Leccion 15. Cartas de Nichols (2)

5. DIAGRAMA Y CARTA DE NICHOLS

Introducción

El análisis de dinámico de sistemas con la carta de Nichols es una modificación de los métodos de Bode y de Nyquist pero con algunas otras ventajas. El diagrama de Nichols es la representación grafica, para un sistema en lazo abierto, de la magnitud en función de la fase, es decir |G ( jw )|versus arg [G ( jw ) ]. Básicamente la carta de Nichols es una transformación de los círculos M y N en la representación rectangular en contornos no circulares M y N, sobre una representación en coordenadas polares de la magnitud en decibeles contra el ángulo de fase.

Diagrama de Nichols

El diagrama de Nichols es la representación de la magnitud de un sistema en lazo abierto en función de la fase del sistema en lazo abierto, es decir |G ( jw )|versus arg [G ( jw ) ].

La función de transferencia sinusoidal del sistema en lazo abierto es una expresión compleja en función de la frecuencia y se puede representar simbólicamente de la siguiente manera:

G ( jw )=ℜ [G ( jw ) ]+ℑ [G( jw )]=Re+ j I m

Siendo Re, la parte real de la expresión compleja que corresponde a G(jw) y I m la parte imaginaria de la misma. El modulo y el argumento de la función de transferencia del sistema en lazo abierto se calcula a partir de la expresión compleja correspondiente a la función de transferencia sinusoidal con las siguientes ecuaciones,

|G( jw)|=√Re2+ Im

2

arg [G( jw)]=tan−1( I m

Re)

Con la ayuda de Matlab es muy simple la construcción del diagrama de Nichols para un sistema en lazo abierto de función de transferencia conocida. En forma similar a las representaciones de Bode y Nyquist, basta con utilizar el comando nichols con los argumentos que expresan a la función de transferencia en lazo abierto, es decir que para una función de transferencia expresada en forma estándar la sintaxis es

nichols(num, den)

Si la función de transferencia se define con anterioridad por un nombre, por ejemplo sys, entonces la sintaxis es

nichols(sys)

Para capturar los valores calculados de la magnitud y la fase del sistema en lazo abierto se utiliza la siguiente sintaxis con la cual se puede capturar además las frecuencias correspondientes

[mag,phase,w] = nichols(sys)

También se pueden manipular las propiedades del editor de la figura que despliega el diagrama de Nichols en forma similar a como se realiza con los diagramas de Bode y de Nyquist. Para un sistema en lazo abierto con la siguiente función de transferencia

G(s)=−4 s4+48 s3−18 s2+250 s+600s4+30 s3+282 s2+525 s+60

La construcción del diagrama de Nichols con la ayuda de Matlab se consigue con el siguiente código

num = [-4 48 -18 250 600];

den = [1 30 282 525 60];

H = tf(num,den)

nichols(H);

La Figura 5.1 muestra el diagrama de Nichols para el sistema en lazo abierto con la función de transferencia considerada anteriormente

Figura 5.1 Diagrama de Nichols para un Sistema en Lazo Abierto

El diagrama de Nichols es útil para el análisis de la estabilidad del sistema dentro de un lazo cerrado de control y, al igual que los otros gráficos definidos en el dominio de la frecuencia, se emplea para el diseño de controladores dentro de un lazo cerrado de control.

Carta de Nichols

La Carta de Nichols es la representación para un sistema en lazo cerrado de un mapa de círculos de magnitud constante y de círculos de fase constante en coordenadas rectangulares de I m [G ( jw ) ]versus Re[G( jw)]. Para el diseño de controladores dentro de un lazo cerrado es útil la superposición en una misma

representación el diagrama de Nichols del sistema en lazo abierto junto con la carta de Nichols.

Función de Transferencia de un Lazo Cerrado de Control

Considere que G(s) es la función de transferencia en lazo abierto de un sistema dentro de un lazo cerrado de control por retroalimentación y cuya función de transferencia M(s) es:

M (s)=G(s)

1+G(s )

La función de transferencia sinusoidal del sistema en lazo abierto es una expresión compleja en función de la frecuencia y se puede representar simbólicamente de la siguiente manera:

G ( jw )=ℜ [G ( jw ) ]+ℑ [G( jw )]=Re+ j I m

Siendo Re, la parte real de la expresión compleja que corresponde a G(jw) y I m la parte imaginaria de la misma.

