b) 94.3kg/h

(c) 93.8kg/h

A

C

B plant



MA+MC=MB

f(MA)=(MA+11.1-92.4)2+(MA+10.8-94.3)2+(MA+11.4-93.8)2

Objective function

Constraints

(a) 11.1kg/h

(b) 10.8kg/h

(c) 11.4kg/h

(a) 92.4kg/h

(b) 94.3kg/h

(c) 93.8kg/h

A

C

B plant





Consider the process diagram of the figure where each product (E,F,G) requires different amounts of reactants according to the table shown in the next slide.

The table below show the maxium amount of reactant available per day as well as the cost per kg.

Material flows allocation

A

B

C

E

F

G

Raw material"

Maximum available (kg/day)"

Cost (€/kg)"

A" 40000" 1.5"

B" 30000" 2.0"

C" 25000" 2.5"

1

2

3



Process" Product"

Reactants requirements (kg/kg product)"

Processing cost (product) (€/kg)"

Selling price (product) (€/kg)"

1" E" 2/3A,1/3B" 1.5" 4.0"

2" F" 2/3A,1/3B" 0.5" 3.3"

3" G" 1/2A,1/6B,1/3C" 1.0" 3.8"

Formulate the optimization problem. The objective function is to maximize the total operating profit per day in units of €/day

Optimization Formulation: Workshop #3 (cont’d)



f(x)=0.04E+0.033F+0.038G-(0.015A+0.02B+0.025C)-(0.015E+0.005F+0.01G)

f(x)=0.025E+0.028F+0.028G-0.015A-0.02B-0.025C)

Objective function

A=0.667E+0.667F+0.5G

B=0.333E+0.333F+0.167G

C=0.333G

0<=A<=40000

0<=B<=30000

0<=C<=25000

Constraints

Equalities

Inequalities




Hallar la relación óptima (L/D) para la construcción de un depósito de modo que se minimicen los costes.

Suposiciones:

• Los extremos son planos

• Las paredes tienen un espesor constante, x. La densidad es ρ.

• El espesor es independiente de la presión

• El coste, S, de fabricación de los extremos y del cilindro es el mismo (€/kg fabricado)

• No se desperdicia nada de material durante la fabricación del depósito.



Superficie fondo πD2/4

Superficie cilindro πDL

Objective function f=2(πD2/4)+ πDL (m2)

f=S* ρ *x*(πD2/2+ πDL) (€)

Constraints

Volumen dado V=L*πD2/4

¿Grados de libertad?

f=πD2/2+ 4V/D

Dopt=(4V/ ρ)1/3



Problema 1 (solver)

G1=0,7*V1 K1=0,06*V1 FO1=0,24*V1

G2=0,31*V2 K2=0,09*V2 FO2=0,6*V2

I G1+G2=<=6000 II K1+K2<=2400 III FO1+FO2<=12000

8571

I

II III 19354

Region factible

Max V1+0,7V2

Función objetivo

Restricciones

Documents

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