Al evaluar la función de transferencia del lazo cerrado de control, M(s), para s = jw, resulta que:

M ( jw )= G ( jw )1+G ( jw )

=Re+ j Im

(1+Re)+ j I m

Así el módulo y el ángulo de M(jw) serán:

|M ( jw )|= √ Re2+ I m

2

√ (1+Re )2+ I m2

arg [ M ( jw ) ]=tan−1( I m

Re)−tan−1( I m

1+Re)

Lugar Geométrico de M Constante en el Plano G(jw)

Si, por simplificación, se toma al módulo de M(jw) = M se tiene que:

M √(1+Re)2+ I m2 =√Re

2+ I m2

De la anterior igualdad se puede hacer las operaciones algebraicas que permitan reorganizarla y transformarla a la siguiente forma:

(Re−M 2

1−M 2 )2

+ I m2 =( M

1−M 2 )2

M ≠1

Para un valor dado de M, esta ecuación representa un círculo con centro en las

coordenadas ( M 2

1−M 2 , 0) y un radio con una medida dada por | M

1−M 2|. Cuando M

toma diferentes valores, la ecuación anterior describe en el plano G(jw), una familia de círculos que se llaman lugar geométrico de M constante, o círculos de M constante; éstos son simétricos con respecto a la línea M =1 y al eje real.

Lugar Geométrico de Fase Constante en el Plano G(jw)

La ecuación del ángulo fase expresada anteriormente:

θ=tan−1( I m

Re)−t an−1( I m

1+Re)

Se puede escribir como N=tanθ=

I m

Re

−I m

1+Re

1+( I m

R e)( I m

1+Re)

De la anterior igualdad se puede hacer las operaciones algebraicas que permitan reorganizarla y transformarla a la siguiente forma:

(Re+12 )

2

+(I m−1

2 N )2

=14+ 1

4 N2

Para un valor dado de N, esta ecuación representa un círculo con centro en las

coordenadas ( 12

,− 12 N ) y un radio con una medida dada por |1

4+ 1

4 N2|. Cuando N

toma diferentes valores, la ecuación anterior describe en el plano G(jw), una familia de círculos que se llaman lugar geométrico de N constante, o círculos de N constante. El lugar geométrico de fase constante de un sistema en lazo cerrado se puede graficar en el plano G(jw) a través de un método similar al usado para graficar el lugar geométrico de M constante. En la Figura 5.2 se muestra una carta de Nichols construida para un conjunto de círculos de magnitud constante y para un conjunto de círculos de fase constante mediante un procedimiento codificado con Matlab en un archivo de extensión eme denominado nichols1.

Figura 5.2 Carta de Nichols en Coordenadas Rectangulares

Carta de Nichols en Coordenadas Polares

Al observar la carta de Nichols en coordenadas rectangulares se encuentra que resulta más sencillo conocer la magnitud y el ángulo de la función de transferencia sinusoidal empleando para ello los diagramas de Bode que el conocer las partes real e imaginaria de la función de transferencia sinusoidal por medio de la carta de Nichols en coordenadas rectangulares. Por esta razón se propone la transformación de la carta de Nichols a una representación en coordenadas polares como la que se muestra en la Figura 5.3, siendo los ejes la magnitud y el ángulo fase de la función de transferencia en lazo abierto. En este tipo de transformación, los círculos M y los círculos N se distorsionan y pierden su forma circular

Figura 5.3 Carta de Nichols en Coordenadas Polares

La Carta de Nichols que se muestra en la Figura 5.3 es construida, con el archivo nichols2 de extensión punto eme codificado con Matlab, para un conjunto de valores de magnitud y fase.

Con la ayuda de Matlab es muy simple la superposición de la carta de Nichols sobre un diagrama de Nichols. Se anexa digitando la palabra clave ngrid después de construido el diagrama de Nichols. La Figura 5.4 muestra la carta de Nichols superpuesta sobre el diagrama de Nichols mostrado en la Figura 5.1

Figura 5.4 Carta de Nichols superpuesta sobre Diagrama de Nichols

Algunas características de la carta de Nichols como recurso para el análisis de estabilidad de un sistema son:

El punto crítico es la intercepción del eje de ganancia 0 db (cero db) y el eje de fase -180º.

La intercepción del diagrama de Nichols de un sistema con el eje de fase -180º se denomina el cruce de fase y la ordenada correspondiente es la relación de magnitudes para una fase de -180º. Con esta se estima el valor de la ganancia ultima para un controlador proporcional dentro de un lazo cerrado de control

La intercepción del diagrama de Nichols de un sistema con el eje de magnitud 0 db se denomina Cruce de Ganancia

El margen de ganancia es la distancia vertical en db medida desde el cruce de fase al punto crítico.

El margen de fase es la distancia horizontal en db medida desde el cruce de magnitudes hasta el punto critico

A continuación se repite el análisis de estabilidad para los lazos de control considerados en la aplicación del criterio de Bode con el objeto de comparar los resultados obtenidos con los que arroja la utilización del diagrama de Nichols junto con la carta de Nichols

Análisis de estabilidad de un lazo de control proporcional mediante el Diagrama de Nichols y la Carta de Nichols

Los elementos considerados dentro del lazo de control en la Lección 17 se caracterizan con las siguientes funciones de transferencia.

Controlador: Gc( s )=K c (17.13)

Válvula de control:Gc( s )=0 . 016

3 s+1 (17.14)

Proceso:Gc( s )=50

30 s+1 (17.15)

Sensor/Transmisor:Gc( s )= 1

10 s+1 (17.16)

La función de transferencia en lazo abierto (OLTF) es por lo tanto:

OLTF=0 .8 Kc

(10 s+1)(30 s+1 )(3 s+1 ) (17.17)

Las ecuaciones para la relación de magnitudes y el ángulo fase del sistema en lazo abierto en función de la frecuencia están dados por

MR= AR0 .8 Kc

= 1

√(10 w )2+1√(30 w)2+1√(3 w)2+1) (17.18)

θ=−tan−1(10 w )−tan−1(30 w)−tan−1(3w ) (17.19)

La solución del anterior sistema de ecuaciones para una fase de -180º obtenida con Matlab arroja los siguientes resultados

w=0 . 2186 rad /segMR=0 . 0524Kcu=23 . 833

El diagrama de Nichols correspondiente a la función de transferencia de lazo abierto (17.17) junto con la Carta de Nichols se muestra en la Figura 5.5.

Figura 5.5. Diagrama de Nichols para el lazo de control proporcional

Con la ayuda de Matlab se despliega el menú que especifica la localización del cruce de fase y se observa que corresponde a una frecuencia de 0.218 rad/seg y una magnitud de -27.5 db. La ganancia última para un controlador proporcional se estima evaluando esta magnitud para una relación de amplitudes de 1, es decir que:

db=20 log( MR )

Kcu=1MR

=1

10 (̂−27 .5 db/20 )Kcu=23 .7

El resultado es aproximadamente igual al obtenido tanto analíticamente como con los diagramas de Bode. Los márgenes mínimos de ganancia y de fase se pueden resaltar desplegando el menú contextual con un clic derecho sobre el diagrama y seleccionando la opción “Minimum Stability Margins”. Matlab muestra sobre el diagrama las líneas correspondientes desde los puntos de cruce hasta el punto crítico.

Análisis del efecto del tiempo muerto en la estabilidad de un lazo de control proporcional mediante el Diagrama de Nichols.

Para este análisis se introduce un tiempo muerto de 2 segundos en la función de transferencia del sensor, entonces la función de transferencia del sistema en lazo abierto es ahora,

OLTF=0 . 8K c e−2s

(10 s+1)(30 s+1 )(3 s+1 ) (17.20)


MR= AR0 .8 Kc

= 1

√(10 w )2+1√(30 w)2+1√(3 w)2+1) (17.21)

θ=−2w−tan−1 (10 w )−tan−1(30 w )−tan−1 (3w ) (17.22)


w=0 . 1596 rad /segMR=0 . 0979Kcu=12 .7651

El diagrama de Nichols correspondiente a la función de transferencia de lazo abierto (17.20) se muestra en la Figura 5.6

Figura 5.6. Diagrama de Nichols para lazo de control proporcional con tiempo muerto


db=20 log ( MR )

Kcu=1MR

=1

10 (̂−22 .1db /20 )Kcu=12 .74

El resultado es aproximadamente igual al obtenido tanto analíticamente como con los diagramas de Bode.

Análisis del efecto de la acción integral en la estabilidad de un lazo de control proporcional – integral mediante el Diagrama de Nichols

Considere que el controlador del lazo considerado en la OLTF de la ecuación (17.17) es de acciones proporcional e integral y no incluye tiempo muerto y se mantienen las dinámicas de los otros elementos. Asigne al controlador un tiempo integral de 1 segundo. Entonces la función de transferencia en lazo abierto es

OLTF=0. 8 Kc (s+1)

s (10 s+1)(30 s+1)(3 s+1 ) (17.23)


MR=AR

0 .8 Kc

= √w2+1

w√(10 w )2+1√(30 w )2+1√(3 w )2+1) (17.24)

θ=tan−1(w )−tan−1 (10 w)−tan−1(30 w )− tan−1(3 w)−π2 (17.25)


w=0 . 0513 rad /segMR=9 . 34Kcu=0 .1338

La Figura 5.7 muestra el diagrama Nichols para el sistema con la función de transferencia en lazo abierto 17.17 compensado con un controlador proporcional – integral con un tiempo integral de 1 segundo

Figura 5.7. Diagrama de Nichols para lazo con control PI (I = 1 seg)

Con la ayuda de Matlab se despliega el menú que especifica la localización del cruce de fase y se observa que corresponde a una frecuencia de 0.0512 rad/seg y una magnitud de 17.5 db. La ganancia última para un controlador proporcional se estima evaluando esta magnitud para una relación de amplitudes de 1, es decir que:

db=20 log( MR )

Kcu=1MR

=1

10 (̂17 . 5db/20 )Kcu=0 .133


Análisis del efecto de la acción derivativa en la estabilidad de un lazo de control proporcional – derivativo mediante el Diagrama de Bode

Considere que el controlador del lazo considerado en la OLTF de la ecuación (17.17) es de acciones proporcional – derivativa sin incluir tiempo muerto y con una función de transferencia de la forma,

Gc( s )=K c( 1+15 s1+1.5 s )

(17.26)

Entonces, la función de transferencia del sistema en lazo abierto compensada con el controlador definido en la ecuación 17.26 se expresa con la siguiente forma:

OLTF=0 . 8 K c(15 s+1)

(1 .5 s+1 )(10 s+1 )(30 s+1)(3 s+1) (17.27)


MR= AR0 .8 Kc

= √(15 w )2+1

√(1 .5 w)2+1√(10 w)2+1√(30 w )2+1√(3 w )2+1) (17.28)

θ=tan−1(15 w )−tan−1(10 w )−tan−1 (30 w )−tan−1(3 w )−tan−1 (1.5 w ) (17.29)


w=0 . 537 rad /segMR=0 . 038Kcu=33 . 06

Figura 5.8. Diagrama de Nichols para el lazo de control PD

La Figura 5.8 muestra el diagrama de Nichols para un controlador proporcional – derivado con un tiempo derivativo de 15 segundos y una función de transferencia dada por la expresión 17.26.


db=20 log( MR )

Kcu=1MR

=1

10 (̂−30 .4 db /20)Kcu=33 .11


Figura 5.9. Diagrama de Nichols para el lazo de control PD

La Figura 5.9 muestra el diagrama de Nichols para un controlador PD con una función de transferencia como la 17.26 y una ganancia de 20. Se despliegan los márgenes de fase (15.7º) y ganancia (4.37 db) con las líneas con unen los cruces de

fase y magnitud con el punto crítico y se despliegan los menús que muestran los valores de dichos márgenes y las respectivas frecuencias de cruce (Wcg = 0.547 rad/seg, Wcp = 0.416 rad/seg).

CASO DE ESTUDIO

1. Construya el Diagrama de Nichols para la siguiente función de transferencia en lazo abierto

G( s )=Kc (s+1)

s (s2+2 s+10 )(s+5)

Determine:

1. La Ganancia ultima para un controlador proporcional2. La Frecuencia ultima de la respuesta del lazo cerrado de control3. El periodo ultimo de la respuesta estable del lazo cerrado de control4. La respuesta ultima del lazo cerrado de control (Grafica)5. El margen de fase y el margen de ganancia cuando se le asigne al

controlador proporcional una ganancia de 206. La frecuencia de cruce de magnitud y la frecuencia de cruce de fase

Archivo nichols1.m

clcdb = [-5 -3 -2 2 3 5]; % Valores constantes de magnitud en dbte = [-60 -45 -30 30 45 60]; % Valores constantes de fase en grados M = 10.^(db./20); % Valores constantes de magnitud absolutosN = tan(te*pi/180); % Valores constantes de tangentes de fasen = length(M); % Numero de valores para magnitud for i = 1:n r = abs(M(i)/(1 - (M(i))^2)); % Radio del circulo M

h = ((M(i))^2)/(1 - (M(i))^2); % Abscisa del centro del circulo M r1 = sqrt((1/4) + 1/(4*(N(i))^2)); % Radio del circulo N h1 = -1/2; % Abscisa del centro del circulo N k1 = 1/(2*N(i)); % Ordenada del centro del circulo N t = 0:pi/50:2*pi; m = length(t); for j = 1:m x(j) = r*cos(t(j)); y(j) = r*sin(t(j)); x1(j) = r1*cos(t(j)); y1(j) = r1*sin(t(j)); end figure(1) plot(h + x, y,'r',h1 + x1, k1 + y1,'k') text(h, r + 0.09, [num2str(db(i)),' db'],'Color','r') hold on if i < 4 text(h1, k1 - (r1 + 0.09), [num2str(te(i)),'º'],'Color','k') else text(h1, k1 + (r1 + 0.09), [num2str(te(i)),'º'],'Color','k') end end axis equalxlabel('Re[G(jw)]','FontSize',14)ylabel('Im[G(jw)]','FontSize',14)title({' ';' ';'Carta de Nichols';'Circulos de Magnitud Constante y Circulos de Fase Constante'},'FontSize',14)

Archivo nichols2.m

% Se borran todos los contenidos previos de la interfaz de MATLABclcclfclear all % Color para los trazos de la graficacolor = [0 0 0]; % Negro

% Construccion de los lugares geometricos de magnitud constanteMag = [6 3 1 .5 .25 0 -0.25 -1 -3 -6 -12 -20 -40 -60 -80 -100]; % Valores para la magnitud, dBFase = [1 2 3 4 5 7.5 10 15 20 25 30 45 60 75 90 105 120 135 150 175 180]; % Valores para la fase, ° % Vectores temporales para trazar los lugares geometricospx = zeros([1 length(Fase)]);py = zeros([1 length(Fase)]); % Ciclo para el trazado de los lugares geometricosfor dB = Mag n = 1; % indice para vectores px y py % Trazado de un lugar geometrico de magnitud constante for alpha = Fase [x, y] = pol2cart(alpha*pi/180, 10.^(dB/20)); % conversion de coordenadas polares a cartesianas H = x + 1i*y; % valor de la CLFT G = H./(1 - H); % calculo de la OLFT [N, M] = cart2pol(real(G), imag(G)); % conversion de coordenadas cartesianas a polares px(n) = N*180/pi; % almacenamiento en los vectores temporales py(n) = 20*log10(M); n = n + 1; % proximo indice de almacenamiento end plot(px, py, ':', 'color', color) % trazado del lugar geometrico hold('on') n = 1; % indice para vectores px y py % Trazado de un lugar geometrico de magnitud constante, complemento for alpha = -Fase [x, y] = pol2cart(alpha*pi/180, 10.^(dB/20)); H = x + 1i*y; G = H./(1 - H); [N, M] = cart2pol(real(G), imag(G)); px(n) = N*180/pi+360; %se suma 360°, para obtener angulos desde los 180 hasta los 360 py(n) = 20*log10(M); n = n + 1; end plot(px, py, ':', 'color', color) % para que la informacion se vea clara hay que excluir el texto de los % lugares geometricos que estan muy cercanos, los menores que 0 dB

if dB < 0 text(px(1)-15, py(1)+2, [num2str(dB) ' dB']) else text(px(1), py(1), [num2str(dB) ' dB']) endend % Construccion de los lugares geometricos de fase constanteMag = [6 3 2 1 .75 .5 .4 .3 .25 .2 .15 .1 .05 0 -.05 -.1 -.15 -.2 -.25 -.3 -.4 -.5 -.75 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -9 -12 -16 -20 -40 -60 -100];Fase = [1 2 5 10 20 40 60 80 100 120 150 180]; % Vectores temporales para trazar los lugares geometricospx = zeros([1 length(Mag)]);py = zeros([1 length(Mag)]); % Ciclo para el trazado de los lugares geometricosfor alpha = Fase n = 1; for dB = Mag [x, y] = pol2cart(alpha*pi/180, 10.^(dB/20)); H = x + 1i*y; G = H./(1 - H); [N, M] = cart2pol(real(G), imag(G)); px(n) = N*180/pi; py(n) = 20*log10(M); n = n + 1; end plot(px, py, ':', 'color', color) hold('on') text(px(25), py(25), [num2str(alpha) 'º']) end % Ciclo para el trazado de los lugares geometricos, complementofor alpha = -Fase n = 1; for dB = Mag [x, y] = pol2cart(alpha*pi/180, 10.^(dB/20)); H = x + 1i*y; G = H./(1 - H); [N, M] = cart2pol(real(G), imag(G)); px(n) = N*180/pi + 360; py(n) = 20*log10(M);

n = n + 1; end plot(px, py, ':', 'color', color) hold('on') text(px(25), py(25), [num2str(360 + alpha) 'º'])end % Se ubica una cruz para indicar el lugar geometrico -1 + j0, que es en:% 0 dB y 180°plot(180, 0, '+r') % Se fijan los limites de los ejesaxis([0 360 -100 40]) % Se etiquetan los los ejes y el tituloylabel('Ganancia, dB', 'fontsize', 14)xlabel('Fase, °', 'fontsize', 14)title({' ';'Carta de Nichols'}, 'fontsize', 20)

Archivo nichols3.m

clc; clear all;hp = tf(50, [30 1]); % Procesohv = tf(0.016, [3 1]); % Valvulahs = tf(1, [10 1]); % Sensoroltf = hp*hv*hs; % Sistema en Lazo Abiertosyms x wdisp('Frecuencia Ultima')w = double(solve('-atan(10*x) - atan(30*x) - atan(3*x) + pi')) disp('Relacion de Magnitudes')MR = (1/sqrt(1 + (10*w)^2))*(1/sqrt(1 + (30*w)^2))*(1/sqrt(1 + (3*w)^2)) disp('Ganancia Ultima del Controlador Proporcional')Kcu = 1/(0.8*MR) P = nicholsoptions;P.Grid = 'on';P.Title.FontSize = 16;P.Title.FontAngle = 'italic';P.Title.FontWeight = 'bold';P.Xlabel.FontSize = 16;

P.Xlabel.FontAngle = 'italic';P.Xlabel.FontWeight = 'bold';P.Ylabel.FontSize = 16;P.Ylabel.FontAngle = 'italic';P.Ylabel.FontWeight = 'bold'; figure(1)h = nicholsplot(oltf,P);title('Diagrama de Nichols');ylabel('Magnitud del Lazo Abierto')xlabel('Fase del Lazo Abierto'); Kc = input('Introduzca la Ganancia del Controlador Proporcional = ');to = input('Introduzca el Tiempo de Simulacion = '); figure(2)plant = feedback(Kc*oltf,1);step(plant,to);gridtitle('Respuesta Paso Unitario - Lazo de Control Proporcional','FontSize',14)xlabel('Tiempo','FontSize',14)ylabel('Respuesta','FontSize',14)

Archivo nichols4.m

clc; clear all;hp = tf(50, [30 1]); % Procesohv = tf(0.016, [3 1]); % Valvulahs = tf(1, [10 1], 'inputdelay',2); % Sensoroltf = hp*hv*hs; % Sistema en Lazo Abiertosyms x wdisp('Frecuencia Ultima')w = double(solve('-2*x - atan(10*x) - atan(30*x) - atan(3*x) + pi')) disp('Relacion de Magnitudes')MR = (1/sqrt(1 + (10*w)^2))*(1/sqrt(1 + (30*w)^2))*(1/sqrt(1 + (3*w)^2)) disp('Ganancia Ultima del Controlador Proporcional')Kcu = 1/(0.8*MR) P = nicholsoptions;P.Grid = 'on';P.Title.FontSize = 16;

P.Title.FontAngle = 'italic';P.Title.FontWeight = 'bold';P.Xlabel.FontSize = 16;P.Xlabel.FontAngle = 'italic';P.Xlabel.FontWeight = 'bold';P.Ylabel.FontSize = 16;P.Ylabel.FontAngle = 'italic';P.Ylabel.FontWeight = 'bold'; figure(1)h = nicholsplot(oltf,P);title('Diagrama de Nichols');ylabel('Magnitud del Lazo Abierto')xlabel('Fase del Lazo Abierto'); Kc = input('Introduzca la Ganancia del Controlador Proporcional = ');to = input('Introduzca el Tiempo de Simulacion = '); figure(2)[num,den] = pade(2,2);h1 = tf(num,den);h2 = tf(1, [10 1]);hs1 = h1*h2;oltf1 = hp*hv*hs1;plant = feedback(Kc*oltf1,1);step(plant,to);gridtitle('Respuesta Paso Unitario - Lazo de Control Proporcional','FontSize',14)xlabel('Tiempo','FontSize',14)ylabel('Respuesta','FontSize',14)

Archivo nichols5.m

clc; clear all;hp = tf(50, [30 1]); % Procesohv = tf(0.016, [3 1]); % Valvulahs = tf(1, [10 1]); % Sensorhc = tf([1 1],[1 0]); % Controlador Integraloltf = hp*hv*hs*hc; % Sistema en Lazo Abierto P = nicholsoptions;P.Grid = 'on';P.Title.FontSize = 16;

P.Title.FontAngle = 'italic';P.Title.FontWeight = 'bold';P.Xlabel.FontSize = 16;P.Xlabel.FontAngle = 'italic';P.Xlabel.FontWeight = 'bold';P.Ylabel.FontSize = 16;P.Ylabel.FontAngle = 'italic';P.Ylabel.FontWeight = 'bold'; figure(1)h = nicholsplot(oltf,P);title('Diagrama de Nichols');ylabel('Magnitud del Lazo Abierto')xlabel('Fase del Lazo Abierto');

Archivo nichols6.m

clc; clear all;hp = tf(50, [30 1]); % Procesohv = tf(0.016, [3 1]); % Valvulahs = tf(1, [10 1]); % Sensorhc = tf([15 1],[1.5 1]); % Controladoroltf = hp*hv*hs*hc; % Sistema en Lazo Abierto P = nicholsoptions;P.Grid = 'on';P.Title.FontSize = 16;P.Title.FontAngle = 'italic';P.Title.FontWeight = 'bold';P.Xlabel.FontSize = 16;P.Xlabel.FontAngle = 'italic';P.Xlabel.FontWeight = 'bold';P.Ylabel.FontSize = 16;P.Ylabel.FontAngle = 'italic';P.Ylabel.FontWeight = 'bold'; figure(1)h = nicholsplot(oltf,P);title('Diagrama de Nichols');ylabel('Magnitud')xlabel('Fase');

syms x wdisp('Frecuencia Ultima y Relacion de Magnitudes')w1 = double(solve('atan(15*x) - atan(10*x) - atan(30*x) - atan(3*x)- atan(1.5*x) + pi'));n = length(w1);for i =1:n if isreal(w1(i)) w = w1(i) MR = (1/sqrt(1 + (10*w)^2))*(1/sqrt(1 + (30*w)^2))*(1/sqrt(1 + (3*w)^2))*(1/sqrt(1 + (1.5*w)^2))*(sqrt(1 + (15*w)^2)) else endend disp('Ganancia Ultima del Controlador Proporcional')Kcu = 1/(0.8*MR) Kc = input('Introduzca la Ganancia del Controlador = ');to = input('Introduzca el Tiempo de Simulacion = '); figure(2)plant = feedback(Kc*oltf,1);step(plant,to);gridtitle('Respuesta Paso Unitario - Lazo de Control Por Retardo','FontSize',14)xlabel('Tiempo','FontSize',14)ylabel('Respuesta','FontSize',14)

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Leccion 15. Cartas de Nichols (2)